יום שני, 7 בינואר 2013

שברים בכתה ב'


שברים בכתה ב'


"מה?!?!" הזדעזעה בתי, סיון, כשהיתה בכתה ב' בשעה שסיפרתי לה שאני עומד ללמד אותה שברים. "שברים זה נושא שלומדים אותו ילדים גדולים, ולא ילדים בכתה ב'!! בכתה המורה לא לימדה!" נלחצה סיון. למעשה, כך עניתי לה, את כבר יודעה די הרבה על שברים עוד מכתה א' ומהניסיון שלך בחיים.

למשל, בכתה א' קיפלנו ניירות ריבועיים ל-חצאים ול-רבעים בדרכים שונות (קירוב זה לזה של קודקוד לקודקוד הסמוך לו ואת שני הקודקודים הנותרים גם כן לקרב זה לזה: הקיפול חוצה את הריבוע לשני מלבנים שווי שטח, או לקרב קודקוד לקודקוד שאינו סמוך לו: הקיפול יהיה לאורך אלכסון של הריבוע ויתקבלו שני משולשים שווי שוקיים ושווי שטח) וראינו שאפשר, במקרים מסויימים לחלק גם שלם שהוא יחיד לחלקים שווים, למשל, תפוח. אנחנו יודעים שכאשר אנחנו רוצים להתחלק בכריך עם חבר אז אנחנו יכולים לחצות את הכריך לשני חלקים וכך חצי כריך ישאר אצלנו וחצי ניתן לחבר.

הילדים כבר יודעים מהו חילוק ואת משמעויות החילוק (חילוק להכלה וחילוק לחלקים) וגם התנסו (באמצעות קיפולי הריבועים וגם בהתנסויות נוספות, למשל בחצייה של כיכר לחם, של עוגה, של תפוח, של אבטיח וכך הלאה) במשמעות של חצי ושל רבע לרבות התובנה ש-רבע הוא חצי של חצי.  

אפשר ואפילו חשוב להזכיר שכאשר לוקחים שלם ומחלקים אותו שווה בשווה לשני חלקים שווים אז לכל חלק מהחלקים הללו נקרא חצי. באותו האופן, אם ניקח שלם ונחלק אותו שווה בשווה לשלושה חלקים שווים אז לכל חלק מהחלקים הללו נקרא שליש. וכך הלאה... ואז נוכל להכליל: השבר נוצר על ידי פעולת חילוק שמתבצעת על שלם כלשהו. כתוצאה מפעולה זו מתקבלים חלקים שווים של שלם כלשהו, חלק אחד מבין אותם חלקֵי-שלם מקבל את השם המתאים, לאַחַר שיש שֵם לחלק האחד [זה יהיה ה-מכנה] אפשר לִמְנות את מספר החלקים [וזה תפקידו של ה-מונה].

דוגמה:
נתון שלם כלשהו. שלם זה יכול להיות צורה (למשל, מלבן, או למשל פרי...) או כמות (למשל, קבוצת ילדים או אוסף של ספרים...);
חילקנו את השלם ל-6 חלקים שווים;
כל חלק שמו שישית;
5 חלקים כאלה הן 5 שישיות, שרושמים כך: ⅚ . 

המספר שמתחת לקו השבר נקרא מכנה והוא מציין לכמה חלקים שווים חילקנו את השלם שלנו.
המספר שמעל לקו השבר נקרא מונה והוא מציין בכמה מהחלקים השווים האלה אנחנו עוסקים: אם מדובר בחלק אחד של שלם שחילקנו ל-שישה חלקים שווים, אזי זאת שישית, ונכתוב ⅙ כי יש לנו חלק אחד מתוך שישה החלקים השווים שמרכיבים ביחד את השלם. אם אנחנו משתמשים בשני חלקים כאלה אז מדובר בשתי שישיות, ונכתוב 2/6 כי יש לנו שני חלקים מתוך ששת החלקים השווים שמרכיבים ביחד את השלם. וכך הלאה.

לכפל יש מספר מובנים למרות התוצאה הזהה, גם לחילוק יש מיספר מובנים ויש להם אפילו שמות המייחדים אותם. עכשיו נבדוק אילו מובנים יש לשבר הפשוט. משמעות אחת של השבר היא מנה. לחלקי השבר יש שמות -- אלה ירמזו לנו על האופי המיוחד של השבר הפשוט. ל-מחולק קוראים מונה, ל-מחלק קוראים מכנה. השמות האלה מצביעים על תפקידם. מה פירוש המילה מונה? המשמעות של המילים מסייעת להבנת המשמעות המתמטית. מונה פירושו סופר. כמו במשפט: אני מונה את מספר התלמידים בכיתה. כדי שנבין יותר טוב את המושג נחפש עוד מילים השייכות לאותו שורש:

