יום שבת, 15 בדצמבר 2012

לשון, חשבון וחשיבה מאת תלמה גביש


לשון, חשבון וחשיבה
מאת תלמה גביש

התבקשתי להציע תכנית לקידום תלמיד כיתה ה' בחשבון.
מדובר בתלמיד שנחשב למצטיין במתימטיקה. לומד בקבוצה נבחרת של מצטייני מתימטיקה. למרות זאת הביעו ההורים אי נחת ממידת התקדמותו. הם טענו שהוא מאוד אוהב חשבון, אבל שונא לקרוא, ולדעתם יש לו בעיות בקריאה. המורים בבית הספר מתפעלים מיכולתו המתימטית ואינם מוצאים שיש לו קשיים כלשהם בתחום כלשהו.
הילד שהגיע שיתף פעולה , נראה נבון מאוד , חברותי מאוד .
מטרתי הראשונה הייתה לבחון את רמת המתימטיקה ואת מידת ההבנה שלה.

הפרוצדורה

במיבדק בעל איפיונים דינמיים הניבדק מכוון את התהליך. הפרוצדורה של המיבדק כוללת תיווך, ובדיקת מידת ההשתנות של הניבדק לאחר שהוא מקבל כלים לשיפור ביצועיו.
האופי האינטראקטיבי של המיבדק מחייב תאור של השיחה בין הניבדק לבודק.
את שיקולי הדעת של הבודק, או את הערותיו ציינתי בסוגריים מרובעים:   [  ] ובאותיות מוקטנות.
ניתן לקרוא את מהלך המיבדק בשטף , ללא ההערות. מה שכתב הילד: באותיות כתב. מה שהוא אמר צוין באותיות הגדולות המתארות את התהליך.
[ פתחתי במשמעות הכפל כי הוא למד לפי 1,2,3 ומניסיוני למעלה מ  70% מבוגרי היסודי אינם מבינים את משמעות הכפל , כי לא למדו אותו במשמעות של : פעמים ] .

ש: ספר לי סיפור חשבוני שבשביל לפתור אותו צריך לעשות תרגיל כפל.
ש: אתה יודע מה הכוונה כשאומרים : סיפור חשבוני? בעייה חשבונית?

[ ההפרדה הקיימת בין בעיות מילוליות לתרגילים ב  1,2,3 גורמת לתלמידים שיחשבו שאלו שני תהליכים שאין ביניהם קשר. היו מקרים רבים של תלמידים שלא הבינו את כוונתי כאשר ביקשתי סיפור חשבוני או בעייה חשבונית , אבל ברגע שנתתי להם את הכותרת שהם הכירו מספרי הלימוד: "בעיות מילוליות" הם ענו. בבדיקה שלהם התברר שהם לא קישרו את הנושא של הבעיות עם חיי היומיום ופעלו על סמך זיכרון של דגמים ולא על סמך הבנת הקשר בין המציאות לבין החשבון. ]

ת: כן. רק כפל צריך להיות בבעייה?
ש: כן.
ת: רושם בביטחון את המילים: צריך להגיע לסחום 60.
ומתחתן את התרגיל.
60  =  2  6  5
בלי סימני הכפל.
ש: מה כתבת?
ת: 5 כפול 6 כפול 2 שווה 60.

[ רשימת הגורמים ללא החוקיות המקשרת ביניהם דורשת בדיקה והתייחסות נוספים. אני פשוט תיקנתי , כדי לא לסטות מהעיקר]
60 = 2 X 6 X 5
[ לא התעכבתי על טעות הכתיב של: סכום, כדי להמשיך ולמקד אותו בהבנה של הכפל, השגיאה הזאת מראה על הבנה של הכפל כחיבור. למרות זאת, שימוש לא נכון במונחי מתימטיקה עלול לעצור את החשיבה ברמה הגבוהה יותר וזה היה הנושא שבדקתי].

ש: לא לזה התכוונתי . אני רוצה שתספר לי משהו , איזה דבר שקרה או שיכול לקרות, שיש בסוף שאלה ושהשאלה תוביל לכפל.
ת: לדני יש 30 גולות . לרון יש פי 2 מאשר יש לדני. כמה גולות יש לרון?

