יום שני, 27 במאי 2013

המלצות על רוח לימוד המתמטיקה בחטיבה העליונה


המלצות על רוח לימוד המתמטיקה בחטיבה העליונה

נכתב על ידי חברי הפקולטה למתמטיקה בטכניון


נפתח במובן מאליו: אנחנו רוצים שהתלמידים המגיעים אלינו יידעו לחשוב. משמעות הדבר אינה הכנסה לתוכנית הלימודים של נושאים שמוגדרים כ"מעוררי חשיבה", אלא שהחומר הרגיל יילמד בצורה אחרת, שמובילה להבנה ולהטמעת כמה עקרונות חשיבה בסיסיים. 

במסמך הזה ניסינו לעשות שני דברים: האחד (המרכזי יותר) הוא סיכום של כמה עקרונות חשיבה, עם דוגמאות (עקרון חשיבה בסיסי הוא: דוגמאות...) ושני הוא אזכור של כמה נושאים שנראים לנו מרכזיים ומן הראוי שלא ייזנחו. 

עקרונות הבנה וחשיבה
  1. הבנה: "למה" לפני "מה".  
    כיום לומדים משפטים רבים בלי להסביר את הסיבה לנכונותם. לטעמנו עדיף ללמד משפט אחד פחות, אבל עם הוכחות. אמרה ידועה במתמטיקה היא שההוכחה אינה באה להראות שהמשפט נכון, אלא למה הוא נכון. בהוראת הוכחות יש:
  • חינוך מתמטי טוב
  • הפגת חרדה מתמטית -  חרדת המתמטיקה המפורסמת נובעת מלימוד ללא הבנה.
  • חשיפת התלמידים ליופי של המתמטיקה.
דוגמאות להוכחות חיוניות:
  • כללי החזקות והלוגריתמים.
  • הסיבה לנכונותה של הנוסחה לפתרון משוואות ריבועיות.
  • כל המשפטים הגיאומטריים שנלמדים (עדיף ללמד אחד פחות, מאשר ללמד ללא הוכחה).


