סיכום המפגש בסדנת המתמטיקה שהתקיים ביום שישי, 3 במאי 2013

סיכום המפגש בסדנת המתמטיקה שהתקיים ביום שישי, 3 במאי 2013

להורים, שלום רב,

את החומר שהתחלנו לכסות אתמול במפגש הסדנה ושנעסוק בו גם במפגש הבא תוכלו למצוא בקישור הזה.

אחרי שהבנו מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות, נראה שלעומת הבעיות שעוסקות בהפרש יש בעיות שעוסקות במספר הפעמים שגודל אחד מכיל גודל אחר.  המילה פי מתארת יחס זה. המטרות:

• כיצד נזהה בעיות יחס?
• כיצד נדע מתי להשתמש בכפל ומתי בחילוק?
• כיצד לפצח ולהבין בעיות יחס?
• כיצד נוכל לבדוק את עצמינו?

הילדים היו נפלאים והתארגנו במהירות לשיעור.

התחלנו בהבנת משמעות המילה יחס וביטויים שונים ומגוונים מהניסיון שלנו בחיים. למשל, יחסים במשפחה (אמא, דוד, אחיינית, גיס, וכו'), יחסים במרחב (מעל, ליד, מימין...), יחסים במתמטיקה (למשל, גדול מ-, שווה...) והכללנו שיחס הוא קשר. יחס דורש שני "דברים" שאותם הוא מקשר. למשל, היחס "מתחת" יכול לבטא קשר למשל ביני לבין התקרה: "שלמה עומד מתחת לתקרה". עניין חשוב נוסף ביחסים הוא שביחסים רבים (בקשרים רבים) מעניינת אותנו מערכת ההתייחסות: "שלמה עומד מתחת לתקרה" אבל "התקרה נמצאת מעל לשלמה" -- היחס "מתחת" הפך ליחס "מעל" אפילו שאנחנו מתארים את אותו הקשר בין אותם שני "דברים".

דיברנו על כך שבחשבון כשמשתמשים במילה יחס מתכוונים לקשר של כפל או של חילוק. כשמתכוונים למשהו אחר, מסבירים ומפרטים.

אחרי כמה דוגמאות שונות לאותו הרעיון התחלנו לראות דוגמאות לבעיות מילוליות שבהן הקשר "גדול פי... מ-" גורר פעולת כפל ואילו הקשר "קטן פי... מ-" גורר פעולת חילוק. המקרים הללו מסתדרים היטב עם הניסיון של הילדים: כפל מגדיל וחילוק מקטין. בשיעורים הבאים יראו הילדים שהשפה מאפשרת מקרים נוספים: כאלה שאמנם נכתוב "גדול פי... מ-" אבל הפעולה תהיה חילוק וגם מקרים שבהם נכתוב "קטן פי... מ-" והפעולה תהיה כפל, ממש באופן הפוך לאינטואיציה. מטרתי להביא את הילדים להבחין בדקויות אלה, להיות מסוגלים לסווג נכונה בעיות מילוליות שעוסקות ביחס ומתוך הבנת תהליכי החשיבה להיות מסוגלים לפתור נכונה וגם לבקר את הפתרונות ולוודא שהפתרון הגיוני ואפילו נכון.

* למתעניינים בחומר נוסף ונגיש להורים בנוגע לחינוך מתמטי אני מציע לכם לקרוא את הרשימות ואת המאמרים שבאתר "מר חשבון".

ו... משהו נוסף:

בהזדמנות זאת אני רוצה לספר לכם שביום רביעי הקרוב, ב-8 במאי אני מתחיל עם מחזור חדש של סדנה להורים: "ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי", אם יש לכם עניין ללמוד כיצד אתם ההורים יכולים להשלים את התהליכים שמתרחשים בבית הספר ולסייע לילדיכם בנושאים שנלמדים בחשבון בבית הספר היסודי, זאת הזדמנות טובה! אודה לכם מאוד אם תוכלו להפיץ את השמועה על המחזור החדש של הסדנה שמתחיל השבוע הלאה למכרים ולהורים אחרים בשכונה ובשכבה. עוד לא התמלאה הכתה. אפשר לכוון את המתעניינים למלא טופס הרשמה. כמובן שאפשר גם לפנות אליי בשאלות ולקבלת פרטים ב-057-7326360 וב-shlomo.yona@gmail.com.

הסדנה תתקיים בכיתת "מר חשבון", בית משפחת יונה, נחל משושים 12, כפר יונה. המפגשים יתקיימו כאמור בימי רביעי מ-20:30 ועד 22:00.

הנושאים שמתוכננים למפגשי הסדנה להורים:

בכל מפגש יהיה נושא מרכזי, דיון בחשיבותו, כיצד מתקשר לתוכנית הלימודים, כיצד הרעיונות והעקרונות משתלבים במתמטיקה ובחיים. נלמד את הנושאים ובמקביל נלמד איך להסביר וללמד אותם. המפגשים יגעו במהות -- ינתנו קישורים והפניות לחומר קריאה נוסף ולחומר לימודי מתאים.

מפגש 1: 

   החינוך המתמטי בישראל, זרמים ושיטות, רצוי ומצוי.

   עקרונות הוראה

מפגש 2:

   משמעויות של חיסור ושל חיבור

מפגש 3:

   משמעויות של כפל ושל חילוק

מפגש 4:

   משמעויות השבר

מפגש 5:

   4 פעולות החשבון בשברים, משמעויות, למה ומדוע עושים כפי שעושים

מפגש 6:

   אחוזים

מפגש 7:

   חילוק ארוך: לשם מה? איך מלמדים? קישור בין ייצוגים בשבר פשוט ובשבר עשרוני

הסדנה בהחלט אינה מכסה את כל החומר של היסודי. הכוונה לגעת בנושאים בסיסיים ומהותיים שקשים יחסית יותר לילדים ושקשיים בהם מפריעים לילדים יותר בהמשך. לפי צרכי הכתה, אוכל לשנות את הנושאים. למשל, להתעמק במעבר מהגן לכתה א' וביצירת תשתיות החשיבה לחשבון ולגיאומטריה בכיתות הנמוכות וכיצד תשתית זו מוכיחה את עצמה בהמשך. או למשל, כיצד לסכם את החומר של היסודי לקראת מעבר לחט"ב. כמובן, אפשר גם להתמקד בנושאים אחרים. 

אפתח פורום בפייסבוק לטובת דיונים בנושא וכן, קבוצת גוגל. כדי שתהיה תקשורת בין המשתתפים בסדנה לבין עצמם וביני לבינכם גם במהלך הימים שבין המפגשים.

תודה רבה על עזרתכם!!

המורה,

שלמה יונה

יחסי גודל שמתבטאים בפעולות כפל וחילוק -- מה זה "פי כמה?"

יחסי גודל שמתבטאים בפעולות כפל וחילוק  -- מה זה "פי כמה?"

[נעסוק כאן רק בבעיות במספרים טבעיים]

אחרי שהבנו מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות, נראה שלעומת הבעיות שעוסקות בהפרש יש בעיות שעוסקות במספר הפעמים שגודל אחד מכיל גודל אחר.  המילה פי מתארת יחס זה.

דוגמה:
א. קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 3 יותר מטיילים. כמה מטיילים היו בקבוצה השנייה?
התרגיל:  30 מטיילים = 10 מטיילים 3x

תזכורת
כאשר עוסקים ביחס המתמטי מתכוונים ליחס המתבטא ב "פי … יותר" או ב "פי … פחות".  

הכופל שמבטא את היחס הוא מספר טהור, כלומר מספר ללא כינוי.

שני הסברים לשימוש בכפל בעת הטיפול ביחס

הסבר ראשון:
פירושו של התרגיל (שהוצג בבעיה א', שהוצגה קודם)  

30 מטיילים = 10 מטיילים 3x 

הוא:
אם ניקח 3 פעמים את 10 המטיילים של הקבוצה הראשונה, נקבל את מספר המטיילים של הקבוצה
השנייה.
בהסבר הזה מודגש ההיבט הכמותי של הבעיה. 3 פעמים של א' ייתן את ב'.

הסבר שני:
כאשר, בגלל חוק החילוף של הכפל, נרשום את התרגיל הזה כך:
30 מטיילים = 10x3 מטיילים

פירושו של התרגיל הוא:
אם ניכפול את מספר המטיילים בקבוצה א' ביחס הנתון, 3, נקבל את מספר המטיילים בקבוצה ב'. בהסבר ב' מודגש התהליך שיש לכפול או לחלק את הגודל הנתון ביחס הנתון, כדי לקבל את הגודל הנעלם.
בהסבר זה מודגש אופן השימוש ביחס נתון. זהו הסבר נוח למעבר אל החילוק בבעיות של יחס.

להורים ולמורים: יש להשתמש בשני ההסברים, כדי לבסס את מושג היחס.