ילד: מונית.
הורה: למה קוראים למונית מונית?
ילד: כי יש בה מכשיר המונה את הכסף שצריך לשלם.
הורה: איזו מילה זה מזכיר לכם השם מכנה?
ילד: כינוי.
הורה: מה זה כינוי?
ילד: כינוי פירושו שֵם.
הורה: שימו לב לשמות של השברים, הם מעידים על כך שיש כאן מנייה של משהו. למשל, ארבע חמישיות – שפירושה 4 פעמים חמישית. זה כמו ארבע בנות, שפירושו 4 פעמים בת. בארבע חמישיות 'ארבע' מונה את החמישיות ובארבע בנות ארבע מונה את הבנות. לעתים קרובות השימוש במילים יכול לעזור לנו בהבנה החשבונית. למשל, במיספרים היותר גדולים אנחנו אומרים: תשע חלקי שבע-עשרה. השם הזה מדגיש את פעולת החילוק שיש בשבר. במספרים שהם פחות מ – 10 השם מדגיש את התכונה של המנייה, כלומר שבשבר יש מונה ומכנה כמו ב-ארבע חמישיות. אם מאזינים לעברית, המילים מגלות לנו שלשבר יש לפחות שתי משמעויות שונות. 

עכשיו נתבונן בשבר הפשוט וננסה להבין את המשמעות השנייה שלו. אפתח בסיפור חשבוני.

היתה לי עוגה, חילקתי אותה ל-5 חלקים, כל חלק שמו חמישית. אכלתי שלושה מהחלקים, אכלתי 3 חמישיות של העוגה. איזה חלק של העוגה אכלתי? זו שאלה עם מספר שלבים, לכן אסביר אותם בשלבים על ידי ציור.


לפנינו העוגה – השלם. 
חילקתי אותה ל – 5 חלקים – פעולת חילוק.
כל חלק שמו חמישית – פעולת שיום , כינוי (המכנה).
אכלתי 3 מהחלקים – פעולת מנייה (המונה).
אכלתי שלוש חמישיות של העוגה – סיכום.

זהו המובן של השבר כמונה ומכנה. 

אין כל קשר בין הצורה של השבר לבין העובדה שהוא מהווה חלק מהשלם. למשל, ½ של ריבוע יכול להיות משולש או מלבן.

השלם יכול להיות מסוגים שונים: ריבוע, עיגול, משולש, שקלים או ילדים.

½ של 300 ש"ח מתקבל על ידי חלוקת 300 הש"ח ל-2 חלקים שווים.  ½  של 300 ילדים מתקבל גם כן על ידי פעולת החילוק של 300 הילדים ל-2 חלקים שווים.  ½  של משהו מתקבל אחרי שמתבצעת באותו ה-משהו פעולת חילוק ב-2.

השבר הפשוט מורכב משתי פעולות:
  1. חילוק, הקובע מהו החלק;
  2. מנייה [או כפל], שקובעת אל כמה מהחלקים הללו התייחסנו
השלם, אם כך, הוא סך כל החלקים המרכיבים אותו: אם חילקנו אותו ל-5 חלקים, כל חמשת חלקיו ייתנו את השלם. לכן, 5 חמישיות הן שלם אחד.

מונה ומכנה במיספרים העשרוניים

נתבונן במספר 3479 . נסתכל על הספרה 4 מה המונה ומה המכנה שהיא מייצגת?  ה-4 הוא המונה. המאות הוא המכנה, כי ה-4 מונה את המאות. ומה אפשר לומר על ה-7? 7 הוא המונה, עשרת זה המכנה.

עכשיו נתבונן בביטוי: 439 כיסאות. מה אפשר לומר על המונה והמכנה? 439 כיסאות. 439 הוא המונה, כיסאות הוא המכנה. אבל יש פה עוד מכנים. הם מתחבאים בתוך המספר המונה. 4 הוא המונה של המאות. 3 הוא המונה את העשרות, 9 מונה את האחדות וגם 439 הוא המונה של הכיסאות.

ילד: אני לא מבין. זה ש – 439 הוא המונה של הכיסאות זה ברור, אבל איך יכול להיות ש – 4 מונה 100?
הורה: יש פה קושי, אבל כאשר אנחנו מונים 100, אנחנו מתייחסים ל-100 כיחידה אחת, שאותה אנחנו מונים. ממש כמו יחידה אחרת, למשל ב-730ס"מ: 730 הוא המונה, הוא סופר את הס"מ, לכן הס"מ הם המכנה. למעשה כל יחידה היא מכנה. למשל, 54 ק"מ, 6 גרמים וכו'. יחד עם זאת, ב-730 ס"מ 7 הוא המונה את המאות, 3 מונה את העשרות, ו-0 מונה את האחדות.

יש כאן פעמיים מכנים. פעם אחת המכנה הוא מה שהמספר מונה, ו-פעם שנייה בתוך המספר, המכנים הם: האחדות, העשרות, המאות וכו'.

