יום שני, 29 באפריל 2013

גאונות אובססיבית


גאונות אובססיבית: העולם המדעי והאישי של מארי קירי

קראתי את ספר של ברברה גולדסמית על אודות מארי קירי. הספר הזה מתרכז פחות בפיזיקה ובכימיה, אע"פ שגיבורת הספר, הביוגרפיה, זכתה הן בפרס נובל בפיזיקה (ביחד עם בעלה פייר קירי ועם אנרי בקרל) והן בפרס נובל בכימיה בתקופה שבה היה מאוד לא מקובל שנשים תעסוקנה במדעים. מעניין לגלות שגם בתה, אירן, של מארי קירי זכתה בפרס נובל. הן מארי קירי, פייר והן הבת אירן מתו כתוצאה ממחלות ומסיבוכים בשל חשיפה רבה לקרינה רדיואקטיבית. פייר קירי נהרג כשנדרס ע"י סוס ברחוב בפאריס.

מארי קירי, אף כי מזוהה כצרפתייה, נולדה בפולין כמריה סקלודובסקה. למעשה, את היסוד הרדיואקטיבי פולוניום קראה על שם מולדתה, פולין.

הספר מלמד על התקופה, על האישים הידועים במדע, על הפוליטיקה ועל היחס הבעייתי והרע לנשים שהעזו לעסוק במדע ולהוביל.

הביוגרפיה מעניינת.

מהכריכה האחורית:
"מאדאם קירי הייתה האלילה שלי," כותבת ברברה גולדסמית בהקדמה לספר. ואכן, מארי קירי חקוקה בלב רבים כדמות מיתולוגית-רומנטית, מעין 
ז'אן ד'ארק מדעית ולוחמת "פמיניסטית" אמיצה, שנים רבות לפני שהמושג "פמיניזם" עלה לכותרות. דיוקנה התנוסס על שטרות כסף, על מטבעות ובולים וקורות חייה שימשו נושא לעלילתם המרתקת של סרטים וספרים. אנשים סגדו לה, ונשים ראו בה את התגשמות כל חלומותיהן.
ואולם, מאחורי התדמית והילת הזוהר הייתה דמות אמיתית: אישה, אם, רעיה ומדענית דגולה. באישה הזאת, בעולם המדעי והאישי של מארי קירי, עוסק הספר הנפלא הזה.
גאונות אובססיבית הוא ביוגרפיה מרתקת שמפליאה לשלב בין קורות חייה הסוערים לתגליותיה המדעיות הגדולות של אישה ומדענית פורצת דרך.
מארי קירי הייתה האישה הראשונה שקיבלה בסורבון תואר ראשון בפיזיקה. היא הייתה האישה הראשונה שנבחרה לאקדמיה הצרפתית לרפואה. היא הייתה האישה הראשונה שזכתה בפרס נובל, ולא פעם אחת, אלא פעמיים: בפיזיקה, על חלקה בגילוי הרדיואקטיביות, ובכימיה, על בידוד היסודות רדיום ופולוניום.
יחד עם זאת, מארי קירי הייתה אישה רגישה מאוד ולעתים קרובות מיוסרת. היא הייתה נשואה באושר לפייר, ולאחר שנפטר הייתה לה פרשיית אהבה שעוררה סערה גדולה, והיא גידלה את שתי בנותיה כמעט לבדה לחיים של שאפתנות ועצמאות. "אדם אינו צריך לפחוד משום דבר, הוא צריך רק להבין," אמרה מארי קירי.
"ספר מצוין! תמונת דיוקן מדעית ואישית, חריפה, צלולה, נוגעת לשכל וללב." (ניו-יורק טיימס)
"ברברה גולדסמית הצליחה לשרטט תמונה יוצאת דופן, מרגשת ומעוררת הזדהות עם גיבורה-אישה מדענית." (טימוטי פריס, מחבר מילדות לבגרות בשביל החלב)
"שתי סגולות מאפיינות מדענים גדולים: תשוקה אובססיבית וסקרנות בלתי נדלית. 
מארי קירי ניחנה בשתיהן, ובשפע." תומס פאוורס.
את ההקדמה לספר ואת הפרק הראשון אפשר לקרוא באתר טקסט.

מומלץ להאזין לפרק של עושים הסטוריה של רן לוי על אודות הרדיואקטיביות, גילוייה ועל אודות האנשים שעסקו בכך: פרק 126: האיש האטומי על רדיואקטיביות ומחלת קרינה.

לקוראים באנגלית הנה עוד כמה ביוגרפיות מעניינות ומפתיעות על מארי קירי:
מעניין מאוד היה ללמוד את היחסים ואת היריבות בין בני הזוג קירי לבין ארנסט רתרפורד. זה היה חידוש בשבילי. גם אוסף התגליות והחידושים של פייר קירי היו חידוש בשבילי, למשל שגילה ותיאר את הפייזואלקטריות
ספר מעניין.





יום שבת, 27 באפריל 2013

ניסיתם לעזור לילד שלכם בשיעורי הבית בחשבון ולא הצלחתם? אינכם לבד!!


ניסיתם לעזור לילד שלכם בשיעורי הבית בחשבון ולא הצלחתם? אינכם לבד!!

ניסיתם לעזור לילד שלכם בשיעורי הבית בחשבון ולא הצלחתם? אתם לא לבד. הורים רבים בישראל עומדים נבוכים אל מול ספרי המתמטיקה • ינון מילס ניסה לעמוד על הכשלים של תוכנית הלימודים ביסודי וחזר עם תשובות אפשריות לשאלה מה משניא את המקצוע על התלמידים • הכתבה המלאה במגזין עם אושרת קוטלר בנגל. כתבתו של ינון מילס במגזין של אושרת קוטלר בערוץ 10. שודר ב-דצמבר 2010.



התרופה?




איך מצאתי את עצמי נפגש עם שר החינוך ועל מה דיברנו


איך מצאתי את עצמי נפגש עם שר החינוך ועל מה דיברנו

[27 באפריל 2013]

אתמול, יום שישי, נפגשתי בבוקר עם שר החינוך, שי פירון, בלשכתו בנוכחות עוזרו האישי שרשם וסיכם את הפגישה.
איך הגעתי למפגש הזה?
ראיתי בפרסומי משרד החינוך (דרך "אוח") הזמנה של שי החינוך לעובדי הוראה ולעובדי משרד החינוך להיפגש עמו. [ראו בתמונה].

הזדרזתי והקלקתי על הקישור שצורף ונרשמתי. בתוך שניות קיבלתי לכתובת הדוא"ל שלי אישור ואחרי כמה שעות גם טלפנו אליי מלשכתו כדי לאשר את המפגש. קיבלתי 15 דקות לשיחה איתו. כל זה קרה רק יום לפני, ביום חמישי. את אותו יום עבודה סיימתי בשעת ערב, מהעבודה הביתה ביחד עם הילדים למדורת הכיתה ורק בשעת לילה מאוחרת אחרי שהילדים רחוצים במיטות , התיישבתי להתכונן למפגש החשוב שיתקיים למחרת. עזרה לי מאוד מורתי היקרה, תלמה גביש, וביחד גיבשנו את החומר, כתבנו וערכנו. למחרת השכם הדפסתי חוברת עם החומר בכמה עותקים כדי להשאיר אצל השר ואצל עוזריו.

הנושא שבחרתי לדבר עליו הוא החינוך המתמטי בישראל.

הנה ממה שהעליתי בפני השר:


עליי

אני מגיע לשיחה זאת בכמה כובעים:
  1. מורה מתנדב, בן זוגה של מורה למתמטיקה בחטיבה העליונה ומרכזת לימודי מתמטיקה, שרואה מה שקורה בכיתות
  2. אזרח שאכפת לו מעתיד מדינת ישראל ומתוך הבנה שאין מדובר בעניין כספי אלא בעניין ארגוני שניתן לתיקון
  3. הורה שרואה מה שעובר על ילדיו וכיצד הדברים נראים מנקודת מבטם, שחרד ליכולתם להתחרות עם בני גילם ברמה הבינלאומית בעולם שטוח בחברה גלובאלית ואל מול אוייבים שכל הזמן מתפתחים ומתקדמים
  4. חבר העמותה לקידום החינוך המתמטי לכול
  5. מדריך הורים בהתנדבות

המטרה


בשלב ראשון להגיע לפגישה נוספת, אולי בנוכחות משתתפים נוספים, שמשכה ארוך יותר כדי להעמיק בכל אחד מהעניינים שאעלה. המטרה האמיתית, להחזיר לתלמידי ישראל את האפשרות ללמוד לחשוב באמצעות המתמטיקה באופן שמתמקד גם בתהליך ולא רק בתוצר, גם ב-"למה ומדוע" ולא רק ב-"איך" ובאופן שמחובר למציאות, באופן פשוט ושאינו מתחכם אך מעמיק ומחכים.

כמה מהבעיות

[1] ביטול שעות וניצול בזבזני ורע שלהן: הפער שבין שעות לימודי המתמטיקה "על הנייר" לבין שעות לימודי המתמטיקה בפועל בבתי הספר הוא של עשרות אחוזים: למשל ילדיי לומדים בפועל רק חלק קטן משעות המתמטיקה שנקובות במערכת. התופעה חוזרת על עצמה בחט"ב ובתיכון. ישנם תירוצים רבים ותואנות רבות ולכאורה סיבות רבות לביטול שיעורים. כל זה אינו עומד בקנה אחד עם ההספק שנדרש מתוך תוכנית הלימודים. התוצאה היא שאוכלוסיות חזקות מחפשות פתרונות מחוץ למערכת ומשלימות במידת מה את הפערים באמצעים אחרים בעוד שאוכלוסיות חלשות נסוגות. הפערים החברתיים והתרבותיים וגם הכלכליים בסופו של דבר הולכים וגדלים. כך נסללת הדרך לאופנות ולכוחנות ואף להפעלה של תכניות של אינטרסנטים הקרובים לצלחת. התופעה של ביטול שעות מתמטיקה היא חמורה ביותר. בבתי הספר כנראה שנמנעים מתיעוד מפורט, מדיווח ומהתמודדות עם העניין, אך כל הורה שבשקדנות יתעד את ה-"מצוי" לעומת ה-"רצוי" יגלה בנקל את התמונה העגומה הזאת.

[2] נתק מוחלט בין אנשי משרד החינוך לבין המתרחש בשדה: בגנים ובבתי הספר: תוכנית ממלכתית לכולם שאינה מביאה בחשבון מגוון האוכלוסיות והדרכים להוראה. אין הדדיות בין אנשי משרד החינוך לבין השטח. בכיתות אין דו-שיח עם חשיבה. הולכים בדרך אחת. מצפים לחקר, וליצירתיות אך אין נותנים את הבסיס ואת הכלים. יצירתיות היא חריגה מהקו הכללי. כדי לחרוג ממנו צריך לדעת אותו. פירוש הדבר: צריך ללמד את הבסיס ולהדגיש את התהליך החשיבתי. כמו שצייר יכול להיות יצירתי רק אם ידע כיצד להשתמש בצבע. קודם צריך להקנות את הכלים הבסיסיים. התנכלות והתנגדות מגמתית בכל ניסיון להשלים, להעשיר ולמלא את הריק העצום שנוצר אצל התלמידים: גם בתוך יום הלימודים אך באופן תמוה גם מחוץ לשעות הלימודים -- בבחינת הפיקוח יודע-כל ואין בלתו וכל דאלים גבר. בישראל יש מפגש של תרבויות שונות. השונות הדמוגרפית כל כך רבה שהיא דורשת מערכת גמישה, הנוגדת את המבנה הריכוזי של משרד החינוך. אי שיתוף מורים בפועל בצורה משמעותית בוועדות מגביר את הנתק והניתוק. לדוגמה: במשך עשרות שנים היו הוראות מפורשות לא ללמד כתיב נכון ולא לתקן שגיאות כתיב "כדי לא לפגוע באישיותו של התלמיד" התוצאה היתה פגיעה קשה בשפה. גם המתמטיקה נפגעה מכך, מי שאין לו שליטה בשפה אין לו גם כלים להבנת המתמטיקה, שגם היא שפה.