דוגמה

ב. קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 2 פחות מטיילים. כמה
מטיילים היו בקבוצה השנייה?
התרגיל:

5 מטיילים =  2 : 10 מטיילים

מורה: הבנתם יפה מאוד איך ליצור סיפור חשבוני וגם איך לפתור אותו, אבל אנחנו עוד לא הכנסנו כפל וחילוק לסיפורים שלנו. יש לכם הצעות?
תלמידים: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נכפיל את מספר העפרונות של סער כדי לקבל את מספר העפרונות של כרמלה?
תלמידים: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נחלק את מספר העפרונות של כרמלה כדי לקבל את מספר העפרונות של סער?
מורה: את הרעיון שלכם אפשר לנסח גם כך:
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
או:
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מורה: גם בבעיות אלה יש שלושה מרכיבים: גודל א' [כמות א', ערך א'] , גודל ב' [כמות ב', ערך ב'],  היחס ביניהם.
ציינו בבעיות שהצעתם את הגדלים ואת היחס.

 
תלמידים: 1) לכרמלה 12 [ עפרונות גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 [ עפרונות גודל ב', כמות ב', ערך ב'].
פי כמה גדול [היחס] מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
תלמידים: 2) לכרמלה 12 [ עפרונות גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 [ עפרונות גודל ב', כמות ב', ערך ב'].
פי כמה קטן [היחס] מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מורה: נפתור ביחד את הבעיות האלה.
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?
פתרון:
3 = 4 עפרונות : 12 עפרונות
שפירושו: כמה פעמים 12 מכיל את 4.
כלומר, אם נחלק את 12 ב-4 נקבל ש-12 גדול מ-4 פי 3.
מורה: מה תהיה התשובה?
תלמידים: מספר העפרונות של כרמלה גדול פי שלושה ממספר העפרונות של סער.
מורה: נבדוק את הבעיה בניסוחה השני:
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?
מהו הפתרון?
3 = 4 עפרונות : 12 עפרונות

זה מתאים לשאלה כמה פעמים 4 מוכל (או נכנס) ב-12.
הפתרון הוא בדיוק כמו הקודם.
מורה: נכון. אנחנו פועלים באותה דרך כדי למצוא פי כמה יותר… או פי כמה פחות…  התרגיל תמיד יהיה תרגיל של חילוק, מחפשים את המנה (את היחס).
תלמידים: זה מזכיר את בעיות החיבור והחיסור. כאשר נתונים שני הגדלים ומחפשים את היחס תמיד מחשבים את ההפרש, גם אם שואלים: בכמה גדול ? וגם אם שואלים בכמה קטן ? ביחסים של גדול פי … וגדול מ… תמיד מחפשים את המנה גם אם שואלים: פי כמה פחות? וגם אם שואלים: פי כמה יותר?
מורה: נכון. אני מציג שתי בעיות חדשות:
3) לכרמלה 12 בולים. כמה בולים יש לסער אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים של כרמלה?
4) לסער 4 בולים. כמה בולים לכרמלה אם ידוע שמספר הבולים של כרמלה גדול פי 3 ממספר הבולים של סער?
מה נתון ומה צריך למצוא בבעיות האלה?
תלמידים: 3) לכרמלה 12 [ בולים הגודל הגדול, הכמות הגדולה, הערך הגדול]. כמה בולים יש לסער [הגודל
הקטן, הכמות הקטנה, הערך הקטן] אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 [היחס] ממספר הבולים של סער?
נתון הגודל הגדול והיחס. צריך למצוא את הגודל הקטן.
מורה: מה תהיה הפעולה?

תלמידים: חילוק.
התרגיל:
4 בולים = 3 : 12 בולים

הסבר:
אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. מספר הבולים שלו קטן פי 3. ולכן, צריך לחלק את מספר הבולים שלה ב-3, כדי לקבל את הגודל הקטן.
מורה: איך נפתור את תרגיל 4?
תלמידים:
12 בולים =  4x3 בולים
אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. צריך לכפול את מספר הבולים שלו ב-3.
מורה: מה המסקנה שלנו?
תלמידים: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הקטן, צריך לכפול כדי למצוא את המספר הגדול.
תלמידים: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הגדול, צריך לחלק כדי למצוא את המספר הקטן.
מורה: חישבו איך עבדנו בחיבור ובחיסור. לפי מה שלמדנו. מה עליי ללמד אתכם עכשיו?
תלמידים: מה קורה כאשר אומרים: קטן פי… או פי כמה פחות…?
מורה: נתבונן בבעיה הבאה:
5) לשרית יש 10 סוכריות. לאריק יש פי 2 פחות סוכריות. כמה סוכריות לאריק?
מה נתון ומה צריך למצוא?
תלמידים: נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה, הערך הגדול], נתון היחס. צריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה, הערך הקטן].
מורה: פרט.
תלמידים: 5) לשרית יש 10 סוכריות [הגודל הגדול]. לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות. כמה סוכריות לאריק [הגודל הקטן]?
מורה: מה הפתרון?
תלמידים: 5 סוכריות = 2 : 10 סוכריות
צריך לחלק את הכמות הגדולה כדי לקבל את הכמות הקטנה.
מורה: איזה סוג של בעיה נשארה לנו לטיפול?
תלמידים: שהיחס יהיה נתון: פי… פחות, שהגודל הקטן יהיה נתון, ונצטרך למצוא את הגודל הגדול.
מורה: נכון.
6) לאריק יש 10 סוכריות [הגודל הקטן]. לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות מאשר לשרית.  כמה סוכריות לשרית [הגודל הגדול]?
תלמידים: הפתרון הוא:
20 סוכריות = 10x2סוכריות

סיכום הנושא של יחסי גודל המתבטאים בפעולות כפל וחילוק

מורה: מה למדנו בנושא של בעיות של פי … יותר, פי… פחות ?
- למדנו שהביטויים גדול ב… או קטן ב… מובילים לחיבור או לחיסור. תלוי בנתונים.
- למדנו שהביטויים גדול פי… או קטן פי… מובילים לכפל או לחילוק.
- למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [הכמויות] ומחפשים את היחס, שהוא פי…, צריך למצוא את המנה והפעולה היא: חילוק.
- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.

דוגמה
יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 10 [ עמודים הכמות הקטנה]. מספר העמודים במחברת השנייה היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת הראשונה.  כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הגדולה] ?
התרגיל:
40 עמודים = 10x4עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.

דוגמה
יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 40 עמודים [הכמות הגדולה]. מספר העמודים במחברת זו היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת השנייה. כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הקטנה] ?
התרגיל:
10 עמודים = 4 : 40 עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.

דוגמה
לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הקטנה]. מספר זה היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של ירדן [הכמות הגדולה]. כמה תפוזים לירדן?
התרגיל:
20 תפוזים = 10x2תפוזים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.

דוגמה
לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הגדולה]. מספר התפוזים שבידי ירדן היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של קרן [הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לירדן?
התרגיל:
5 תפוזים = 2 : 10 תפוזים

סיכום להורים ולמורים:

כדאי לזכור את השלבים הנדרשים לפתרון בעיות כאלה:
.1 זיהוי הכיוון של הפער: למי יש יותר ולמי יש פחות?
.2 מה נתון? הערך הנמוך או הגבוה?
.3 מהו טיב היחס?
.3 מה רוצים לדעת?
.4 מהי הפעולה החשבונית הנדרשת?

רצוי לתלות בכיתה (או אם ההורים מסבירים אז לתלות בבית) פלקט שעליו מסורטטת הטבלה הבאה:

החילוק כמבטא יחס

ראינו שיש חילוק לחלקים ויש חילוק להכלה. כאשר מחפשים פי כמה יותר, פי כמה פחות, נפגשים במובן נוסף של החילוק: חילוק כמבטא יחס.

תזכורת
כאשר מדברים במתמטיקה על יחס בין גדלים, מתכוונים תמיד ליחס המבוטא על ידי חילוק!

לדוגמה
מהו היחס שבין 8 לבין 72?
תשובה: היחס הוא 9.

דוגמה נוספת
פועל מקצועי מרוויח 4000 שקל בשבוע. פועל לא מקצועי מרוויח 1000 שקל בשבוע. מהם יחסי המשכורות?
תשובה: יחסי המשכורות הם ארבע לאחד.
יחס זה מתקבל על ידי חילוק 4000 ל-1000.

משמעויות של החילוק:

המורה,

שלמה יונה

* הרשימה עובדה מתוך ספר המדריך למורה ל-"מתמטיקה יסודית", כתה ג' חלק ראשון, שכתבה בהתנדבות מורתי, תלמה גביש, בהוצאת העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.

כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?

יחסי גודל המתבטאים בחיבור וחיסור: כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?

למילה גודל בעברית יש מובנים שונים:

1. גודל פיזי

דוגמה:

השולחן הזה גדול מהשולחן ההוא.  

דוגמה נוספת:

התקציב לשנה הנוכחית גדול מהתקציב של השנה שעברה.  

גודל פיזי יכול לעבור תהליך כימות שמתבטא בהעברתו ליחידות. לדוגמה, המשפט: אורך הקו הוא 7 ס"מ, משמעותו היא שהקו חולק ל-7 קטעים שֶשֵם כל אחד מהם הוא סנטימטר. גודלו של הקו הוא אורכו והוא נמדד במספר הקטעים הכלולים בו שאותם אנחנו מונים, כלומר בכמותם של הקטעים האלה שהם יחידות מידה. 

2. גודל כמשתנה כמותי המתבטא במספר 

בתיאור סוגי היחסים שנוצרים על ידי כמות העפרונות שבידי כרמלה וסער [ראו תיאור דיון בהמשך] השתמשנו בגודל במובן של משתנה כמותי, שפירושו: כמות המצוייה ביחס כלשהו לכמות אחרת. 

