יום רביעי, 16 בינואר 2013

מהי "שיטת המקלות" הקסומה לכפל? האם אכן כך מלמדים כפל ביפן?


מהי "שיטת המקלות" הקסומה לכפל?
האם אכן כך מלמדים כפל ביפן? 
ומה קרה לאלגוריתם הכפל במאונך הידוע והמקובל?

ראשית, ניזכר שפעולת הכפל במספרים שלמים משמעותה חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל. הכפל מאפשר לנו פעולה קצרה ויעילה יותר לחשב חיבור חוזר ונשנה של אותה הכמות או של אותו הגודל. להרחבה בעניין, קראו את הרשימה שלי  על משמעות הכפל במספרים שלמים.

מעת לעת יש התלהבות באינטרנט ורבים משתפים סרטונים על מה שלכאורה מכונה "כיצד מלמדים ביפן ילדים לבצע כפל". 

דוגמה לתמונה ולכיתוב שמשותפים בהיקף גבוה באינטרנט מתוך התלהבות ופליאה ובדרך כלל גם מתוך חוסר הבנה

אף על פי שיש מקרים שביפן מציגים את הרעיון הזה בבית ספר יסודי ולעיתים אף מסבירים אותו, אין זאת דרך המלך להוראת אלגוריתם כללי ויעיל לביצוע פעולת כפל של שני מספרים. מסופקני אם במקום שבו מלמדים מתמטיקה כראוי השיטה הזאת נלמדת בתור הפתרון לביצוע כפל, כך שלדעתי אין זאת הדרך שבה מלמדים כפל ביפן או בכל מקום אחר בעולם. האלגוריתם המקובל של כפל במאונך עדיין מהווה דרך המלך לביצוע הכפל והנה רק כמה (ולא כל) הסיבות לכך:

  • תהליך פשוט שחוזר על עצמו ספרה אחרי ספרה עד אשר טיפלנו בכל הספרות בכל המספרים שבכפל
  • בכל שלב יש פעולת כפל פשוטה של מספר חד ספרתי במספר חד ספרתי או פעולת חיבור פשוטה
  • התהליך מטפל ביעילות, בקלות ובשיטתיות במספרים בני כמות כלשהי של ספרות
  • התהליך ניתן להרחבה פשוטה גם לטיפול במספרים עם שבר עשרוני בקלות רבה
  • שימוש וניצול של מבנה המספר (העשרוני) ושל ערך המקום
  • התהליך נכון ויפה גם לכפל מספרים בבסיס שאינו בסיס עשר
  • שימוש בחוק הפילוג
בין הקשיים שעומדים בפניהם תלמידים כאשר הם משתמשים באלגוריתם המקובל של כפל במאונך:
  • התמצאות במרחב:
    • בלבול בין ימין לבין שמאל: הרי חשבון כותבים משמאל לימין ואילו באלגוריתם הזה פועלים מימין לשמאל
    • בלבול במקום שיש לרשום את התוצאה על פי ערך המקום -- בעיה זו שלובה גם בקשיים של תלמידים שאינם שולטים במבנה המספר העשרוני 
  • שליטה ברעיונות ובתהליכים קודמים:
    • קושי בפתרון יעיל ללא שליטה בלוח הכפל
    • קושי בפתרון יעיל ללא שליטה בחיבור במאונך
    • קושי בפתרון ללא הבנה ושליטה בחיבור במקרים שנדרש קיבוץ לעשרת 
  • קושי בעבודה שיטתית בתהליך עבודה איטרטיבי
אז מה היתרון ב-טריק או במה שלכאורה נראה כמו קסם שבשיטת הכפל במקלות? 
  • המחשה ויזואלית של כפל באמצעות חוק הפילוג
  • התהליך מאפשר הסקת התוצאה ספרה אחרי ספרה 
  • במקום שליטה בלוח הכפל בכל שלב (שבו יש כפל של מספר חד ספרתי במספר חד ספרתי) אפשר להסתפק ביכולת מנייה (מונים את הצטלבויות המקלות), שהיא מיומנות שרבים יותר שולטים בה ללא קושי בדרך כלל להבדיל משליטה בלוח הכפל שדורשת הפנמה
  • בשיטת המקלות יש קושי, שבכל ההדגמות שתראו בסרטונים באינטרנט על גישת המקלות לכפל מתחמקים ממנו, של  ייצוג הולם, נוח ויעיל למספרים שמכילים ספרות 0. למשל, 100 או 1907. 
  • כאשר הספרות שיש "לכפול" נותנות תוצאה שגדולה מ-9 יש להעביר נשא (כמו שמקובל לומר: "לזכור 1" או "להעביר 1") באופן דומה למה שעושים בחיבור במאונך ובכפל במאונך. בסרטונים שתמצאו על "שיטת הקסם" הזאת של כפל מקלות תגלו שברוב המקרים מתחמקים מטיפול בדוגמאות כגון: 762x325 שכן כאן בכמה מקרים שבהם נבצע "כפל של ספרה בספרה" נקבל תוצאה שגדולה מ-9 ולכן נידרש להעביר את הנשא, למשל, 7x3=21 וניאלץ כאן להעביר "2" הלאה...
  • כאשר כמות הספרות של המספרים שמשתתפים במכפלה עולות כך גם המורכבות עולה הן בייצוג במישור הדף והן בתהליך השיטתי שיש לבצע.
אז איך זה עובד?
זה עובד באותו האופן שבו "פותחים סוגריים" בתרגיל כפל שבו כופלים שני מחוברים בשני מחוברים:
(A+B)x(C+D)=AxC + AxD+BxC + BxD

למשל, בתרגיל: 12x21 מבצעים:
(10+2)x(20+1)=10x20 + 10x1+2x20 + 2x1

אלא שה-עשר וה-עשרים בהצגת המקלות (וגם למעשה באלגוריתם הכפל במאונך) מייצגים 1 עשרת (בשביל 10) ו-2 עשרות (בשביל 20), ז"א 1 ו-2, בהתאמה.

צפו בסרטון (הדיבור באנגלית), שגם מראה במקביל את תהליך הכפל בגישת המקלות ובאלגוריתם הכפל במאונך המקובל:


לא חסרות דוגמאות לאנשים שמנסים להסביר כיצד זה עובד באינטרנט, הנה, למשל, כאן.

אגב, זה אינו טריק הכפל היחידי שמתלהבים ממנו כמו מאביזר אופנתי וכתבתי רשימה קצרה בעניין בשם כפל וחילוק בגישת החקר בארה"ב.

לסיכום, אני מציע לתלמידים ללמוד ולהורים ולמורים ללמד את משמעויות הכפל, את חוק הפילוג, את התובנות שבניצול יעיל של הרעיונות שבמבנה המספר העשרוני ובחשיבות שינוי והפנמה של לוח הכפל ולהשקיע בהבנה ובשליטה טכנית בשימוש באלגוריתם הכפל במאונך. גם כאן, כמו הרבה דברים אחרים במתמטיקה ובחיים, קיצורי הדרך ודרכים יצירתיות לפתרון מתאימים למי שבקיא בבסיס ושולט ביסודות ומסוגל להפעיל שיקול דעת נכון מתי ראוי וכדאי להשתמש בשיטת פתרון כזו או אחרת ומדוע, אלה גם ידעו להעריך את היופי ואת המגבלות של טריקים ושל קסמים לכאורה כמו שיטת המקלות לכפל. אז, עדיין לא נס ליחו של אלגוריתם הכפל במאונך. 

המורה,