[3] נתקים ברצף החינוכי במעברים שבין המסגרות: גן, יסודי, חטיבת הביניים, תיכון (ואפילו האוניברסיטה). גם בין ועדות המקצוע ישנם חורים במעברים אלה: יסודי, חט"ב ותיכון. כאילו שביסודי אין מכינים לחט"ב ובחט"ב אין מכינים לתיכון. כמה דוגמאות קצרות, ללא פירוט עקב קוצר היריעה: הוצאת הוראת הבניות באמצעות סרגל ומחוגה מתוכנית הלימודים ביסודי, בחט"ב ובתיכון; הוראת המעגל ללא שימוש במושג "גזרה" או "זוית מרכזית" ופתאום בסוף כתה י' או בתחילת כתה י"א נזכרים ללמד בריצה מטורפת. "מכנה משותף" מופיע לראשונה בהקשר של שברים כשבעצם את העיקרון הזה ראינו עוד בגן כשחיברנו שלושה תפוזים עם שני תפוחים וקיבלנו חמישה פירות. נדרשת מסגרת פדגוגית לטיפול ברצף מהגן ועד לבגרות.

[4] הכשרה שאינה רלוונטית בחינוך מתמטי לגננות ושל מורים: המורים אינם לומדים בכלל או רק באופן שטחי ביותר את מה שילמדו אח"כ. לרבים אין מושג במה שהם מלמדים קל וחומר כיצד ללמד את החומר. הנושאים של היסודי ושל הגן פשוטים ככל שיהיו עוסקים במשמעויות עמוקות שגם לעיתים מתמטיקאים מקצועיים מתקשים להסביר. הבנת תהליכי החשיבה הנדרשים, הקשיים הכרוכים והתרת הקשיים אינם נלמדים באופן מסודר, שיטתי ומעמיק, אם בכלל בהכשרות המורים. תחת זאת לומדים הרים של ססמאות ושל מלל חסר פשר ותכלית לעבודה בשטח. פה אין מקום לאקדמיזציה, אלא למעשיות. לרדת מהעץ לשטח ולהבין שהססמאות באקדמיה אין להן אחיזה במציאות בשטח.

הצעות מעשיות
  1. חופש אקדמי: טיפוח מספר גישות והכנת המורים והמנחים להכרת הגישות השונות -- מתן עצמאות אמיתית למורים ולא הכתבות מהפיקוח.
  2. נדרשת מסגרת פדגוגית לטיפול ברצף מהגן ועד הבגרות. יצירת רצף לימודי מהגן עד גמר התיכון על בסיס הגישה התיווכית. בוועדת-על שתארגן תכנית לימודים בה ישתתפו מחנכים מהגן עד לכיתה י"ב כדי שיתקיים רצף ושתהיה הכנה הלאה וללא נתקים פנימיים.
  3. לשנות את מבנה ועדות המקצוע כך שלפחות 70% מחברי הועדה יהיו מחנכים בפועל. כל חברי הוועדות המקצועיות שאינם מורים למתמטיקה בפועל יהיו בעלי ניסיון בהוראה במשך שנתיים לפחות במתמטיקה. [יש לחשוב על תמהיל מתאים של מורים מנוסים באותה שכבת גיל שבה עוסקת הועדה עם מורים משכבות גיל קודמות ועוקבות להבטחת הרצף הפדגוגי.] יש להגביל את השפעתם של אנשי אקדמיה שאינם מורים בפועל להכוונה לשימוש במתמטיקה נכונה בלבד.
  4. תקשורת בעת הערכת ספרי הלימוד: הערכת הספרים מחייבת מפגש ראשוני, אחד לפחות, להצגת הרעיונות. לאחריו דו שיח ולא הכתבה, דיון ולא קביעה, הכרת המבקרים והמבוקרים וטיפוח דיאלוג מקצועי ביניהם. כל התהליך של אישור ספרי הלימוד צריך להיות שקוף לגמרי, שהכותבים והקוראים יכירו את הרקע המקצועי של כל אחד מהם
  5. בחינת התמצאות בגישות השונות של המנחים האיזוריים: תרגיל לשר: כמה מדריכים מחוזיים מכירים את ספרי "מתמטיקה יסודית" וכמה יודעים לומר מהם עקרונות הגישה החינוכית שמאחוריהם? ישנם מדריכים מחוזיים מטעם משרד החינוך שאינם מכירים את כל השיטות ואת כל הגישות וניכר שיש להם מניע להנחות רק בשיטה היחידה שאותה הם מכירים. אנשי משרד החינוך נכנסים בדרך הטבע למיגננה, שלא בטובתם ולא בטובת הציבור.
  6. להחזיר את כל המפקחים והמדריכים המחוזיים לכיתות: במקום לפזר ססמאות גבוהה גבוהה יואילו נא לאכול בעצמם את הדייסה שהם מבשלים לאחרים ושלא ינסו לכפות גישות ושיטות שבעצמם אינם מסוגלים ואינם יודעים ליישם. כמו שאומרים באנגלית: Let them eat their own dog-food. שהמפקחים המקצועיים יהיו גם מורים בפועל בתקופת עבודתם כמפקחים. כלומר, שמשרתם תתחלק בין עבודתם המשרדית לעבודה החינוכית.
  7. צמצום או אפילו ביטול מוחלט של תפקידי רפרנטים, מפקחים, מנחים, וכל שלבי הביניים הביורוקרטים. התחושה בשטח היא שהמנגנון מפריע לעבוד, חוסם התקדמות, חוסם חדשנות וחוסם יצירתיות ושהאמצעים לעשות זאת הם באמצעות השפלה, הפחדה, גימוד המורה, ביטול סמכותו ומעמדו, הצפה בבירוקרטיה, איומים (ומימושם) בחסימת תקציבים ובקידום יוזמות. ישנן וועדות מקצוע, וועדות לאישור ספרי לימוד, יש מפקחים, מדריכים איזוריים ורפרנטים, ועוד ועוד. המבנה כל כך מסורבל שהמגע עם משרד החינוך יוצר תסכול ואי אימון הדדי.
  8. הכשרת פרחי הוראה תיעשה בהתאם: פרישת כל השיטות ושליטה בגישות השונות. דגש על הקניית השפה המתמטית המבוססת על השפה הדבורה.
  9. עידוד חוגי הורים לעיסוק במתמטיקה
  10. טיפוח מסגרות חוץ בית ספריות
הצעה להתערבות עוד בגיל הרך: בגנים
הצעתי לשר תוכנית מגובשת ומפורטת להכשרת גננות להוראת מתמטיקה בגיל הרך, בתכנים וברמה שמתאימה לגיל, ע"פ התוכנית של משרד החינוך, באופן שממוקד באוריינות מתמטית ובגישה תיווכית ועל פי חומרי לימוד מובילים בעולם שהוכיחו ושמוכיחים את עצמם במשך שנים רבות, שתורגמו ושהותאמו לשפה העברית ולתרבות הישראלית ולמציאות בארץ. הבאתי בפניו את ההצעה שגובשה בעמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל:



אנחנו, העמותה לקידום החינוך המתמטי לכל , מעוניינים לסייע לקידום החינוך המתמטי בישראל על ידי הפעלת תוכנית למתמטיקה לגיל הרך בגני הילדים.

לאור ההישגים של החינוך המתמטי בסינגפור, תרגמנו חוברות עבודה לגן הנהוגות שם . חוברות אילו מציעות לגננות דרכים לשילוב המושגים  המתמטיים בפעילות השוטפת הרגילה של גן ילדים. חומרים אלה מוכנים, עלותן זולה והם ממתינים במחסנים לשימוש.

אנו מציעים לבצע ניסוי שבמהלכו תשתמשנה גננות בחוברות שלנו, בשלושה סוגי גנים:
1. גנים שמזינים את בתי הספר שמלמדים לפי הגישה התיווכית באמצעות ספרי "מתמטיקה יסודית". זאת, על בסיס אמונתנו בחשיבות הרצף החינוכי ובהכנת הילדים לאותו רצף.
2. גנים באזורי מצוקה. זאת, כדי לסייע לילדים ממשפחות במצוקה לקבל הבנה מתמטית בסיסית שאינם מקבלים בבית ולהגיע לכיתה א' עם בשלות מקבילה לזו של ילדים ממשפחות חזקות. אנו מאמינים כי הפעלת הילדים עפ"י העקרונות המצויים בחוברותינו תתרום רבות לקידומם ותעניק להם בסיס טוב לקראת כניסתם לביה"ס היסודי.
3. גנים על פי בקשה מצד הגננת.אנו מבקשים לאפשר לגננות שתבקשנה זאת להפעיל את תוכניתנו בגני הילדים שלהן.
הכנת הגננות להפעלת הילדים במסגרת הניסוי:החוברות שלנו מכילות הנחייה ממוקדת לגננות וניתן לפעול בעזרתן לאחר הכנה קצרה ביותר של הגננות. להערכתנו, די ביום השתלמות אחד. לצורך זה העמותה מוכנה לקבל אחריות על העברת ההשתלמות המומלצת בקרב גננות הגנים שייכנסו לניסוי

משך הניסוי:אנו מציעים שתוכניתנו תופעל מהגן ברמת טרום חובה ותלוּוֶה במעקב שיוביל שיפור והסקת מסקנות.

אנו מאמינים כי שיתוף פעולה פורה בין הגורמים החינוכיים מהווה מנוף לקידום החינוך המתמטי ומקווים שניענה בחיוב.

העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל (ע"ר 580409530)רח' צמחי היהודים 17,תל אביב 69054077-7502442


המטרה היא להתערב מוקדם ככל האפשר, להכשיר את הקרקע ולסייע לצמצם פערים. התוכנית שמוצעת קיימת ופועלת ועובדת היטב ומזמנת ביקורת, הערכה, השוואה ומדידה, מתוך אמונה ובטחון שהיא מוצלחת ומועילה.