זהירות: מוקש!
יש לזכור שעל השאלה מה גדול יותר: חצי או רבע? יש לציין שההשוואה תיתכן אך ורק ביחס לאותו שלם.

מה המטרות שלנו בהוראת שברים לילדים בכתה ב'?
  1. הקניית העקרונות שבונים את השבר הפשוט
  2. הבחנה בין שלמים שונים
  3. הבחנה בין פרמטרים כמו צבע, צורה וכיוון לבין משמעות השבר שהיא: התוצאה של חילוק שלם לחלקים שווים
  4. הרחבת המשמעות של החילוק. בנוסף לחילוק שלמים שהורכבו ממספרים טבעיים, מוצגת לילדים תוצאה של חלוקת שלם אחד לחלקים שווים
  5. זיהוי שברים בצורות נתונות
  6. כתיבת שברים
  7. הגדרת השבר: ⅘ הן 4 חלקים מתוך 5 חלקים שווים
  8. שימוש בהגדרה להבנת מושג
  9. גמישות מחשבתית שנרכשת על ידי הצגה של צורות שונות לתיאור השברים
  10. הבנת המושג של בסיס משותף לצורך השוואה: השאלה מה גדול יותר: ¼ או ⅕? אפשרית רק כאשר השלם הוא אותו השלם. השלם הוא הבסיס המשותף שמאפשר את ההשוואה הזאת
  11. השלמת החלקים לשלם: אם נתונים  ⅜ של השלם, עלינו להוסיף להם עוד ⅝ כדי לקבל שלם אחד
  12. העמקה של מושג השלם
דוגמה להמחשת מטרה 4:

בעיה מוכרת לילדים על חילוק של מספרים טבעיים:
ילד סידר 10 עפרונות שווה בשווה בתוך 5 קלמרים. כמה עפרונות היו לו בכל קלמר? 
פתרון: 2 עפרונות בקלמר = 5 קלמרים :10 עפרונות

והנה הבעיה באמצעות שימוש בשברים:
ילד סידר כמות כלשהי של עפרונות שברשותו שווה בשווה ב-5 קלמרים. איזה חלק מעפרונותיו היה בכל קלמר?
פתרון: כלל העפרונות הם השלם. בכל קלמר יש  ⅕  מכלל העפרונות. ב-3 קלמרים יש ⅗ מכלל העפרונות.


מורה: מה מנסים ללמד אותנו מתוך התרשים?


תלמידים: יש שלם. כאשר מחלקים את השלם לשני חלקים שווים, כל חלק הוא חצי מהשלם. 
מורה: איזו צורה יש לשלם שלנו? 
תלמידים: עיגול. 
מורה: מהו השלם שלנו בציור? 
תלמידים: זה נראה כמו פיצה. 
מורה:  מי יכול לספר סיפור חשבוני על הפיצה? 
תלמידים:  שני חברים קנו פיצה. הם חילקו אותה ביניהם שווה בשווה. כל אחד מהם קיבל חצי מהפיצה. 
מורה: איך כותבים בחשבון: חצי? 
תלמידים:  ½   
מורה:  שימו לב. הכתיבה הזאת אומרת: יש לי שלם אחד - זה ה-1. חילקתי אותו ל-2 חלקים - שווים זה ה-2 שמתחת לקו. הקו עצמו מציין חיתוך, חילוק. כמו בכל חילוק גם בשברים, החלוקה היא תמיד לחלקים שווים. 
מורה:  לכמה חלקים שווים חילקו את הפיצה למטה? 
תלמידים:  ל-4. 
מורה: מה שמו של כל חלק? 
תלמידים:  רבע. 
מורה: אני מבקש סיפור חשבוני על הפיצה התחתונה. 
תלמידים:   4 ילדים קנו פיצה. הם חילקו אותה שווה בשווה ביניהם. כל ילד אכל רבע פיצה. 
מורה: איך כותבים בחשבון: רבע? 
תלמידים: ¼ 
מורה: ראינו איך כותבים חצי. ראינו שהאחד מעל הקו אומר: השלם. הקו אומר: חילוק. מתחת לקו אומרים לנו לכמה חלקים שווים חילקו את השלם. 
פירושו: שלם אחד לחלק ל-4 חלקים שווים.
אם אתם רעבים ואוהבים פיצה, עם איזו קבוצה הייתם רוצים להיות, זו שחילקה את הפיצה לחצאים, או זו שחילקה אותה לרבעים? 
תלמידים:  בטח שהייתי רוצה להיות בקבוצה של החצאים. 
מורה: למה? 
תלמידים: מקבלים יותר פיצה. 
מורה: למה? 
תלמידים: כל חתיכה תהיה גדולה יותר כשמחלקים לפחות חלקים שווים. אם לוקחים פיצה ומחלקים אותה לשני חלקים שווים, כל חלק יהיה גדול יותר מאשר אם נחלק אותה פיצה ל-4 חלקים שווים. אני אוהב פיצות, אני בוחר מיד להיות רק עם עוד חבר ולא לחלק את הפיצה שלי עם עוד 3 חברים. 
מורה: מה גדול יותר חצי או רבע?
תלמידים:   חצי יותר גדול מרבע. 
מורה: למה? 
תלמידים:  כאשר לקחו את הפיצה וחילקו אותה לשני ילדים, כל ילד קיבל חתיכה יותר גדולה מאשר אם היו מחלקים אותה פיצה ל-4 ילדים. 
תלמידים: [מתקדם] רבע זה חצי של חצי. החתיכה של הרבע היא חצי של החתיכה של החצי, כי חילקו את החצי לשני חלקים שווים, וקיבלו רבע. 
מורה: אתמול קניתי פיצה משפחתית ענקית, כזו:
 