הערה

כדי להימנע מבלבול בכיתה, איננו ממליצים להשתמש בביטויים גודל קטן, גודל גדול. המינוחים שיש להשתמש בהם בעת ההוראה: כמות, ערך ויחס. לדוגמה: הערך הקטן, הערך הגדול. 

עם זאת, אפשר לחשוף את הילדים למושג גודל, להסביר את כפל המשמעויות שלו ולציין שבהקשר הנדון הכוונה היא לכמות המקיימת יחס כלשהו עם כמות אחרת ולא לגודל פיזי. כלומר, הכוונה היא למציאת יחס בין שני ערכים. 

פעילות ודיון  

הסימון "מ:" מציין את דברי המורה ואילו הסימון "ת:" מציין את דברי התלמידים.

מ: כרמלה וסער, גשו אלי. אני מגיש לכם מספר פריטים.  כרמלה, הראי לכיתה מה קיבלת. 

כרמלה: המורה נתן לי 12 עפרונות.

מ: סער, מה קיבלת? 

סער: 4 עפרונות.

מ: מי יכול לספר סיפורי חשבון רבים ככל האפשר על העפרונות של כרמלה ושל סער? אני ארשום את ההצעותיכם על הלוח ואמספר אותן. [מדוע למספר? המספור יסייע לנו בתקשורת בהמשך -- כך נוכל להתייחס בקלות להצעה כזאת או אחרת בעזרת ציון מספרה].

ת: 1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 

ת: 2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה?

ת: 3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 

ת: 4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 

ת: 5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 

ת: 6) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער? 

ת: 7) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה? 

ת: 8) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לכרמלה יש ________ עפרונות יותר מאשר לסער. 

ת: 9) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לסער יש _______ עפרונות פחות מאשר לכרמלה. 

ת: 10) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות כרמלה צריכה לתת לסער כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 

ת: 11) [שגוי] לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות סער צריך לתת לכרמלה כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 

מ: נפתור ביחד את הבעיות שרשמתי על הלוח. איך נפתור את (1)?

1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 

ת: נחבר 12 ו-4. התרגיל יהיה: 

16 עפרונות = 4 עפרונות + 12 עפרונות

ביחד היו להם 16 עפרונות.

מ: נפתור את (2).

2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה? 

ת: לכרמלה יש יותר עפרונות. כדי למצוא בכמה יותר, נחסר 4 מ- 12. 

התרגיל יהיה:

8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות

לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. 

מ: נפתור את (3).

3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 

ת: לסער יש פחות עפרונות. כדי למצוא בכמה פחות, נחסר 4 מ- 12. 

התרגיל יהיה:

8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות

מ: מה אפשר לומר על 3 הבעיות האלה? 

ת: אחת מהן עוסקת בחיבור. שתי האחרות עוסקות בחיסור. 

מ: נתייחס לשתי בעיות החיסור. מה המשותף להן?

ת: התרגיל. 

מ: מה מצאנו בתרגיל? 

ת: את ההפרש בין מספר העפרונות של כרמלה ושל סער. 

מ: התרגיל זהה. האם הבעיות זהות? 

ת: לא. הנתונים היו אותם הנתונים, אבל ב-(2) שאלו בכמה יותר ואילו ב-(3) שאלו בכמה פחות. 

מ: השאלות של הבעיות היו שונות והתרגילים שווים. מה המסקנה שלכם? 

ת: כאשר נתונים שני גדלים, ושואלים "בכמה יותר" או "בכמה פחות" עלינו למצוא את ההפרש. הפרש מתקבל על ידי החסרת המספר הקטן מהמספר הגדול. 

[הערה : איננו מטפלים בשלב זה במקרים שבהם ההפרש בין שני מספרים הוא אפס כי שני הגדלים שווים. במקרה כזה אין משמעות לשאלה מה מחסרים ממה. ]

מ: נראה ממה מורכבות שתי הבעיות האלה: כמות העפרונות של כרמלה, כמות העפרונות של סער והקשר ביניהם. נתונות שתי הכמויות ועלינו למצוא את הַקֶּשֶר . ביניהן 

מ: נפתור את (4).

4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 

ת: זו בדיוק בעיה (2), רק הניסוח שונה. 

מ: נכון. נעבור ל-(5). 

5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 

ת: זו בדיוק בעיה (3) , רק הניסוח שונה. 

מ: נכון. נעבור ל-(6). 

ת: אני כבר רואה שבעיות (6), (7), (8) ו-(9), כולן מאותו סוג של (2) ו-(3) רק הניסוחים שונים. 

מ: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בבעיות שהצעתם. 

ת: היו נתונים שני גדלים, כלומר שתי כמויות או שני ערכים, ואנחנו חיפשנו את היחס ביניהם, חיפשנו בכמה אחד מהם גדול מהשני, או קטן מהשני. 

מ: צדקתם. אני מוסיף בעיה: 

12) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לסער יש 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה? 

מה החידוש שבבעיה הזאת לעומת הבעיות (2)-(9)?

ת: בבעיה (12) נתון רק גודל אחד [מספר העפרונות של סער] ונתון היחס [הקשר, ההפרש] בין שני הגדלים. צריך למצוא את הגודל השני [מספר העפרונות של כרמלה]. בבעיות (2)-(9) היו נתונים שני הגדלים ומצאנו את היחס [את ההפרש] ביניהם. 

מה עלי לעשות כדי למצוא את מספר העפרונות של כרמלה? 

ת: צריך לחבר 8 ל-4.

מ: שימו לב לסיפור החדש שלי. 

(13) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לכרמלה יש 12 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער? 

במה שונה הסיפור הזה מקודמו מבעיה 12? 

ת: ב-(12) אמרת כמה עפרונות יש לסער. בסיפור האחרון אמרת כמה עפרונות יש לכרמלה. 

מ: מה תהיה הפעולה החשבונית שתוביל לתוצאה? 

ת: 12 פחות 8.

מ: סיפרתי כמעט אותו סיפור. בשני הסיפורים השתמשתי בביטוי יותר מ- ובכל זאת בסיפור החשבוני הקודם עשינו פעולת חיבור, ובסיפור החשבוני האחרון עשינו פעולת חיסור. הסבירו את ההבדל. 

ת: כאשר אומרים: יותר מ… ב… ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. 

מ: פרטו. 

ת: בודקים תחילה למי יש יותר ולמי פחות. אם נתון המספר הגדול, מחסרים את ההפרש כדי להגיע למספר הקטן. אם נתון המספר הקטן, מוסיפים את ההפרש כדי לקבל את המספר הגדול.  

דוגמה

לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. ליותם 12 גולות. כמה גולות לעינת? 

כאשר אומרים: יותר מ... ב... ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. בדוגמה שלפנינו ליותם יש פחות מאשר לעינת. מספר הגולות שלו הוא המספר הקטן. כדי לדעת כמה גולות יש לעינת מחברים את ההפרש [8 גולות] למספר הקטן, כלומר, למספר הגולות של יותם: 16 גולות = 8 גולות + 12 גולות.

דוגמה 

לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. לעינת 12 גולות. כמה גולות ליותם? 

גם בבעיה זו אומרים: יותר מ… ב..., אבל הפעולה תהיה חיסור, כי נתון המספר הגדול [12 הגולות של עינת] ורוצים לקבל את המספר הקטן [הגולות של יותם]. התרגיל: 4 גולות = 8 גולות - 12 גולות.

למתקדמים 

מ: גם הביטוי: פחות מ… ב… מוביל אותנו לחיבור או לחיסור. נסו להמציא סיפור חשבוני עם הביטוי פחות מ… ב… שיוביל אותנו לחיסור וסיפור חשבוני אחר עם אותו ביטוי שיוביל אותנו לחיבור.

דוגמה לבעיה של חיסור

ת: לעמיר יש 20 אגוזים. מספר האגוזים של אילן פחות ב- 6 מזה של עמיר. כמה אגוזים לאילן? 

מ: איך נפתור את הבעיה הזאת? 

ת: 20 פחות 6 הם 14.

דוגמה לתרגיל של חיבור

מ: עכשיו תנו דוגמה לבעיה שבה מופיע הביטוי: פחות מ… ב… והתרגיל יהיה חיבור. 

ת: מספר האגוזים של אילן פחות ב-6 מזה של רון. לאילן יש 14 אגוזים. כמה אגוזים לרון? 

מ: מה הפיתרון? 

ת: 6 ועוד 14 הם 20.

לסיכום

• עסקנו בבעיות בעלות 3 מרכיבים: גודל א', גודל ב' והקשר ביניהם, שהוא או חיבור או חיסור. 

דוגמה 

לשלומי יש 7  תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. בכמה גדול מספר התפוזים של שלומי מ-מספר התפוזים של יהל?

נוכל גם לנסח את השאלה אחרת: 

לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מ-יהל?

• למדנו שאת הקשרים של חיבור וחיסור מבטאים במילים: גדול ב… מ..., קטן ב… מ..., יותר מ… ב..., פחות מ… ב...
• למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [שתי הכמויות] ורוצים למצוא את הקשר [היחס] ביניהם, מחשבים את ההפרש. 