והקשר לכפר יונה?
בכפר יונה, מזה כמה שנים שאני מתאמץ להביא את ההורים, את המורים, את בתי הספר ואת המועצה לשיתוף פעולה כזה שתובן חשיבות למודי המתמטיקה, שתהיינה הדרכות מקצועיות ברמה גבוה מאוד להורים ולמורים והוראה משלימה לילדים, באופן שיעמיד את היישוב בשורה הראשונה במתמטיקה ברמה שראויה ותחרותית ברמה בינלאומית. אין מדובר במתמטיקה לשם מתמטיקה, אלא כתשתית לחשיבה נכונה, כבסיס ללימוד כיצד ללמוד נכון, כשפה שתשרת כל לימוד בעתיד ובפרט לימודי מדע וטכנולוגיה ועוד ועוד. הנה כמה מהמאמצים שקיבלו חשיפה קטנה ביישוב:
  1. סדנת המתמטיקה בעמל: זאת כבר השנה השלישית, שבשקט בשקט מתקיימת אחרי שעות הלימודים בימי שישי בביה"ס עמל סדנת מתמטיקה. תלמידים שרוצים מגיעים ללמוד נושאים שלכאורה בתוכנית הלימודים אך אלה נלמדים בגישה שונה ותוך התעמקות בתהליך ולא רק בתוצר וב-"למה" במקום רק ב-"איך". ישנה הקפדה לקשור את הנושאים לחיים ולמה שכבר ידוע ולהרחיב ולהראות איך הרעיונות והעקרונות מופיעים במקומות נוספים במתמטיקה ובחיים בכלל. השנה לכיתות ג', לפני שנה לכיתות ה'-ו' ולפני שנתיים לכיתות ו'. הילדים באים מרצונם וההורה בהתנדבות מלאה.
  2. סדנה להורים: ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי: קבוצה של כ-20 הורים הגיעה במשך 14 שבועות ללמוד מתמטיקה של בי"ס יסודי, להבין מה קשה לילדים ומדוע וכיצד להתיר את הקשיים וכיצד ללמד באופן שיטתי ומסודר. ההורים ראו גישה אוריינית להוראת מתמטיקה בגישה תיווכית. לא האופן שבדרך כלל מלמדים בבית הספר. הפעילות התקיימה בהתנדבות מלאה ובתמיכת אגף החינוך של כפר יונה. סדנאות שכאלה מתקיימות גם מעת לעת באופן פרטי.
  3. סדנה להורים: פיתוח אוריינות מתמטית אצל ילדים בגיל הגן: כמה קבוצות של הורים עם או בלי צוות הגן נפגשו כדי ללמוד כיצד להשלים את התהליך החינוכי שמתרחש בגן וכיצד לפתח לילדיהם את החשיבה המתמטית ואת האוריינות המתמטית. סדנאות בנות ערב בודד התקיימו מספר פעמים בכפר יונה, בישובי הסביבה, בהוד השרון וביישובים בצפון בהדרכתי ובהדרכתו של משה ריין. גם כאן מדובר בהתנדבות מלאה. ישנן גם סדנאות בנות מספר מפגשים שמתקיימות באופן פרטי מעת לעת.
  4. מועדון המתמטיקה והמדע: אחרי סדנת המתמטיקה בעמל מידי יום ו' התחלנו השנה במפגשי מועדון מתמטיקה ומדע. תלמידים מ-ג' ועד ו' (כתה הטרוגנית ביותר -- המשותף לילדים הוא עניין רב במתמטיקה ובמדעים וסקרנות ורצון ללמוד) מגיעים לשיעור בן 90 דקות ללא הפסקה שבו אנו מעמיקים במושגים, רעיונות, עקרונות ונושאים במתמטיקה ובמדע. ואפילו לפני שבועיים חלק מתלמידי המועדון ואני ביקרנו ביחד במכון ויצמן לפעילות עם החוג בהתכתבות של מכון דוידסון.
  5. ניסיון להכשיר הורים כדי שילמדו בהתנדבות אחרי שעות הלימודים תלמידי היסודי: יוזמה של מספר תושבים להדריך הורים בחומר הלימודים במתמטיקה של ילדיהם ביסודי מתוך כוונה שחלקם ילמדו בהתנדבות ילדים ביסודי אחרי הלימודים בבתי הספר במרכז לימודים יישובי. היוזמה קמה בקול תרועה, אחרי מהמורות רבות וחשדנות והפרעות רבות מצד משרד החינוך ובתמיכת אגף החינוך ההכשרה קמה והתנהלה בהצלחה במשך 14 שבועות. לצערי, על אף נכונות ההורים בוגרי התוכנית ללמד בהתנדבות בבית הספר, העניין לא הבשיל ונפל. למען הסר ספק: הכל נעשה בהתנדבות מלאה.
  6. ניסיון להביא מיזם שבו תלמידים לומדים נושאים בסיסיים חשובים במתמטיקה יסודית והופכים חונכים לתלמידים אחרים. לא חניכה מתוך בורות, אלא מתוך ידע. תהליך עם משמעות. זאת תוכנית שפיתח והוציא לפועל משה ריין ושאותה העביר במספר בתי ספר בשנים האחרונות יש גם הרצאה שלו ב-TEDx האחרון שהתקיים בסמינר הקיבוצים רק בשבוע שעבר שבה הוא מספר על אודות התוכנית. לצערי, עדיין לא הבשילו התנאים כנראה לשלב את התוכנית הנפלאה הזאת בבתי הספר בכפר יונה. אני מקווה שהמציאות הזאת תשתנה.
היו ניסיונות נוספים בחזיתות נוספות שאולי בהזדמנות אחרת אפרט עליהם.

בעוד שהפונקציונרים השונים בפוליטיקה המקומית ובעלי התפקידים ונושאי המשרה מתבטאים תחת כל עץ רענן עד כמה החינוך בראש מעייניהם, מתברר שיש מרחק גדול מאוד בין מילים לבין המעשים. המרחק אפילו רב יותר כשמתערבים פקידי משרד החינוך בנושא: באופן מפתיע במקום לעזור אלה מפריעים. כנראה הכל מכוונות טובות, אבל בדרך כלל מתוך בורות, צרות אופקים ומניעים נסתרים והמון בירוקרטיה. את זה, בין השאר, ניסיתי להביא בפני השר, וקיבלתי ממנו את הרושם שבכוונתו לצמצם הבירוקרטיה ולהפוך את הפתיחות לגישות השונות למציאות ולא רק לססמה. על החשיבות שבקידום החינוך המתמטי ובהעלאת הרמה לא היתה מחלוקת -- העניין בעל חשיבות לאומית!!

אז מה יצא מהפגישה?
סיכום הפגישה היה שיש להביא את העניין לרמה מעשית. לשם כך המפגש הבא נקבע עם יו"ר המזכירות הפדגוגית ועם מפמ"ר מתמטיקה. טרם נקבע עמי המועד. אני מקווה שבמהרה בימינו. 

רקע נוסף

לסיכום
אני אופטימי!!


יום שבת, 13 באפריל 2013

פעילות מועדון המתמטיקה והמדע בכינוס במכון ויצמן ב-12 באפריל 2013

פעילות מועדון המתמטיקה והמדע בכינוס במכון ויצמן ב-12 באפריל 2013



נסענו למכון ויצמן.

בשמונה ושלושים קיבלו את פנינו בגן המדע עם מדבקות עם שמות הילדים, מפת הגן, כתב חידה ותעודה יפה ומושקעת.

אחרי כשלושים דקות של פעילות הילדים בגן בפענוח כתב החידה (שהביא אותם לעבור בין המוצגים שבגן, לעיין בהסברים על המתקנים השונים, ולחשב חישובים) חולקו הילדים לקבוצות ומדריכים נחמדים וידענים עברו עמם בין כמה מהמוצגים והסבירו להם עקרונות פיזיקליים וכיצד הם באים לידי ביטוי במתקנים. 

מאוחר יותר באודיטוריום יוסי אלרן הסביר על הצפנה ועל כמה צפני החלפה ידועים יותר וידועים פחות וגם הזכיר צפנים בתנ"ך, למשל אתב"ש

השיא היה ההסבר וההתנסות באולם בהצפנה ובפענוח של צופן מסוג גריל. הילדים קיבלו כתב חידה חדש, כמה מפות גריל, נקודות ציון בגן המדע ויצאו לפענח.

היה מרשים מאוד לראות את הילדים שלנו מכפר יונה עובדים כצוות, לא נזקקו לנו ההורים, אלא בתור נושאים כלים. הפרס היה קרחון לכל הילדים שסיימו. 

אח"כ עוד ביקרנו באקו-ספירה שם זכינו לראות בעלי חיים מעניינים ולשמוע על אודותיהם וגם על צמחים מעניינים. 

חזרנו הביתה עייפים ומרוצים.

היה יום נפלא!!



יום שבת, 6 באפריל 2013

סדרת הרצאות מצולמות "יופיה של המתמטיקה" מפי פרופסור גיל קלעי


"יופיה של המתמטיקה" היא סדרת הרצאות על מתמטיקה ללא מתמטיקאים מפי פרופסור גיל קלעי במסגרת תוכנית 'אבני פינה' של האוניברסיטה העברית.

הרצאה 1


הרצאה 2


הרצאה 3


הרצאה 4


הרצאה 5


הרצאה 6


הרצאה 7


הרצאה 8


הרצאה 9


הרצאה 10




מתמטיקה וחינוך / רון אהרוני


מתמטיקה וחינוך

רון אהרוני

הקדמה


בדואליות בין חינוך והוראה יש מקצוע אחד שנמצא בבירור באורח מוחלט בצד השני: מתמטיקה. לא לחינם אומרים עליה שהיא "טהורה". אין לה שום קשר לחיים. ממשפט פיתגורס אי אפשר להסיק שום דבר מעניין על רגשות, ומפתרון משוואה ריבועית אי אפשר ללמוד שום דבר על תכלית החיים. כמובן, אלא אם כן אתה מתמטיקאי, שאז משפט פיתגורס הוא בשבילך תכלית החיים. וכמתמטיקאי, אני דווקא מסכים עם הדעה הזאת. אין דבר יפה וחשוב ממשפט מתמטי עמוק. 

יש הסבורים שלמתמטיקה יש השלכות פילוסופיות. אבל מי שחושב כך לא מבין מה זו מתמטיקה, וכנראה גם לא מהי הפילוסופיה (זאת כנראה אף אחד לא מבין). דיון בבעיה באלגברה אי אפשר לכוון כך שתיגע בשאלה מהו הצדק, ולימוד בעיה גיאומטרית לא יגיע לשאלה אם צריך להאמין בישות על טבעית או לא. מתמטיקה נועדה לתאר את המציאות הפיזיקלית, לא הנפשית. ובוודאי שאינה יכולה לתאר את המציאות הרוחנית, למי שמאמין שיש דבר כזה.

(אמנם קיימות בספרות "הוכחות" מתמטיות לקיום אלוהים, שהמפורסמת ביניהן היא זו של הלוגיקאי קורט גדל. אבל אין להתייחס אליהן יותר ברצינות מאשר ל"הוכחות" לא מתמטיות מסוג זה. גדל כתב את הוכחתו לעת זקנה וערעור נפשי, ולא לחינם דאג לכך שלא תתפרסם לפני מותו.) 

ובכל זאת - יש קשר. למתמטיקה יש השלכות על החיים. גם בה, כמו בתחומים אחרים, הקיטוב בין חינוך והוראה הוא מדומה. המתמטיקה משפיעה על חיי לומדיה לא רק בצד האינטלקטואלי הטהור, אלא גם נוגעת בעמקי נפשם. והיא עושה זאת בשתי דרכים שונות. הראשונה היא שהעיסוק במתמטיקה מלמד לחשוב בדרך מסוימת, ודרך החשיבה הזאת משפיעה על גישתו של העוסק בה לחיים כולם. השנייה היא הבנה שהושגה באמצעות המתמטיקה: תורות מתמטיות הן אלה שתרמו יתר מכל להבנה מהי החשיבה האנושית. על שתי ההשפעות האלה על הבנת החיים אני רוצה לכתוב במאמר הזה. 

דרכי חשיבה

מה זו "מתמטיקה"
לפני שאפנה להשיב על השאלה איך מתמטיקה מתחברת לחינוך, אנסה להסביר מהי המתמטיקה בכלל. שאלה לא פשוטה – רוב המתמטיקאים, אם תשאל אותם במה הם עוסקים יתקשו להשיב עליה. רובם גם יפטרו אותך בחיוך מנומס ויחזרו לעסוק בבעיה שהם חושבים עליה כרגע. 

אז בואו נשאל קודם כל – במה עוסק המדע? בעולם יש תבניות, והמדע מנסה לבנות במוחם של בני האדם תמונות מראה שלהן. מדע טוב מגלה תבניות סמויות ועמוקות. למשל, תבנית הברירה הטבעית קיימת בעולם החי, אבל אינה נראית לעין משום שהיא נוגעת לעבר, שאותו אין ביכולתנו לראות. עם זאת, היא משלימה את תמונת התצרף (פזל) של הביולוגיה בצורה מושלמת. הבנה של התהליך הזה פירושו יצירת מבנה מתאים במוח, שמחבר מושגים ביולוגיים רבים יחד. התבניות במוח מאפשרות לנו לנבא איך יתנהג העולם החיצוני, ולהתאים את התנהגותנו אליו. 

בחשיבתו של האדם המושגים לובשים צורה מילולית. אנחנו מתאימים מילים לתבניות, ומחברים את המילים בדרך שמתאימה לקשרים בין התבניות. אבל יש לזכור שהמילים אינן אלא קצף על פני המים, ביטויים חיצוניים למבני מוח עמוקים יותר. עובדה היא שאצל חיות הקישורים המוחיים נעשים ללא תיווכן של מילים. איך כל זה קורה באמת במוח – כיום עדיין איננו יודעים. אבל את אי הידיעה הזאת אפשר לסכם בכך שהמדע בונה במוח תבניות מושגיות שמתאימות לעולם. 

