יום שבת, 15 בדצמבר 2012

מה זאת זווית?


מה זאת זווית? מהי ההגדרה לזווית?


עם פתיחת שנת הלימודים מתחילים תלמידים בכיתות ג' בשיעורי ההנדסה (כך קוראים לנושאים בגיאומטריה) בכמה מושגי יסוד, כמו נקודה ו-ישר ובהמשך אפילו מגדירים את ה-זווית. משום מה תחת הרושם שזה משהו שקשה מידי לילדים ביסודי אין עומדים על ההבדל בין מושג יסוד לבין מושג שאותו מגדירים בעזרת הגדרה ואין דנים בכלל בצורך במושגי היסוד ובחשיבות ההגדרה. להורים המתעניינים, הגדרות בגיאומטריה בנושאים של בית הספר היסודי אפשר למצוא באתר משרד החינוך בקישור הזה. את ההגדרה לזווית, למשל,  באתר הזה אפשר למצוא בקישור הזה. מושגי יסוד הם מושגים שאין אנו מגדירים אותם: אלה הם מושגים שאין להם הגדרה ולכן משמעותם מובנת בצורה אינטואיטיבית או על פי מאפייניהם. בעזרת מושגי היסוד נגדיר מושגים נוספים. הזווית אינה מושג יסוד ויש לה דווקא הגדרה. למעשה, לזווית יש כמה הגדרות נפוצות ומאוד בעייתיות.


הגדרת הזווית

מדוע חשוב להגדיר? הגדרה מבדילה בין המושג שאותו היא מבארת לבין שאר הדברים בדומה לגדר שמפרידה בין מה שנמצא בתחום שאותו היא תוחמת לבין שאר העולם. הגדרה תספק לנו מידע על המהות (מה-הוא) של המושג, או איך לזהות אותו או מה מאפיין אותו ואיך ליצור אותו.

הנה דוגמה להגדרת הזווית בכתה ג' כפי שהעתקתי ממחברתה של תלמידת כתה ג':
"שתי קרניים שיוצאות מאותה נקודת התחלה יוצרות ביניהן זווית. הזווית זה הרווח שבין שתי הקרניים."

ואז המורה "מבהירה":
"גודל הזווית תלוי ברווח שבין הקרניים. ככל שהרווח (המפשק) גדול יותר הזווית גדולה יותר."

יש בטקסט הזה בעיות רבות מאוד:
  1. המשפט הראשון אינו מציין מהי הזווית ואיך לזהות אותה, אלא רק מה יוצר זווית. אין כאן תיאור של מהות הזווית. אי אפשר להבין מהי זווית.
  2. התיאור שבמשפט הראשון בעייתי עוד בתור הגדרה כי שתי קרניים שיוצאות מנקודה משותפת יוצרות שתי זוויות ולא רק אחת (יש את זאת שמתכוונים אליה ויש את המשלימה ל-360°.
  3. המשפט השני כבר שגוי במלואו. הזווית אינה הרווח שבין שתי הקרניים. על איזה מהרווחים מדובר? איך רווח יכול להיות זווית? איך אפשר למדוד זווית בתור רווח? איך מודדים את הרווח הזה? הרווח הזה הוא אורך? הרווח הזה הוא שטח? הרי גם זה וגם זה אינו נכון.
  4. ההבהרה שגויה והיא טעות חשיבה שמועברת לילדים: אין כל קשר בין "גודל הרווח" ואין כל קשר בין "מפשק" או בין "מפתח" הקרניים לבין גודל הזווית.
הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:

"זווית היא חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת"

אף על פי שזאת הגדרה נפוצה גם בה יש בעיות:
  1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
  2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
  3. גם ההגדרה הזאת  מפיקה שתי זוויות ולא אחת
בעייתיות

הזווית לפי ההגדרה היא חלק המישור שכלוא בין שתי קרניים שלהן קודקוד משותף. חשוב שלא לבלבל את מהות הזווית  עם אופן המדידה של הזוית. ניתן עדיין למדוד את הזווית שמוגדרת כך, אלא שנצטרך למצוא שמורה (משהו שנשמר) בזווית ללא תלות באורך כל אחת מהשוקיים שמתוארות בהגדרה.

