יום שבת, 11 במאי 2013

סיכום מפגש פתיחה בסדנת מתמטיקה יסודית להורים לילדים ביסודי



סיכום מפגש פתיחה בסדנת מתמטיקה יסודית להורים לילדים ביסודי 

ההורים יכולים לתרום לאווירה החינוכית, לכיוון הכללי. האכפתיות שלהם והידע שלהם, אם ינותבו בצורה חיובית, ישפיעו על המערכת כולה. כל הורה שמבין מה קורה עם ילדו בבית הספר משפיע על המערכת. 


עקומת באטמן
גם זאת מתמטיקה
פתיחה של המורה, שלמה:
[מקריא מתוך הספר איך בוטלה המתמטיקה מאת אביעד קליינברג] 
... [כל שיעור מתמטיקה] היה מתחיל תמיד באותו האופן. "נו, אנחנו מוכנים ללמוד מתמטיקה? לעבוד קשה? היה המורה מברר בספקנות". [...] "מוכן" היה משיב בעגמומיות. למשמע התשובה היה פון-שנאוצר משיב בסיפור עלילה מוזר, רצוף במספרים, שהסתיים תמיד בשאלה (שהייתה השאלה האחרונה שיוהנס היה מעלה בדעתו).

שני גננים, פריץ וקרל, שותלים עצמי תפוח בשתי שורות. לפריץ יש 45 שתילים ולקרל 35. פריץ נוטע ארבעה שתילים בכל רבע שעה וקרל – חמישה. אם אחרי חצי שעה יעבור גנב ויגנוב שמינית מן העצים בכל אחת מן השורות, כמה עצים יהיו בגן בסך הכל אחרי שעתיים ורבע וכמה עצים ישארו לכל אחד מן החברים?

עיניו של יוהנס היו מזדגגות כבר במשפט השלישי. למי אכפת כמה עצים ישארו לכל אחד משני החברים? הטרידו אותו שאלות אחרות: מי מדד את קצב העבודה של השניים ברבעי שעה? למה יש לפריץ יותר שתילים מאשר לקרל? למה הגנב המוזר הזה גונב שמיניות? איך אחרי שעתיים ורבע כבר נעשו השניים חברים? הוא לא העז לשאול אף אחת מן השאלות האלה, כמובן.
[נחזור לבעיה זו אולי בהמשך, באחד המפגשים הבאים... המתעניינים מוזמנים לנסות ולפתור בבית]

מה ננסה להשיג בסדנה?

המטרה היא להעלות את הרגישות שלנו ההורים לקשיים שהילדים ניצבים בפניהם בלימוד החשבון בביה"ס היסודי, גורמים לקשיים, דרכים לעקוף קשיים, דרכים לתקוף קשיים וכמובן אמצעים להימנע או לצמצם קשיים. לצד אלה אתן עקרונות, רעיונות, גישה ודוגמאות כיצד להסביר באופן פשוט ושאינו מתחכם, שיטתי ומסודר נושאים בחשבון של בי"ס יסודי שרבים הילדים שמתקשים בהם. כמובן שאין אפשרות שנכסה בצורה ממצה את כל ואפילו לא את רוב הנושאים שנלמדים בבית הספר היסודי, אבל באמצעות הנושאים שכן ניגע בהם אני מקווה לתת להורים כלים שימושיים וגישה וגם קצה חוט להמשיך ולהעמיק בהמשך.

תוכנית הסדנה

מפגש 1: 
  • החינוך המתמטי בישראל, זרמים ושיטות, רצוי ומצוי.
  • עקרונות
מפגש 2:
  • משמעויות של חיסור ושל חיבור
מפגש 3:
  • משמעויות של כפל ושל חילוק
מפגש 4:
  • משמעויות השבר
מפגש 5:
  • 4 פעולות החשבון בשברים, משמעויות, למה ומדוע עושים כפי שעושים
מפגש 6:
  • אחוזים
מפגש 7:
  • חילוק ארוך: לשם מה? איך מלמדים? קישור בין ייצוגים בשבר פשוט ובשבר עשרוני

המתמטיקה אשמה ביותר סיוטים מכל המפלצות גם יחד, כך לפחות מרגיש הנסיך הצעיר יוהנס. האם הוא יוכל בבוא היום להיות מלך – בלי לדעת מתמטיקה? האם המתמטיקה תמשיך להתקיים גם אם המלך יכריז על ביטולה? ומה יכול יוהנס לעשות בקשר לזה? ובכן, מתברר שאפשר לעשות משהו – אם יצליח יוהנס לשכנע את אבא שלו לעזור.
הקטע הוא מתוך איך בוטלה המתמטיקה, מאת, אביעד קליינברג בהוצאת ידיעות ספרים וספרי חמד. הספר אינו ממש קשור למתמטיקה אלא יותר ליחסים שבין יוהנס הצעיר לבין אביו המלך, אבל ניכר וברור שהמחבר מקרין חרדת מתמטיקה רצינית. שווה לקרוא את הביקורת של גדי אלכסנדרוביץ, ד"ר למדעי המחשב מהטכניון, כאן ו-כאן: הוא מסביר מה ענייני ומה אינו ענייני ומנתח יפה, לטעמי את העלילה, את המחבר וגם את ההתקפה הישירה על המתמטיקה.