  1. חשיבה בדוגמאות.
    מתמטיקאים בוגרים מעמתים כל רעיון שלהם עם דוגמאות, ואל ההשערות שלהם הם מגיעים מבדיקת דוגמאות. זה בוודאי נכון לתלמידים.
  • כשמלמדים את הנוסחה לפתרון משוואות ריבועיות, הדגימו אותה על המקרה הפשוט ביותר, של הנוסחה x2=0, ובדקו מה קורה במקרה הפרטי שהגורם הריבועי לא קיים (המקדם שלו הוא 0).
  • במשפט פיתגורס, בקשו מן התלמידים לבדוק מה קורה כשאחד הניצבים הוא באורך 0.
  • זווית חיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא צמודות לה: מה קורה כאשר הזווית היא 180 מעלות? ו-0 מעלות?
  1. לחפש את הדוגמאות הפשוטות ביותר.
  • בנוסחה לסכום של סדרה חשבונית, בדקו האם היא נכונה כשמסכמים רק את האיבר הראשון. האם יש דוגמה פשוטה עוד יותר? בוודאי – כשמסכמים 0 איברים.
  • כשמלמדים את כלל הנגזרת של מכפלה, בדקו את המקרה הפרטי שבו אחד הגורמים קבוע.
  1. לבקש מן התלמידים למצוא דוגמאות בעצמם.
  • מצאו משוואה ליניארית בנעלם אחד שפתרונה היחיד הוא 5.
  • מצאו דוגמה למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים שיש לה אינסוף פתרונות.
  • מצאו משוואה אחת בשני נעלמים שבה בכל פתרון (x,y) מתקיים ש-x גדול מ-y.
  • במשוואות ריבועיות יותר חשוב מלפתור משוואות הוא לדעת להמציא משוואה שפתרונותיה הם 3 ו-5, או משוואה שפתרונה היחיד הוא 3.
  1. לבדוק מקרים קיצוניים. למשל, מה קורה לזווית היקפית על קוטר כאשר הקדקוד שלה הולך ומתקרב לאחד מקצות הקוטר?
  2. לנסות להכליל, ולעודד את המורים להצביע על הכללות.
  • משפט הקוסינוסים כהכללה של משפט פיתגורס.
  • סכום הזוויות במצולע כהכללה של סכום הזוויות במשולש.
    יחד עם זאת, חשוב להפנות את תשומת הלב למקרים שבהם הכללה אינה עובדת. למשל:
    לפולינום יש רק מספר סופי של חילופי סימן. האם זה נכון לכל פונקציה?                   
  1. סימטריה. דוגמה: מה קורה בסדרה חשבונית כשמסתכלים בה מן האיבר האחרון לראשון? האם הנוסחה לסכום עדיין תקפה?
  2. היפוך – הרעיון הזה, שכה מרכזי לפתרון משוואות, ראוי לטיפול בנפרד, כנושא. מן הראוי שיילמד פרק על היפוך פעולות. ראו סעיף ד' בחלק השני של המסמך.
  3. הערכה של מספרים.
  • מה קורה לביטוי ריבועי כשהמשתנה שואף לאינסוף או למינוס אינסוף? מדוע הדבר אומר שכדי לדעת אם פרבולה היא מחייכת או עצובה מספיק להסתכל על הגורם הריבועי?
  • להבין שלוגריתם על פי בסיס 10 של מספר הוא פחות או יותר מספר הספרות במספר (עיגול הלוגריתם כלפי מטה הוא מספר הספרות פחות 1, אבל הניסוח הזה באמת לא חשוב - חשובה ההערכה).
  • להבין שחזקת 10 של 2 היא בערך 1000, ולכן חזקת 20 היא בערך מיליון.
  1. הבנה של רעיונות מרכזיים, בניגוד להבנה של טכניקה.
  • מושג הנגזרת הוא מקרה קלאסי.  בבתי הספר של היום מלמדים שהנגזרת היא שיפוע של משיק, ואף אחד לא מבין למה זה כל כך חשוב. נגזרת היא קצב שינוי (שברור מדוע זה חשוב), ושיפוע משיק הוא שימוש פרטי ומאוד לא חשוב שלה. מהירות היא הדגמה הרבה יותר טובה לנגזרת. הסבירו איך מחשבים מהירות כשהמהירות לא קבועה. תנו שימושים נוספים לנגזרת, כמו צפיפות חומר, עלות שולית, קצב גידול.
  • הסבירו לתלמידים מדוע גם הנגזרת היא פונקציה (כלומר מדוע היא תלויה בהיכן מחשבים אותה).
  1. כללי לוגיקה בסיסיים.
  • הוכחה בדרך השלילה
  • חוק דה מורגן. במיוחד הנוסח הכמתי: "לא קיים איבר שמקיים P" פירושו "כל איבר לא מקיים P", והכלל הסימטרי לו.
  • ההבדל בין "לכל x קיים y" לבין "קיים y כך שלכל x". לדוגמא, לכל מספר טבעי גדול מ-1 יש מחלק ראשוני p (טענה נכונה), אבל לא קיים מספר ראשוני p שמחלק כל מספר טבעי גדול מ-1.
  1. עיקרון לוגי חשוב במיוחד, שמשום כך מוקדש לו כאן סעיף נפרד, הוא היפוך של גרירה לוגית. התלמידים צריכים להתרגל לחשוב, בכל משפט שהם לומדים שיש לו צורה מובהקת של "אם אז" אם גם המשפט ההפוך נכון. הם צריכים להכיר את מושג השקילות (אם ורק אם) ולהבין שפירושו שגם המשפט וגם המשפט ההפוך נכונים. למשל, האם משולש שמקיים את שוויון פיתגורס הוא בהכרח ישר זווית? (אפשר להשיב על כך אחרי שלומדים את משפט הקוסינוסים).