[ לא התעכבתי על הביטוי השגוי:" פי 2 מאשר", שרומז על אי הבנת יחסים. כי הביטוי צריך להיות: פי 2יותרמ  אין משמעות ל"פי 2 מאשר", כי כשמדובר ב"פי 2 " יש להביא בחשבון את נקודת המוצא ואת טיב היחס . האם הוא יותר או פחות ] .

[ לפי שיטת הלימוד של 1,2,3 הנהוגה בבית ספרו של הילד, שלפיה  אין מלמדים את משמעות הכפל כפעמים, נוהגים להחליף מושג במושג נרדף לו. לפי זה, מלמדים ש : " פי" שווה ל"כפל". כלומר, ממירים מילה אחת בשנייה מבלי להבהיר את משמעות שתיהן. לכן אני ממשיכה בתהליך, כדי לבדוק אם משמעות הכפל בכל זאת נהירה לתלמיד.]

ש: אני מבקשת סיפור חשבוני שאין בו "פי".
ת: לרונית יש 120 בולים . היא צריכה להכפיל את הבולים ב  2  כדי שנדע כמה בולים לרונית.
[ שוב, קיבלתי אישור לכך שאצלו : כפל= פי מבלי שהוא מבין את משמעות הפעולה ].

ש: אני מבקשת סיפור שלישי בלי שיהיה בו : "להכפיל", "פי" , ובכל זאת יהיה צורך לכפול כדי להגיע לפיתרון.
ת: אז אי אפשר.
[ בשלב זה ברור לי שהמובן של הכפל אינו נהיר לו.]
ש: מה זה כפל?
ת: זו פעולה חשבונית.
ש: מה ההבדל בין חיבור וחיסור לבין כפל, הרי גם חיבור וחיסור הן פעולות חשבוניות ?
ת: כפל זה שונה, כי מכפילים את המיספר בעצמו כמה פעמים שהמיספר מראה.

[ הניסוח השגוי:  "מכפילים את המיספר בעצמו כמה פעמים"  קרקע נוחה לבילבול בין כפל להעלאה בחזקה. בכפל איננו מכפילים את המיספר בעצמו.]
 [ בשלב זה הבינותי שעליי להקנות את הפעולה: כפל. עשיתי זאת באופן שטחי, רק כדי לא להשאירו במצב של אי ידיעה .]

דוגמא להשפעה של הלשון על מודליות צורנית

אותו מבנה של חשיבה שבו רואים כיצד חֶסֶר לשוני פוגע בחשיבה מתימטית התגלה אצלו גם בהנדסה:

[ ילדים רבים שוגים וחושבים שאם משנים את כיוונו של הריבוע שלפנינו:
בעצם העשייה הזאת יש הצמדה של פאראמטר הכיוון לפאראמטר הצורה. הצמדה כזאת גוררת הטעייה, ויש להימנע ממנה. במקום נוהג פסול זה יש להקפיד על ההגדרה ועל המשתמע ממנה.]


ניסיון להסביר לו את מערכות היחסים בין ריבוע למעויין נעשה ברמה הלשונית.

התלמיד נשאל איזה מישפט משני המישפטים הבאים נכון? אם בכלל הם נכונים.

1) כל מעויין הוא ריבוע. נמק.
2) כל ריבוע הוא מעויין. נמק.

הוא: עשינו המון תרגילים כאלה.
מנסה להיזכר מהי התשובה.

הוא ענה על (1) : נכון. כל מעויין הוא ריבוע בגלל כאן הוא נעצר .
[ הדרישה לנימוק הובילה אותו למבוי סתום, כי נימוק מחייב ניסוח לשוני. ]

אני: אתה מנסה להיזכר?
ת: כן.
ש: אל תנסה להיזכר תנסה לחשוב .
ת: ??????
ש: מה זה מעויין?
ת: זה מצולע.

ש: גם משושה הוא מצולע. אז מה זה מעויין?
ת: זה מעויין ממישפחת המרובעים.
ש: גם מלבן הוא ממישפחת המרובעים. אז מה זה מעויין?
ת: לא יודע.
ש: אני אלמד אותך להגדיר את הדברים ואז נחזור וניבדוק איזה מישפט נכון. גם נדע לנמק.
מ: מציירת מקבילית לפניו ומסבירה : שני הקווים האלה מקבילים






ושני אלה מקבילים (הישרים הכהים)
ש: איך ניקרא לצורה שהתקבלה?
ת: מקבילית.
ש: מה זו מקבילית? [ כאן נעשה המעבר לרמה הלשונית ].
ת: שני קווים מקבילים.
ש: מקבילית היא שני קווים?!
ת: לא.
ש: אז מה זו מקבילית?

