יום שישי, 4 בינואר 2013

למען תרבות של חשיבה: בעד תחיית העברית ותחיית המתמטיקה


למען תרבות של חשיבה
בעד תחיית העברית ותחיית המתמטיקה

תלמה גביש


אנחנו והסינים

ליפינג מה (  ( Liping Ma [ 11 ] , המשווה בספרהֹּ בין הוראת החשבון בבית הספר היסודי בארה"ב  לבין ההוראה הנהוגה בסין, נגעה במיתרים סמויים וחשובים.
האחד: לא האקדמיזצייה היא שתקדם את החשיבה המתמטית. למורים הסינים שאותם בדקה לא היו תארים אקדמיים. למקביליהם בארה"ב  היו גם היו, ואעפי"כ ההבנה המתמטית של המורים בבית הספר היסודי, והישגי התלמידים,  היו  לאין ערוך טובים אצל הסינים.
השני: המורים הסינים בונים את המתמטיקה על יסודות איתנים השזורים בשפתם.
דוגמה אחת מסִפְרָהּ: בסינית מנסחים את חוק החילוף של הכפל בשונה מהמקובל אצלנו.  כך למשל,  אנו נוהגים לומר ששתים כפול שלוש שווה לשלוש כפול שתיים. הסינים מנסחים את החוק: שתים כפול שלוש שווה לשלוש כפול שתיים בתוצאה.

שימוש כזה יוצר את ההבחנה בין תרגילי כפל לבין בעיות המצריכות כפל.
בתרגילים , שהגורמים בהם הם מספרים טהורים (= מספרים ללא כינויים ) - חוק החילוף יוצר סימטרייה כלשהי בין הגורמים, בעוד שבבעיות - היחסים בין הכופל לנכפל הם אסימטריים במובהק.
בתרגילים - יש הבדל בין 4 פעמים 5 , שמשמעו 4 פעמים קבוצות של 5, לעומת  5 פעמים 4 , שמשמעו 5 פעמים קבוצות של 4.  עם זאת, חוק החילוף של הכפל מאפשר להתייחס אל הארבע ואל החמש כגורמים בעלי אופי סימטרי.
בבעיות - שפתרונן מוביל לכפל, הסימטרייה הזאת נעלמת לחלוטין. 
לאסימטרייה שנוצרת יש השלכות חשובות על הבנת המהות הבסיסית של הפעולה המתמטית.  ההבנה הזאת מחייבת התייחסות לכינויים.
לדוגמא:
בחדר יש 7 שולחנות. בכל שולחן 4 מגירות. כמה מגירות יש בחדר? הפותר צריך להבין שמספר השולחנות הוא הכופל ומספר המגירות הוא הניכפל. הכינוי של התוצאה חייב להיות הכינוי של הניכפל.  
משמעות הכפל בבעייה זו היא: 7 פעמים 4 מגירות, לכן התשובה היא 28 מגירות (לא שולחנות).
הבנת הכינויים היא בסיס להבנת היחידות והמדעים.
הבחנה כזאת בין התהליך של פתרון בעיות כפל לבין התהליך של פתרון התרגיל יוצרת אצל הילד את הבנת המהות העומדת בבסיס הפעולה המתמטית. 
ללשון הסינית תרומה ניכרת לפיתוח החשיבה ולהבנת היחסים המתימטיים. ילד הלומד להבחין בין סימטרייה לאסימטרייה חווה שתי חוויות שיש להן השלכה על תהליכי החשיבה.
מצד אחד, הסימטרייה הצורנית מקבלת את משמעותה כאשר הילד לומד אותה ביחד עם הבנת היחסים הסימטריים והאסימטריים הקיימים במתימטיקה, בלשון, במדעים ובלוגיקה.
מצד שני, עצם ההבנה שלסימטרייה יש אופנויות שונות: גם צורנית וגם מילולית יוצרת תשתית להבנת תהליכים קוגניטיביים מורכבים יותר, כמו אנלוגיות.
תחושת הסימטרייה מתעצמת כאשר הנושא נלמד במיגוון של אופנויות ובתכנים שונים זה מזה. הניסוח המילולי של החוק בסינית תורם, אם כן, תרומה משמעותית לפיתוח תהליכי חשיבה בכלל וחשיבה מתימטית בפרט.  

