יום שלישי, 28 במאי 2013

כיצד למצוא את שטחו של משולש?

שטח של משולש
שיעור מספר 17: מציאת שטח של משולש

מצאו את שטח המשולש הכתום ואת שטח המלבן שמתאים לו
מורה: במה יעסוק נושא השיעור הפעם?

תלמיד: במציאת שטח של משולש. 

מורה: מנין לנו שזה הנושא? 

תלמיד: מהכותרת. 

מורה: אני שמח לראות שלמדתם לשים לב לכותרת. כדי שנלמד איך מחשבים שטח של משולש, כדאי שנתבונן היטב במלוא המידע שנתון על גבי הלוח. תארו מה אתם רואים בו? 

תלמיד: יש בו למעלה כותרת משנה: מציאת שטח של משולש. מתחת לכותרת הזאת יש הוראה. 

מורה: מה אומרת ההוראה? 

תלמיד: מבקשים שנמצא את שטח המשולש הצבוע ואת שטח המלבן המתאים לו. כלומר, ב-A: את שטח המלבן ואת שטח המשולש ישר הזווית המצוי בתוכו. ב-B את שטח המלבן ואת שטח המשולש חד-הזוויות המצוי בתוכו. ב-C את שטח המלבן ואת שטח המשולש קהה הזווית שצלעו האחת משותפת לצלע המלבן. 

מורה: מה פירוש הבקשה למצוא שטח של מלבן? 

תלמיד: למצוא כמה יחידות ריבועיות מרצפות את השטח. 

מורה: איך נוכל לחשב את שטח המלבנים שבעמוד? 

תלמיד: נמצא כמה יחידות ריבועיות יש בשורה אחת ונכפול במספר השורות. 

מורה: איך נמצא כמה יחידות ריבועיות יש בשורה אחת? 

תלמיד: נמנה את הריבועים בשורה. 

מורה: אם היו 500 ריבועים כאלה, האם היינו יושבים ומונים אותם אחד אחד? 

תלמיד: לא צריך למנות אותם כך. מספיק למדוד את אורך הצלע של המלבן ביחידות אורך. 

מורה: למה מדידה של אורך הצלע מספיקה? 

תלמיד: כאשר מודדים את אורך הצלע יודעים כמה ריבועים נכנסים בשורה אחת. למשל במלבן A אורך הצלע התחתונה הוא 6 יחידות אורך, לכן יש שישה ריבועים שמרצפים את השורה התחתונה. יש 5 שורות כאלה. בסך הכל המלבן מכיל בתוכו בדיוק 30 ריבועים (5 פעמים שישה ריבועים כאלה: 30=5x6). כל ריבוע הוא יחידת מידה. שטח המלבן שווה 30 יחידות ריבועיות. 

מורה: למדנו כיצד לבטא את חישוב השטח של המלבן באלגברה. מישהו זוכר את הנוסחה? 

תלמיד: כן. 
S = a X b 
כאשר האותיות a ו-b מייצגות את אורכי צלעות המלבן. האות S מייצגת את שטח המלבן. 

מורה: מי יכול לומר במילים איך מחשבים שטח של מלבן? 

תלמיד: כדי לחשב שטח של מלבן אנחנו כופלים את שתי הצלעות הסמוכות שלו:
שטח מלבן מתקבל ממכפלת אורכי שתי צלעות סמוכות במלבן
מורה: אלו יחידות אורך אנחנו מכירים? 

תלמיד: ס"מ. 

מורה: אלו יחידות שטח אנחנו מכירים? 

תלמיד: סמ"ר. 

מורה: איך אנחנו מקבלים מכפל של יחידות אורך זו בזו יחידות ריבועיות? 

תלמיד: כאשר כופלים ס"מ בס"מ מקבלים ס"מ בריבוע, כך נעשה המעבר ליחידות ריבועיות. 

מורה: כמה מלבנים משורטטים בעמוד? 

תלמיד: בעמוד יש 3 מלבנים. אחד המלבנים הוא ריבוע. גם ריבוע הוא מלבן, כי ריבוע הוא מלבן שווה צלעות. 

מורה: אמרתם שכדי למצוא שטח של מלבן כופלים אורך של צלע אחת שלו באורך של הצלע הסמוכה לה, כך מוצאים כמה יחידות מידה ריבועיות מכסות את שטחו. איך נחשב שטח של משולש הרי קשה לרצף אותו בריבועים? 

תלמיד: ?? 

מורה: לפני שנלמד איך מחשבים שטח של משולש ניזכר במושג גובה של משולש. [למדנו על גובה במשולש ועל אופן בנייתו בשיעור מספר 16]

אם לא היה כתוב: "גובה" במקום שזה כתוב, איך הייתם קוראים לקטע הזה? 

תלמיד: צלע. 

מורה: נכון. למה אותו קטע במלבן שאנו קוראים לו צלע, מקבל שם אחר במשולש: גובה? 