נושאים שאין לוותר עליהם
יש כמה נושאים חיוניים, שהחסר בהבנתם ניכר בתלמידים המגיעים אלינו.
  • כללי השבר.
התלמידים מגיעים בדרך כלל עם חוסר הבנה למשמעות השבר. לכן יש לערוך חזרה על שברים. במיוחד, להדגיש מהו. במבחנים הבינלאומיים של שנת  2000 לא ידעו 75% מתלמידי כיתות ח' למצוא מהן 5/8 מ-240. הסיבה: מעולם לא לימדו אותם מהן 5 שמיניות, ששמינית פירושה חלוקה ב-8 וש-5 שמיניות הן מה שהאוזן שומעת – 5 פעמים שמינית. הילדים בכיתות גבוהות בשלים היטב יותר להבין מניין בא הרעיון של מכנה משותף. כמה שיעורים בנושאים אלו יועילו הרבה יותר מהרבה שיעורים טכניים.
  • אינדוקציה.
זהו רעיון כה בסיסי, שמן הראוי ללמד אותו. ובצורה לא טכנית: ספרו סיפורים, הדגימו בעזרת שורת אבני דומינו. הוראת עקרון האינדוקציה כיום היא טכנית, מפחידה את התלמידים, ולא מאירת עיניים. אין טעם להוכיח שוויונים שאינם אומרים כלום לתלמיד. אבל יש טעם למשל לגלות בצורה ניסויית שסכום המספרים האיזוגיים עד 2n+1 הוא (n+1)2 ואחר כך להוכיח באינדוקציה. כדאי גם לשלב זאת בהוראת אי שוויונים.


בנייה אינדוקטיבית היא למעשה בנייה אלגוריתמית, ואין צורך להסביר עד כמה חשוב כיום לימוד של מושג האלגוריתם.


  • סדרה גיאומטרית אינסופית עם מנה קטנה בערכה המוחלט מ-1. הנושא הזה יקל בהמשך את הבנת מושג הגבול.


  • (ראו סעיף 8 ב"עקרונות חשיבה"): אנחנו ממליצים על כתיבת פרק מיוחד על היפוך של פעולות. זהו מבוא חשוב לאלגברה. במיוחד חשוב הרעיון של פונקציה חד חד ערכית, בניסוח של "לדעת לחזור למקור". למשל: אם יודעים את הריבוע של מספר, האם יודעים  מהו המספר? אם יודעים את החזקה השלישית של מספר, האם יודעים מהו המספר? אם יודעים את הסינוס של זווית בין 0 ל-90 מעלות, האם יודעים מהי הזווית? ואם הזווית היא בין 0 ל-180 מעלות?


  • בחזרה אל מושג הנגזרת: התלמידים מבלים איתו  זמן רב, וההוראה טכנית מדי. המושג הזה הוא  הזדמנות טובה ללמד חשיבה מתמטית. למשל, ללמד שיש פונקציות לא גזירות, שפונקציה לא רציפה אינה גזירה (כמובן, רק בצורה אינטואיטיבית). לנסות להסביר אינטואיטיבית את כלל הנגזרת של מכפלה.


מיומנות טכנית
כביכול – עניין מנוגד לחשיבה. מסיבה זו נהוג לאפשר לתלמידים להשתמש בדפי נוסחאות, כדי לדעת למשל את נוסחת ריבוע הסכום. 
פועל, הדבר פוגע בצורה אנושה בהוראת המתמטיקה באוניברסיטאות. כללי האלגברה הם בסיס שאין לוותר עליו. יש לשים דגש על מיומנות אלגברית. הדבר מתקשר לסעיף קודם, על הוראת כללי השבר: חלק גדול מן המיומנות הזאת נוגע לכללי השברים. מכנה משותף אלגברי חייב להיות אוטומטי אצל התלמידים. אותו דבר נכון גם לגבי העברת אגפים בשוויונות ובאי שוויונות.
לדעתנו יש להוציא מדף הנוסחאות אותן נוסחאות שהשימוש בהן חייב להפוך לאוטומטי, כגון: זהויות אלגבריות בסיסיות, כללי החזקה והלוגריתם, נגזרות ואינטגרלים של פונקציות אלמנטריות, כללי האריתמטיקה של נגזרות, וכד'.


הערה על לימוד 4 יחידות
בתי ספר, וכן התלמידים, חייבים לדעת ש-4 יחידות במתמטיקה הן הכנה חלשה מאוד ללימודי הנדסה ומדעים מדוייקים באוניברסיטה. אנו שוקלים כיום לחייב תלמידים שסיימו 4 יחידות לקחת קורסי השלמה לפני תחילת לימודיהם. 

***
התקבל מפרופסור רון אהרוני, הפקולטה למתמטיקה, הטכניון, מכון טכנולוגי לישראל
***