המתמטיקה מגיעה בשלב שני. בניגוד למדע, היא לא מסתכלת במציאות, אלא במושגים. היא מגלה את החוקיות במבנים שיצרנו במוחנו. למשל, לאחר שבנינו את מושג המספר, אין צורך עוד להסתכל במציאות כדי לחשב כמה הם 6:2. התוצאה תנבע מן הכללים שהמספרים מצייתים להם. מתמטיקאי מקבל מערכת של כללים, ולומד את המסקנות מהם. וראה זה פלא – החקירה הזאת מלמדת גם על המציאות. כי אותם קשרים יש גם במציאות. אפשר אז לחזור למציאות, ולבנות על פי הכללים האלה גשרים, חלליות ומחשבים.

מה מאפיין את החשיבה המתמטית

למתמטיקאים אין מונופול על חשיבה, גם לא על חשיבה מדעית. לא הם מגלים את התבניות בעולם. הם רק חוקרים מערכות של מושגים, לאחר שאלה נבנו. אבל לחשיבה המתמטית יש שתי תכונות ייחודיות: נדבכיות ודיוק. 

"נדבכיות" משמעה שהמתמטיקה, יותר מכל תחום חשיבה אחר – לאין שיעור יותר – בנויה קומה על גבי קומה. טיעון מתמטי הוא בדרך כלל ארוך מאוד, ומסתמך על הרבה מאוד שלבים שקדמו לו, ועל הרבה ידע קודם. אם נפרש את כל השלבים בהוכחה מתמטית מורכבת, היא תתפוס ספרים. גם בתחומים אחרים יש נדבכיות, אבל לא באותה מידה. המתמטיקה מורכבת הרבה יותר מאשר תחומים אחרים. 

איך אפשר להחזיק במוח מבנים כה מורכבים? הסוד הוא שרכיביו של המבנה מתחברים זה לזה בקשרים קשיחים. לו היה איש ספרות מנסה לבנות משהו כה מורכב הוא היה נכשל, משום שהמושגים אוחזים זה בזה בצורה רופפת, וכל המגדל היה מתמוטט במהרה. במתמטיקה החיבורים הם יציבים. זוהי דרך אחרת לומר שהמתמטיקה מחויבת לדיוק. אין דבר כזה, הוכחה "בערך". טיעונים היוריסטיים אינם זוכים להערכה רבה במתמטיקה. מה שלא הוכחת במדויק אינו קיים. 

משמעת וכבוד למציאות



המורכבות של המתמטיקה והדיוק שלה מתחברים בנקודה אחת: משמעת. כדי לעמוד בדרישות ששני אלה מציבים, נחוצה משמעת חשיבה חמורה. אינך רשאי לשגות בהזיות. כלומר, עליך לכבד את המציאות. לשים אותה לפני משאלותיך והרהורי ליבך. 

הדבר מזכיר לי משהו שאמר ידיד שלי שפרש מן המתמטיקה. הוא הסביר את פרישתו בכך שכשהוא חושב על בעיה מתמטית ברור לו שהבעיה חשובה הרבה יותר ממנו. הוא אינו יכול לשחק בה. היא שם, והוא המשרת שלה, במובן זה שהוא אינו יכול לשחק בינו לבין עצמו, להמציא ככל העולה על רוחו. 

בעיני רוב המתמטיקאים זוהי דווקא התכונה המושכת במתמטיקה: הכבוד לעולם. ההיווכחות בכך שיש משהו חשוב ממך ומרצונותיך. רבי שמחה בונים, ממנהיגי חסידות העיר הפולנית פשיסחא, אמר "לעולם יהיו לאדם שני כיסים. באחד מונח המאמר: 'אנוכי עפר', ובשני: 'בשבילי נברא העולם'. " המתמטיקה מלמדת, את מי שמוכן ללמוד זאת, את הראשון בין שני הלקחים האלה. והבנת מעמדו של האדם בעולם, האדם הפרטי והאדם בכלל, היא בעיני יסוד חינוכי חשוב. 

יש עוד דרישה שנובעת מן המורכבות של המתמטיקה: עבודה. כמו כל כישורים אחרים – מוזיקליים, למשל, אי אפשר לקנות את הבנת המתמטיקה ללא עמל ויגע. נחוץ פתרון בעיות טכניות, עוד ועוד. אבל נדמה שבמתמטיקה הדבר בולט יותר מאשר במקומות אחרים. וכמו במוזיקה, בולטת בה העובדה שעבודה נושאת פירות. כשאתה עובד אתה נמצא אחרי זמן לא רב במקום אחר לגמרי מזה שיצאת ממנו. 

ספקנות, ציניות והיעדר יראת כבוד בפני סמכות



יש אמרה מאירת עיניים על יתרונם של מדעי הטבע על פני מדעי הרוח, שהייתי שמח לדעת את מקורה (אם יש מישהו בין הקוראים שיודע – אנא כתבו לי): 

מה ההבדל בין מתמטיקה לפילוסופיה? שבמתמטיקה מישהו חשוב הוא מישהו שאמר משהו חשוב. בפילוסופיה משהו חשוב הוא משהו שאמר מישהו חשוב.

אין מה לעשות, במדעי הרוח יש הרבה סנוביות. כשאין קריטריונים ברורים לטוב ולרע, נתלים בסמכות. שוכחים שאדם הוא רק אדם, ושיהא שמו גדול ככל שיהא, החכמה שצבר בימי חייו היא בהכרח מוגבלת. נתלים במילים מתפתלות, במקום להסתכל במציאות. סיפור ידוע, שראוי שיספרוהו שוב על אף שכבר סופר פעמים רבות, הוא על המתיחה של סוקל. סוקל (Sokal) הוא פיזיקאי אמריקני, שכדי להראות את היומרנות שבשיח הפוסט מודרניסטי גיבב מילים מסובכות, ואסף אותן למאמר בשם "לחצות את הגבולות – לקראת הרמנויטיקה טרנספורמטיבית של כבידה קוואנטית", שאותו שלח לעיתון פילוסופי פוסט מודרניסטי נחשב בשם "Social Text ". העיתון פרסם את המאמר, יש לשער שבעיקר בגלל שמו של הכותב והעובדה שהעורכים לא הבינו מילה (כפי שבוודאי אינם מבינים מילה בחלק גדול מן המאמרים בעיתונם). סוקל כתב מאמר שני, שבו חשף את המתיחה. העיתון סירב לפרסם את המאמר החושף, בטענה ש"סוקל כתב את המאמר ברצינות, ורק אחר כך חזר בו". 

במתמטיקה יש קריטריונים, ברורים מאוד. כל מתמטיקאי יודע להבחין בין מתמטיקה טובה למתמטיקה פושרת. ברור אילו בעיות הן מעניינות ואילו לא, מתי רעיון הוא חדש, ומה מידת עומקו. 

היעדר יראת כבוד בפני סמכות היא תכונה חשובה מאוד. פירושה ספקנות. אולי אפילו ציניות, אבל במידה הנכונה. ולימוד מתמטיקה הוא דרך מעולה להגיע לכך. ספקנות פירושה התייחסות לחיים בהומור – לא כל מה שנחשב לחשוב הוא באמת חשוב. לא כל מה שמוכרים לך הוא אמיתי. והחשוב מכל - אדם צריך לבדוק את הדברים בעצמו. ציות מתוך אמונה עיוורת הוא דבר שמתמטיקאי יחטא בו פחות מאדם אחר. והתכונה הזאת היא משהו שהייתי שם גבוה בסדר העדיפויות של מה שאני רוצה להשיג בחינוכו של אדם צעיר. 

מתמטיקה ויופי



בעיני, אחד הדברים החשובים שחינוך צריך להקנות הוא אהבה ליופי. "מי שזכה להכיר יופי לא יהיה מוכן לשאת כבלים", אמר המשורר הפקיסטני מוחמד איקבל. למה יופי הוא כה חשוב? מאותה סיבה שחשוב שאדם יידע שיש חכמה בעולם – כי מי שמכיר יופי יודע שיש משהו מעבר לו. משהו חשוב ממנו עצמו. משהו שאפשר לשאוף אליו. 

והמתמטיקה יפה. זוהי תכונתה העיקרית. אם תשאלו מתמטיקאי מה מניע אותו לחקור, בתשעה מתוך עשרה מקרים תקבלו את התשובה "יופי". מתמטיקאים מחפשים בעיקר יופי. יופי הוא הקריטריון העיקרי שלהם לנכונותה של תורה. אם משהו אינו יפה, הוא או לא נכון או לא חשוב. אין ספור מתמטיקאים ומשוררים ציינו את הדמיון בין המתמטיקה והשירה. "מתמטיקאי שאינו קצת משורר אינו מתמטיקאי מושלם", אמר ווירשטרס, המתמטיקאי הגרמני הגדול בן סוף המאה התשע עשרה. "רק אוקלידס לבדו ראה את היופי בעירומו", כתבה המשוררת האמריקנית עדנה וינסנט מיליי. 

מניין הדמיון הזה בין מתמטיקה ושירה? ומדוע שניהם יפים? בספר שכתבתי, "מתמטיקה שירה ויופי" ניסיתי להשיב על כך. תשובתי שם הייתה שמשהו הוא יפה אם יש בו תוכן עמוק, שאיננו יכולים לתפוס בצורה מודעת. בשירה התכנים מועברים אלינו בצורה סמויה ועקיפה – למשל בעזרת מטפורות. במתמטיקה האמירות אינן עקיפות, אבל יש סיבה אחרת לכך שאנחנו קולטים דברים בצורה לא מודעת, יודעים אותם בלי לדעת עד תומם. במתמטיקה מתגלה לנו סדר מופלא ועמוק, שהוא כל כך מורכב שאיננו יכולים לתפוס אותו במלואו. ממש כפי שלעולם לא נתפוס את מלוא הסדר שנמצא ביצירה של מוצרט, ומשום כך אנחנו יכולים לשמוע אותה שוב ושוב וליהנות ממנה בכל פעם מחדש. אנחנו יכולים רק לתפוס את גילוייו החיצוניים של הסדר, ולהתפעל מן העומק של המבנה שפיסה קטנה שלו נגלית לעינינו. גם כאן, המשמעות היא שאנחנו פוגשים משהו חשוב מאיתנו. משהו טרנסצנדנטלי, הייתי אומר לו הייתי מאמין בכך שקיים משהו מעבר לעולם הגשמי. משהו שמעבר להבנתנו, אני אומר כמי שאינו מאמין בכך. 

היופי הזה נמצא במתמטיקה בכל הרמות שלה. גם זו של בית הספר היסודי – ואולי שם יותר מכל. השאלה הגדולה היא אם אפשר להעביר את תחושת היופי הזאת לתלמידים. אני בטוח שכן. הנה סיפור קטן, שמוכיח זאת. בבית ספר נחשל למדי במגדל העמק לימדתי בכיתה ב', והראיתי להם מדוע 2 פעמים 5 הם 5 פעמים 2 (חוק החילוף של הכפל). הראיתי להם את האצבעות בשתי הידיים שלי, כשהן מרוחקות זו מזו: 2 פעמים 5. אחר כך הצמדתי את ידי זו לזו, ופרשתי את האצבעות, כך שהתחלקו ל-5 זוגות: 5 פעמים 2. ילד שישב בשורה הראשונה אמר לעצמו בשקט: "זה יפה". וזה באמת יפה. 

כדי להעביר את תחושת היופי כל שצריך הוא ללמד מתמטיקה בצורה נכונה. שפירושו: בצורה שבה מתמטיקאים חושבים. בסעיף הבא אנסה להסביר מה פירוש הדבר.

מן הפרטי לכללי



איך מתמטיקאים חושבים? –בצורה מופשטת, ישיבו רוב האנשים שיודעים בכלל במה מדובר. אבל בדיוק ההפך הוא הנכון. מתמטיקאים יודעים שהחשיבה נעשית דרך דוגמאות. היא הולכת מן הפרטי לכללי. מתמטיקאי חושב בדוגמאות, וההפשטות מגיעות אחר כך מעצמן. הכלל הוא: אין פשוט מדי. צריך להסתכל תחילה בדוגמאות הפשוטות ביותר. 