בכוונתי ללמד אתכם להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדויקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים. חשיבות רבה נודעת למתמטיקה מההיבט המעשי, היא עונה על צרכי הקיום הבסיסי של האדם כמו: קנייה, מכירה ומשא ומתן; והיא משמשת את המדעים והטכנולוגיה ותורמת לפיתוח החשיבה. דווקא בשל כך, אנשים שמתקשים בלימוד המתמטיקה סובלים מהרגשת תסכול ואין הילדים שונים מהם.  

בדומה ליוהנס מהסיפור, אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה: רבים מהם כבר מגיל בית הספר. ואת תחושת החרדה והמיאוס שנצרבו בתודעתם הם נושאים עמם במשך שנים רבות מאז. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקהמי צריך את זה בכלללא כולם נועדו להיות מתמטיקאיםמתמטיקה זה לא בשבילי. עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אפשר למנוע ואפשר לתקן כך שיפתחו השערים בפני כל תלמיד שיבחר.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. הניסיון מראה שזה אפשרי ואני פוגש גם ילדים שאוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אני רואה ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות.

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש פלא משולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מסימנים מוזרים וטריקים לפתרון תרגילים. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים. הוראת המתמטיקה, לשיטתי, (ולא אני המצאתי, בדברים שאביא בפניכם שזורות תורותיהם של פיאז'הויגוצקיפוירשטיין ואחרים) מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי על פי כמה עקרונות מובילים שטובים כבר מגיל הגן, וטובים לא פחות ביסודי ואפילו בהמשך..



כמה עקרונות מובילים


בהוראה שלנו נשתמש בכמה עקרונות מובילים שמפורטים ומודגמים כבר באופן שמתאים לילדים בגיל הגן, קל וחומר לילדים ביסודי:
  • שיטתיות: בניית הדברים על פי הסדר הנכון
  • דגש על משמעות, כלומר, על הקשר למציאות, של המספר ושל פעולות החשבון
  • להתחיל מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף למופשט
  • בנייה מדורגת של ההפשטות
  • הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות -- גמישות
  • שימוש בשפה מדויקת ובניסוחים מפורשים
  • העקרונות באים מהילד, מתוך התנסות ומתוך דיון
  • למידה מתווכת:
    • העברה: היכן העיקרון או הרעיון או השיטה מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה ובחיים.
    • כוונה והדדיות. 
    • משמעות
ברשימה הזאת כתבתי בהרחבה דוגמאות רבות לסעיפים השונים ואני ממליץ לכם לקרוא אותה בעיון.

מה זה מספר ומדוע הוא עצם כל כך מופשט?

המספר הטבעי הוא יצור מתמטי מופשט ואל לנו, ההורים, להניח או להסיק שהוא מובן מאליו לילדים ואינו דורש הבנה עמוקה. הנה סרטון חביב שיסייע לכם ההורים להבין מהו מספר טבעי וכיצד התפתח, כפי הנראה, הרעיון באנושות:



משמעויות המספר

דיברנו במפגש על משמעויות שונות של המספר הטבעי:

  1. כמות
  2. סדר
  3. יחס
המשמעויות של הסדר ושל היחס נגזרות מתוך משמעות הכמות.
הדוגמה המובילה שהשתמשנו בה להמחשת העקרונות להוראה

במפגש שלנו התנסינו בעצמנו בכל אחד מהעקרונות באמצעות ניתוח, דיון והתעמקות בבעיה המילולית הבאה (שלקוחה מתוך מכינה לתלמידים מצטיינים בוגרי כתה ו' לקראת השתתפות בכיתת מופ"ת בכתה ז', כשלמעשה רמת השאלה והפתרון מתאימים כבר לכיתה ד' או ה' לפי תוכנית הלימודים):

משקלה של צנצנת עם דבש הוא 2 ק"ג. משקל הצנצנת הוא 2/23 ממשקל הדבש. מה משקלה של הצנצנת?
את הנקודות המרכזיות בשלבי הפתרון של הבעיה תמצאו ברשימה בעיה מילולית בשברים: מציאת חלק משלם והגישה התיווכית בחינוך מתמטי.