היה צורך ללמדו כיצד מגדירים.

                                                                  התהליך התיווכי
ש: אתה יודע מה זו הגדרה?
ת: כן.
ש: אם כך, הגדר לי מה זה: שולחן.
ת: שולחן זה שולחן שכותבים עליו.  [טאוטולוגייה]
ש: נסה להגדיר כך שאני אבין.
ת: זה לוח על רגליים.
ש: אז שולחן זה ספסל? גם ספסל הוא לוח על רגליים.
ת: עשוי מעץ.
ש: אם שולחן עשוי ממתכת או מפלסטיק אז הוא לא שולחן?
ת:?????
ש: טוב, נסה להגדיר לי מה זה: ילד. [ הורדה ברמת ההפשטה]
ת: ילד הוא בן אדם.
ש: אז אני ילד?
ת: לא, את בן אדם.
ש: ילד ובן אדם זה אותו דבר?
ת: לא.
ש: אם כך, מהו ילד?
ת: גם את בן אדם וגם ילד הוא בן אדם.
ש: אז אנחנו אותו דבר?
ת: לא.
ש: מה ההבדל ביננו?
ת: את מבוגרת.
ש: אז אולי תגיד לי עכשיו את ההגדרה של ילד?
ת: ילד הוא אדם קטן.
ש: ילד הוא בן אדם צעיר.
ש: עכשיו נחשוב ביחד מהי ההגדרה של שולחן, אבל לפני כן נתבונן בשיטה שלפיה פעלנו.

ש: כדי להגדיר ילד פעלת כך: קודם מצאת לאיזו קבוצה הוא שייך.
נסמן את הקבוצה בעיגול.
זו קבוצת בני האדם.
נכון?
מהנהן בראשו.                                                                                                  
אחר כך חיפשת מה מייחד אותו בתוך הקבוצה. כלומר, מה הן 
התכונות השייכות רק לו בתוך הקבוצה.                                                         
אתה רואה ש"ילד" הוא חלק מהקבוצה של "בני אדם", לכן
ציירתי אותו במעגל הפנימי.
עכשיו נחזור לשולחן. נסה להגדיר מהו שולחן.
[ אינו מצליח להגיע להכללה של רהיטים ].
ש: מה משותף ל: כיסא, ארון, מיטה, כורסא?
ת: לאחר מאמץ רב: רהיטים.
ש: לאיזו קבוצה שייך השולחן?
ת: רהיטים.
ש: איך הגדרנו : ילד?
ת: אדם קטן.
ש: לא ביקשתי שתגדיר : ילד. ביקשתי שתגיד לי איך בנינו את ההגדרה.
ת: ?????
ש: טוב, נחזור למעגלים. מה מסמל המעגל הגדול?
ת: בני  אדם.
ש: נכון. מה אומר לנו המעגל הקטן?
ת: שאלו הילדים.
ש: אתה באמת צודק, אבל למה בכלל ציירנו מעגלים?
ת: את רצית להראות לי כאילו קבוצה של בני אדם וקבוצה של ילדים.
ש: מה הקשר ביניהם?
ת: ???????
ש: איזה מעגל גדול יותר?
ת: של בני האדם.
ש: למה הילדים נכנסים לתוך המעגל הגדול הזה ? [ יחסי הכלה ]
ת: הילדים הם סוג של בני האדם. הם חלק מבני האדם.
ש: יפה. מה אתה יכול לומר על השולחן ?
ת: הוא חלק מהרהיטים.
ש: אז מה תהיה הגדרת השולחן?
ת: ??????
ש: בוא נחשוב ביחד. כדי להגדיר מהו ילד נכנסת קודם במחשבה לקבוצה שהילד שייך אליה. אחר כך אמרת מה מייחד את הילד בתוך הקבוצה. לפי זה , באיזו מילה תתחיל את הגדרת השולחן?
ת: רהיט.
ש: עכשיו עשית את המהלך הראשון. מה הלאה?
ת: עשוי מעץ.
ש: אבל כבר אמרנו שלא החומר קובע אם לפנינו שולחן.
ת: אה! שולחן זה רהיט שכותבים עליו.
ש: עכשיו, לאחר שהבנת איך מגדירים נחזור להגדרת המקבילית. זכור, המילה הפותחת אומרת מהי הקבוצה שהמקבילית משתייכת אליה.
ת: [ במהירות ובביטחון ] מקבילית זה מרובע ששני הצלעות מקבילות.
ש: בוא ננסח את זה מדוייק יותר. מקבילית היא מרובע שבו שני הזוגות של הצלעות הנגדיות מקבילות.
עכשיו נלמד להגדיר עוד משהו.
 מה אתה רואה?
ת: מלבן.
ש: אם נרצה להגדיר אותו, מה תהיה המילה הראשונה של ההגדרה?
ת: מרובע.
ש: זו תשובה יפה אבל אפשר להיות יותר מדוייק. תחשוב על מה שלמדנו היום.
ת: המילה הראשונה היא : מקבילית.
ש: למה?
ש: יופי! כבר למדת את השיטה לפיה מגדירים. אז תגדיר: מלבן.