לו היו המורים למתמטיקה יודעים זאת, הייתה הוראת המתמטיקה נראית אחרת לגמרי. את 2+3 היו מלמדים דרך צירוף של קבוצה של 2 אבנים עם קבוצה של 3 אבנים. כשהיו מלמדים פתרון משוואות ריבועיות היו בודקים תחילה את המשוואה הריבועית הפשוטה ביותר – x2=0 , ועוברים למשוואה הבאה, x2=1. את הנוסחה לפתרון היו בודקים על שתי המשוואות האלה. אחר כך היו מבקשים מן התלמידים להמציא משוואה שפתרונותיה הם 1 ו-3: להמציא משוואה נותן תובנה על איך משוואה בנויה, הרבה יותר מפתירת משוואה שאין לך מושג למה דווקא היא נחתה עליך משמיים. 

כשילדי מספרים לי משהו במונחים כלליים, אני מבקש "תנו דוגמה". אני יודע שהצלחתי, כאשר כשאני מספר משהו הם אומרים לי "אבא, דוגמה!". 

יש עוד הרבה כללי חשיבה בסיסיים במתמטיקה, שהוראתם היא פתח להכרה ביופיה. למשל – בדקו תמיד מקרים קיצוניים. נסו למצוא את המשותף למקרים פרטיים. כל אלה, אם יילמדו, ייתנו ערך חינוכי ללימוד המתמטיקה. 

המתמטיקה ומעמדו של האדם ביקום

בחלקו הראשון של המאמר חזרתי יותר מפעם אחת אל ערך חינוכי אחד של לימוד המתמטיקה: הכרת מקומך בעולם. העובדה שאינך מרכז העולם. צניעות בפני מורכבותו של העולם. 

למתמטיקה היה תפקיד היסטורי חשוב בהבנה של אותו לקח על רמה כללית יותר. לא רק שאדם פרטי אינו מרכז העולם, אלא שגזע האדם אינו מרכז היקום. אחת התובנות החשובות שהובילו לתפיסה הזאת הגיעה מן המתמטיקה, ועל כך אני רוצה לספר בחלק זה של המאמר. 

להבנה שהאדם אינו כה חשוב כפי שנדמה לו קרא זיגמונד פרויד "מהפכה קופרניקאית", על שם המהפכה של קופרניקוס, שהבין שכדור הארץ אינו מרכז היקום. פרויד מנה עוד שתי מהפכות כאלה. אחת היא המהפכה הדרוויניסטית, שלימדה אותנו שאף אם האדם הוא החיה האינטליגנטית ביותר, בעיקרו של דבר הוא שייך לממלכת החי ואינו שונה עקרונית מחיות אחרות. את המהפכה השלישית ייחס פרויד, שלא סבל מצניעות יתרה, לעצמו. הוא הוריד את האדם ממעמד השליט הכל יכול בממלכה האחרונה (כמעט אחרונה, כפי שתיכף נראה) שנותרה לו: נפשו שלו עצמו. את הנפש שלך אינך מכיר היטב יותר מאשר את שאר העולם. מבחינות מסוימות, אתה מכיר אותה אפילו פחות, כך הראה פרויד. 

אבל בעוד פרויד כותב את המילים האלה (זה היה ב-1915, בהרצאות שנתן בווינה על תורתו) הייתה מהפכה קונטרה-אנתרופוצנטרית (כלומר שמסלקת את האדם ממרכז היקום) בעיצומה. והיא באמת הדיחה את האדם מכס המלכות האחרון שייחס לעצמו: החשיבה המופשטת. לכאורה, הדבר הייחודי ביותר לאדם. בין 1878 ו-1940 תרמו מתמטיקאים רבים להבנה שאין זה כך. גם מכונה מסוגלת לחשיבה מופשטת. 

ראשיתה של המהפכה היה בהגותו של פילוסוף-מתמטיקאי בשם גוטלוב פרגה, פרגה הבין דבר מהפכני לחלוטין: שהחשיבה האנושית ניתנת לתיאור מתמטי. פירוש הדבר הוא לפני הכול שהחשיבה היא עניין מכאני. היא יכולה להינתן בידי מכונה. שבעים שנים אחר כך תהפוך התובנה הזאת לכמעט מובנת מאליה, עם המצאת המחשב, אבל ב-1878, כשפרגה פרסם את ספרו, זו הייתה מהפכה עצומה. למעשה פרגה לא התייחס לחשיבה האנושית בכללה, אלא לחשיבה המתמטית, וליתר דיוק לצד אחד שלה, הלא הוא כתיבת הוכחות מתמטיות. אבל עם השנים - כאמור במיוחד לאחר המצאת המחשב - התפתחה התובנה הזאת וכללה את החשיבה האנושית כולה. 

ספרו של פרגה היה כה מהפכני, שלא זכה לשום תגובה. לעולם המתמטיקה, ולעולם בכלל, היה מזל גדול בכך שלברטראנד ראסל הייתה בילדותו אומנת גרמניה. ראסל ידע גרמנית, וקרא את עבודתו של פרגה. בזכותו הגיעה עבודתו של פרגה למרכז הבמה. ב-1910 הוציא ראסל ומורה שלו, וויטהד, ספר מפורסם, "פרינציפיה מתמטיקה", פרי מלאכה של שנים רבות. בספר הזה הם פיתחו ושכללו את תורתו של פרגה. ה"פרינציפיה" הוא ספר כבד מאוד, שנקרא על כל פרטיו רק בידי מעטים, ובכל זאת הייתה לו השפעה גדולה, והבעיות שעלו בו הביאו מתמטיקאי צעיר (מאוד) בשם גדל (שהוזכר בתחילת המאמר הזה) להבין דברים רבים. למשל, איך אפשר להגדיר בצורה מדויקת מהו "אלגוריתם", כלומר מתכון חשיבה לפתרון בעיה מסוימת. הגדרתו של גדל הייתה מופשטת למדי, אבל מתמטיקאי אנגלי (צעיר מאוד אף הוא), אלן טיורינג, נתן לה נוסח קונקרטי. הוא בנה מודל פשוט למדי למכונה שיודעת לחשוב, שכיום אנחנו קוראים לו "מכונת טיורינג". מכאן הייתה הדרך קצרה מאוד – שנים ספורות – להמצאת המחשב האלקטרוני. כמובן, חלק חשוב היה בכך להתפתחות האלקטרוניקה. 

האם כל זה רלבנטי לחינוך של אנשים צעירים? אני חושב שכן. זוהי תובנה משלימה לתובנה של דרווין. לא רק גופו של האדם הוא חלק מן העולם, אלא גם חשיבתו אינה משהו על טבעי. היא בסך הכול חלק מן העולם הגשמי. פירוש הדבר הוא דה-מיסטיפיקציה של קיומו של האדם ושל חשיבתו. מי שמבין שהוא, וחבריו בני האדם שסביבו, אינם יצורים כה מיוחדים, יחסוך מעצמו אמונות מיסטיות. בעיקר אמונות כאלה שאומרות שהוא מיוחד. למשל, האמונה שאלוהים בחר בעם אחד מסוים כדי למלא את רצונו על פני אדמות תלויה במעמד מיוחד שנותנים לרעיונות. היא מחייבת אמונה בכך שרעיונות – במקרה זה רעיונות המיוחסים לאלוהים - הם משהו טרנסצנדנטי, שמעבר לקיום הגשמי של האדם. והאמונה הזאת, כשהיא מוחזקת בידי שני עמים, שכל אחד מהם חש שהוא חייב להצדיק את הצד שלו, תביא בוודאות מלאה לאסונות נוראים. 

האם פירוש הדבר שצריך ללמד ילדים ונערים מהי "מכונת טיורינג"? האם צריך להורות בבית ספר שהחשיבה האנושית היא מכאנית, ושאפשר לתאר אותה בצורה מתמטית? לאו דווקא. אלה הם רעיונות מופשטים מדי. אבל חובה ללמד צניעות אל מול הטבע. לא צניעות מול ישות מופשטת כמו אלוהים, שבעזרתה אפשר להצדיק ולתרץ כל מעשה שהאדם למעשה בוחר בו למעשה ממניעים שלו, אלא מול העולם הגשמי. זוהי צניעות אמיתית יותר. כדי להבין את מעמדו של האדם בעולם חיוני, לפני הכול, ללמד את תורת הברירה הטבעית. כדי לדעת היכן בעולם הוא עומד, אדם חייב לדעת עד כמה הוא דומה לשאר החיות בגופו ובהתנהגותו. לאחר מכן חשוב ללמד גם שהחשיבה האנושית אינה דבר כה מיוחד. שרעיונות הם חלק מן העולם, ושהעובדה שהאדם יודע לחשוב אינה הופכת אותו לכל יכול. אדם צעיר צריך לדעת שאמונות מופשטות הן תוצאות של תהליכים גשמיים, ושאין לייחס להן משמעות על טבעית. אין להשתעבד להן, או לחשוב שהן יכולות להיות תירוץ למעשים נוראים. אדם שמבין זאת הוא אדם טוב יותר.

* רון אהרוני הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון, מחבר הספר חשבון להורים וממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.


יום שישי, 5 באפריל 2013

סיכום המפגש של אחרי חופשת הפסח במועדון המתמטיקה והמדע


סיכום המפגש של אחרי חופשת הפסח במועדון המתמטיקה והמדע

חזרנו לעניינים אחרי החופשה הארוכה.

הודעה חשובה: בשבוע הבא לא יתקיים מפגש כי אנחנו במכון ויצמן בכינוס. אז, את התלמידים שרשומים לתוכנית בהתכתבות של מכון ויצמן ושנרשמו גם לכינוס נפגוש שם ואת כל השאר נפגוש רק בעוד שבועיים ב-19 באפריל 2013.

במתמטיקה הזכרנו את המשחק נים (NIM). אני מעודד את התלמידים להתחיל את הגליון השני במתמטיקה בהתכתבות, זה שמכונה "חיסור גורלי". כדאי לקרוא על אודות המשחק באינטרנט (ראו למשל כאן, כאן וגם כאן). רשמו לכם את מה שאינו ברור לכם ובכל נטפל במפגשים הבאים. אחרי כמה סיבובים של נים ששיחקנו בכיתה, בכל פעם זוג תלמידים שונה, חלק מהתלמידים כבר הציעו אסטרטגיות שונות לפתרון במצבים מסויימים. אני סבור שאחרי קריאה ולימוד על אודות המשחק, תשכללו את האסטרטגיות שלכם. חפשו בגוגל את המשחק, יש לו יישומים רבים מאוד, בקלות תמצאו גרסאות רבות ותוכלו להתנסות ולשחק ולבדוק את האסטרטגיות שלכם. הביאו את הרעיונות שלכם לאסטרטגיות לנצחון לכתה ונדון בהן.

עסקנו גם בטריקים שונים ומשונים לחיסור במאונך ודנו בסיבות להכיר שיטות רבות ומגוונות לפתרון גם אם ברשותינו שיטת פתרון שתמיד עובדת (חיסור במאונך). דיברנו על כך שמדובר בגמישות מחשבתית שלנו והיכולת שלנו להעריך על פי הבעיה, התנאים, השיטות הידועות לנו והמצב שלנו עצמינו, כולל ההעדפות שלנו, כל אלה מאפשרים לנו לבחור בדרך הנוחה והקלה והמתאימה ביותר לנו באותו המעמד. נתנו ביטוי לעקרון הזה בסיפורים שונים מהניסיון שלנו בחיים ובמתמטיקה.

אז הנה השיטה הראשונה שעסקנו בה:

והנה שיטה נוספת:

דיברנו על מקרים נוספים שבהם אנחנו בקלות יכולים לזהות מתי אפשר לפתור עוד יותר בקיצור ועוד יותר בקלות, מתוך הבנה שלנו את המבנה העשרוני ואת התכונות של פעולות החיבור והחיסור.

cycle2_he.jpgבחלק המדע התחלנו לדבר על פחמן דו-חמצני. הנה מ-ויקיפדיה:
פחמן דו-חמצני, נקרא גם דו תחמוצת הפחמן, CO2 בכתיב כימי, הוא גזטמפרטורת החדר) המהווה תרכובת של פחמןוחמצן. כל מולקולה של CO2 מורכבת מאטום פחמן (C) אחד ושני אטומי חמצן (O), הקשורים אליו בקשר קוולנטי כפול.