תלמיד: [שגוי חלקית] צלע היא קטע ששייך למלבן. היא חלק מהקו שמקיף את המלבן. במשולש הקו הזה אינו חלק מהמשולש, הוא נוסף לו. 

מורה: הסתכל על משולש A. האם הקו הזה אינו צלע של המשולש. 

תלמיד: זה נכון עבור משולש A אבל לא נכון עבור משולש B ומשולש C. 

מורה: אז למה בכל זאת קוראים לקטע הזה גובה גם ב-A? 

תלמיד: ?? 

מורה: יש לנו עבודה נוספת בלימוד גובה במשולש. לשם זה ניזכר במושג אחר שלמדנו. מי זוכר מהי הגדרת הסימטריה השקופית? 

תלמיד: צורה היא סימטרית אם יש לה ישר שלכל נקודה מצדו האחד יש נקודה מתאימה לה מצדו השני. מרחק שתי הנקודות מהישר שווה. 

מורה: מה זה "מרחק של נקודה מישר"? 

תלמיד: מרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך העובר מהנקודה אל הישר. 

מורה: הראו לנו למה אתם מתכוונים. 

תלמיד: אני מצייר ישר ונקודה מחוצה לו. 

אני מוריד אנך אל הישר ומודד את אורכו. 

הנה כך: 

מורה: הראה לנו את האורך של האנך. 



תלמיד: אני מראה את המרחק של הנקודה מהישר. 

מורה: איך נוכל לבנות את האנך הזה? 

תלמיד: בעזרת סרגל רגיל ובעזרת סרגל בצורת משולש ישר זווית. אפשר גם עם סרגל בלבד. וגם למדנו לעשות זאת עם סרגל ומחוגה בפעם האחרונה הזדקקנו לכך כשבנינו גבהים לצלעות במשולש).

[התלמידים מנסים במחברות והמורה עובר ביניהם ובודק מי שולט ומי מתקשה וזקוק להדגמה ולניסיונות נוספים]

מורה: העתיקו למחברות את משולש B. אפשר להיעזר בנייר שקוף. אין צורך להעתיק את המשבצות. נסמן את קדקודיו באותיות גדולות. 




את צלעותיו נסמן באותיות קטנות. נהוג לסמן את שם הצלעות על פי נקודות ההתחלה והסיום של הצלע, או על פי השם של הקדקוד הנגדי לצלע. מול G תמצא הצלע g, מול F תמצא הצלע f, מול H תמצא הצלע h. לפי זה: 

GH = f 

GF = h 

FH = g 

נוריד אנך מ-G אל g. נעשה זאת באמצעות סרגל ומשולש ישר זווית. 



מדדו את אורכו של האנך הזה. מה אורכו? 

תלמיד: קצת יותר מ-4 ס"מ. 

מורה: כמה יותר? 

תלמיד: יש 2 קווים יותר. 

מורה: כדאי שניזכר ביחידה קטנה מס"מ. החזיקו סרגלים. מה אתם רואים בין מספר למספר? 

תלמיד: קווים. באמצע יש קו אחד יותר גדול. 

מורה: כמה קווים יש? [לקווים הללו קוראים בעברית שנתות, וביחיד, שֶנֶת]

תלמיד: תשעה. 

מורה: המרחק בין קו לקו הוא מילימטר, וכותבים את זה כך: מ"מ. 

כמה מילימטרים יש בסנטימטר? 

תלמיד: בס"מ יש 10 מילימטר? 

מורה: מה מזכיר לכם השם: מילימטר? 

תלמיד: הוא דומה לַשֵם: מיליליטר. 

מורה: כמה מיליליטר יש בליטר? 

תלמיד: 1,000. 

מורה: כמה מילימטר יש במטר? 

תלמיד: 1,000. 

מורה: הסבר. 

תלמיד: בסנטימטר יש 10 מילימטר. במטר יש 100 ס"מ. במטר יש 10 פעמים 100 מילימטר. כלומר, במטר יש 1,000 מילימטר. 

מורה: נכון. מילי זה אלפית. כלומר, נתון שלם שמחולק ל-1,000 חלקים שווים, כל חלק כזה הוא אלפית של מטר. תתאמנו קצת בשרטוט קטעים עם מילימטרים. שרטטו קטע שאורכו 3 ס"מ ועוד 4 מילימטר, וקטע שאורכו 8 ס"מ ו-7 מ"מ. עכשיו מדדו את האורך של האנך שהורידו בספר, כָּתבו שהוא גובה ואנחנו רואים שהוא מציין את אורך הצלע של הריבוע. זוכרים? ריבוע הוא מלבן שווה צלעות. 

תלמיד: 4 ס"מ ו-2 מ"מ. 

מורה: מידדו את אורך הגובה למשולש B, היורד מ-G אל g, זה שציירתם אצלכם. מה מצאתם? 

תלמיד: שני הקטעים שווים באורכם. 