מורה: והבוקר קניתי פיצה אישית כזאת

מורה: מה יותר גדול רבע מהפיצה של אתמול או חצי מהפיצה של היום?
תלמידים: זו לא חכמה. רבע של הפיצה מאתמול זה המון. חצי של הפיצה של היום זה מעט. 
מורה: מה אתם לומדים מזה? 
תלמידים: כאשר שואלים: מה יותר גדול: חצי או רבע? צריך לבדוק אם הם מאותו השלם. אם הם מאותו השלם אז קל לענות שהרבע קטן מהחצי. אחרת, צריך לבדוק את השלמים, כמו עם הפיצות שלך.

הפעלה


מורה: במחברת החשבון שלכם יש משבצות. נעזר בהן כדי לצייר צורה שיהיה לנו קל לציירה. איזו צורה זו יכולה להיות?
תלמידים: או ריבוע או מלבן. 
מורה: נבחר מלבן. כדי שכולנו נצייר אותו מלבן, נצייר מלבן שאורכו יהיה 12 משבצות ורוחבו יהיה 4 משבצות. אני מבקשת שתשתמשו בסרגל כדי שהמלבן יהיה ברור ומדויק. איך נחלק את המלבן לשני חלקים שווים? 
תלמידים:






מורה: כל התשובות נכונות. עכשיו נספור את המשבצות במלבנים שלנו. כמה משבצות יש? חפשו את הדרך היעילה ביותר למניין המשבצות. 
תלמיד: יש 12 משבצות לאורך, יש 4 שורות כאלה. עשיתי תרגיל של כפל 12 ב-4. קיבלתי 48 משבצות. 
תלמיד: אני חישבתי אחרת. בכל טור יש 4 משבצות. יש 12 טורים. 4 כפול 12 הם 48. 
מורה: מצוין. חשבתם נכון. עכשיו חצו את המלבן על ידי קו אופקי, לפי ההצעה הראשונה. כמה משבצות יש בחצי של המלבן? 
תלמיד: 24. 
מורה: איך חישבת? 
תלמיד: יש שורה של 12 משבצות, ויש עוד שורה כזאת. ביחד יש 24 משבצות. 
מורה: מישהו ספר אחרת? 
תלמיד: כן. אני ספרתי את המשבצות בטור אחד. היו 2 משבצות. כפלתי את 2 ב-12. גם אני קיבלתי 24 משבצות. 
מורה: עכשיו נבדוק מה קורה בחלוקה על ידי הקו המאונך. כמה משבצות יש בחצי של המלבן שלנו? 
תלמידים: 24. חישבתי בשני האופנים. ספרתי 6 משבצות בשורה וכפלתי ב-4. כדי לבדוק אם לא טעיתי, מצאתי שבכל טור יש 4 משבצות כפלתי 4 ב-6. בשתי הדרכים קיבלתי אותה תשובה: 24. 
מורה: נפנה לחלוקה על ידי האלכסון. איך נחשב את המשבצות של החצי? 
תלמיד: לא נוכל. האלכסון חותך את המשבצות. לא נשארות משבצות שלמות. 
מורה: נכון. האלכסון מחלק את המלבן לשני חלקים שווים, הוא חוצה את המלבן, אבל קשה לספור את המשבצות. בגלל זה נסתפק בינתיים בשני המלבנים הראשונים. בהמשך נלמד שיטות למדידת המשבצות גם כאשר הן אינן שלמות. מה למדנו מהספירה של המשבצות? זיכרו: במלבן השלם יש 48 משבצות, בחצי המלבן יש 24 משבצות. מה למדנו מזה? 
תלמיד: חצי של 48 הוא 24. 
מורה: איך נעשה החישוב? 
ת: 48 לחלק ל-2 שווה 24. 
מורה: לא משנה אם זו צורה או אם זה מספר. לא משנה גם איזו צורה תתקבל על ידי חלוקה לשני חלקים שווים. חשוב לדעת שכדי לקבל חצי צריך לחלק את הצורה או את המספר לשני חלקים שווים. ציירו מלבן אחר, כל אחד יבדוק את מספר המשבצות שהוא מכיל. אחר כך חצו אותו, כלומר, חלקו אותו לשני חלקים שווים. סיפרו כמה משבצות מכיל החצי. האם אותה חוקיות נשמרת גם בו? אם אנחנו רוצים שיהיה לנו קל לערוך את החישוב, איך כדאי לנו לבחור את מספר המשבצות? 
ת: כדאי לבחור מספר משבצות זוגי. 
מורה: למה? 
ת: אם מספר המשבצות יהיה זוגי, לא נצטרך לחצות משבצות. 
מורה: מי יכול לנסח במשפט אחד את מה שלמדנו? 
ת: למדנו שכדי למצוא חצי של משהו, צריך לחלק אותו לשני חלקים שווים. 
מורה: נתרגל את זה בסיפורים חשבוניים. המציאו סיפורי חשבון לפי החוק הזה. 
ת: אמא נתנה לי ולאחי 8 שקלים. חילקנו אותם בינינו שווה בשווה. כל אחד מאיתנו קיבל חצי מהסכום. כל אחד קיבל 4 שקלים. 
ת: יש לי עשרה עפרונות. חצי מהם נתתי לסמדר. כמה עפרונות נתתי לסמדר? 
ת: בחדר היו 20 ילדים. חצי מהם היו בנות. כמה בנות היו? 
ת: בארגז יש 30 תפוחים. חצי מהם ירוקים והשאר אדומים. כמה תפוחים מכל סוג יש בארגז? 