מה זה קשר קוולנטי? הנה קישור לשאלה ולתשובה עליה. והנה סרטון עם תרגום שעוסק בשאלה ובתשובה:

הזכרנו ניסוי נחמד של ניפוח בלון "בלי ידיים" באמצעות פחמן דו-חמצני. הנה סרטון הניסוי:


הפחמן הדו-חמצני הוא אחד מגזי החממה. מעניין לקרוא שאלה ששאלו ב-דוידסון-אונליין על קשר בין החור באוזון לבין גזי החממה. מצב המוצק של פחמן דו-חמצני הוא קרח יבש.

על גזי החממה:



* ספרו לי בדוא"ל על ניסויים נוספים עם פחמן דו-חמצני שראיתם וששמעתם עליהם.

הנה כמה ניסויים שאני מכיר ושמצאתי סרטונים שלהם בעברית או כאלה שאינם דורשים מלל:

אני מקווה שתצפו בהם, ותרשמו לכם מה הבנתם ומה עדיין אינו ברור, ונטפל בכל במפגשים הבאים.


הר געש של קצף


ניפוח ופיצוץ עם סודה לשתייה וחומץ [באנגלית]


להבה נדלקת, כבית, ושוב-נדלקת


קישורים למתעניינים:


לסיום, אני רוצה להמליץ לכם על הפודקאסט המצויין של רן לוי, עושים הסטוריה. הנה רשימת כל הפרקים, האחרונים שבהם זמינים להאזנה בחינם לכל. מומלץ ביותר ובכל 2-4 שבועות יש פרק חדש ומרתק. אני ממליץ לכם להאזין לפרק 105 שעוסק בסטטיסטיקה, שהייתי שותף בהכנתו.



להתראות בשבוע הבא בכנס שבמכון ויצמן, לאלה שיגיעו, ולכל השאר להתראות בעוד שבועיים.



המורה,

כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?


יחסי גודל המתבטאים בחיבור וחיסור: כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?


למילה גודל בעברית יש מובנים שונים:
1. גודל פיזי
דוגמה:
השולחן הזה גדול מהשולחן ההוא.  
דוגמה נוספת:
התקציב לשנה הנוכחית גדול מהתקציב של השנה שעברה.  
גודל פיזי יכול לעבור תהליך כימות שמתבטא בהעברתו ליחידות. לדוגמה, המשפט: אורך הקו הוא 7 ס"מ, משמעותו היא שהקו חולק ל-7 קטעים שֶשֵם כל אחד מהם הוא סנטימטר. גודלו של הקו הוא אורכו והוא נמדד במספר הקטעים הכלולים בו שאותם אנחנו מונים, כלומר בכמותם של הקטעים האלה שהם יחידות מידה. 

2. גודל כמשתנה כמותי המתבטא במספר 

בתיאור סוגי היחסים שנוצרים על ידי כמות העפרונות שבידי כרמלה וסער [ראו תיאור דיון בהמשך] השתמשנו בגודל במובן של משתנה כמותי, שפירושו: כמות המצוייה ביחס כלשהו לכמות אחרת. 

הערה
כדי להימנע מבלבול בכיתה, איננו ממליצים להשתמש בביטויים גודל קטן, גודל גדול. המינוחים שיש להשתמש בהם בעת ההוראה: כמות, ערך ויחס. לדוגמה: הערך הקטן, הערך הגדול. 
עם זאת, אפשר לחשוף את הילדים למושג גודל, להסביר את כפל המשמעויות שלו ולציין שבהקשר הנדון הכוונה היא לכמות המקיימת יחס כלשהו עם כמות אחרת ולא לגודל פיזי. כלומר, הכוונה היא למציאת יחס בין שני ערכים. 

פעילות ודיון  
הסימון "מ:" מציין את דברי המורה ואילו הסימון "ת:" מציין את דברי התלמידים.

מ: כרמלה וסער, גשו אלי. אני מגיש לכם מספר פריטים.  כרמלה, הראי לכיתה מה קיבלת. 
כרמלה: המורה נתן לי 12 עפרונות.
מ: סער, מה קיבלת? 
סער: 4 עפרונות.
מ: מי יכול לספר סיפורי חשבון רבים ככל האפשר על העפרונות של כרמלה ושל סער? אני ארשום את ההצעותיכם על הלוח ואמספר אותן. [מדוע למספר? המספור יסייע לנו בתקשורת בהמשך -- כך נוכל להתייחס בקלות להצעה כזאת או אחרת בעזרת ציון מספרה].

ת: 1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 
ת: 2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה?
ת: 3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 
ת: 4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 
ת: 5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 
ת: 6) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער? 
ת: 7) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה? 
ת: 8) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לכרמלה יש ________ עפרונות יותר מאשר לסער. 
ת: 9) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לסער יש _______ עפרונות פחות מאשר לכרמלה. 
ת: 10) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות כרמלה צריכה לתת לסער כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 
ת: 11) [שגוי] לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות סער צריך לתת לכרמלה כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 
מ: נפתור ביחד את הבעיות שרשמתי על הלוח. איך נפתור את (1)?
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 
ת: נחבר 12 ו-4. התרגיל יהיה: 
16 עפרונות = 4 עפרונות + 12 עפרונות
ביחד היו להם 16 עפרונות.
מ: נפתור את (2).
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה? 
ת: לכרמלה יש יותר עפרונות. כדי למצוא בכמה יותר, נחסר 4 מ- 12. 
התרגיל יהיה:
8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות
לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. 
מ: נפתור את (3).
3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 
ת: לסער יש פחות עפרונות. כדי למצוא בכמה פחות, נחסר 4 מ- 12. 
התרגיל יהיה:
8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות
מ: מה אפשר לומר על 3 הבעיות האלה? 
ת: אחת מהן עוסקת בחיבור. שתי האחרות עוסקות בחיסור. 
מ: נתייחס לשתי בעיות החיסור. מה המשותף להן?
ת: התרגיל. 
מ: מה מצאנו בתרגיל? 
ת: את ההפרש בין מספר העפרונות של כרמלה ושל סער. 
מ: התרגיל זהה. האם הבעיות זהות? 
ת: לא. הנתונים היו אותם הנתונים, אבל ב-(2) שאלו בכמה יותר ואילו ב-(3) שאלו בכמה פחות. 
מ: השאלות של הבעיות היו שונות והתרגילים שווים. מה המסקנה שלכם? 
ת: כאשר נתונים שני גדלים, ושואלים "בכמה יותר" או "בכמה פחות" עלינו למצוא את ההפרש. הפרש מתקבל על ידי החסרת המספר הקטן מהמספר הגדול. 



[הערה : איננו מטפלים בשלב זה במקרים שבהם ההפרש בין שני מספרים הוא אפס כי שני הגדלים שווים. במקרה כזה אין משמעות לשאלה מה מחסרים ממה. ]



מ: נראה ממה מורכבות שתי הבעיות האלה: כמות העפרונות של כרמלה, כמות העפרונות של סער והקשר ביניהם. נתונות שתי הכמויות ועלינו למצוא את הַקֶּשֶר . ביניהן 
מ: נפתור את (4).
4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 
ת: זו בדיוק בעיה (2), רק הניסוח שונה. 
מ: נכון. נעבור ל-(5). 
5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 
ת: זו בדיוק בעיה (3) , רק הניסוח שונה. 
מ: נכון. נעבור ל-(6). 
ת: אני כבר רואה שבעיות (6), (7), (8) ו-(9), כולן מאותו סוג של (2) ו-(3) רק הניסוחים שונים. 
מ: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בבעיות שהצעתם. 
ת: היו נתונים שני גדלים, כלומר שתי כמויות או שני ערכים, ואנחנו חיפשנו את היחס ביניהם, חיפשנו בכמה אחד מהם גדול מהשני, או קטן מהשני. 
מ: צדקתם. אני מוסיף בעיה: 
12) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לסער יש 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה? 
מה החידוש שבבעיה הזאת לעומת הבעיות (2)-(9)?
ת: בבעיה (12) נתון רק גודל אחד [מספר העפרונות של סער] ונתון היחס [הקשר, ההפרש] בין שני הגדלים. צריך למצוא את הגודל השני [מספר העפרונות של כרמלה]. בבעיות (2)-(9) היו נתונים שני הגדלים ומצאנו את היחס [את ההפרש] ביניהם. 
מה עלי לעשות כדי למצוא את מספר העפרונות של כרמלה? 
ת: צריך לחבר 8 ל-4.
מ: שימו לב לסיפור החדש שלי. 
(13) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לכרמלה יש 12 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער? 
במה שונה הסיפור הזה מקודמו מבעיה 12? 
ת: ב-(12) אמרת כמה עפרונות יש לסער. בסיפור האחרון אמרת כמה עפרונות יש לכרמלה. 
מ: מה תהיה הפעולה החשבונית שתוביל לתוצאה? 
ת: 12 פחות 8.
מ: סיפרתי כמעט אותו סיפור. בשני הסיפורים השתמשתי בביטוי יותר מ- ובכל זאת בסיפור החשבוני הקודם עשינו פעולת חיבור, ובסיפור החשבוני האחרון עשינו פעולת חיסור. הסבירו את ההבדל. 
ת: כאשר אומרים: יותר מ… ב… ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. 
מ: פרטו. 
ת: בודקים תחילה למי יש יותר ולמי פחות. אם נתון המספר הגדול, מחסרים את ההפרש כדי להגיע למספר הקטן. אם נתון המספר הקטן, מוסיפים את ההפרש כדי לקבל את המספר הגדול.  

דוגמה
לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. ליותם 12 גולות. כמה גולות לעינת? 
כאשר אומרים: יותר מ... ב... ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. בדוגמה שלפנינו ליותם יש פחות מאשר לעינת. מספר הגולות שלו הוא המספר הקטן. כדי לדעת כמה גולות יש לעינת מחברים את ההפרש [8 גולות] למספר הקטן, כלומר, למספר הגולות של יותם: 16 גולות = 8 גולות + 12 גולות.

דוגמה 
לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. לעינת 12 גולות. כמה גולות ליותם? 
גם בבעיה זו אומרים: יותר מ… ב..., אבל הפעולה תהיה חיסור, כי נתון המספר הגדול [12 הגולות של עינת] ורוצים לקבל את המספר הקטן [הגולות של יותם]. התרגיל: 4 גולות = 8 גולות - 12 גולות.

למתקדמים 

מ: גם הביטוי: פחות מ… ב… מוביל אותנו לחיבור או לחיסור. נסו להמציא סיפור חשבוני עם הביטוי פחות מ… ב… שיוביל אותנו לחיסור וסיפור חשבוני אחר עם אותו ביטוי שיוביל אותנו לחיבור.

דוגמה לבעיה של חיסור
ת: לעמיר יש 20 אגוזים. מספר האגוזים של אילן פחות ב- 6 מזה של עמיר. כמה אגוזים לאילן? 
מ: איך נפתור את הבעיה הזאת? 
ת: 20 פחות 6 הם 14.

דוגמה לתרגיל של חיבור
מ: עכשיו תנו דוגמה לבעיה שבה מופיע הביטוי: פחות מ… ב… והתרגיל יהיה חיבור. 
ת: מספר האגוזים של אילן פחות ב-6 מזה של רון. לאילן יש 14 אגוזים. כמה אגוזים לרון? 
מ: מה הפיתרון? 
ת: 6 ועוד 14 הם 20.

לסיכום

  • עסקנו בבעיות בעלות 3 מרכיבים: גודל א', גודל ב' והקשר ביניהם, שהוא או חיבור או חיסור. 

