יום שישי, 3 במאי 2013

יחסי גודל שמתבטאים בפעולות כפל וחילוק -- מה זה "פי כמה?"



יחסי גודל שמתבטאים בפעולות כפל וחילוק  -- מה זה "פי כמה?"

[נעסוק כאן רק בבעיות במספרים טבעיים]
אחרי שהבנו מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות, נראה שלעומת הבעיות שעוסקות בהפרש יש בעיות שעוסקות במספר הפעמים שגודל אחד מכיל גודל אחר.  המילה פי מתארת יחס זה.

דוגמה:
א. קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 3 יותר מטיילים. כמה מטיילים היו בקבוצה השנייה?
התרגיל:  30 מטיילים = 10 מטיילים 3x

תזכורת
כאשר עוסקים ביחס המתמטי מתכוונים ליחס המתבטא ב "פי … יותר" או ב "פי … פחות".  
הכופל שמבטא את היחס הוא מספר טהור, כלומר מספר ללא כינוי.

שני הסברים לשימוש בכפל בעת הטיפול ביחס

הסבר ראשון:
פירושו של התרגיל (שהוצג בבעיה א', שהוצגה קודם)  
30 מטיילים = 10 מטיילים 3x 
הוא:
אם ניקח 3 פעמים את 10 המטיילים של הקבוצה הראשונה, נקבל את מספר המטיילים של הקבוצה
השנייה.
בהסבר הזה מודגש ההיבט הכמותי של הבעיה. 3 פעמים של א' ייתן את ב'.
הסבר שני:
כאשר, בגלל חוק החילוף של הכפל, נרשום את התרגיל הזה כך:
30 מטיילים = 10x3 מטיילים
פירושו של התרגיל הוא:
אם ניכפול את מספר המטיילים בקבוצה א' ביחס הנתון, 3, נקבל את מספר המטיילים בקבוצה ב'. בהסבר ב' מודגש התהליך שיש לכפול או לחלק את הגודל הנתון ביחס הנתון, כדי לקבל את הגודל הנעלם.
בהסבר זה מודגש אופן השימוש ביחס נתון. זהו הסבר נוח למעבר אל החילוק בבעיות של יחס.
להורים ולמורים: יש להשתמש בשני ההסברים, כדי לבסס את מושג היחס.

דוגמה
ב. קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 2 פחות מטיילים. כמה
מטיילים היו בקבוצה השנייה?
התרגיל:
5 מטיילים =  2 : 10 מטיילים

מורה: הבנתם יפה מאוד איך ליצור סיפור חשבוני וגם איך לפתור אותו, אבל אנחנו עוד לא הכנסנו כפל וחילוק לסיפורים שלנו. יש לכם הצעות?
תלמידים: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נכפיל את מספר העפרונות של סער כדי לקבל את מספר העפרונות של כרמלה?
תלמידים: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נחלק את מספר העפרונות של כרמלה כדי לקבל את מספר העפרונות של סער?
מורה: את הרעיון שלכם אפשר לנסח גם כך:
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
או:
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מורה: גם בבעיות אלה יש שלושה מרכיבים: גודל א' [כמות א', ערך א'] , גודל ב' [כמות ב', ערך ב'],  היחס ביניהם.
ציינו בבעיות שהצעתם את הגדלים ואת היחס.
 