הערה 
אותו תהליך ייעשה לגבי רבע. לאחר סיפורי הילדים ייעשה תרגול: 
מורה: כמה זה רבע של 80? 
תלמיד: 20. 
מורה: איך עשית את זה? 
תלמיד: 80 זה השלם. כדי למצוא רבע שלו, צריך לחלק אותו ל-4 חלקים שווים. כל חלק הוא רבע. 
מורה: הפעם יש לי 40 שקל. כמה זה חצי של 40 שקל? 
תלמיד: 20 שקל. 
מורה: מה יותר גדול רבע של 80, או חצי של 40? 
תלמיד: הם שווים. 
מורה: כמה זה חצי של 80? 
תלמיד: 40. 
מורה: הַסְבֵּר. 
תלמיד: כדי למצוא חצי של שלם מחלקים את השלם ל-2. 80 לחלק ל-2 הם 40. 
מורה: כמה זה חצי של 40? 
תלמיד: 20. שוב, חילקתי את 40 ל-2. 
מורה: מה אפשר לומר על חצי של 40 לעומת חצי של 80? 
ת: הם לא שווים. החצי של ה-80 גדול מהחצי של ה-40. 
מורה: שימו לב, כאשר שואלים מה גדול יותר: חצי או רבע, מניחים שהם חייבים להיות מאותו שלם. 
מורה: מחיר פיצה הוא 10 שקלים. שני הילדים שאכלו אותה רצו לחלק ביניהם את התשלום שווה בשווה. כמה שילם כל ילד? 
תלמיד: 5 שקלים. 
מורה: איך חישבת את זה? 
תלמיד: חילקתי את 10 לשני חלקים שווים. 
מורה: נכון, חצי של 10 הם 5. 

למתקדמים
מורה: 4 ילדים אכלו פיצה שעלתה 10 ש"ח. הם חילקו ביניהם את התשלום עבורה שווה בשווה. כמה שילם כל אחד מהם? 
תלמיד: שניים וחצי שקלים. 
מורה: איך הגעת לתשובה הזאת? 
תלמיד: חישבתי כמה זה רבע של 10? חילקתי את 10 ל-4. 
מורה: מה דעתכם? 
תלמידים: זה נכון. רבע של 10 שקלים זה שניים וחצי שקלים. חילקתי את 10 השקלים ל-4. מצאתי הנה כך:




נשארו לי 2 שקלים שגם אותם צריך לחלק ל-4. כדי לחלק אותם מוכרחים לחלק כל שקל לחצי.  
מורה: איך הגעת לזה? 
תלמיד: חיפשתי איך לפרוט את שני השקלים כך שאוכל לקבל 4 חלקים שווים. 
מורה: פרט את התהליך. 
תלמיד: פרטתי את השקלים למטבעות של 10 אגורות. בכל שקל יש 10 מטבעות כאלה 
 ב-2 שקלים יש 20 מטבעות כאלה. חילקתי אותם ל-4 חלקים שווים. בכל חלק יש 5 מטבעות כאלה. 5 מטבעות של 10 אגורות שוות 50 אגורות. 50 אגורות הן חצי שקל. קיבלתי 4 מטבעות של חצי שקל. 
 כאשר מחלקים 2 שקלים ל-4 חלקים שווים מקבלים שבכל חלק יש חצי שקל. 
תלמיד: אני חישבתי אחרת. בכל שקל יש 2 מטבעות של חצי שקל, ב-2 שקלים יש 4 מטבעות של חצי שקל. 
מורה: שתי הדרכים נכונות. 
מורה: אולי נדגים בעזרת מקלות את החלוקה של 10 ב-4? 
תלמיד: יש לי פה 10 מקלות. 
אני מחלק אותם שווה בשווה בין יעלי, שרית, יותם ויזהר. 