דוגמה 
לשלומי יש 7  תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. בכמה גדול מספר התפוזים של שלומי מ-מספר התפוזים של יהל?
נוכל גם לנסח את השאלה אחרת: 
לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מ-יהל?
  • למדנו שאת הקשרים של חיבור וחיסור מבטאים במילים: גדול ב… מ..., קטן ב… מ..., יותר מ… ב..., פחות מ… ב...
  • למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [שתי הכמויות] ורוצים למצוא את הקשר [היחס] ביניהם, מחשבים את ההפרש. 
דוגמה 
לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מיהל? 
הפתרון: 
4 תפוזים = 3 תפוזים - 7 תפוזים
  • למדנו שחישוב ההפרש ייעשה על ידי חיסור המספר הקטן מהמספר הגדול ממנו. 
  • למדנו שכאשר המספרים שווים ההפרש ביניהם היא אפס. במקרה כזה אין משמעות מה מחסרים ממה.
  • למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: גדול מ… ב... או: יותר מ… ב... ואחד הגדלים ועלינו לחשב את הגודל השני. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [ הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]
הפתרון
8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים
  • למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 

א) נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] ועלינו למצוא את הגודל הגדול [הכמות הגדולה]. הפעולה תהיה חיבור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]? 
פתרון
8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים
הקושי שמעוררים הביטויים: "הגודל הגדול" ו"הגודל הקטן" מעורר את הצורך בשימוש בביטויים תחליפיים כמו: "הכמות הגדולה" ו"הכמות הקטנה" או "הערך הגדול" ו"הערך הקטן".

ב) נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] וצריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה]. הפעולה תהיה חיסור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הקטן]? 
הפתרון 
5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים
  • למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: קטן מ… ב... או פחות מ… ב... ואחד הגדלים. עלינו לחשב את הגודל השני. 
דוגמה
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 
  • למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 
א) נתון הגודל הקטן ועלינו למצוא את הגודל הגדול. הפעולה תהיה חיבור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הקטן] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הגדול]? 
פתרון 
11 תפוזים = 3 תפוזים + 8 תפוזים
ב) נתון הגודל הגדול וצריך למצוא את הקטן. הפעולה תהיה חיסור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 
פתרון 
5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים


בעיות מילוליות לתרגות הנושא
  1. בארגז אחד היו 32 תפוזים, ב-11 תפוזים יותר מבארגז שני. כמה תפוזים היו בארגז השני? 
  2. מספר התלמידים בכיתה א' גדול ב 4- ממספר התלמידים בכיתה ב'. כמה תלמידים בכיתה ב', אם בכיתה א' יש 32  תלמידים? 
  3. בשכונת "יואב" יש 86 בתים. בשכונת "הראל" יש 7 בתים יותר משכונת "יואב". כמה בתים יש בשכונת "הראל"?
  4. בית חרושת לנייר ייצר מחברות בשני גדלים. המחברות הקטנות הכילו 40 דף. המחברות הגדולות הכילו 32 דפים יותר. כמה דפים הכילה מחברת גדולה?
  5. אדם הוציא בחודש ינואר 587 ש"ח על מזון. סכום זה קטן ב-97 ש"ח מהסכום שהוא הוציא בחודש פברואר. כמה כסף הוא שילם בעבור מזון בחודש פברואר?
  6. גדר שאורכה 126 מ' מקיפה גן של בית. גדר שמקיפה את הבית והגן כאחד ארוכה ב-530 מ' יותר מזו של הגן. מה אורך הגדר שמקיפה את הבית?
  7. בשוק מכרו אבטיח ומלון. משקל האבטיח 5420 גרם. המלון שקל 3201 גרם פחות מהאבטיח. מה משקל המלון?     
  8. רדיו עלה 156.80 ש"ח. מכשיר וידיאו היה יקר ב-1890 ש"ח מהרדיו. מה היה מחירו של הוידיאו?
  9. פועל קיבל שכר של 6782 ש"ח. חברו קיבל שכר גבוה ב-672 ש"ח. כמה הרוויח החבר?
  10. מר כהן הרוויח ב-2781 ש"ח יותר ממר לוי. מר כהן הרוויח בסך הכל 6721 ש"ח. כמה כסף הרוויח מר לוי? 
  11. בספר קריאה היו 189 עמודים פחות מאשר בספר הלימוד. כמה עמודים בספר הלימוד אם בספר הקריאה היו 237 עמודים?
  12. בבית ספר "ירדן" יש 562 תלמידים יותר ממספר התלמידים בבית ספר "רמת-אביב". מספר התלמידים ב"ירדן" היה 4568. כמה תלמידים ב-"רמת-אביב"?
  13. בבית בד להכנת שמן זית הביאו בשנת תשס"א 675 ק"ג זיתים. בשנת תשס"ב הביאו לאותו בית בד 194 ק"ג יותר של זיתים. כמה ק"ג זיתים הביאו לבית הבד בשנת תשס"ב?
  14. מחיר כרטיס טיסה לאמריקה היה 1238 דולר. המחיר הוזל ב-350 דולר. מה היה מחיר הכרטיס לאחר ההוזלה? 
  15.  ארון נמכר ב-4521 ש"ח, לאחר הנחה של 854 ש"ח. מה היה מחיר הארון לפני ההוזלה? 

המורה,




כיצד נסביר לילדים את מושגי היחס "בכמה יותר" ו-"בכמה פחות"?


בכמה יותר, בכמה פחות
כתבה חני גביש

כשאנחנו עושים השוואה בין שתי קבוצות של פריטים (איברים), אנחנו נוהגים לשאול: באיזו קבוצה יש יותר/פחות? בכמה יותר/פחות? מרבית הילדים יודעים להצביע על הקבוצה היותר גדולה/קטנה. הדרישה לחשב בכמה יותר/פחות היא דרישה קשה ומבלבלת עבור ילדים רבים. כדי שילדים יהיו מסוגלים להבין מושגים של בכמה יותר/פחות עליהם להבין שני מושגים בסיסיים יותר:
שוויון
אנחנו משווים, למשל, קבוצה בת 7 פריטים לעומת קבוצה בת 5 פריטים. בתוך השאלה בכמה 7 גדול מ  5  מסתתר הרעיון ש עלינו ליצור שוויון בין  ה  - 7 לבין  ה  5.  כדי ליצור את השוויון עלינו להרחיק/להפחית/להסיר... מ  7 , 2 יחידות.
השאלה בכמה 5 קטן מ  7, היא בעצם השאלה הבאה: מה עלינו לעשות עם ה  5 כדי ליצור שוויון בינו לבין ה  7? כדי ליצור את השוויון עלינו להוסיף/לחבר/לתת ל  5 עוד 2 יחידות.
מסקנה: הבסיס ליכולת להבין "בכמה פחות/יותר" הוא הבנת השוויון.
ילד שאין לו מושג השוויון, לא יוכל להבין  מושגים של אי-שוויון (גדול מ/קטן מ).
הפרק העוסק ב  "השוואת מספרים"  (מתמטיקה יסודית - כתה א')  מדבר למעשה על השוואת קבוצות. הכלי באמצעותו אנו יכולים להשוות בין קבוצות הוא התאמה: עבור כל איבר/פריט בקבוצה האחת אנחנו מחפשים "בן-זוג" תואם בקבוצה האחרת. פעולת ההתאמה (שבסופה נדע האם שתי קבוצות שוות או שונות) מאפשרת למצוא את התכונה המשותפת לשתי קבוצות שיש להן איברים שונים: הכמות. כשאנו משווים בין 8 פרפרים ל  8 פרחים: הפריטים בשתי הקבוצות שונים באופיים ועדיין יש לשתי הקבוצות תכונה משותפת: כמות הפריטים היא 8.

הפרש/פער
אחד המובנים של חיסור (שכאילו מובן מאליו) הוא הפרש או פער. כשאנו שואלים על פער/הבדל/הפרש בין נתונים/כמויות/יחידות אנחנו לא מתעניינים רק בכמויות ההתחלתיות אלא בעיקר ביחסים ביניהן (מי גדול/קטן ממי).
ההפרש עצמו מתייחס אל שיעור הפער (בין אם זה גדול מ או קטן מ) וכיון שכך לא משנה האם השאלה היא בכמה גדול או בכמה קטן, הפעולה החשבונית לחישוב ההפרש תהיה פעולת חיסור.

הצעה לפעילות
המורה מרימה שתי כפות ידיים.
מ. יש לנו שתי ידיים: יד ימין ויד שמאל. אני רוצה לדעת האם מספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל. מי יכול להראות לי איך פותרים שאלה כזאת?
הערה: אם הילדים ישיבו ש - "אפשר לספור", זה אומנם נכון אבל לא משרת ברגע זה את המטרה. במקרה שתשובה זו נאמרת בכיתה מומלץ שהמורה תאמר לילדים: "איך יפתור את השאלה הזאת מי שלא יודע לספור"?
ת. אני מחזיק שתי כפות ידיים קרוב אחת לשניה. אני מצמיד אגודל לאגודל, אצבע לאצבע, אמה לאמה, קמיצה לקמיצה, זרת לזרת. לכל אצבע ביד ימין יש לי אצבע מתאימה ביד שמאל. לא נשארה לי שום אצבע שאין לה בת זוג. אז אני חושב שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל.
מ. נכון מאוד. גיל אומר לנו שהוא עושה התאמה בין האצבעות של יד ימין לבין האצבעות של יד שמאל.
אני מבקשת שכל הילדים יבדקו עכשיו בעצמם שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל.
המורה עוברת בין הילדים ובודקת שלכל אצבע ביד אחת הם מצמידים אצבע מתאימה ביד האחרת.
מ. אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, מה נוכל להגיד על שתי קבוצות האצבעות?
ת. שהן שוות.
מ. בואו ננסח משפט שלם.
אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, יש אותו מספר של אצבעות בשתי כפות הידיים.
מורים, שימו לב! בשלב זה אנחנו נמנעים ממנייה בכוונה תחילה. תהליך ההשוואה בין קבוצות  נעשה ע"י התאמה ומציאת בן זוג (בקבוצה א')  לכל פריט (בקבוצה ב') הוא שלב  ראשוני וטבעי לכל ילד.