דוגמה 

לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מיהל? 

הפתרון: 

4 תפוזים = 3 תפוזים - 7 תפוזים

• למדנו שחישוב ההפרש ייעשה על ידי חיסור המספר הקטן מהמספר הגדול ממנו. 
• למדנו שכאשר המספרים שווים ההפרש ביניהם היא אפס. במקרה כזה אין משמעות מה מחסרים ממה.
• למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: גדול מ… ב... או: יותר מ… ב... ואחד הגדלים ועלינו לחשב את הגודל השני. 

דוגמה 

לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [ הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]

הפתרון

8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים

• למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 

א) נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] ועלינו למצוא את הגודל הגדול [הכמות הגדולה]. הפעולה תהיה חיבור. 

דוגמה 

לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]? 

פתרון

8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים

הקושי שמעוררים הביטויים: "הגודל הגדול" ו"הגודל הקטן" מעורר את הצורך בשימוש בביטויים תחליפיים כמו: "הכמות הגדולה" ו"הכמות הקטנה" או "הערך הגדול" ו"הערך הקטן".

ב) נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] וצריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה]. הפעולה תהיה חיסור. 

דוגמה 

לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הקטן]? 

הפתרון 

5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים

• למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: קטן מ… ב... או פחות מ… ב... ואחד הגדלים. עלינו לחשב את הגודל השני. 

דוגמה

לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 

• למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 

א) נתון הגודל הקטן ועלינו למצוא את הגודל הגדול. הפעולה תהיה חיבור. 

דוגמה 

לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הקטן] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הגדול]? 

פתרון 

11 תפוזים = 3 תפוזים + 8 תפוזים

ב) נתון הגודל הגדול וצריך למצוא את הקטן. הפעולה תהיה חיסור. 

דוגמה 

לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 

פתרון 

5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים

בעיות מילוליות לתרגות הנושא

1. בארגז אחד היו 32 תפוזים, ב-11 תפוזים יותר מבארגז שני. כמה תפוזים היו בארגז השני? 
2. מספר התלמידים בכיתה א' גדול ב 4- ממספר התלמידים בכיתה ב'. כמה תלמידים בכיתה ב', אם בכיתה א' יש 32  תלמידים? 
3. בשכונת "יואב" יש 86 בתים. בשכונת "הראל" יש 7 בתים יותר משכונת "יואב". כמה בתים יש בשכונת "הראל"?
4. בית חרושת לנייר ייצר מחברות בשני גדלים. המחברות הקטנות הכילו 40 דף. המחברות הגדולות הכילו 32 דפים יותר. כמה דפים הכילה מחברת גדולה?
5. אדם הוציא בחודש ינואר 587 ש"ח על מזון. סכום זה קטן ב-97 ש"ח מהסכום שהוא הוציא בחודש פברואר. כמה כסף הוא שילם בעבור מזון בחודש פברואר?
6. גדר שאורכה 126 מ' מקיפה גן של בית. גדר שמקיפה את הבית והגן כאחד ארוכה ב-530 מ' יותר מזו של הגן. מה אורך הגדר שמקיפה את הבית?
7. בשוק מכרו אבטיח ומלון. משקל האבטיח 5420 גרם. המלון שקל 3201 גרם פחות מהאבטיח. מה משקל המלון?     
8. רדיו עלה 156.80 ש"ח. מכשיר וידיאו היה יקר ב-1890 ש"ח מהרדיו. מה היה מחירו של הוידיאו?
9. פועל קיבל שכר של 6782 ש"ח. חברו קיבל שכר גבוה ב-672 ש"ח. כמה הרוויח החבר?
10. מר כהן הרוויח ב-2781 ש"ח יותר ממר לוי. מר כהן הרוויח בסך הכל 6721 ש"ח. כמה כסף הרוויח מר לוי? 
11. בספר קריאה היו 189 עמודים פחות מאשר בספר הלימוד. כמה עמודים בספר הלימוד אם בספר הקריאה היו 237 עמודים?
12. בבית ספר "ירדן" יש 562 תלמידים יותר ממספר התלמידים בבית ספר "רמת-אביב". מספר התלמידים ב"ירדן" היה 4568. כמה תלמידים ב-"רמת-אביב"?
13. בבית בד להכנת שמן זית הביאו בשנת תשס"א 675 ק"ג זיתים. בשנת תשס"ב הביאו לאותו בית בד 194 ק"ג יותר של זיתים. כמה ק"ג זיתים הביאו לבית הבד בשנת תשס"ב?
14. מחיר כרטיס טיסה לאמריקה היה 1238 דולר. המחיר הוזל ב-350 דולר. מה היה מחיר הכרטיס לאחר ההוזלה? 
15.  ארון נמכר ב-4521 ש"ח, לאחר הנחה של 854 ש"ח. מה היה מחיר הארון לפני ההוזלה? 

המורה,

שלמה יונה

* סיכום השיעור נערך מתוך "מתמטיקה יסודית", מדריך למורה -- כתה ג', חלק א', שכתבה תלמה גביש. עמודים 156-162. הוצאת העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל. 2005.

סיכום שיעור 8 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג'

חוק הפילוג

בשיעור הקודם עסקנו במשמעויות של כפל והפעם דיברנו על חוק הפילוג.

משמעות פעולת הכפל כאשר הכופל טבעי היא פעמים: הכופל מונה כמה פעמים יש לנו כמות זהה (הכמות מצויינת בנכפל).

בחוק הפילוג אנחנו משתמשים כל הזמן ואפילו לא חושבים על כך:

למשל עם קפצתי במקום שלוש פעמים ואח"כ קפצתי במקום עוד חמש פעמים אז בסך הכול קפצתי במקום שמונה פעמים. אם שלוש פעמים אכלתי שני מלפפונים ואז עוד פעמיים אכלתי שני מלפפונים אז בסך הכל אכלתי חמש פעמים שני מלפפונים.

והנה דוגמה אחרת: כמה הם שבע פעמים 4 פרחים? (הביטו, יש 7 עמודות ובכל עמודה 4 פרחים) -- זה צריך לצאת אותו הדבר בתוצאה כמו שלוש פעמים 4 פרחים ועוד  ארבע פעמים 4 פרחים (בסה"כ 7 פעמים 4 פרחים):

נראה תרגיל:

2x3+4x3=6x3=18

ונאמר במילים: פעמיים שלוש ועוד ארבע פעמים שלוש הם ביחד שש פעמים שלוש. אנחנו יודעים מלוח הכפל ש-שש פעמים שלוש הם 18 (ומי שרוצה לחשב יכול כמובן לחשב 3+3+3+3+3+3 או להשתמש בחוק החילוף ולחשב רק 6+6+6).

כמובן, חוק החילוף עדיין עובד, אז חוק הפילוג עובד גם איתו: אז כמה זה שתי פעמים שלוש ועוד שתי פעמים חמש?

זה יוצא שתי פעמים  של שלוש ועוד חמש, ז"א, שתי פעמים שמונה. קל לראות זאת בתרשים, וכדאי מאוד להכין תרשימים שכאלה (אפשר גם לשרטט מעגלים, לא חייבים משבצות, בעצם, אפשר עם כל דבר שקל לשרטט).

בשיעור ראינו מספר דוגמאות והתלמידים הציעו סיפורים חשבוניים ובעיות חשבוניות.

בהמשך ראינו איך משתמשים בחוק הפילוג כדי לפתור תרגילי כפל במספרים גדולים יותר, ובקלות כאשר אנו חמושים רק בהבנת משמעות הכפל ובידיעה של לוח הכפל. למשל, 38x5. נאמר במילים: שלושים ושמונה פעמים חמש. רגע! אבל זה צריך להיות אותו דבר בתוצאה כמו 30x5+8x5 (במילים: שלושים פעמים חמש ועוד שמונה פעמים חמש):

• 30x5=150 כי שלוש כפול חמש הם 15 (אז שלושים כפול חמש הם 150).
• שמונה פעמים חמש הם לפי לוח הכפל 40.
• וביחד קיבלנו 190.

קינחנו בידיעה מרעישה: טריק לכפולות של 11:

כל מספר חד ספרתי כפול 11 יוצא מספר דו-ספרתי ששתי ספרותיו זהות למספר שהתחלנו ממנו:

• 0x11=0 אבל אפשר לכתוב את זה גם 00. אבל זה לא כ"כ מעניין...
• 1x11=11
• 2x11=22
• 3x11=33
• 4x11=44
• וכך הלאה...
• 9x11=99

כמובן, חוק החילוף עדיין תקף אז גם 11 פעמים כל מספר חד ספרתי יוצא כמו שראינו.

אבל הכיף הוא כפל מספרים דו-ספרתיים ב-11:

מספר דו-ספרתי כפול 11 יוצא מספר תלת-ספרתי כך שספרת האחדות שלו זהה לספרת האחדות של המספר שהתחלנו ממנו, ספרת המאות שלו זהה לספרת העשרות של המספר שהתחלנו ממנו ואילו ספרת העשרות של המכפלה היא סכום הספרות של המספר הדו-ספרתי. [טוב... יש מקרים שסכום הספרות גדול מ-9 ואז מתקלקל לנו, כי צריכים לקבץ 10 עשרות למאה אחת]

כמה דוגמאות:

• 11x12=132  
• 11x26=286  
• 11x35=385 

למה זה כך? נשתמש בחוק הפילוג:

11x35=10x35+1x35=350+35=385

אבל כך מחמיצים את הקסם. נראה בחיבור במאונך:

350 +

35

-----

385

ועכשיו, תלמידים: עבור אילו מספרים דו ספרתיים מתקלקל הקסם ויוצא משהו אחר? 