הנה תעמדו פה. יעלי מקבלת מקל אחד, שרית מקבלת מקל אחד, יותם מקבל מקל אחד ויזהר מקבל מקל אחד. אני חוזר על הפעולה וממשיך לחלק. לכל אחד מהם יש עכשיו 2 מקלות. נשארו לי 2 מקלות שעדיין לא חילקתי. אני אתן מקל אחד ליעלי ולשרית ומקל אחד ליותם וליזהר, כדי שהם יחלקו את המקלות ביניהם. מוכרחים לשבור כל מקל לשני חלקים שווים. עכשיו יש חצי אחד ליעלי, חצי אחד לשרית, חצי אחד ליותם וחצי אחד ליזהר. כל אחד מהם קיבל שניים וחצי מקלות. 

מורה: זה היה הסבר מעולה. יש בידי מטבעות. אני מבקש שתדגימו לנו את החלוקה של 10 שקלים לארבעה ילדים בכסף. 
תלמיד: חוזר על פעולת החילוק ומדגים זאת במטבעות. 
מורה: אם כך, כמה שילם כל ילד בעבור החלק שלו בפיצה? 
תלמיד: שניים וחצי ש"ח.

הערה

מטרת השאלה על הכסף להבהיר לילדים מהתחלה שחצי, רבע וכו' אינם רק עניין לצורות. יש חצי ורבע של כמות.

פעילות

מורה: הפיצה שלי הפעם היא הנייר הזה. איזו צורה יש לנייר שלנו? 
תלמיד: ריבוע. 

קל להכין ניירות ריבועיים על ידי קיפול נייר פוליו כך:

וגזירת הנייר.

מורה: אני מבקש שתראו לי איך אפשר לקבל חצי של הפיצה.
מורה: אני רואה שחלק מכם קיבל משולש וחלק אחר קיבל מלבן. איזה מהם הוא חצי? 
תלמיד: שניהם חצי. בשני המקרים חילקנו את הריבוע לשני חלקים שווים. 
מורה: מה אנחנו לומדים מזה? 
תלמיד: כדי לקבל חצי של ריבוע צריך לחלק אותו לשני חלקים שווים. כל חלק הוא החצי של הריבוע. לא חשוב מה צורתו. 
מורה: עכשיו קחו את הריבוע והראו לי איך נוכל לקבל רבע של הריבוע? 
תלמיד: מבצעים את הקיפולים. [נעודד את הילדים לקפל באופנים רבים]
מורה: גם עכשיו אני רואה שחלק מכם קיבל משולש, חלק קיבל מלבן וחלק קיבל ריבוע. מי שקיבל משולש יציג לפני הכיתה כיצד חילק את הריבוע של הנייר ל-4 חלקים שווים. אני מבקשת שכולכם תחזרו על הפעולות שהוא עשה. נעשה אותו דבר עם רבע של הריבוע של הנייר,שהוא ריבוע ועם רבע של ריבוע של הנייר שהוא מלבן. 

הערה 

לפעילויות האלה זקוקים לניירות רבים. אפשר גם ללמד את הילדים איך לקפל גיליון נייר מלבני, ליצור ממנו ריבוע ולגזור את הריבוע שנוצר. פעילות כזאת חשובה לביסוס התחושה של הצורה אצל הילדים. 

פעילות 

מורה: אני מחלק לכם ניירות ריבועיים. קפלו אותם כך שתקבלו רבע. קחו עיפרון וציירו עם סרגל את קווי החלוקה. מספרו את הרבעים. כמה רבעים קיבלתם? 
תלמידים: 4. 
מורה: אם נסלק רבע אחד מכלל הרבעים, כמה רבעים יישארו? 
תלמידים: 3. 
מורה: עכשיו נדמיין שהריבוע הזה הוא פיצה ריבועית. אני אוכל ממנו 3 רבעים. את מה שנשאר אני אתן לריקי. איזה חלק ריקי תקבל? 
תלמידים: ריקי תקבל רבע אחד. בשלם יש 4 רבעים את אכלת 3, אז לריקי נשאר רבע אחד. 
מורה: מי אכל יותר, ריקי או אני? 
תלמידים: בטח שאתה. 
מורה: פי כמה יותר? 
תלמיד: פי שלושה יותר.