מעמד העברית

" אולי במקום שבו אין דיוק לשוני  אין גם דקות מחשבתית"
(דורון רוזנבלום)   [ 5 ]

דלדול השפה  והזלזול בה, שכה רווח במחוזותינו, לא פסח על הוראת המתמטיקה.
בשיטת  "אחת, שתים ושלוש" הנושאת גם את השמות: "ועוד אחת", "שבילים", "גשרים" ו"גילויים" , על פיה לומדים  במרבית בתי הספר בארץ, נעשו מספר שימושים לא נאותים בלשון העברית , שיש להם השפעה שלילית על ההבנה המתימטית.
1) הכללת מספר מושגים מתימטיים תחת מושג אחד.
במקום לעדן את ההבחנה הלשונית על ידי שיום ( = מתן שם) מדוייק של כל מושג והפרדתו ממושגים קרובים לו, כפי שעושים הסינים, מושגים שונים קיבלו אותה תווית וטושטשה ההבחנה ביניהם.
לדוגמא:
'מחובר', השייך לתרגילי החיבור , 'מחסר' ו'הפרש' השייכים לתרגילי חיסור
 נדחקו תחת שם אחד הקרוי: "מחוברים" [ 2 ].
שיום שלושה מושגים שונים משתי פעולות שונות באותו שם, יוצר חשיבה מעורפלת. כך נוטלים מהילד את ההבחנה בין הפעולות ובין המרכיבים שלהן, ומונעים ממנו את התהליך של הסתמכות על השפה להבנת תהליכים קוגניטיביים ולניסוחם.
2) יצירת מושגים חדשים וחסרי משמעות לשונית במקום מושגים עבריים קיימים.
דוגמא מובהקת: "זנב גוף", שהעניקו לו מעמד של מייצג המספרים הדו-ספרתיים וערכו בו מעשה של התאמה חד-חד-ערכית על ידי תרגול ובו ההוראה:
"כתוב מספר לכל זנבגוף"  ובעמוד  שמולו : "צַיֵר זנבגוף לכל מספר" , והרי לך אשליה של התאמה חד-חד-ערכית בין מספר לבין זנבגוף. [ 2 ]
בשפה העברית יש מושג מדויק והוא: "מספר דו-סיפרתי". שמו מרמז על טיבו והלומד יכול להיעזר בַּשֵּם לביסוס הבנתו. הוא רוכש כישורים שפתיים ומתימטיים בעת ובעונה אחת.
3) נישלו מהוראת המתמטיקה מושגים מדויקים המהווים שפה בעלת תוקף ומשמעות.
מושגים חיוניים כמו:  'כופל' מול 'נכפל', ' מחולק', 'מחלק', 'מנה'  אינם נכללים באוצר המלים של ספרי הלימוד של "אחת, שתים ושלוש" ונגזרותיה.
4) יצירת בלבול מושגי בתחום הפעילות
תלמיד הפותר תרגיל כפל מתבקש לצייר את מלבן הכפל.
נוצר בלבול מוחלט בין אופנויות שונות. האם 2X3 הוא מלבן? האם הוא 6? מה הקשר בין מלבן למיספר? האם אני פותר? האם אני מצייר?
זהו המשך ישיר לבלבול בין אורך וצבע לבין כמות בדידה, שיוצרים הבדידים. [ 8 ]
5) פעולות הפוכות מקבלות אותו שם
בתרגיל חילוק ההוראה היא לפתור את "מלבן הכפל" [ 3 ]. יש כאן שתי הטעיות לשוניות:
1) "מציירים" ולא "פותרים".
2) התרגיל שהוא חילוק משוּיים ( = מקבל שם ) בתור כפל.
אותו תהליך חוזר על עצמו גם בחיבור וחיסור [ 2 ] , [ 3 ] .
6) ניתוק הקשר הטבעי בין המסמל למסומל
בחוברת של " ועוד אחת" : "חיבור וחיסור בבדידים" (לכיתה א') בעמ' 42 יש הערה למורה: "אנו מכנים את המחוסר בשם "סכום", כדי להבליט את הקשר שבין חיבור לחיסור".
אחרי שהילד לומד שהסכום נכתב בתבנית על הקו התחתון:






הוא מקבל (באותה חוברת עמ' 51) תרגיל זה:




"כתוב + או - בתבניות הבאות".
בתרגיל ד' מופיעה התבנית :








                                               _____________
                                           
מתחתיה קו שעליו הילד אמור לכתוב את הסימן + בין המשולש לעיגול.                     

בתרגיל ב'
 







הילד אמור לכתוב את הסימן  בין העיגול למשולש.
לא זו בלבד שהמילה "סכום" מחליפה את ה"מחוסר", ששמו העברי מרמז על תפקידו, הרי שמסרסים גם את ה"סכום" סירוס מוחלט על ידי החיבור והחיסור של המשולש והעיגול. קשה להבין מה  המשמעות של: הסכום של משולש ועיגול או ההפרש בין עיגול למשולש. המחוסר הפך לסכום והסכום הפך לתוצאה של פעולה חסרת כל משמעות. המילה, שהיא הסמל המייצג את המושג, מאבדת את הקשר למסומל. זוהי הטעייה לוגית ולשונית.
בעמ' 61 של אותה חוברת בהנחייה למורה:" כדאי להדגיש שוב את המקומות של המחוברים ושל הסכום בתבנית המספרים". לאחר שנותק הסמל ממשמעותו, הילד לומד היכן לכתוב ולא מדוע לכתוב את התשובה.     
החלפת המקום במשמעות של המושג בולטת בעמ' 63 של אותה חוברת. ההנחייה לתלמיד: " בתרגיל חיסור כותבים תחילה את המספר, שהוא הסכום של שני המספרים האחרים", הדגש הוא על המקום ולא על המשמעות.
  
בעוד הסינים מקפידים על דיוק של מושגים, אצלנו בוטלו  הבחנות בסיסיות וראשוניות בין פעולות ומושגים.

עברית שייכת לעולם הילד

"כדי להעמיק להתבונן במציאות האנושית, דרושה שפה של בני אדם ולא של דחלילים" (אסף ענברי) [ 6 ]
בספר ההדרכה למורים האמורים ללמד את "אחת, שתים ושלוש" וכל נגזרותיה מוסבר שיש לבנות תחילה את העולם המתימטי, ממנו להגיע למושגים, ומשם, בסוף התהליך, להגיע אל סביבתו הטבעית של הילד [4]. כך נותקה בספרי "אחת שתים ושלוש" ונגזרותיה השפה הטבעית , העברית , מהמתמטיקה ומהילד והופיעו מושגים  חוץ-מתמטיים וחוץ-עבריים, כמו זנבגופים.
על חשיבות השפה בבניית החשיבה המופשטת עמד ויגוצקי . הוא ראה בשפה כלי הכרחי ומרכזי לבניית תהליכי חשיבה מופשטים [ 10 ]. חומסקי ראה בה תכונה בסיסית שהאדם נולד עימה. פרנק אלן [ 13 ] הצביע על חשיבותה הרבה בהוראת המתימטיקה בביה"ס העל-יסודי .
אם בביה"ס העל-יסודי יש חשיבות רבה ללשון, כפי שפרנק אלן מסביר, הרי בביה"ס היסודי חשוב השימוש העקבי והמדוייק בשפה פי כמה וכמה. 
אצלנו הילדים הלומדים לפי "אחת, שתים ושלוש" ונגזרותיה משתמשים בשפה לא תקנית, בחסות ספרים שהשפה העברית בהם מתעלמת מהתרבות העברית.  התוצאה חורגת בהרבה מהפנמת שיבושי שפה. היא פוגעת גם ביכולת החשיבה, וגם בהבנה הבסיסית של המתמטיקה.
דויד קליין [ 12 ] בדק  שלושה בתי הספר מלוס אנג'לס:

Bennet-Kew , Kekso , Robert Hill Lane

המשותף לשלושתם:
1) אוכלוסייתם באה מרקע נמוך: היספנים, שחורים, חסרי בית, משפחות חד-הוריות דלי אמצעים. חלק מהם ממשפחות שאינן דוברות אנגלית.  
2) הישגיהם במתימטיקה היו גבוהים במיבדקים של  SAT.
יש לנו עניין רב לבחון את התהליכים שבזכותם  הגיעו בתי הספר האלה להישגיהם, במיוחד משום שחלק ניכר מתלמידיהם מהגרים והם נמצאים בתחתית הסולם החברתי .
כדאי ללמוד מנסיונם של אחרים כדי לתקן טעויות שמרבית מערכת החינוך עושה.
המרכיבים המשותפים לשלושתם:
פיתוח והעמקה של השפה האנגלית והפיכתה לשפה הטבעית והבסיסית של הילד , ביסוס המתימטיקה באמצעות השפה, ביסוס מיומנויות יסוד, שימוש נדיר במחשבונים.
הצלחתם של בתי הספר האלה מובילה למסקנה שהשילוב של טיפוח השפה הטבעית עם בניית השפה המתמטית הוא המפתח להישגי התלמידים.

הכישלון שלנו

הצניחה שלנו במיבדקים הבינלאומיים מן המקום הראשון למקום ה  28 בין השנים 1964  1999, לא היתה מקרית.  היא קיימת בבתי הספר בכל השכבות הסוציו-אקונומיות, ואינה מבחינה בין רמת ההוראה של המורים. ( בשכבות המבוססות היא מוסווית על ידי העזרה המסיבית של ההורים.)
היעדר הקשר בין לשון, מתימטיקה, חשיבה ומיומנויות יסוד,  גורם נזקים אפילו באוכלוסיות מבוססות ואצל ילדים בעלי יכולות תקינות כמו המקרה המתואר באתר האינטרנט הנוכחי של "לדעת חשבון"  במאמר "לשון, חשבון וחשיבה" [ 11 ].

המאפיינים שהובילו לכישלון אצלנו :
1) שיטה לא נכונה, הנוגדת את טבע האדם;
2) פגיעה קשה בתהליכי חשיבה;
3) מערכת מושגים משובשת.

מעמד המורה

הלקחים המתבקשים

קיימת נטייה בציבור לגלגל את האחריות על הכישלון על המורים. [ 7 ]

זו אינה הכתובת הנכונה. יש מי שאחראי להכשרת המורים. אין להפנות דווקא אל המורים אצבע מאשימה, בעוד הם מלמדים לפי הנחיות הניתנות להם על ידי מערכת הנחייה צמודה, מסועפת, יקרה וממושכת ( למעלה משני עשורים). כדאי לבחון כמה עלתה המערכת הזאת למדינה בעשורים בהן ירדה הרמה. מה לימדו בה: בדידים? זנבגופים? תבניות? האם ניתנה למורים הבחירה? האם הוצגו לפניהם אלטרנטיבות? איך ייתכן שמרבית בתי הספר בארץ מלמדים לפי שיטה מטעה שמעולם לא נבדקה ברצינות, כפי שמעיד על כך מפמ"ר המתמטיקה של מדינת ישראל , ד"ר מיכאל קורן? מדבריו משתמע שזה היה ניסוי על אוכלוסייה שלמה ללא כל ביקורת, מבלי שהדבר הובא לידיעת הציבור. [ 8 ]
ההתמקצעות
משרד החינוך נערך לטיפול במצבנו העגום בחשבון על ידי הכנת מורים שיתמחו בהוראת המתימטיקה ביסודי. זוהי ה"התמקצעות".
דומה שלא נעשה ניסיון לדיון מעמיק בנושא זה. חבל על המשאבים הרבים מכוונים להתמקצעות, בטרם נקבעו מטרותיה.