המורה,

שלמה יונה

סיכום שיעור מספר 7 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג'

סיכום שיעור מספר 7 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג'

שלום,

שמחתי לראות רבים מהתלמידים מגיעים נחושים ללמוד.

ההתנהגות בכתה היתה לאין שיעור טובה מזו שהיתה במפגש הקודם.

עסקנו בשיעור במשמעות הכפל ובתכונות של כפל.

דיברנו על הקשר שבין חיבור לבין כפל: כפל הוא חיבור חוזר של כמויות שוות גודל. ראינו גם שמתקיים חוק החילוף גם בחיבור וגם בכפל והגענו למסקנה שהחילוף הזה מאפשר לנו את אותה התוצאה בתרגילים שונים אבל (וזה אבל גדול): 2+3 ו- 3+2 זה לא אותו הדבר, אלא אותו הדבר רק בתוצאה. ובהתאמה גם בכפל: 2X3 זה לא אותו הדבר כמו 3x2, הם זהים בתוצאה אך לא במשמעות.

פירוט של עיקרי הדברים שבהם עסקנו בשיעור מופיעים ברשימה: מה משמעות הכפל במספרים טבעיים? שבאתר. אני ממליץ מאוד להיעזר בה.

יש בארץ מוזיאוני מדע מצויינים!! אני ממליץ מאוד לכל המשפחה לבקר בהם -- כתבתי עליהם ובפרט על תערוכה בנושאי מחשוב במוזיאון המדע בירושלים.

להורים, אני מבקש להראות לתלמידים את סיכומי השיעורים מאתר מר חשבון (הנה קישור לכל הסיכומים).

להורים שמתעניינים, ביום שלישי ב-12 במרץ ב-21:00 אתארח בתוכנית אינטרנט (מתחברים בחינם באמצעות המחשב וצופים בקלות כמו שצופים בסרטון). הנה הפרטים: "מר חשבון" מתארח ב"-עץ החשיבה". אתם מוזמנים!!

שבוע טוב.

המורה,

שלמה יונה

סיכום שיעור מספר 6 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג'

סיכום שיעור מספר 6 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג' 

ילדים יצאו לטיול

הנה דוגמה לשיח בין המורה (מ) לבין התלמידים (ת):

מ: לפנינו בעיה: 

 בבית ספר לומדים 542 ילדים. יום אחד יצאו חלק מהילדים לטיול ובבית ספר נשארו 386 ילדים. כמה ילדים יצאו לטיול?

אני מבקש שתכתבו את התרגיל המתאים ושתפתרו אותו. 

ת: [יואב] 156 = 386 - 542 

מ: איך אפשר לכתוב את התרגיל בצורת משוואה? 

ת: [תמי] 386 = ______ - 542 

מ: הסבירו. 

ת: 542 פחות כמה נותן 386. 

מ: לא הבנתי. 

ת: בבית הספר היו 542 תלמידים. חלק מהם יצאו לטיול. אנחנו לא יודעים כמה. אנחנו יודעים שנשארו 386 ילדים. שואלים אותנו כמה יצאו לטיול כך שנשארו 386 ילדים. 

מ: ההסבר יפה, אבל אני מבקש הסבר ציורי, בעזרת סרטוט של תרשים. 

ת: למה צריך עוד הסבר? כבר פתרנו את התרגיל ואנחנו יודעים את התשובה? 

מ: מי יכול לענות על השאלה החשובה הזאת? 

ת: כאשר יש כמה דרכים להסביר בעיה, זה מפתח את החשיבה. 

מ: התשובה הזאת מעולה, אבל יש עוד סיבות שבגללן כדאי להכיר הרבה דרכי פתרון. 

ת: כאשר פותרים בעיה בדרך אחת ורוצים להיות בטוחים שלא נפלה טעות אפשר לבדוק את הפתרון על ידי פתרון הבעיה בדרך אחרת. 

מ: יפה. יותר קל לבדוק אם התשובה נכונה על ידי פתרון בדרך אחרת. אם לא נגיע לאותה תוצאה, נדע שיש טעות. יש עוד סיבה לריבוי דרכי פתרון? 

ת: כן. כל אחד מאיתנו חושב קצת אחרת. אחד אוהב לפתור ישר את התרגיל, אחר אוהב את ההסבר של המשוואות ויש כאלה שיאהבו את ההסבר בעזרת סרטוט. 

מ: מישהו מוכן להסביר את הבעיה בעזרת סרטוט? 

ת: אני מעדיף את ההסבר הציורי הזה. זה עוזר לי להבין בדיוק ובמהירות את הבעיה. 

מ: אם כך, תסביר לנו את הבעיה בעזרת סרטוט. 

ת: אני מצייר בערך. בבית הספר יש 542 תלמידים. נשארו 386. ברור שמספר הנשארים גדול ממספר היוצאים לטיול. אז החלק שמייצג את הנשארים יהיה גדול מהחלק שמייצג את המטיילים. 

מ: איך אתה יודע זאת? 

ת: בבית הספר יש בערך 540 תלמידים. נשארו בערך 400. אז ברור שנסעו לטיול פחות מ-400. 

מ: אני רואה שאתה מבין, אבל עדיין אינני מבין את ההסבר שלך. 

ת: [זיו] יש קו שמייצג את כל תלמידי בית הספר. יש חלק צבוע שמייצג את התלמידים שיצאו לטיול ויש חלק לבן שמייצג את התלמידים שנשארו. אני מדבר על הקשר בין מספר המטיילים למספר הנשארים. ברור שאם בבית ספר יש בערך 500 תלמידים ובערך 400 נשארו, אז יצאו בערך 100 תלמידים לטיול. בגלל זה החלק שמייצג את הנשארים יהיה גדול מהחלק שמייצג את המטיילים. הסרטוט ייראה כך: 

מ: עכשיו ההסבר מעולה. גם הציור ברור. רואים תיכף ש-542 מכיל את מספר הנשארים ומספר המטיילים. למה דומה יותר הסרטוט שלפנינו לדרך של יואב או לדרך של תמי? 

ת: לדרך של תמי. 

מ: למה? 

ת: רואים שזה כמו המשוואה. 542 שווה ל-386 ועוד כמה. ואנחנו מחפשים את הכמה. 

מ: הנה עוד סיבה למה כדאי ללמוד גם את הדרך הזאת: סרטוט כזה יכול לסייע לנו בפתרון משוואות. הוא יכול גם להסביר לנו איזה מספר מכיל את המספרים האחרים. 

סיכום באמצעות בעיות מאותו סוג 

ת: בכיתה יש 32 כסאות. לקחו מהם מספר כסאות לכיתה השנייה. בכיתה נשארו 21 כסאות. כמה כסאות לקחו לכיתה השנייה? 

פתרון על ידי תרגיל חיסור: 

11 כסאות = 21 - 32 

פתרון על ידי משוואה: 

21 = ______ - 32 

הצגה של הבעיה בדרך גרפית: [הצגה גרפית היא הצגה בעזרת ציור].


בעיות לדוגמה מהסוג הזה

1) אדם הרוויח 3400 ש"ח. לאחר שרכש תנור חשמלי נשארו לו 1234 ש"ח. כמה עלה התנור?

2) בבית קולנוע יש 236 מקומות ישיבה. הגיעו לסרט 131 צופים. כמה מקומות נותרו ריקים?

3) בספר יש 452 עמודים. ירון קרא מספר עמודים. נשארו לו לסיום הספר עוד 370 עמודים. כמה עמודים קרא ירון?

4) בבית חרושת מייצרים כל יום 6734 פריטים. חלקם בבוקר וחלקם אחר הצהריים. כמה פריטים ייצרו בבוקר אם אחר הצהריים ייצרו 3682 פריטים?

סיכום העיקרון

מ: מה המשותף לכל הבעיות האלה? 

ת: נתון השלם וחלק אחד ממנו ואנחנו מתבקשים למצוא את החלק השני.

בעיות מילוליות נוספות 

מ: את הבעיות הללו ננסה לפתור בכתה. נפנה לעבודה עצמית, ואני אעבור ביניכם ואסייע למי שנדרשת עזרה. אני מעודד אתכם להמשיך ולפתור בבית במחברות באופן מסודר, עם דרך מלאה, תרשים מתאים ופתרון מלא במילים.

[בעיות מתוך דף בעיות]

ניסוח עיקרון לסיום

מ: עכשיו אני מגלה לכם עוד סיבה שבגללה יש ריבוי של תרשימים ושל הסברים ושל ניסוחים. גיוון של ניסוחים, של סרטוטים, של הסברים ושל כתיבות שונות מאפשר לנו לפתור בעיות נוספות מסוגים חדשים. אם נכיר דרכים רבות ומגוונות, נוכל להסתייע בחלק מהן בזמן פתרון בעיות שלא נתקלנו בהן עד כה. 