[ כאן לראשונה אפשר להבחין בשינוי : הניבדק לומד להיעזר בהגדרה לשונית לצורך הבנת מערכות יחסים. ]
ת: מקבילית שהזוויות שלה ישרות.
ש: זה מעולה, אבל ננסח זאת בקצרה: מלבן הוא מקבילית ישרת זווית.
 עכשיו אתה יודע להגדיר מה זה מעויין.
ת: מעוין זו מקבילית שוות שוקיים.
[ השינוי מתבסס, הילד משתמש בכלל לשוני ומיישם אותו בנוסף להבחנה שלו ביחסים בין הצורות ].
ש: מקבילית שוות צלעות . [ לא הסברתי את ההבדל בין שווה שוקיים לשווה צלעות, כדי לא להעמיס על התהליך, רק תיקנתי את הניסוח. חשוב לציין שבהגדרה הזאת הוא הראה שהוא הבין את הדרך שבה מגדירים וגם את שיטת השיום, כלומר הוא העתיק את מבנה החשיבה אל מעבר להנדסה. אי ההבחנה בין שווה שוקיים לשווה צלעות הוא שולי לגבי בניית מבנה החשיבה.]
ת: גם מלבן הוא מקבילית.
ש: למה?
ת: כי יש לו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
ש: יופי! כבר למדת את השיטה לפיה מגדירים. אז תגדיר: מלבן.
ת: מקבילית שהזוויות שלה ישרות.
ש: זה מעולה, אבל ננסח זאת בקצרה: מלבן הוא מקבילית ישרת זווית.
 עכשיו אתה יודע להגדיר מה זה מעויין.
ת: מעוין זו מקבילית שוות שוקיים.
ש: מקבילית שוות צלעות . [ לא הסברתי את ההבדל בין שווה שוקיים לשווה צלעות, כדי לא להעמיס על התהליך].
ש: וריבוע?
ת: זו מקבילית ישרת זווית ושוות צלעות.
ש: עכשיו נחזור למשפטים (1) ו  (2).
איזה מהם נכון? ולמה?
הוא ניסח במהירות את התשובות והגדיר אותן נכון.

ההגדרה הנכונה של המקבילית הובילה אותו להגדרת המעויין, שהוא מקבילית שוות צלעות. על סמך ההגדרות, הוא ידע מייד להסביר שכל ריבוע הוא מעויין, כי הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות זו לזו, אבל לא כל מעויין הוא ריבוע, כי יש מעויינים שאין להם זווית ישרה.
בתחילת התהליך הוא לא ידע להשתמש בלשון ובהגדרותיה כדי לענות על שאלה.
הילד לא ידע להסיק מסקנות מתימטיות , בגלל חוסר בכלים מילוליים . הוא לא ידע להגדיר. לא ידע להכליל. לא ידע להשתמש בהגדרות להבנה של מערכות יחסים בין צורות.