מתמטיקה ותרבות

"למה מלמדים בבית הספר על מלחמות כל־כך הרבה? על נפוליאון?" שואלת פרופסור נִצּה מובשוביץ־הדר. "כל כך הרבה היסטוריה לומדים. אבל לא לומדים לא ההיסטוריה של המדעים, ולא היסטוריה של המתמטיקה, שהיא באמת נכס בר־קיימא. היא לא הולכת לאיבוד. מתמטיקה לא מתיישנת, מתמטיקה רק מצטברת".

תלמידים רבים בתיכון ולא מעט מבוגרים שואלים את עצמם פעמים רבות בנוגע לנושאים במתמטיקה שנלמדים בבית הספר: "בשביל מה אנחנו לומדים את זה? מה עושים עם זה?"

תרבות מתאפיינת בריבוי מרכיביה, בהיקף תופעותיה ובהשפעתה על תחומים רבים בחיי האדם. המתמטיקה אינה מערכת של טכניקות שמבודדת מהתרבות האנושית, היא תופסת את מקומה הנכבד בתוך מסכת שלימה שמקשרת בין הפן המעשי, החשיבה האחריות האישית והשפה. כדאי להקנות את התחושה הזאת לילדינו.  שילוב של תכנים היסטוריים בהוראת המתמטיקה יוסיפו עומק להיבט התרבותי של המקצוע. אפשר גם לשלב תכנים מהמסורת ומהמקורות שלנו, למשל, במקורות העתיקים של היהדות מופיעה המתמטיקה לא כענף מדעי תיאורטי ותלוש מהמציאות אלא ככלי שימושי שנוגע לבעיות הלכתיות יום יומיות.  במקומות מסוימים,  הסקרנות האינטלקטואלית והאופקים הרחבים של חכמי ישראל גרמו להם להרחיב את הדיונים אל מעבר לבעיה הקונקרטית,  וכפי שנראה להלן,  אם ניגשים אל הטקסטים בצורה פתוחה ובלתי מגמתית, אפשר למצוא טענות ותוצאות מעניינות במיוחד. 

הנה דוגמה אישית: לימדתי את בני, אביב, על פאי ועם כל מיני הדגמות על מהותו ועל אופן הערכתו וחישובו גם מצאתי לנכון להעלות את הקשר למקורות. בספר דברי הימים ובמלכים יש הוראות על בניית כיור שקוטרו 10 אמה והיקפו 30 אמה ומכאן מקישים שהיחס בין ההיקף לקוטר הוא 3 (קירוב לא רע, אבל גס בהרבה ממה שהיה ידוע באותה התקופה על ידי היוונים ועל ידי הבבלים, כנראה). שאל אביב, מה זה אומר על הציטוט מהתנ"ך: האם אכן "דיברה תורה בלשון בני אדם" והטקסט וההוראות הונמכו או אולי שהכתוב השתבש או שיש טעות לכותב... -- עצם הקישור מראה שהנושא אינו תלוש מהתרבות ואפילו עורר אצלו, ילד בכתה ה', מחשבה ויצר לשאול שאלות חשובות (ולא ניכנס לדיון עצמו -- המעוניינים יכולים לעניין, למשל ב- ערכים מדוייקים של פאי, בועז צבאן ודוד גרבר, או ב-דף ספר - בדד - בכל דרכיך דעהו 25 - עריכה עלי מרצבך - הוצאת אוניברסיטת בר-אילן).  מידי שנה ב-14 במרץ (ויש המהדרין ומקפידים בשעה: 1 ו-59 דקות) נהוג לחגוג בעולם את יום הפאי. זאת דוגמה נוספת לקישור לתרבות -- באותו היום חוגגים כמה אירועים נוספים ומציינים אותם. הקשר למציאות ולעבר ולתרבות כמו גם לשימושים תורם ללמידה ולהבנה. 

שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרוןשתי דוגמאות נהדרות נוספות לקשר שבין מתמטיקה למציאות ולתרבות הן חיתוך הזהב ו-סימטריה. אפשר לקרוא ולהתרשם מהקשרים הללו למשל מספריו של מריו ליביוחיתוך הזהב ו-שפת הסימטריה. מעניין ששני מושגים אלה באים לידי ביטוי בהקשר לנושא זכייתו בפרס נובל של פרופסור דניאל שכטמן מהטכניון.