ת: בגלל זה ביקשת שנכתוב את כל הדרכים של הפתרון ואת כל ההסברים? 

מ: נכון. צריך ללמוד הכל. כאשר יודעים הכל, אפשר לבחור מה שמתאים לבעיה או מה מתאים לנו. לכל אדם שפותר בעיה יש דרך משלו לגשת אליה. 

אחדות או יחידות
הילדים ואני דנו האם יש לומר "ספרת האחדות" או שיש לומר "ספרת היחידות". הנה קישור להסבר מדוע יש לומר "ספרת האחדות" ולא כפי שהתרגלו הילדים: אחדות או יחידות, מה ההבדל?

המורה,
שלמה יונה

סיכום שיעור מספר 5 בסדנת המתמטיקה

סיכום שיעור מספר 5 בסדנת המתמטיקה

בשיעור הזכרתי שוב בקצרה כיצד מזהים חיסור של גריעה וכיצד מזהים חיסור של הפרדה. בהמשך הצגתי שתי בעיות נוספות, אחת של חיסור של השוואה ואחת של חיסור של השלמה לשלם. 

ראינו שבעוד שבבעיות של חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה נתון שלם בבעיה ואחד החלקים של השלם ויש למצוא את החלק הנותר, בחיסור של השוואה ישנם שני שלמים שאותם אנחנו משווים ולמעשה מבצעים התאמה חד-חד-ערכית: מתאימים לכל עצם בקבוצה אחת עצם אחד ויחיד בקבוצה השנייה: כשנשארים עצמים באחת הקבוצות ללא בן זוג בקבוצה האחרת אנו יכולים למנות אותם ולומר שיש את הכמות הזאת יותר בקבוצה מאשר בקבוצה האחרת (או שיש את הכמות הזאת פחות בקבוצה האחרת לעומת הקבוצה הזאת). בבעיות של השלמה לשלם יש לנו שוב שלם אחד ונתון חלק שלו ואנו מנסים להשלים את החלק לשלם מלא.

בהמשך בחרנו תרגיל, למשל 5=12-7, והמצאנו עבורו בעיות חשבוניות מכל 4 הסוגים:

גריעה:

במאפיה הכינו 12 כיכרות לחם ובמהלך הבוקר מכרו 7 כיכרות, כמה נותרו למכירה אחרי הבוקר?

הפרדה:

במאפיה הכינו 12 כיכרות לחם משני סוגים: 7 כיכרות לחם לבן והשאר כיכרות לחם מלא. כמה כיכרות לחם מלא אפו במאפייה?

השוואה:

במאפייה הכינו 12 כיכרות לחם שיפון ו-7 כיכרות לחם קל. כמה כיכרות לחם קל הכינו פחות מאשר כיכרות לחם שיפון?

(אפשר גם לשאול: כמה כיכרות לחם שיפון הכינו יותר מאשר כיכרות לחם קל?)

השלמה לשלם:

שרית מעוניינת לקנות לחם שיפון שמחירו 12 ש"ח אך בארנקה רק 7 ש"ח. כמה ש"ח נוספים על שרית להשיג כדי לשלם בעבור כיכר לחם שיפון?

ביקשתי מהילדים לבחור תרגיל חיסור ולהמציא לו בעיות חשבוניות מכל 4 הסוגים שלמדנו ולהגיש לי אותן בכתב. אני מקווה שהילדים אכן יבצעו את המטלה.

להורים המתעניינים, אני מציע לקרוא את מאמרה של תלמה גביש המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה.

הודעה חשובה:

בשבוע הבא, יום חלוקת התעודות, לא ניפגש לסדנה. המפגש הבא יתקיים ביום שישי בעוד שבועיים ב-8 בפברואר 2013.

המורה,

שלמה יונה

סיכום שיעור 4 בסדנת המתמטיקה

סיכום השיעור הרביעי בסדנת המתמטיקה

שלום להורי התלמידים שמשתתפים בסדנת המתמטיקה!

פתחנו את השיעור עם פחות ילדים מהפעמים הקודמות אך עם כמה ילדים חדשים שהצטרפו. לצערי, אין לי את פרטי הקשר של כלל החדשים. אודה להורים שיכולים להודיע להורים אחרים לשלוח אליי את כתובת הדוא"ל שלהם כדי שאוכל לעדכן אותם.

ביקשתי להקריא את אחת מהבעיות שהמציאו הילדים בבית מבלי לומר האם מדובר בחיסור של גריעה או בחיסור של הפרדה. בהמשך נערך דיון בכיתה באיזה סוג של חיסור מדובר והאם הנימוקים מתאימים ותומכים.

היו לי 15 עפרונות בצבעים אדום וכחול. חמישה אדומים וכל השאר כחולים. כמה עפרונות כחולים יש לי?

אנו רואים שכמות העפרונות בתחילת הבעיה ובסופה נשארת זהה: 15 עפרונות. לא נגרעו עפרונות ולא הוצאו ולא הוחלפו וכו'. רמז נוסף הוא שקבוצת כל העפרונות (השלם שלנו) הופרדה לשתי תתי קבוצות לפי הצבע. הצבע הוא הקריטריון (התבחין).

הזכרתי לילדים שכאשר אנחנו משווים  ומפרטים על הדומה (או על הזהה) ועל השונה שבין העצמים שאנו משווים ביניהם עליו לבחור בכל שלב בהשוואה לפי איזו אמת מידה (אמת מידה היא עוד דרך לומר תבחין או קריטריון).

החידוש בשימוש במושג אמת מידה נראה לילדים זר ומוזר ולכן דיברנו על המילים שמרכיבות את הצירוף ומשמעותן והדגמתי לילדים באמצעות סיפור מהי אמה (כיחידת אורך) ובאותה ההזדמנות על החשיבות שבהסכמה על יחידות מידה אוניברסליות ושאינן תלויות אדם או מצב, כמו למשל האמה.

בימי העבר, למשל בתקופת המקרא, היה איש חרוץ שיצא מידי שחר עם עדר הצאן שלו אל המרעה. את כל יומו בילה עם הצאן, דואג לעדר, מכוון אותו, שומר עליו מפני טורפים ושוחרי רע ומוביל אותו למזון משובח. בצאן גם יש לטפל. לפנות החשיכה היה חוזר האיש לביתו, לאחר שהכניס את העדר לדיר, וציפה לקבלת הפנים מאשתו (שלה היו מטלות רבות אחרות ועבדה לא פחות קשה ממנו) ולארוחה טובה. אלא שהפעם אשתו הודיעה לו שעליו לצאת אל מרכז הכפר, שכן היום יש יום שוק עד שעה מאוחרת מהרגיל ושעליו לקנות מטאטא שאורך המוט שלו ד' אמות.

[בשלב הזה התקיים דיון בכיתה עד שכלל הילדים הסכימו שהכוונה למטאטא שאורך המוט שלו 4 פעמים יחידת האורך שנקראת אמה. יש בגופנו איבר שמכונה אמה ובהסתמך עליו נקבעה יחידת האורך אמה. הבחנו שבעוד שהאיבר משתרע מהמרפק ועד לשורש כף היד שבאותה הזרוע, יחידת המידה מתייחסת לאורך שמהמרפק ועד לקצה אצבע האמה באותה הזרוע.] ממשיכים בסיפור:

מיהר האיש לדוכן המטאטאים וביקש מזעירא (שמה לעשות, היה דיי ענק, בניגוד לשמו) מטאטא לפי הוראות אשתו: כזה שאורך מוטו ד' אמות. זעירא בגאווה שלף מאחוריו מטאטא עם מוט ארוך והדגים באמצעות הזרוע שלו שאורך המוט בדיוק ד' אמות. אמר הקונה: "רגע! נדמה לי שהמוט ארוך מידיי..." ומייד הדגים למוכר באמצעות הזרוע שלו עצמו (שהיתה קצרה מזו של המוכר). המוכר לא התבלבל והסביר "ראה, אתה עייף אחרי יום שלם במרעה, האמן לי! זה האורך". שילם האיש גרר את עצמו ואת מאטאטא הענקים בחזרה לביתו. כשנכנס עם המטאטא הארוך (מידיי) התפלצה אשתו ושאלה אותו "מה קרה לך? אינך רואה שהמוט ארוך מידיי? הרי ביקשתי מוט באורך ד' אמות בדיוק!!".  ענה לה: "זעירא אמר שזה האורך ואפילו הדגים...". ענתה לו: "אוי!! איך לא הבנת שהתכוונתי שתמדוד באורך האמה שלך ולא באמצעות שלו?!".

הילדים היו משועשעים ולא התקשו להסביר את פשר הכשל ואפילו, אחרי דיון קצר בכתה, הצליחו לנסח עיקרון:

ככל שנחלק את אותו השלם ליותר חלקים שווים, כך כל חלק יהיה קטן יותר.

וכמובן שיש עיקון דומה:

ככל שנחלק את אותו השלם לפחות חלקים שווים, כך כל חלק יהיה גדול יותר.

ואז השלכנו את העיקרון על יחידות מידה:

ככל שנמדוד את אותו העצם ביחידות מידה קטנות יותר כך תוצאת המדידה תהיה גדולה יותר.

והמשלים שלו:

ככל שנמדוד את אותו העצם ביחידות מידה גדולות יותר, כך תוצאת המדידה תהיה קטנה יותר.