מורה: אם כך, נקרא לאנך שיורד מ-G אל g: הגובה של הצלע g או: הגובה לצלע g. נסמן את נקודת המפגש שלו עם הצלע g באות גדולה כלשהי (לא אחת מהאותיות שכבר השתמשנו בהן) למשל, באות M. 


לקטע GM קוראים הגובה ל-g במשולש GFH. נהוג לסמן אותו כך: hg. 

h מסמן גובה מהמילה האנגלית height ה-g הקטן מציין שהגובה הזה הוא של הצלע g. 

כמה קדקודים יש למשולש? 

תלמיד: 3. 

מורה: אם כך, כמה גבהים יש למשולש? 

תלמיד: 3. מכל קדקוד אפשר לשרטט גובה אל הצלע שמולו. 

מורה: נהוג לקרוא לשרטוטים מסוג זה: בניות. בנו בבקשה את הגובה hc. למה אני מתכוונת? 

תלמיד: אתה מבקש שנבנה את הגובה העובר מהקדקוד F אל הצלע שמולו שקוראים לה f. 

מורה: אמנם הגובה במשולש B שנבנה מ-F עולה כלפי מעלה, אבל נהוג לומר "להוריד גובה מ-F אל
f." מה עלינו לעשות? 

תלמיד: ניקח משולש ישר זווית ובעזרתו נוריד את האנך מ-F. נקבל את הגובה hf. 

מורה: נסמן את נקודת החיתוך של הגובה הזה עם הצלע GH באות K. hf = FK. 


נמדוד את אורך שני הגבהים. מה אפשר לומר על אורכם? 

תלמיד: יש להם אורכים שונים. אורך הגובה מ-G הוא 4 ס"מ ועוד 2 מ"מ ואורך הגובה מ-F הוא
4 ס"מ. 

מורה: נכון. מה אפשר ללמוד מכך? 

תלמיד: [שגוי בחלקו] שהגבהים אינם שווים זה לזה. 

מורה: אני מחלק לכם דפים ועליהם משולשים שווי צלעות. בנו בעזרת המשולש ישר הזווית את שלושת הגבהים של המשולש העליון. מידדו את אורך הגבהים האלה. מה קיבלתם? 

תלמיד: שלושת הגבהים שווים באורכם. 

מורה: חיזרו על אותן הפעולות גם לגבי המשולש התחתון. מה קיבלתם? 

תלמיד: שלושת הגבהים שווים באורכם. 

מורה: מה מסקנתכם? 

תלמיד: שלושת הגבהים במשולש שווה צלעות שווים באורכם זה לזה. 

מורה: מה דעתכם עכשיו? תמיד האורך של הגבהים השונים במשולש שונה? 

תלמיד: לא. במשולש שווה צלעות כל הגבהים שווים באורכם. ראינו גם בשיעור שעבר שעסק בבניות של גבהים במשולש בסרגל ובמחוגה שאורכי הגבהים לצלעות המשולש אינם תמיד שווים.

מורה: נבדוק מה קורה עם הגובה השלישי של המשולש B. בנו אותו. 

תלמיד: הוא נפגש עם שני הגבהים האחרים בנקודה אחת. אורכו אינו שווה לאורך הגבהים האחרים. 

מורה: יפה. באמת שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת. מה אורכו של הגובה הזה? 

תלמיד: שלושה וחצי ס"מ. אורך הגובה הזה אינו שווה לאורך של הגבהים האחרים. 

מורה: הציגו את השרטוט שלכם ואת הדרך לסמן את הגובה הזה. 

ת: הנה השרטוט. שרטטתי את HL = hh. 

מורה: מי מוכן לסכם מה למדנו עד עכשיו על גבהים במשולש? 
סיכום 

תלמיד:

– למדנו שמרחק של נקודה מישר נמדד באמצעות האורך של האנך היורד מהנקודה אל הישר; 
– למדנו שגובה הוא האנך היורד מהקדקוד אל הצלע שמולו; 
– למדנו שהגובה במשולש הוא המרחק של הקדקוד מהצלע שמולו, שנמדד על ידי אורך האנך היורד מהקדקוד אל הצלע שמולו; 
– למדנו שאפשר לסמן צלע על ידי אותיות לטיניות גדולות המציינות את שתי הנקודות שבקצותיה, או על ידי אות לטינית קטנה; 
– למדנו שנוח לסמן את הצלע באות הקטנה לפי האות הגדולה המסמנת את הקדקוד שמולה; 
– למדנו שאת הגובה נהוג לציין באות h קטנה ולידה מסמנים באות לטינית קטנה ומוקטנת את הצלע שהגובה שייך לה; 
– למדנו שיש 3 גבהים במשולש; 
– למדנו ששלושת הגבהים של המשולש נפגשים בנקודה אחת; 
– למדנו כיצד לשרטט גובה בעזרת סרגל ומשולש ישר זווית; 
– למדנו שהאורך של הגבהים במשולש לא תמיד שווה; 


– למדנו שבמשולש שווה צלעות האורך של כל הגבהים שווה;

המורה,