התייחסות לשגיאות


כאשר אנחנו מודדים את גודלה של זווית איננו מודדים שטח. חלק המישור שתחום בין שתי שוקי הזווית (ואין זה משנה כרגע מאיזה צד) הוא אינסופי ולכן אין משמעות למדידה שלו מתוך כוונה לקבל מספר בתור תשובה. אם נתייחס רק לשטח שכלוא בין שתי השוקיים ונתייחס לכל שוק כקטע ולא כקרן -- אזי השטח הכלוא יהיה סופי -- אבל אז תהיה לנו בעיה -- לזווית עם שוקיים ארוכות יותר השטח הכלוא יהיה גדול יותר ולזווית עם שוקיים קצרות יותר יהיה שטח כלוא קטן יותר. אין פה שימור של המידה שאותה אנו רוצים למדוד. לכן השטח אינו מה שנמדוד כאשר נרצה למדוד זוויות.
גם איננו מודדים אורך. טעות נפוצה היא לחשוב שהזווית היא הקשת שמותחים כדי לסמן את הזווית בשרטוט ולכן גודל הזוית הוא אורך הקשת -- הרי אורך הקשת יקטן ככל שנסמן אותה קרוב יותר לקודקוד  הזווית  והאורך יגדל ככל שנסמן את הקשת רחוק יותר מהקודקוד של הזווית. ה-"הסבר" המוטעה עם ה"רווח" מתייחס אולי למרחק שבין שוקי הזווית: אבל שימו לב, שאם מוחים קטע משוק אחת לשנייה אז אורכו תלוי במקום על כל אחת מהשוקיים שבוחרים, אבל הזווית היא אותה הזווית.

מספרים לנו כבר מכיתות נמוכות בבית הספר היסודי שזוויות מודדים ביחידות שנקראות מעלות. זה אולי צריך לרמוז לנו שאין מדובר כאן ביחידות של אורך וגם שאין מדובר ביחידות של שטח.
אנחנו זקוקים למדידה של משהו שנשמר ושיש לו משמעות.

התרשים מתוך ויקיפדיה
כדי למדוד אנחנו צריכים משהו קבוע ואחיד.

הגדרה  ברורה יותר לזווית

"נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב המעטה ביותר שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני."

זווית, אם כך, קשורה בסיבוב: לא ברווח, לא באורך ולא בשטח. מהי מידת הסיבוב המדוברת? איך מודדים את מידת הסיבוב ובעצם, איך מודדים זווית?

אז איך מודדים זווית ומה מודדים שם?


לפני כ-3,500 שנה חילקו מעגל ל-360 חלקים שווים. החלוקה נעשתה כמו שמחלקים עוגת יום הולדת עגולה או כמו שמחלקים פיצה עגולה: מהמרכז כלפי חוץ. לכל חלק כזה של המעגל נקרא קשת ולכל חלק כזה מהעיגול נקרא גִזְרה. כל פרוסת עוגה או מנת פיצה היא בעצם גִזְרה כי היא חלק מהעיגול. נבחין כי אורכי הקשתות שמתקבלים מהחלוקה הזאת שווים זה לזה ושנשמר מספר הקשתות וגם מספר הגזרות. מספר הקשתות ומספר הגְזרות נשמר גם אם נשרטט מעגל גדול יותר או קטן יותר כרצוננו, ובלבד שלמעגלים הללו יהיה מרכז משותף.


קשת היא חלק מהמעגל. המעגל הוא הקו שסביב לעיגול.
גִזרה היא חלק מהעיגול. העיגול הוא השטח שהמעגל כולא בתוכו.

גזרה היא הצורה שכלואה  בין שני מחוגים במעגל לבין קשת על המעגל
הרעיון של הקדמונים היה שיש להתחיל את המדידה של הזווית מקודקוד הזווית, שעליו יונח מרכז המעגל המחולק לקשתות.

אנחנו רואים שבין שוקי זווית שנשרטט יש אותו מספר של קשתות או של גזרות ואין זה משנה מהו גודל המעגלים (שמרכזם בקודקוד הזווית) שנשרטט.


יש שימור כמות (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

אין שימור של גודל (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

מצאנו משהו קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. אם המעגל קטן -- הקשתות קטנות, אם המעגל גדול -- הקשתות גדולות, אבל מספרן נשאר קבוע. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקודקוד הזווית ייתן בחלוקתו את אותה התוצאה.
  • לכל חלק בחלוקה הזאת ל-360 חלקים נקרא מעלה ונסמן מעלה אחת כך: 1°
  • חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
  • הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהן.
  • אנחנו מודדים כמות ולא גודל (כמה גזרות כאלה תעבור אחת השוקיים בסיבובה סביב הקודקוד המשותף לקרניים עד שתתלכד עם השוק השנייה)
לסקרנים: כמה שיטות שונות למדוד זוויות ביחידות מידה

נזכיר כעת כמה שיטות שונות שמקובלות למדידת זוויות. מי שרוצה לדלג, יכול ישר להמשיך בחלק שמסביר על מדידת הזווית על פי ההגדרה. 

מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית. במעגל יש 360 מעלות (מספר זה נקבע על פי שיטת הספירה הבבלית), כלומר מעלה היא זווית שגודלה הוא 1/360 של המעגל. סימנה של מעלה הוא °, ולכן ניתן לכתוב "זווית של 90°", במקום "זווית של 90 מעלות".

המעלה נחלקת ל-60 דקות, כלומר דקה שווה לחלק ה-1/60 של מעלה. יחידה זו ידועה גם כ"דקת מעלה" או דקת קשת, וניתן לחלק אותה, אנלוגית לזמן, ל-60 שניות קשת, כלומר שנייה שווה לחלק ה-1/60 של דקה, או לחלק ה-1/3600 של המעלה.

הסימון הפורמלי לדקה הוא גרש ישר - (′). לדוגמה, 15 דקות ייכתבו כך - 15′. אולם, הסימון הנפוץ ביותר הוא הגרש הנטוי המקובל. באופן דומה מסומנת שנייה על ידי זוג גרשיים, לדוגמה 25 שניות ייכתבו כך - 25′′. 
רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל - \  \ R. כיון שהיקף מעגל הוא \ 2 \pi R, במעגל כולו יש בסך הכל \ 2 \pi רדיאנים.לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.  מעלה שווה 180/π רדיאנים.
  • גראדים (מתוך ויקיפדיה):
הגראד (Grad) היא זווית המתקבלת מחלוקת המעגל ל-400, כך שבכל זווית ישרה ישנן 100 זוויות בנות גראד.

יתרונה של יחידה זו היא הקלות לחשב בה חישובים פשוטים. כך, למשל, אם פניתי בזווית של 117 גראד, בכיוון השעון מצפון, ניתן להבין בקלות כי פני מופנות בזווית של 17 גראדים מן המזרח. מקורה של חלוקה זו של המעגל בצרפת, והיא חלק מן השיטה המטרית. עם זאת חלוקה זו לא התקבלה באופן אוניברסלי, והיא נהוגה רק בענפי התמחות מסוימים כמדידות, או תותחנות ובמקומות מסוימים, במיוחד במקומות שהיו בשליטה צרפתית. בשנות ה-80 וב-שנות ה-90 רוב מחשבי הכיס המדעיים כללו אופציה לחישובים בגראדים. דגמים מאוחרים יותר לא כללו אופציה זו ומאפשרים חישובים במעלות ורדיאנים בלבד.

אולי עוד משהו שכדאי להזכיר בהקשר הזה הוא מדידה של שיפועים בעזרת אחוזים ולא בעזרת זווית השיפוע. בארצות מסוימות אפשר למצוא תמרורים שבהם מציינים את מידת השיפוע של כביש בעזרת השימוש באחוזים ולא באמצעות זוויות. גם אצל הגננים, החקלאים ואצל בנאים מקובל לפעמים להשתמש בשיפועים שנמדדים באחוזים ולא בזוויות. אז איך מודדים שיפוע באחוזים? אחוזים מתוך מה?!

דמיינו משולש ישר זוית כך שהכביש עם השיפוע המדובר הוא על היתר של המשולש. ניצב אחד מקביל לפני כדה"א באזור והניצב האחר ניצב לפני כדה"א. אזי 15% מתקבלים מתוך חילוק אורך הניצב שמאונך לפני כדה"א באורך הניצב שמקביל לפני כדה"א. הזוית שבין היתר לבין הניצב שמקביל לפני כדה"א תתקבל מחישוב ה-arctan (הפונקציה ההפוכה לטנגנס) של 0.15, שזה יוצא 8.53 מעלות לערך.שיפוע של 100% יתן לפי השיטה הזאת זוית של 45 מעלות (המשולש ישר הזוית יהיה גם שווה שוקיים).