הילדים התבקשו לספק דוגמאות שונות לעקרונות הללו, גם סיכמנו שלא במקרה העולם הפך להיות פשוט יותר והתקשורת בכל הקשור למדידות קלה יותר משעה שיחידות האורך מוסכמות על הכול ושאינן תלויות באדם, או במצב.  בעניין זה אני מעודד את ההורים לעיין בספר מודדים את העולם מאת דניאל קלמן (ואולי אפילו לקרוא ממנו לילדים, או לתת למיטיבי הקריאה שביניהם לנסות ולקרוא בעצמם) וגם בספר הכול לפי מידה מאת קן אדלר כדי להבין עד כמה ההסכמה על יחידות מידה חשובה ועד כמה האנושות התעכבה בהתפתחותה עד אשר התקבלה ההסכמה הזאת. לתובנות ולשינוי נדרש שינוי ארוך וכואב ואפילו מהפיכה.

ביקשתי מהילדים שימציאו בבית ושיכתבו במחברתם עוד שתי בעיות חיסור: אחת מסוג חיסור של גריעה והשנייה מסוג חיסור של הפרדה. בשבוע הבא נמשיך ללמוד ולעבוד על משמעויות של חיסור ועל תרומתן לפיתוח החשיבה.

* מהשבוע הזה והלאה אחרי סדנת המתמטיקה מתקיימת באותה הכיתה הפגישה השבועית של המועדון למתמטיקה ולמדע. אני מציע להורים לילדים שמתעניינים גם במתמטיקה ובמדע שאין עוסקים בהם בבית הספר בדרך כלל לעיין בעמוד המועדון, ואם מסתדר, להצטרף. אין צורך בתשלום (הארגוןן בהתנדבות מלאה של ועדת החינוך של הנהגת ההורים וההוראה שלי גם היא בהתנדבות מלאה), אך יש צורך בהרשמה באתר (פשוט באמצעות לחיצה על כפתור ההרשמה, מילוי הטופס ושליחתו). המועדון יעסוק בנושאים שעל הפרק בתוכניות מתמטיקה בהתכתבות ו-מדע בהתכתבות של מכון דוידסון שבמכון ויצמן למדע.

המורה,
שלמה יונה

סיכום שיעור 3 בסדנת המתמטיקה

להורי תלמידי כיתות ג' שמשתתפים בסדנת המתמטיקה,

שלום רב,

היום עסקנו בשתיים ממשמעויות החיסור: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה.

התלמידים התבקשו לכתוב במחברותיהם שתי בעיות חשבוניות שונות בחיסור.

ההיענות היתה רבה.

דיברנו על מאפיינים של בעיות חשבוניות טובות:

1. בעיה קצרה ועניינית [ולא סיפור מעשייה ארוך ומייגע]
2. הבעיה עוסקת בעניין מציאותי מעולמם של הילדים [העניין חשוב כדי לבסס ייצוג פנימי נכון ומהימן, כך שכשנגיע לנושאים מופשטים יותר או מורכבים יותר, יוכלו הילדים להישען על הייצוג הפנימי שלהם]

[אני ממליץ לקרוא את "חשיבותם של סיפורים חשבוניים" שכתבה חני גביש כדי להבין מדוע ולמה ולאן אני חותר. כדי להבין למה כוונתי בחיסור של גריעה ובחיסור של הפרדה אני ממליץ לצפות בסרטון שמדגים הוראה של סוגי חיסור אלה.]

שמענו כמה בעיות חשבוניות שהציעו הילדים וגילינו שהמשמעות הנפוצה ביותר שמשתמשים בה הילדים היא "חיסור של גריעה". מאפיין של סוג זה של חיסור הוא שלו היינו "מצלמים" את כמות הפריטים או העצמים בתחילת הבעיה ו-"מצלמים" שוב בסוף הבעייה היינו מגלים שהכמות שרואים "בתמונה" מתחילת הבעיה גדולה מהכמות ש"מצולמת" מה"צילום" שבסוף הבעייה. למשל:

על המדף בחנות 25 שקיות של פירות יבשים לט"ו בשבט. במהלך היום נקנו 13 שקיות כאלה. כמה שקיות נותרו על המדף בסוף היום?

לו היינו מצלמים את השקיות שעל המדף בתחילת היום ושוב בסופו היינו רואים כמות שונה של שקיות על המדף.

סוג נוסף שהוצע הוא "חיסור של הפרדה". סוג זה מתאפיין בכך שכמות הפריטים אינה משתנה מתחילת השאלה ועד סופה אלא נבחרת תכונה מסויימת של הפריטים שלפיה מפרידים אותם לשתי קבוצות שונות (לא בהכרח שוות גודל). הנה דוגמה:

על המדף בחנות 25 שקיות של פירות יבשים לט"ו בשבט. 13 שקיות שמכילות דבלים (תאנים מיובשות) וכל השאר מכילות לדר (משמשים מיובשים). כמה שקיות לדר על המדף?

בשאלה הזאת אין שינוי בכמות השקיות אלא הפרדה שלהן לשתי קבוצות.

עם התלמידים ערכנו טבלת השוואה כדי להבין מה דומה ומה שונה.

לטבלת ההשוואה יש 5 עמודות: עמודת התבחין (הקריטריון שלפיו משווים), עמודה לציון ההבעיה הראשונה, עמודה שמייצגת את הבעיה השנייה, עמודת ה-"שווה" ועמודת ה-"שונה".

אחרי דיון ראינו ש-

1. תוכן הבעיות שונה
2. התרגיל שיש לפתור כדי להגיע לתשובה בשתי השאלות הוא תרגיל החיסור =25-13
3. בשתי השאלות יש שלם (25 שקיות שעל המדף) וחלקים של השלם
4. סוג הבעיה שונה בשני המקרים: בראשון: חיסור של גריעה ובשני: חיסור של הפרדה -- ז"א משמעות השאלות שונה, גם אם התרגיל זהה ומדובר בשאלה של שלם וחלקיו

היתה זאת הזדמנות גם לדבר על ההבדל בין המושג זהה לבין המושג דומה.

ביקשתי מהילדים שימציאו שתי בעיות חשבוניות נוספות של חיסור (אחת במשמעות "חיסור של גריעה" ואחת במשמעות "חיסור של הפרדה"). אני מציע לכם ההורים לבדוק עם הילדים את השאלות שהמציאו ולוודא עמם שהבעיות מתאימות בסוג ושיש להן המאפיינים הרצויים שעליהם הסברתי קודם לכן.

בשיעורים הבאים אאסוף מעת לעת מחברות של הילדים כדי לתת להם משוב על העבודה שלהם, על האופן שבו הם רושמים בשיעור וכו'. אני מעוניין לעודד אותם לכתוב, לסכם, להשתתף וכן לאפשר להם לקבל ביקורת בונה שתכוון אותם לכתיבה יעילה יותר ולעבודה נכונה במחברת. את המחברות הבדוקות אשיב לילדים בשיעור העוקב.

ילדים מספר נצמדים בשיעור לטלפון נייד. אני מבקש מהילדים להכניס את המכשירים לתיקים או לקלמרים במהלך השיעור. חשוב שהילדים יתמקדו בשיעור ולא בהתעסקות במכשירים הניידים שלהם. 

בשיעור הבא נעסוק בשתי משמעויות נוספות של חיסור: חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם אחרי שנוודא שיש הבנה בקרב התלמידים בכתה במשמעויות הראשונות שלמדנו.

שבוע טוב!

המורה,

שלמה יונה

סיכום שיעור 2 בסדנת המתמטיקה

להורים, שלום רב,

כל הכבוד לילדים המתמידים שהגיעו גם גם השבוע וברוכים הבאים התלמידים החדשים שהצטרפו. מנהלת בית הספר הגיעה למספר דקות כדי להתבונן במהלך השיעור.

היום בסדנת המתמטיקה התחלנו, התלמידים ואני, לעבוד בנושא החיסור.

מחוסר, מחסר והפרש

הכרנו את המושגים מחוסר, מחסר ו-הפרש. המושגים הללו מתייחסים לגדלים שמשתתפים בתרגילי החיסור. 

ה-מחוסר הוא המספר שממנו מחסרים. 

ה-מחסר הוא המספר שאותו מחסרים מהמחוסר.

ה-הפרש היא תוצאת תרגיל החיסור.

למשל, בתרגיל: 7=56-49 המספר 56 הוא בתפקיד המחוסר, המספר 49 בתפקיד המחסר ו-המספר 7 הוא ההפרש.

התלמידים בכתה הציעו מספר תרגילי חשבון והציעו תשובות לשאלה: "מדוע חשוב לנו להשתמש במושגים מחוסר,מחסר ו-הפרש כשאנחנו מדברים על תרגילי חיסור?". התלמידים ענו, והמליאה דנה בתשובות. המסקנות היו:המושגים מסייעים לנו כשאנחנו רוצים להתייחס לעיקרון בתרגילי חיסור באופן כללי ולא להתייחס רק לדוגמה מסויימת אחת. למשל, רשמנו בכתה "בכל תרגיל שרשמנו על הלוח ה-מחוסר גדול יותר מה-מחסר וגם גדול יותר מה-הפרש."המושגים משמשים אותנו לתקשורת יעילה: קצר יותר, מבלבל פחות וכשאומרים המחוסר מייד יש לנו ההקשר: שמדובר בתרגיל חיסור.