סיכום 
מורה: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בשברים. 
  • למדנו שכדי לקבל שבר מחלקים שלם כלשהו למספר חלקים שווים. 
  • למדנו שהשלם יכול להיות צורה כלשהי ויכול להיות מספר כלשהו. 
  • למדנו שכדי לקבל חצי, מחלקים את השלם לשני חלקים שווים וכדי לקבל רבע מחלקים את השלם ל-4 חלקים שווים. 
  • כאשר מחלקים לשני חלקים שווים מקבלים חצי, כאשר מחלקים ל-4 חלקים שווים כל חלק הוא רבע. 
  • למדנו איך כותבים ½ או ¼.  
  • למדנו שהכתיבה הזאת של חצי פירושה: 1 מחולק לשני חלקים שווים. קו השבר מצביע על חלוקה, על חיתוך. כתיבת הרבע בחשבון פירושה: 1 מחולק ל-4 חלקים שווים. 
  • למדנו שחצי הוא חלק אחד מתוך שני חלקים שווים, ורבע הוא חלק אחד מתוך 4 חלקים שווים. 
  • למדנו שחצי גדול מרבע של אותו שלם, כי כדי לקבל חצי מחלקים את השלם רק לשניים, וכדי לקבל רבע מחלקים את השלם ל-4 חלקים שווים, לכן כל חלק קטן יותר מהחצי. 
  • למדנו שאפשר להשוות חצי לרבע רק אם השלם הוא אותו שלם. 
כתיבה של שברים

מורה: איזו צורה יש בתמונה? 
תלמידים: מלבן. 
מורה: המלבן שלמעלה הוא השלם. לכמה חלקים חילקו אותו? 
תלמידים: לשלושה חלקים שווים. 
מורה: מה שמו של כל חלק? 
תלמידים: שליש. 
מורה: ציירו במחברת שלכם מלבן וחלקו אותו לשלישים. כמה חלקים קיבלתם? 
תלמידים: 3. 
מורה: מה שמו של חלק אחד? 
תלמידים: שליש. 
מורה: כך כותבים שליש בחשבון: ⅓. מה פירוש הכתיבה הזאת? 
תלמיד: אחד מחולק ל-3 חלקים שווים. 
מורה: יפה. עכשיו קווקוו שני חלקים כאלה. כמה חלקים קיווקוותם? 
תלמידים: 2. 
מורה: כל חלק הוא שליש אחד. כמה הם 2 חלקים כאלה? 
תלמידים: שני שליש. 
מורה: איך נכתוב שני שלישים בחשבון?
תלמידים: ⅔

למתקדמים

זה דיון קשה מידי בשלב זה. אין צורך ליזום אותו. אבל אם מישהו מהילדים יעלה את הבעייה, חייבים לענות לו. 

תלמיד: אני לא מבין את הכתיבה הזאת. קודם אמרנו ששליש זה אחד מחולק ל-3. עכשיו אמרנו ששני חלקים שהם שליש כותבים כך:  ⅔  
למה זה לא 2 לחלק ל-3 חלקים שווים? זאת אומרת, למה לא פשוט כותבים 2:3?
מורה: אתם זוכרים שלפעולת החיסור יש מספר משמעויות. מי זוכר מה הן? 
תלמידים: גריעה, הפרדה, השלמה לשלם, ירידה, ספירה אחורה והשוואה. [להורים, ראו את הסיכום על משמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים]
מורה: יפה. אלו משמעויות יש לחילוק? [להורים, ראו את הסיכום על משמעויות החילוק]
תלמידים: יש חילוק לחלקים ויש חילוק להכלה. 
מורה: גם לשברים יש כמה משמעויות. כאשר אנחנו אומרים שני שליש אנחנו מתכוונים לשני חלקים שכל אחד מהם הוא שליש ואנחנו כותבים את זה כך:⅔, אבל יש לשני שליש גם משמעות של חילוק 2 ל-3. ברגע זה אנחנו מדברים על המשמעות של שני חלקים מתוך שלושה חלקים שווים.

 למתקדמים
הורה: כמה זה חצי של 50?
ילד: 25.
הורה:  כמה זה רבע של 16?
ילד:  4.
הורה:  כמה הם שלושה רבעים של 16?
ילד:  12.
הורה:  הסבר איך חישבת זאת.
ילד:  16 זה השלם. חילקתי אותו ל-4 חלקים שווים וקיבלתי שרבע אחד של 16 הם 4. 3 רבעים של 16 הם 3 פעמים 4. כלומר, 12.
הורה:  כמה הם שני שליש של 15?
ילד: חילקתי את 15 ל-3 וקיבלתי ששליש אחד של 15 שווה 5. שני שלישים של 15 הם פעמיים 5. כלומר: 10.