כאשר מכינים התמקצעות כזאת יש לקחת בחשבון מספר קווים מנחים:

1) רבים מהמורים הם פליטי הכשלונות בעשורים האחרונים, לכן יש ללמדם את התהליכים העקביים והשיטתיים שעושים את המתימטיקה לקוהרנטית ומשמעותית, ולא "טריקים" המנותקים מהמבנה הכללי והכנה למיבדקים הבינלאומיים הבאים , שמטרתם לטשטש את תמונת המצב האמיתית.

2) לכוון את המורים ליצירת זיקה נראית לעין בין המתמטיקה לבין החיים, ולהראות להם כיצד להשתמש בחיי יום יום כתשתית להגדרת בעיות מתמטיות.

3) יש להסביר למורים ולתלמידים את האלגוריתם ( = כפל וחילוק של מיספרים בעלי ספרות אחדות) , של פעולות החשבון: למה כופלים ומחלקים מיספרים רב סיפרתיים ברב סיפרתיים בדרך שלמדו אבותינו.  הקניית האלגוריתמים האלה בשיטתיות, תוך הדגשת ההיגיון שבהן, מלווה בהסבר רָהוּט בונה גם את הרובד הלשוני וגם את החשיבה המתימטית.
4) הדרישה לדיוק בהבהרת מושגים מתמטיים, כמו: חילוק לחלקים, חילוק להכלה וחילוק כיחס, הבחנה בין הפרש לסכום וכו', חייבת להיות חד-משמעית.
5) הימנעות משיטה המתבססת על תבניות חסרות משמעות, חייבת להוות קו מנחה לכל התכניות.
6) יש להעדיף במוצהר שיטה שבה הבעיות המילוליות הינן חלק אינטגרלי של כל שלב בהוראה. הבעיות המילוליות מקנות את המשמעות המתמטית והלשונית לפעולות החשבון ואין לבודדן בחוברות המנותקות מיתר פרקי הלימוד. 
7) כדי שהמורים יוכלו לבחור בשיטה המתאימה להם, יש ללמדם ביסודיות את השיטות השונות במסגרת ההתמקצעות.  שיטות כמו :
חשבון 10 [ 9 ] או מתמטיקה יסודית, הבנוייה על שיטת ההוראה המצליחה של סינגפור [ 10 ] תוצגנה בכל השתלמות של מורים.

מורים מקצועיים וכלל המורים בבתי הספר היסודיים

יש לראות בהתמקצעות שלב ביניים, לפני הכשרתם של כל מורי היסודי להוראת החשבון.

אסור שההתמקצעות תפטור מורים אחרים מידיעת החשבון. כל מורה ביסודי חייב לדעת חשבון של בית ספר יסודי. המתימטיקה תורמת לחשיבה וקשורה ללשון העברית, לכן עליה להוות חלק אינטגרלי מהשכלתו של כל מורה.

כדאי להימנע מהכנסת מורים מקצועיים לחשבון לכיתות א'  ג' , כי לילדים בגילים אלה יש צורך נפשי לקשר יציב עם המחנך/ת. הכנסת מורה מקצועי לגילאים האלה עלולה לגרום נזק לקשר הזה ותועלתה אינה ברורה.

בנוסף, הפעילות בחשבון חייבת לצאת מעולם הילד. הקשר היומיומי הזה דרוש להפנמת החשבון. אין לנתק את החשבון ממיכלול הפעילויות המתרחשות בכיתה.

כמו כל יתר המורים, גם מורי הכיתות האלה חייבים לדעת ולהבין את עקרונות החשבון, לא רק כדי ללמדם, אלא גם כדי שיהוו בסיס לוגי שיש לו השלכה על תהליכים קוגניטיביים רחבים יותר.     


מוטב שנלמד מהסינים:
אם נלמד חשבון נכון, נסביר את תהליכי החשיבה, נקנה  משמעות לפעולות החשבון, נקנה מושגים תקניים ונרבה להשתמש בהם  - נחַיה את העברית ואת החשבון כאחד וניצור תרבות חשיבה.