מדידת הזווית לפי ההגדרה



































בדרך זו מצאנו מרכיב קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. במקרה שלנו: 3, שהן 30 מעלות. אם המעגל קטן - הקשתות קטנות, אם המעגל גדול - הקשתות גדולות, אבל מספרן של הקשתות נשאר קבוע. גודל הזווית נמדד לפי מספר הקשתות שבין שוקי הזווית. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקדקוד הזווית ייתן בחלוקתו אותה תוצאה: 30 מעלות (° 30).


מד הזווית -- מדידת זוויות על פי ההגדרה בעזרת מכשיר

נתקשה מאוד לשרטט מעגלים ולחלק אותם ל-360 חלקים שווים בכל פעם שנרצה למדוד זוויות. כדי למדוד זוויות באופן קל ונוח נשתמש במכשיר מד הזווית. נזכיר שמד-הזווית הוא מכשיר שמודד את מספר חלקי המעגל (הקשתות) הכלואים בין שוקי הזווית.

אם המעגל שעליו נעשית החלוקה הוא קטן, אז גודל הקשתות יהיה קטן, אם המעגל שעליו נעשית החלוקה יהיה גדול, אז גודל הקשתות יהיה גדול, אבל בשני המקרים כמות הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשארת קבועה והיא יחידת המידה שמודדת את גודל הזווית.
מד זווית
במד-הזווית יש שני טורי מספרים: בכל טור יש 180 מעלות: במעגל הפנימי, הקטן יותר, הקשתות קטנות יותר מאלה  שבמעגל החיצוני, אבל מספרן שווה למספר הקשתות הגדולות יותר, השייכות למעגל החיצוני. הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל החיצוני היא מצד שמאל (מתחילים בספרה 0).



















הנה דוגמה לזווית בת 70 מעלות הנמדדת על המעגל החיצוני.












הנקודה שממנה מתחילים את המדידה במעגל הפנימי היא מצד ימין (מתחילים בספרה 0).


הנה דוגמה לזווית בת 60 מעלות הנמדדת על המעגל הפנימי.













ברבע מעגל יש 90 מעלות (° 90).  ° 90 = 4 : ° 360.
בחצי מעגל יש 180 מעלות (° 180).  ° 180 = 2 : ° 360.
בשלושה רבעים של מעגל יש 270 מעלות (° 270) כי שלושה רבעים של ° 360.

זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.


זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.


זווית שטוחה. 180 מעלות. חצי סיבוב על מעגל.

זווית נישאה. זאת שבדוגמה היא בת 270 מעלות. 3/4 של סיבוב על מעגל.
זווית מלאה. 360 מעלות (מקובל גם לסמן ב-0 מעלות). סיבוב שלם של מעגל (או בעצם לא הסתובב שומדבר בכלל...)

סימון זוויות














זוויות נסמן בקשת קטנה בין השוקיים, כדי להבחין על מה מדובר וכדי לסמן שמדובר בסיבוב מעגלי. זווית ישרה מקובל לסמן באמצעות קו שבור, כך:

מיון זוויות לסוגים:
  • זווית ישרה היא בת  ° 90.
  • זווית חדה היא זווית שקטנה מזווית ישרה.
  • זווית שטוחה היא זווית בת  ° 180 והיא שווה לסכום של שתי זוויות ישרות.
  • זווית קהה היא זווית שגדולה מזווית ישרה, וקטנה מזווית שטוחה.
  • זווית נישאה היא זווית שגדולה מזווית שטוחה, וקטנה מזווית בת  ° 360.











































כיצד מחשבים את גודלה של זווית נישאה?
כדי למדוד זוויות נישאה, מודדים בעזרת מד-זווית את גודל הזווית החדה המשלימה אותה ל-° 360 ומחשבים את ההפרש בינה ל-° 360. לדוגמה, כדי לחשב את זווית ד' בסרטוט, מודדים במד זווית את הזווית החדה שהיא בת ° 20 ומחסרים אותה מ-° 360.

סיכום

יש להיזהר בהגדרת הזווית. השגיאה נפוצה, אולי מקורה בספר לימוד שלא נבדק כהלכה, אולי אצל מורה שלא מבינה, אינני יודע. מה שבטוח, שצריך ללמד את הילדים את ההגדרה הנכונה. אני מקווה שברשימה הזאת תמצאו את הנימוקים להתמודד עם ההגדרות השגויות ועם ההגדרות הטובות ולהבין מדוע וגם להבין את כלי המדידה שמקובל היום, מד הזווית.


המורה,