שיום

מה שעשינו הוא שיום (מהמילה שם: לתת שם). מדוע חשוב וכדאי לנו לשיים כשאנחנו עוסקים בפתרון בעיות? כשאנחנו משיימים אנחנו נדרשים להתייחס לתכונות ולהקשר. השיום גם עוזר לנו לזכור ולהיזכר (השם משמש לנו מפתח לאחסון בזיכרון וגם לשליפה מהזיכרון). השיום גם מאפשר לנו להתייחס למושג מבלי לפרט את תכונותיו ואת ההקשר: משום ששיימנו את התפקידים של המספרים בתרגילי החיסור, אנחנו עכשיו יכולים לנסח עקרונות שיפים לכל תרגילי החיסור מבלי להזדקק לדוגמה מסויימת. למשל, הנה עיקרון:

בתרגילי חיסור לא מתקיים חוק החילוף: ההפרש שמתקבל מתרגיל חיסור אינו שווה להפרש בתרגיל חיסור שבו רק החלפנו את המחוסר במחסר.

הנה דוגמה: לא נכון לומר שתשע פחות חמש שווה לחמש פחות תשע.

להורים שרוצים להעמיק בנושא האוריינות והקשר שבין השפה למתמטיקה אני ממליץ מאוד לעיין במאמריה של תלמה גביש, המתמטיקה כשפה חשיבותם של מושגים לשוניים בבניית שפה ו-למען תרבות של חשיבה: בעד תחיית העברית ותחיית המתמטיקה.

מיזם שילווה את הסדנה שלנו

הסברתי לתלמידים שאנחנו נלמד בשיעורים לתרגם מחשבון לעברית ומעברית לחשבון. אמרתי להם שאני מקווה שנלמד מספיק כדי שכל אחד ואחת מהילדים יוכלו להכין ספרון חשבון ובו בעיות ופתרונן. את הספרונים שהילדים יכינו נציג בסוף השנה. כדי להצליח לכתוב כזה ספרון נצטרך להבין איך ממציאים לתרגילי חשבון סיפורים חשבוניים ואיך מבינים מה התרגיל או התרגילים המתאימים לבעייה חשבונית, כדי לפתור אותה. יהיה תהליך ארוך של כתיבה, בדיקה, תיקון, עריכה, קישוט; תהליך מחזורי עד שכל הילדים שיעבדו יצאו עם תוצרים. זה תהליך ארוך שנעסוק בו במהלך השנה כולה.

משמעת בכתה

הכיתה מלאה בתלמידים. יש רעש והמולה ואנחנו מנסים להגדיר יחסים כך שהתלמידים מתבטאים ומרגישים בנוח אבל גם השיעור מתנהל בשקט ובסדר וללא המולה וללא הפרעות. נאלצתי, לצערי, להוציא תלמיד שהפריע לסובבים אותו. 

כתיבה בשיעור

הורים יקרים, אני דורש מהתלמידים לכתוב במחברות. אני מגלה שרבים מתקשים בכתיבה עצמה. הכתיבה חשובה לתלמידים לא רק כדי שיהיה להם משהו במחברת שיוכלו להציץ בו אחר כך. הכתיבה חשובה ומועילה מאוד להפנמה בנוסף למה שרואים ולמה ששומעים. אני מציץ בחלק מהמחברות במהלך השיעור אך אין באפשרותי לראות את הכול אצל כל התלמידים ב-45 דקות השיעור. אני מציע לכם לבדוק שמה שאתם מוצאים במחברת עולה בקנה אחד עם הסיכום ששלחתי אליכם.

ציוד

חשוב מאוד שכל התלמידים יגיעו בכל השיעורים עם: מחברת משובצת של המקצוע, עפרונות מחודדים, מחק וסרגל.

בנוגע לתלמידים שחשוב להם להתבטא אך אינם מקבלים רשות דיבור באופן קבוע

גיליתי שישנם מספר תלמידים ותלמידות שמתקשים להתאפק ולרסן את עצמם ומתפרצים. לכולם יש דברים נבונים וחשובים לומר אך קשה לנהל כך את השיעור. אני מציע להורים לתלמידים שכאלה שישלחו עם התלמידים לוח מחיק קטן ומצבע מחיק (טוש מחיק). לתלמידים אמרתי שבעזרת הלוח המחיק יוכלו תלמידים שיש להם מסר חשוב להעביר לי, לעשות כן באמצעות כתיבת המסר באופן תמציתי ובכתב מספיק גדול ולהציג את הלוח (להרים אותו מולי) -- כך לא יופרע מהלך השיעור, אני אקבל את המסר ואניד בראשי לתלמיד שמסמן לי כדי שיבין שהמסר התקבל. ניסיתי זאת בהצלחה בשנים קודמות. ככה הכול מרוצים.

יצירת קשר עמי

הורים שרוצים לשאול אותי שאלות, או לבקש משהו או להעביר מסר מהילדים מוזמנים ליצור עמי קשר בדוא"ל. אענה ואגיב ברצון רב.

בשבוע הבא נעסוק בשתי משמעויות של החיסור (כפי שהסברתי לכם בסיכום השיעור קודם).

שבת שלום,

המורה,

שלמה יונה

סיכום שיעור 1 ולקראת שיעור 2 בסדנת המתמטיקה

שלום רב,

ביום שישי, 28 בדצמבר, 2012, בשעה החמישית התקיים השיעור הראשון בסדנת המתמטיקה המפגש היה מפגש היכרות. הגיעו כ-40 תלמידים (היתה כיתה הומה). שמחתי לראות כל כך הרבה תלמידים שמתעניינים במתמטיקה  ושרוצים ללמוד ולהעמיק.

לא הספקנות הרבה מעבר להיכרות עמי, הצגת הכללים, לקריאת רשימות הנוכחות, לענות על השאלות הרבות ולפרט את הציוד שיש להביא (שהיה חסר לכשליש מהתלמידים)

• עפרונות מחודדים (או עפרון מכני)
• מחק
• סרגל
• מחברת משובצת לסדנת המתמטיקה

השיעור הבא יתקיים ב-כתה ג'1 (ולא בכיתה שבה היינו ביום שישי).

את השיעורים הבאים נתחיל כבר ב-11:50 (חמש דקות לאחר הצלצול של סיום השעה הרביעית).

השיעורים יסתיימו ב-12:45.

מה התלמידים אמורים להשיג מהשיעורים?

התלמידים שיגיעו באופן סדיר, עם הציוד המלא ויתאמצו להשתתף, לכתוב בשיעור, לשאול שאלות ולנסות לענות ולהסביר ילמדו על משמעויות שונות של פעולות החשבון, יתנסו בהמצאת בעיות חשבוניות וילמדו אסטרטגיות להתמודדות עם בעיות מילוליות מסוגים שונים (ככל שנספיק). 

מה מתוכנן לשיעור הקרוב ביום שישי?

בשיעור הבא נתחיל לעסוק במשמעויות של חיסור: מתמטיקה היא שפה. כמו בשפה טבעית, העברית, למשל, יש גם במתמטיקה מקרים של ריבוי משמעויות. לדוגמה:

הסימן '-' במתמטיקה הוא רב משמעי ביותר: הסימן '-' (מינוס) יכול לשמש גם כסימן של פעולת החיסור, 2=5-3, וגם לציון מספרים שליליים, וגם לציון הנגדי למספר, הנגדי של 3- הוא (3-)- שהוא 3.

לפעולת החיסור עצמה ישנן שש משמעויות שונות. היו שנהגו להדגיש בהוראת החיסור את הגריעה, והיו שהעמידו במרכז את משמעות החיסור כהשוואה. בשתי הגישות האלה התעלמו במידה זו או אחרת מהמשמעויות האחרות. כאשר נתקלו הלומדים בבעית חיסור בעלת משמעות שונה ממה שלמדו, הם התבלבלו: לא היו בידיהם הכלים לנתח את הבעיה ולהבין למה לפניהם בעיית חיסור למרות היותה שונה ממה שהכירו. הבהרת המשמעויות של החיסור ושיתוף הילד הלומד בהבדלה ביניהם ובבניית בעיות חיסור בעלות משמעויות שונות, מונעת את הקושי מראש.

גם פעולת החיסור עצמה -- יש לה 6 משמעויות שונות. בשיעורים הקרובים בסדנה נדון בכולם ובאופן דומה נדבר גם על משמעויות שונות של שאר פעולות החשבון. במפגש הבא נתמקד בשתי משמעויות מתוך ה-6 של החיסור: חיסור של גריעה ו-חיסור של הפרדה. הנה קישור לסרטון הדגמה שבו אפשר לראות על מה מדובר:

http://mrheshbon.blogspot.co.il/2012/12/blog-post_29.html

המורה,

שלמה יונה

* האם ידעתם שאני מנסה להקים מועדון מתמטי ביחד עם הנהגת ההורים שבו נעסוק בנושאים במתמטיקה ובמדע מתוך התוכניות של מכון דוידסון (במכון ויצמן) "מדע בהתכתבות" ו-"מתמטיקה בהתכתבות"? -- ילדיכם יכולים להשתתף בחינם וללא תשלום. כל הפרטים בקישור: מועדון למתמטיקה ולמדע בהתכתבות.