קיים קשר הדוק בין תחומי תוכן רבים בשל היותם שזורים על פעילויות קוגניטיביות שמשותפות לכולם, אלו הן אופרציות מנטליות: תהליכי חשיבה. אנאליזה (ניתוח), למשל, הוא תהליך חשיבה, שאנו נזקקים לו גם בעת פיתרון בעיה מתמטית וגם כאשר מנתחים יצירה ספרותית או תופעה חברתית. הוא הדין לגבי תהליכי השוואה ומיון ולגבי תהליכי חשיבה נוספים. תלמיד מתמטיקה חייב להפעיל אופרציות מנטליות מרובות, שיכולות לשמש מנוף לתהליך תיווכי. האם תהליך זה יקרה? זה כבר תלוי במורה, או בהורה שמלווים אותו בתהליך הלמידה ומנחים אותו.


איך נעשה את זה? כיצד ניישם את העקרונות?

נראה דוגמאות רבות אבל הרעיון הוא:
איך נעשה את זה?
מתוך, Candy can do it
  • לצאת מעולמו של הילד ומסביבתו הקרובה ורק אז להגיע להכללה מתמטית ולתופעות שונות בעולמנו
  • להסביר וללמד עקרונות מתמטיים שהולכים ומתפתחים: כך נביא את הילדים לשליטה בנושאים שהם לומדים ולהבנתם ברמות שונות
  • פשוט. לא לסבך. מה שפשוט קל ללמוד וקל להסביר
  • אנחנו ההורים יכולים להיות שותפים ללימוד של הילדים בבית הספר ולסייע לילדים כשהם מתקשים וגם להשלים להם את הנלמד ולהרחיב
  • ננסה לספק לילדים כלים לפתרון בעיות חדשות: כאלה שהם טרם נתקלו בהם (במקום לשמוע אמירות כמו "לא למדנו" או "זה לא היה בחומר")
  • נלמד כיצד להקנות לילדים עקרונות שבאמצעותם יוכלו להסתייע בפתרון בעיות בתחומים חדשים, כמו מדעים ופיזיקה. לדוגמה: הצורך באיסוף נתונים כדי להסיק מסקנות
  • נשתמש ונגדיר מושגי יסוד, כאלה שמלווים את הילדים בתחומים רבים, כמו: גודל, צבע, כמות, צורה, מיקום וכו' 
  • ננסה להקנות לילדים באמצעות העיסוק בחשבון תהליכי חשיבה בסיסיים, אולי בכך נוכל למנוע או לצמצם קשיי למידה בעתיד 
  • נראה כיצד להביא את הילדים לכדי שליטה ואוטומטיזציה, כשאלה מושגות בעזרת חזרתיות יצירתית, מבלי להלאות את הילדים בשינון משעמם 
  • נתרום את חלקינו בפיתוח היצירתיות של הילדים בשעה שהם ממציאים בעצמם סיפורים חשבוניים
  • כל שלב שנסביר נלווה בפתרון ובהמצאת בעיות שמיועדות להקנות משמעות ושליטה
  • טעות אינה בושה. הכול טועים. נתן דוגמה אישית שטעויות מוצאים, מתקנים ואז לומדים מהתהליך כדי להימנע מהן בעתיד.
  • ננסה להבין כיצד נוכל לסייע להשלים את הנעשה והנלמד בבית הספר כדי להקיף כל תחום מכל היבטיו וכדי שכל שלב שנלמד יחזק את קודמו


ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בית ספר יסודי: מדוע אנחנו ההורים עושים את זה?


רון אהרוני

מדוע הורים צריכים לדעת עקרונות הוראה? מהרבה סיבות. ידע כללי, הבנה מתמטית שלהם עצמם, חיבור לילדים, הבנה מה קורה עם ילדיהם. אבל יש עוד סיבה: הם יכולים לעזור. 

אומר כאן דבר שיישמע כסותר את הדברים האלו. דבר שהוא בעיני חשוב מאין כמותו: שינוי אמיתי בחינוך יכול לבוא רק מתוך המערכת. תרומות מן הצד הן משניות. העבודה החינוכית האמיתית נעשית בכיתה. 

אבל ההורים יכולים לתרום לאווירה החינוכית, לכיוון הכללי. האכפתיות שלהם והידע שלהם, אם ינותבו בצורה חיובית, ישפיעו על המערכת כולה. כל הורה שמבין מה קורה עם ילדו בבית הספר משפיע על המערכת. 


אז מה במפגש הבא?
המפגש השני בסדנה יתקיים בשבוע שלאחר חג השבועות, ביום רביעי, 22 במאי. נפתח את השיעור בתנאים ההכרחיים לקיום תהליך תיווכי והנושא של השיעור יהיה משמעויות של חיבור ושל חיסור.