מראי מקומות:
[1] אחת, שתים ושלוש/ חוברת 4 / בעמ' 80 ההוראה: "כתוב מספר לכל זנבגוף" בעמוד 81 שמולו : "צַיֵר זנבגוף לכל מספר".
[ 2 ] "אחת, שתים ושלוש" / חוברת 4 / בעמ' 115 ההוראה:
" פתור את התרגיל בעזרת הזנבגופים. צַיֵר את המחובר החסר"
התרגיל הראשון לפיתרון הינו:
_____  =  29  -  50
חוברת גילויים שלמה מוקדשת לזנבגופים: כיצד בנויים המספרים? ( זנבגופים )
[ 3 ] אחת, שתים ושלוש / חוברת 9 / עמ' 54  55.
ההוראה: "צייר מלבן הכפל": ולאחריה התרגיל:   = 5  : 29

[ 4 ] ציטוט מההדרכה  של " אחת, שתים ושלוש" למורים:
"את מהלך הלמידה אפשר לסכם כך:

 





לגישה שהוצגה כאן אנו קוראים בהמשך "הגישה המוּבְנֵית".  "

[ 5 ] דורון רוזנבלום , 16.4.02 מוסף יום העצמאות של "הארץ", מצב העברית,
(עמ' 3) .
[ 6 ] אסף ענברי  16.4.02 מוסף יום העצמאות של "הארץ", ( עמ' 18).
[ 7 ] בעקבות "הד החינוך" גיליון פברואר  מרס 2002 ,  פורסמו מספר תגובות בעיתונות בישראל , למשל:
בעיתונות היומית מטילים על המורים חלק נכבד מהאחריות לכשלונות התלמידים.
ב"מעריב" (22/4/02) תת-כותרת: " אחת הסיבות לכשלונות: המורים".
ב"הארץ" ( 15/4/02) הכותרת: " השכלת המורים למתימטיקה לא מספקת, והכשרתם אינה יעילה".
[ 8 ] ב"הד החינוך" פברואר- מרס 2002  , נשאל ד"ר מיכאל קורן, המפקח המרכזי על המתמטיקה בישראל, האם בדקתם את יעילותה של "אחת, שתים ושלוש"?
תשובתו הייתה: " קשה, ובעצם בלתי אפשרי, לבדוק תכנית ש - 85 אחוז מבתי הספר מלמדים לפיה. כשההיקף של תכנית הוא כל כך גדול, אי אפשר לעשות השוואה".
[ 9 ] חשבון 10 היא שיטת חשבון שפותחה בארץ ועונה על הדרישות המתמטיות והלשוניות.
[ 10 ] מתמטיקה יסודית היא תרגום ועיבוד של ספרי סינגפור לעברית. מתרגמי הספרים חיפשו דרך מהירה ככל האפשר לתיקון המצב הקשה של המתמטיקה בישראל. ההצלחה הממושכת והבלתי מעורערת של סינגפור הביאה אותם להחלטה על תרגום הספרים והתאמתם לישראל. הספרים יצאו לאור על ידי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל, שהיא פורום של אנשי חינוך, היי-טק, עסקים ואקדמיה לטיפוח לימודי המתמטיקה בישראל.   
 [ 11] Ma Liping*. ( 1999. Knowing and Teaching Elementary
Mathematics: Teacher’s Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United StatesUniversity of California, Berkely/ Mahwa : Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
* ליפינג מה היא סינית המתגוררת מספר שנים בארצות הברית.
[ 12 ]  Vygotsky, L. S. ( 1978). Mind and Society: The Development of Higher Psychological Processes. Cambridge, Ma: MIT press.

באינטרנט :
באתר:
mathematicallycorrect:

 [ 13 ] Klein David. (August 2000) High Achievement in Mathematics: Lessons from Three Los Angeles Elementary SchoolsCalifornia State University, Northridge.

 [ 14 ] Frank B. Allen , Emeritus Professor of Mathematics Elmhurst College.  ( April 1988). Language and the Learning of Mathematics. A speech delivered at the NCTM Annual Meeting . Chicago.