בתחומים שונים של המתימטיקה הוא גילה אותו דפוס קוגניטיבי: לא ידע את פירוש המילה : כמות, לתוצאה של הכפל קרא סכום , לא ידע לנסח בעיית כפל.
הוא ניסה להיזכר במקום להיכנס לתהליך הלוגי, כי לא היו לו כלים מתאימים. ההצטיינות שלו בבית הספר בחשבון נובעת מהמוטיבצייה הגבוהה שלו ומיכולתו לזכור דברים. אבל אין לו יכולת ליישם חוקיות , בגלל חולשה שפתית. אינו מסוגל לבנות בעייה חשבונית. כנראה פותר טכנית את התרגילים.

דוגמא זו מדגישה את הקשר בין המתימטיקה לשפה, ומה קורה לחשיבה מתימטית שאינה מתבססת על הלשון. כמו כן, מה היא הפגיעה בחשיבה בכלל אם המתימטיקה נלמדת רק ברמה הטכנית ויש החמצה של פיתוח תהליכי החשיבה.
הסקת המסקנות שלו מהתהליך הייתה מהירה והוכיחה את יכולתו הקוגניטיבית הגבוהה.
תקיפת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות בתחום המלל יכלה לתרום להעלאת הרמה של החשיבה המתימטית. אם מורה היה מתקן לו את תשובותיו על (1) ו  (2 ) ללא תיווך  דפוסי הלמידה שלו היו נשארים כמות שהם והכישלון הבא היה מתרחש לאחר זמן.
דרך ההוראה בבית הספר חיזקה את הדפוס המוטעה של הלמידה. לא טופחה התנהגות מסכמת , שהיא המפתח לבניית תהליכים שפתיים. הוא לא עבר תהליכים אינדוקטיביים שיובילו אותו להגדרה ובכך נחסמו גם התהליכים הדדוקטיביים .
שיטת ההוראה הנהוגה בבית הספר חיזקה את הפונקצייה הקוגניטיבית הפגומה שפוירשטיין מונה בשלב העיבוד: היעדר התנהגות מסכמת או ליקוי בה , במקום לפעול להכחדתה. 
לפי ויגוצקי, מעבר להפשטה יכול להיעשות רק על בסיס של בנייה תקינה ועקבית של הכלים הלשוניים. אם היה הילד נחשף במשך ארבע שנים לתהליכים כאלה, לא היה מצבו כפי שנחשף במיבדק. 
הפגיעה בכישוריו של הילד, בגלל הוראה לקוייה של החשבון, השפיעה על כל התנהגותו: המבנה המֶטה - קוגניטיבי לא נבנה. המודעות שלו לתהליכי חשיבה לא נבנתה.
במקרה של הילד הזה נראה היה שהוא נהנה מהמצב. נדמה היה לו שהוא יודע חשבון: " הכי טוב שאפשר", לכן הוא גם אוהב את המקצוע.
מימצא זה תואם לאחת התוצאות של המיבדקים הבינלאומיים: ישראל היא במקום הראשון בפער בין רמת ההישגים במתימטיקה לבין ההערכה של התלמידים את עצמם כיודעי מתימטיקה.
הנזק לטווח ארוך  עצום. שביעות הרצון העצמית תתנפץ בהכרח בעתיד, עם עלייה ברמת ההפשטה. את החיבה שהילד רוכש למיקצוע תתפוס חרדה מפניו.
לפנינו דוגמא לילד מוכשר שלא זכה לתיווך והוראת החשבון לא נעשתה ברמה שסייעה לו לנצל את יכולתו. זהו מקרה קלאסי של ילד שפוירשטיין קורא לו : מקופח תרבות.
----------------------------  
ביבליוגרפיה:
גביש תלמה, לחשוב, להבין, להצליח ( 1998).  הוצאת "אח" . ישראל.

גביש תלמה,ללמוד לחשוב (1996). הוצאת "אח". ישראל.

פוירשטיין ראובן, האדם כישות משתנה, על תורת הלמידה המתווכת ( 1998). אוניברסיטה משודרת. משרד הביטחון  ההוצאה לאור. ישראל.

Ma Liping.(1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

Martinez Josef G.R. with Martinez Nancy C.( 1996).Math Without Fear , A Guide forPreventing Math Anxiety in Children. Allyn and Bacon, Boston.U.S.A..

Tobias Sheila, (1993). Overcoming Math Anxiety. W.WNorton & Company, New york.

Vygotsky, L.S. (1962).Thought and Language. Cambridge, mass: MIT Press.