תלמידים: 1) לכרמלה 12 [ עפרונות גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 [ עפרונות גודל ב', כמות ב', ערך ב'].
פי כמה גדול [היחס] מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
תלמידים: 2) לכרמלה 12 [ עפרונות גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 [ עפרונות גודל ב', כמות ב', ערך ב'].
פי כמה קטן [היחס] מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מורה: נפתור ביחד את הבעיות האלה.
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
פתרון:
3 = 4 עפרונות : 12 עפרונות
שפירושו: כמה פעמים 12 מכיל את 4.
כלומר, אם נחלק את 12 ב-4 נקבל ש-12 גדול מ-4 פי 3.
מורה: מה תהיה התשובה?
תלמידים: מספר העפרונות של כרמלה גדול פי שלושה ממספר העפרונות של סער.
מורה: נבדוק את הבעיה בניסוחה השני:
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מהו הפתרון?
3 = 4 עפרונות : 12 עפרונות
זה מתאים לשאלה כמה פעמים 4 מוכל (או נכנס) ב-12.
הפתרון הוא בדיוק כמו הקודם.
מורה: נכון. אנחנו פועלים באותה דרך כדי למצוא פי כמה יותר… או פי כמה פחות…  התרגיל תמיד יהיה תרגיל של חילוק, מחפשים את המנה (את היחס).
תלמידים: זה מזכיר את בעיות החיבור והחיסור. כאשר נתונים שני הגדלים ומחפשים את היחס תמיד מחשבים את ההפרש, גם אם שואלים: בכמה גדול ? וגם אם שואלים בכמה קטן ? ביחסים של גדול פי … וגדול מ… תמיד מחפשים את המנה גם אם שואלים: פי כמה פחות? וגם אם שואלים: פי כמה יותר?
מורה: נכון. אני מציג שתי בעיות חדשות:
3) לכרמלה 12 בולים. כמה בולים יש לסער אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים של כרמלה?
4) לסער 4 בולים. כמה בולים לכרמלה אם ידוע שמספר הבולים של כרמלה גדול פי 3 ממספר הבולים של סער?
מה נתון ומה צריך למצוא בבעיות האלה?
תלמידים: 3) לכרמלה 12 [ בולים הגודל הגדול, הכמות הגדולה, הערך הגדול]. כמה בולים יש לסער [הגודל
הקטן, הכמות הקטנה, הערך הקטן] אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 [היחס] ממספר הבולים של סער?
נתון הגודל הגדול והיחס. צריך למצוא את הגודל הקטן.
מורה: מה תהיה הפעולה?
תלמידים: חילוק.
התרגיל:
4 בולים = 3 : 12 בולים
הסבר:
אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. מספר הבולים שלו קטן פי 3. ולכן, צריך לחלק את מספר הבולים שלה ב-3, כדי לקבל את הגודל הקטן.
מורה: איך נפתור את תרגיל 4?
תלמידים:
12 בולים =  4x3 בולים
אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. צריך לכפול את מספר הבולים שלו ב-3.
מורה: מה המסקנה שלנו?
תלמידים: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הקטן, צריך לכפול כדי למצוא את המספר הגדול.
תלמידים: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הגדול, צריך לחלק כדי למצוא את המספר הקטן.
מורה: חישבו איך עבדנו בחיבור ובחיסור. לפי מה שלמדנו. מה עליי ללמד אתכם עכשיו?
תלמידים: מה קורה כאשר אומרים: קטן פי… או פי כמה פחות…?
מורה: נתבונן בבעיה הבאה:
5) לשרית יש 10 סוכריות. לאריק יש פי 2 פחות סוכריות. כמה סוכריות לאריק?
מה נתון ומה צריך למצוא?
תלמידים: נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה, הערך הגדול], נתון היחס. צריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה, הערך הקטן].
מורה: פרט.
תלמידים: 5) לשרית יש 10 סוכריות [הגודל הגדול]. לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות. כמה סוכריות לאריק [הגודל הקטן]?
מורה: מה הפתרון?
תלמידים: 5 סוכריות = 2 : 10 סוכריות
צריך לחלק את הכמות הגדולה כדי לקבל את הכמות הקטנה.
מורה: איזה סוג של בעיה נשארה לנו לטיפול?
תלמידים: שהיחס יהיה נתון: פי… פחות, שהגודל הקטן יהיה נתון, ונצטרך למצוא את הגודל הגדול.
מורה: נכון.
6) לאריק יש 10 סוכריות [הגודל הקטן]. לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות מאשר לשרית.  כמה סוכריות לשרית [הגודל הגדול]?
תלמידים: הפתרון הוא:
20 סוכריות = 10x2סוכריות

סיכום הנושא של יחסי גודל המתבטאים בפעולות כפל וחילוק

מורה: מה למדנו בנושא של בעיות של פי … יותר, פי… פחות ?
- למדנו שהביטויים גדול ב… או קטן ב… מובילים לחיבור או לחיסור. תלוי בנתונים.
- למדנו שהביטויים גדול פי… או קטן פי… מובילים לכפל או לחילוק.
- למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [הכמויות] ומחפשים את היחס, שהוא פי…, צריך למצוא את המנה והפעולה היא: חילוק.
- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.
דוגמה
יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 10 [ עמודים הכמות הקטנה]. מספר העמודים במחברת השנייה היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת הראשונה.  כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הגדולה] ?
התרגיל:
40 עמודים = 10x4עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.
דוגמה
יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 40 עמודים [הכמות הגדולה]. מספר העמודים במחברת זו היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת השנייה. כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הקטנה] ?
התרגיל:
10 עמודים = 4 : 40 עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.
דוגמה
לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הקטנה]. מספר זה היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של ירדן [הכמות הגדולה]. כמה תפוזים לירדן?
התרגיל:
20 תפוזים = 10x2תפוזים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.
דוגמה
לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הגדולה]. מספר התפוזים שבידי ירדן היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של קרן [הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לירדן?
התרגיל:
5 תפוזים = 2 : 10 תפוזים

סיכום להורים ולמורים:

כדאי לזכור את השלבים הנדרשים לפתרון בעיות כאלה:
.1 זיהוי הכיוון של הפער: למי יש יותר ולמי יש פחות?
.2 מה נתון? הערך הנמוך או הגבוה?
.3 מהו טיב היחס?
.3 מה רוצים לדעת?
.4 מהי הפעולה החשבונית הנדרשת?

רצוי לתלות בכיתה (או אם ההורים מסבירים אז לתלות בבית) פלקט שעליו מסורטטת הטבלה הבאה:

החילוק כמבטא יחס
ראינו שיש חילוק לחלקים ויש חילוק להכלה. כאשר מחפשים פי כמה יותר, פי כמה פחות, נפגשים במובן נוסף של החילוק: חילוק כמבטא יחס.
תזכורת
כאשר מדברים במתמטיקה על יחס בין גדלים, מתכוונים תמיד ליחס המבוטא על ידי חילוק!
לדוגמה
מהו היחס שבין 8 לבין 72?
תשובה: היחס הוא 9.
דוגמה נוספת
פועל מקצועי מרוויח 4000 שקל בשבוע. פועל לא מקצועי מרוויח 1000 שקל בשבוע. מהם יחסי המשכורות?
תשובה: יחסי המשכורות הם ארבע לאחד.
יחס זה מתקבל על ידי חילוק 4000 ל-1000.

משמעויות של החילוק:






































המורה,

* הרשימה עובדה מתוך ספר המדריך למורה ל-"מתמטיקה יסודית", כתה ג' חלק ראשון, שכתבה בהתנדבות מורתי, תלמה גביש, בהוצאת העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.