מ. המורה מזמינה לקדמת הכיתה ארבעה ילדים (בלי להכריז על כמות הילדים). בידה היא מחזיקה ארבעה פקקים.
מ. טלי, אופיר, ניצן ותום בואו אלי. תראו, יש לי ביד פקקים. אני רוצה לדעת האם יש לי מספיק פקקים לכל הילדים שהזמנתי אלי? אני רוצה שתראו האם יש לי מספיק פקקים?
ת. לכל  ילד תתני פקק ואז תדעי האם יש לך מספיק פקקים לכולם.
המורה נותנת פקק לכל אחד מארבעת הילדים.
מ. האם הפקקים שהיו לי הספיקו לכל הילדים?
ת. כן.
מ. הסבר
ת. כל ילד קבל פקק. לא נשאר שום ילד בלי פקק.
מ. נכון. לא נשאר שום ילד בלי פקק. האם נשאר איזה שהוא פקק בלי ילד?
ת. לא
מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הילדים ועל קבוצת הפקקים?
ת. הן קבוצות שוות.
מ. בקבוצה אחת יש ילדים ובקבוצה שניה יש פקקים אז, במה הן שוות?
ת. שתי הקבוצות שוות במספר הפריטים: 4 ילדים, 4 פקקים.
מ. מצוין.
המורה מציירת על הלוח 5 בלונים (לצייר בתפזורת ולא בקו אופקי או אנכי) ובמרחק מה  5 חוטים.
מ. אני רוצה שכל בלון יהיה קשור בחוט ואני לא יודעת האם יש לי מספיק חוטים לבל הבלונים. מי יוכל להראות לי האם יש מספיק חוטים?
ת. אני מאריך כל חוט עד שהוא יגיע לבלון אחד. הנה, לכל הבלונים יש חוטים, אז יש לך מספיק.
מ. האם יש חוט שנשאר בלי בלון?
ת. לא
מ. האם יש בלון שנשאר בלי חוט?
ת. לא.
מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הבלונים ועל קבוצת החוטים?
ת. שתי הקבוצות שוות.
מ. הסבר
ת. לכל חוט מקבוצת החוטים יש בן זוג, בלון, מקבוצת הבלונים. אף אחד לא נשאר בלי בן-זוג.
מ. ילדים, יש פה משהו מוזר. אני ציירתי קבוצה של בלונים וקבוצה של חוטים ואתם אומרים ששתי הקבוצות שוות. האם בלונים שווים לחוטים?
ת. את ממש מצחיקה. בלונים לא שווים לחוטים. כמות הבלונים שווה לכמות החוטים.
מ. נכון מאוד. בכל אחת מהקבוצות יש פריטים שונים. בקבוצה הזאת יש בלונים ובקבוצה הזאת יש חוטים. בכל זאת לשתי הקבוצות יש משהו  משותף. מה משותף?
ת. הכמות.
מ. נכון. אנחנו יכולים לומר ששתי הקבוצות שוות בכמות הפריטים שלהן או שאנחנו יכולים לומר שהכמות היא התכונה המשותפת לשתי הקבוצות האלה.
במקרה של הבלונים והחוטים, הכמות המשותפת לשתי  הקבוצות היא 5.
המורה מזמינה ילד ונותנת  לו 4  מקלות מבלי שהיא מונה אותם.
מ. טלי בואי אלי. אני נותנת לך מקלות.  (המורה תסדר את המקלות בידה של טלי כך שכל הילדים יוכלו לראותם בברור). עכשיו, אני מבקשת ממך לקחת ביד שמאל קבוצה אחרת של מקלות כך שכמות המקלות בשתי הידיים תהיה שווה.
טלי לוקחת את המקלות הנוספים בידה השמאלית.
מ. האם קבוצת המקלות שיש לטלי ביד ימין שווה לקבוצת המקלות שיש לטלי ביד שמאל?
ת. כן
מ. כיצד תראו לי שהקבוצות שוות?
ת. אנחנו נבקש מטלי להחזיק את הידיים קרוב, זו מול זו. בואו נראה האם לכל מקל ביד ימין יש  מקל בן זוג ביד שמאל?
מ. נכון מאוד. איזו פעולה הציע לנו יובל?
ת. לעשות התאמה בין שתי הקבוצות
מ. נכון. ומה התוצאה של ההתאמה שלנו?
ת. שתי קבוצות המקלות שוות כי לכל מקל ביד שמאל יש בן זוג מקל ביד ימין.
מ. מהי התכונה המשותפת לשתי קבוצות המקלות?
ת. הכמות שלהם.
מ. נכון, בשתי הקבוצות אותה כמות של מקלות.
מ. האם אנחנו יכולים לדעת מהי כמות המקלות?
ת. כן
מ. כיצד נוכל לדעת?
ת. פשוט מאוד, נמנה את המקלות. יש בכל יד 4 מקלות.

מ. אני מבקשת שכל ילד יניח על שולחנו ערמה קטנה של אביזרים.
     אחרי שהנחתם את הערמה, מנו את הפריטים ורשמו את המספר על הלוחות.
מ. נדב כמה פריטים יש בערמה שלך? תומר, יעל,

מ. השאירו את הפריטים במקומם. ועכשיו, עליכם ליצור  עוד קבוצה. אני מבקשת ששתי הקבוצות תהיינה שוות. כיצד תוכלו להראות ששתי הקבוצות שוות?
ת. אני בחרתי מקלות ואני מסדרת אותם בשורה. עכשיו אני שמה חרוז מול כל מקל. יש לי שורה של חרוזים ויש לי שורה של מקלות. לכל מקל התאמתי בן-זוג חרוז ועכשיו הקבוצות שלי שוות.
מ. פעלת נכון.
ת. יש עוד דרך לעשות את זה.
מ. הסבר
ת. את ביקשת שיהיו לנו שתי קבוצות שוות. הקבוצות צריכות להיות שוות בכמות.
מ. אתה צודק. הסבר.
ת. אני מבין שבכל קבוצה צריך להיות אותו מספר של פריטים. אני יכול למנות את ערמת הפסטה שלקחתי, אני סופר 9 פסטות. עכשיו אני צריך עוד קבוצה שיש בה 9 פריטים אחרים. נראה מה יש לי בסלסילה אני לוקח 9 גפרורים. עכשיו יש לי שתי קבוצות שוות.  
מ. מהן שתי הקבוצות של עומרי?
ת. פסטות וגפרורים.
מ. האם שתי הקבוצות של עומרי שוות?
ת. כן
מ. איך אנחנו יכולים להראות ששתי הקבוצות של עומרי שוות?
ת. אני יכולה להתאים בין שתי הקבוצות. למצוא לכל פסטה גפרור בן זוג. אם לכולם יהיה בן זוג, סימן שהקבוצות שוות.
מ. מי יכול להראות לנו בדרך אחרת?
ת. אני יכול למנות.
מ. הסבר.
ת. אם אנחנו רוצים ששתי הקבוצות תהיינה שוות, צריך לחפש תכונה משותפת.
מ. נכון. מהי התכונה המשותפת?
ת. הכמות. צריך שבקבוצה של הפסטות יהיו 9 פריטים וגם בקבוצה של הגפרורים צריך 9 פריטים.
מ. אור כמה אחים/אחיות יש לך?
ת. שניים
מ. כמה ילדים במשפחה שלך יחד איתך?
ת. שלושה
מ. אצל מי עוד יש במשפחה שלושה ילדים.
ת. מרימים ידיים
מ. גם אצל לירון, נופר, שירה, אלעד יש שלושה ילדים במשפחה.
מ. מה אנחנו יכולים להגיד על המשפחות של לירון, נופר, שירה, אלעד
ת. הן שוות
מ. המשפחה של לירון היא אותה המשפחה של נופר?
ת. זו לא אותה משפחה. לכל ילד יש המשפחה שלו, אבל יש תכונה משותפת למשפחות האלה?
מ. זה נכון. מהי התכונה המשותפת?
ת. מספר הילדים. 
מ. בכל המשפחות האלה יש אותו מספר ילדים. הן שוות במספר הילדים. לכולן שלושה ילדים.

המורה מציירת על הלוח 5 פרחים ומתחתם במרחק מה 3 עציצים. היא אינה מונה אותם.
מ. השבוע הייתי בחנות פרחים. על אחד המדפים היו פרחים ועציצים. מה אתם אומרים, האם יש מספיק עציצים בשביל כל הפרחים?
ת. לא
מ. אני רוצה שתראי לי שאין מספיק עציצים.  חברי בקו כל פרח שיש לו עציץ.
ת. את רואה, רק לשלושה פרחים יש עציצים.
מ. האם קבוצת העציצים שווה לקבוצת הפרחים?
ת. לא.
מ. נכון הקבוצות לא שוות. הן שונות. מה שונה בהן?
ת. כמות הפריטים.
מ. נכון. באיזו קבוצה יש יותר פריטים?
ת. קבוצת הפרחים יותר גדולה.
מ. נכון. באיזו קבוצה יש פחות פריטים?
ת. קבוצת העציצים.
ש. אמרתם שקבוצת הפרחים יותר גדולה מקבוצת העציצים.  אני רוצה לדעת כמה פרחים יש יותר מעציצים?  מי יכול להראות לי כיצד למצוא את התשובה?
ת. תעשי התאמה בין שתי הקבוצות.
מ. הסבר.
ת. אנחנו יודעים שיש יותר פרחים מעציצים. אם נתאים לכל פרח, בן זוג עציץ נוכל לראות כמה פרחים ישארו בלי עציצים?
מ. נכון מאוד ניתאי. בוא הראה לנו על הלוח.
ת. עד כאן זה שווה. שלושה עציצים ושלושה פרחים. אבל יש לנו עוד פרחים ואין לנו עוד עציצים.
מ. נכון מאוד. אז, מה יש יותר?
ת. פרחים.
מ. כמה פרחים יותר מעציצים?
ת. 2.
מ. מצוין.
מ. התבוננו שוב בציור. מה יש פחות?
ת. עציצים.
מ. כמה עציצים יש פחות מפרחים?
ת. כמה עציצים פחות מפרחים זה כמו לשאול כמה עציצים חסרים לנו.
מ. נכון. כמה עציצים חסרים?
ת. 2.
מ. אני מבקשת שכל ילד יניח  על שולחנו שתי קבוצות נפרדות של אביזרים בלי למנות אותם .
עכשיו מנו את מספר האביזרים בכל קבוצה ורשמו על הלוח שלכם כמה פריטים מונה כל קבוצה.
המורה עוברת בין הילדים ומוודאת שבצעו נכון את ההוראה.

מ. יונתן כמה  חרוזים יש לך בכל קבוצה?
ת. בקבוצה אחת יש לי 9 חרוזים ובקבוצה השניה יש לי 7 חרוזים.
מ. האם שתי הקבוצות של יונתן שוות? האם בשתי הקבוצות יש אותה כמות של חרוזים?
ת. לא.
המורה מזמינה את אחד הילדים ללוח.
מ. יניב, כיצד תוכל להראות לנו שבשתי הקבוצות אין אותו מספר של חרוזים?
ת. לכל חרוז כחול אני אחפש בן-זוג צהוב ואז נראה.
מ. איזו פעולה עושה יניב?
ת. התאמה.
מ. יניב, מה אתה יכול לומר על שתי קבוצות החרוזים?
ת. שתי הקבוצות אינן שוות. יש יותר חרוזים צהובים מחרוזים כחולים.
מ. כמה חרוזים צהובים יש יותר מחרוזים כחולים?
ת. 2 .
מ. הסבר.
ת. יש 2 חרוזים צהובים שאין להם בן זוג כי אין מספיק חרוזים כחולים.
מ. בואו נספור את החרוזים הצהובים.
ת. מקהלה מדברת: 1, 2, 9
מ. כמה חרוזים צהובים יש לנו?
ת. תשעה.
מ. בואו נספור את החרוזים הכחולים.
ת. מקהלה מדברת: 1, 2,7
מ. כמה חרוזים כחולים יש לנו?
ת. שבעה.
מ. איזו פעולה חשבונית נעשה כדי לדעת בכמה גדול מספר החרוזים הצהובים ממספר החרוזים הכחולים?  
ת.                     2 = 7 - 9

שאלות לתרגול
מ. מה רואים בציור?
ת. חתולים וכדים.
מ. כל חתול רוצה כד חלב. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק כדי חלב לכל החתולים?
ת. נעשה התאמה.
מ. הסבר
ת. נחפש  לכל חתול בן-זוג, כד חלב.
מ. כיצד נעשה את זה?
ת. נמתח קו מכל חתול לכד חלב.
מ. מה מצאנו?
ת. לכל חתול יש כד חלב.
מ. אם כך, האם הקבוצות שוות?
ת. הקבוצות לא שוות. יש יותר כדי חלב מאשר חתולים.
מ. נכון. מי יודע איזה תרגיל חשבוני אנחנו צריכים לעשות כדי לדעת כמה כדים יותר מחתולים?
ת.                  3  =  5  - 8
מ. מצוין. יש לנו שלושה כדים יותר מחתולים. זה אומר שלשלושה כדים אין חתולים.
מ. כמה קבוצות אנחנו רואים בציור?
ת. שתיים
מ. מהן הקבוצות?
ת. עצים וציפורים.
מ. כל ציפור רוצה לבנות קן על עץ נפרד. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק עצים
לכל הציפורים?
ת. נעשה התאמה.
מ. הסבר
ת. נחפש לכל ציפור, בן-זוג עץ ואז נוכל לדעת.
מ. איך נחפש?
ת. נמתח קו מציפור לעץ
מ. מה אנחנו רואים?
ת. לכל ציפור יש עץ.
ת. גם לכל עץ יש ציפור
מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על שתי הקבוצות?
ת. הן שוות.
מ. מהי התכונה המשותפת?
ת. כמות הפריטים. בכל קבוצה יש 6: שישה עצים, שש ציפורים.