מבחר בעיות לתלמידים מתקדמים

1) בספר יש 30 עמודים. 2/3 מהם צבעוניים. כמה עמודים צבעוניים בספר? כמה עמודים ללא צבע בספר?
דיון לאחר שהילדים פתרו את הבעיה 
הורה:  איך פתרתם את הבעייה? 
ילד: [יהב] 30 העמודים של הספר הם השלם. כדי למצוא 1/3 מהם חילקתי את 30 ל-3. קיבלתי 10. 10 עמודים הם 1/3 של הספר. 2/3 מהעמודים הם צבעוניים, לכן 20 עמודים הם צבעוניים. 10 עמודים הם 1/3 אחד, 2/3 הם פעמיים 1/3. 20 עמודים הם צבעוניים. בספר יש 30 עמודים, אז 10 עמודים הם ללא צבע. מצאתי את ההפרש בין הצבעוניים לכלל הספר. 
ילד: [הילי] אני פתרתי קצת אחרת. כדי למצוא 1/3 של 30 חילקתי את 30 ל-3. קיבלתי ששליש של 30 זה 10. אני יודעת ששני שליש צבעוניים, לכן שליש אחד הוא ללא צבע. אם אני יודעת ש-10 עמודים הם ללא צבע, אז אני מחסרת אותם מ-30. 20 עמודים צבועים. 
ילד: אני פתרתי אחרת. מצאתי 2/3 של 30, כמו יהב. חילקתי את 30 ל-3, כדי למצוא כמה זה 1/3 של 30 ומה שקיבלתי כפלתי ב-2, כדי למצוא 2/3 של 30. אחר כך המשכתי קצת כמו הילי. אם 2/3 צבועים, אז 1/3 אינם צבועים. ידעתי ששליש מהספר הם 10 עמודים. אז ידעתי ש-10 עמודים אינם צבועים. אני אפילו בדקתי אם התשובה נכונה. חיברתי 10 עם 20 וראיתי שקיבלתי את מספר עמודי הספר כולו. 

2) 1/5 מהילדים בכיתה נולדו בחורף. כמה ילדים נולדו בחורף אם בכיתה יש 35 ילד? כמה ילדים נולדו בעונות האחרות של השנה? 
3) ילד קיבל 21 ש"ח דמי כיס. ב-2/7 מהם קנה פנקס. כמה עלה הפנקס? כמה כסף נשאר לו? 
4) 3/8 מהספרים של יוחאי הם צבעוניים. ליוחאי יש 48 ספרים. כמה ספרים לא צבעוניים יש ליוחאי?
דוגמה לדיון שמתרחש לאחר הפתרון 
הורה:  איך עבדתם? 
ילד: [יהל] אם 3/8 מהספרים הם צבעוניים, אז 5/8 מהספרים הם לא צבעוניים. חישבתי מיד כמה הם 5/8 מ-48. חילקתי את 48 ל-8 כדי לקבל ערך של 1/8 אחת. ראיתי ששמינית מהספרים זה 6 ספרים. 5/8 הם 5 פעמים 1/8, אז כפלתי את 6 ב-5 כדי לקבל ישר את מספר הספרים לא צבועים. 6 כפול 5 הם 30. 30 ספרים לא צבועים יש ליוחאי. 
הורה:  מישהו פתר אחרת? 
ילד: [שירה] כן. אני חיפשתי כמה זה 3/8 של 48. חילקתי את 48 ל-8 וקיבלתי 1/8 אחת של 48, שהיא 6. כפלתי את 6 ב-3 וקיבלתי 18. אלו הם הספרים הצבעוניים. החסרתי מ-48 את 18 הספרים הצבעוניים וראיתי שיש ליוחאי 30 ספרים לא צבעוניים. 
הורה:  ההסבר של שניכם מעולה. 
5) תלמיד לומד בשבוע 42 שעות. 5/7 מהן מוקדשות לחשבון ולעברית. כמה שעות שבועיות מוקדשות לחשבון ולעברית? 
סיכום

ראינו איך אפשר ללמד שברים בכתה ב' לכול וגם למתקדמים. השמשנו במה שלמדנו על משמעויות של פעולות החשבון. הצגנו דוגמאות למפגשים עם ילדים כדי ללמד את החומר באופן הדרגתי כאשר ההורים מציגים את הבעיות ומנחים והילדים חושבים ומגיעים לתובנות, לפי הצורך ההורה מתקן או שואל שאלות נוספות. 

המורה,
שלמה יונה

* הדיאלוגים, גישת ההוראה והרעיונות רובם ככולם של המורה הנפלאה תלמה גביש שממנה אני לומד שנים רבות ואינני מפסיק ללמוד גם היום. ברשותה אני משתמש בחומרי הלימוד שהיא פיתחה


הורים: רוצים ללמוד איך ללמד את הילדים שלכם מושגים, רעיונות, תהליכי חשיבה ונושאים במתמטיקה של בי"ס יסודי? הרשמו לסדנה להורים: ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי.