יום רביעי, 15 במאי 2013

כיצד לגשת לפתרון בעיות וחידות מידה ולהצליח?

כיצד לגשת לפתרון בעיות וחידות מידה ולהצליח?

ישנה מחלקה של חידות ושל בעיות מידה: הנפוצות שבהן עוסקות במשקל ובנפח. ניסוח נפוץ הוא כיצד לאתר עצם מזויף בכמה שפחות שקילות או במספר נתון של שקילות. ניסוח נפוץ אחר הוא כיצד אפשר להשיג משקל רצוי מחומר מסוים בהינתן מאזניים ומשקולות במשקלים נתונים. לפעמים מחליפים את המשקל בנפח, אבל הרעיון זהה. הבא נראה דוגמאות:
[1] בידינו שק ובו בדיוק 1.1 ק"ג של קמח. כיצד נוכל באמצעות שתי שקילות במאזניים, ובעזרת משקולת ששוקלת 300 גרם ומשקולת ששוקלת 650 גרם לרוקן בדיוק 1 ק"ג של קמח מהשק?
[2] לפניך 9 מטבעות שנראים זהים. אחד מהמטבעות מעט קל יותר מכל אחד מהאחרים. לרשותך מאזניים. כיצד תגלה את המטבע הקל באמצעות שתי שקילות בלבד? 
[3] נתנו לנו מיכל בנפח 7 ליטר שמלא בחומר שאותו מבקשים שנחלק ל-3 ליטר, 2 ליטר ועוד 2 ליטר. כדי לעשות זאת מתירים לנו להשתמש במיכל שנפחו 4 ליטר ובמיכל נוסף שנפחו 3 ליטר.
אני מציע שלא לרוץ מיד לקרוא את הפתרונות. את זה תוכלו לעשות בכל זמן שתרצו. נסו קודם כל לעצור ולחשוב. דמיינו את הבעיה. דמיינו את הפעולות האפשריות. נסחו תובנות שהגעתם אליהן בעת ה"משחק" בדמיון. לפעמים נוח לשרטט תרשים או לשרבט איור שמדמה את הבעיה ומהלכים לפתרון. אם הבעיה קשה, נסו לנסח לעצמכם בעיה דומה קלה יותר. לפעמים עוזר לחשוב על המקרה הפשוט ביותר שדומה לבעיה.

דיון בפתרון בעיה [1]

לפני שניגשים לפתרון, חשוב להבין מהם מאזניים וכיצד אפשר להשתמש בהם כדי להסיק משקלו של עצם. שימוש מושכל במאזניים יהיה להגיע למצב של מאזניים מעוינים, זאת אומרת, למצב שבו כפות המאזניים מאוזנות. מצב זה מעיד שהמשקל שמונח על כל אחת משתי כפות המאזניים הוא שווה.


אפשר לשקול 650 גרם של קמח: על כף אחת של המאזניים להניח את המשקולת ששוקלת 650 גרם ועל הכף האחרת לשפוך קמח בעדינות מתוך השק עד לאיזון מלא של המאזניים (עד שהמאזניים מעוינים). 

עתה נותר לנו להוציא עוד 350 גרם של קמח מהשק, כי הוצאנו כבר 650 גרם ואם נוציא עוד 350 גרם אז בסה"כ נוציא 1,000 גרם של קמח מהשק, שהם בדיוק 1 ק"ג הקמח שהתבקשנו להוציא. אבל איך נעשה את זה? אין לנו משקולת ששוקלת 350 גרם.

האמנם? אנחנו יודעים שהפרש המשקל בין שתי המשקולות שנתנו לנו הוא 350 גרם (מחסרים 300 גרם מ-650 גרם). זה בדיוק המשקל שדרוש לנו. אבל הנחת שתי המשקולות על אותה הכף תתן לנו את סכום המשקלים (950 גרם) ולא את הפרש המשקלים... אבל רגע! אם נניח על אחת מכפות המאזניים את אחת המשקולות ועל הכף השנייה את המשקולת הנותרת נגלה שכף אחת נמוכה יותר מהשנייה. זה אינו מפתיע כי המשקולת של ה-650 גרם שוקלת יותר מאשר המשקולת של ה-300 גרם. 

ועכשיו חשבו... איך ממצב זה נוכל להגיע למאזניים מעוינים מבלי להסיר את המשקולות מכפות המאזניים?

נשפוך בעדינות מהשק קמח לתוך הכף שעליה המשקולת בת ה-300 גרם עד שנאזן את כפות המאזניים. מה שעשינו זה בעצם להוסיף 350 גרם אל 300 הגרם שכבר היו על הכף כך שהמשקל משתווה לזה של המשקולת בת ה-650 גרם.

אז לסיכום, הפתרון הוא שבצעד הראשון נניח על אחת מכפות המאזניים משקולת בת 300 גרם ונשפוך לאחרת. ובצעד השני (אחרי ניקוי המאזניים) מניחים על אחת הכפות את המשקולת הקלה ועל הכך השנייה את המשקולת הכבדה ושופכים קמח לכף שעליה המשקולת הקלה עד לאיזון המאזניים.

עקרונות שימושיים לבעיות עם מאזניים ומשקולות
  1. צירוף משקולות על כף מאזניים אחת נותן את סכום משקלי המשקולות
  2. פיזור משקולות בין שתי כפות מאזניים נותן את הפרש המשקלים שבין כפות המאזניים
זאת אומרת שבהינתן מאזניים ומשקולות אנחנו יכולים לשקול במדויק משקלים לפי כל אחת מהמשקולות, לפי משקל כל צירוף של המשקולות ולפי משקל כל הפרש בין משקולות או בין צירופים של משקולות. זהו כלי שימושי מאוד בפתרון בעיות שקילה עם משקולות נתונים.

דיון בפתרון בעיה [2]



חומר למחשבה: לולא היו דורשים שתי שקילות בלבד יכולנו פשוט לקחת כל שני מטבעות ולשקול אותן זו כנגד זו על המאזניים: אם המאזניים מעוינים, להניח אחד בצד ולהמשיך עם מטבע נוסף עד שמאותר המטבע הקל יותר. אלא שמותרות לנו שתי שקילות בלבד. שימו לב שאפילו אם היינו שוקלים באופן ה"בזבזני" והיינו מנסים את המטבע הקל רק בסוף לא היינו נדרשים ליותר משבע שקילות: שני מטבעות בסיבוב הראשון: אחת על כל כף; בסיבוב השני מנסים את אחד המטבעות מהסיבוב הראשון עם מטבע שלישי, וכך הלאה, עד שבסיבוב השביעי מנסים עם מטבע שמיני ואת המטבע התשיעי אין טעם לנסות כי נאמר שאחד המטבעות קל יותר ואם לא אותר עד כה זה חייב להיות האחרון.

חומר נוסף למחשבה: אם היו רק שלוש מטבעות? לכמה שקילות היינו נזקקים? לפי התובנה שלנו מהחשיבה הקודמת, רק לשקילה אחת: מניחים מטבע על כל כף -- אם מגלים את הקלה סיימנו ואחרת הקלה היא הנותרת שטרם בדקנו.

חמושים בתובנות הללו נזכור ש-9 מטבעות הם 3 פעמים 3 מטבעות. נוכל לפתור את הבעיה באופן הבא: נחלק את 9 המטבעות ל-3 קבוצות שוות גודל. בכל קבוצה 3 מטבעות. נבצע פעם אחת שקילה של 3 מטבעות (קבוצה אחת) אל מול 3 מטבעות אחרות (קבוצה שנייה). עתה יש שתי אפשרויות: או שגילינו שאחת הקבוצות שוקלת פחות או שהמאזניים מעוינים ואז הקבוצה עם המטבע הקל יותר היא זאת שטרם בדקנו. ככה שאחרי השקילה הראשונה נותרנו עם ודאות מלאה שאחד מבין 3 המטבעות שבקבוצה הקלה יותר הוא המטבע החשוד. ואז, בשקילה נוספת אנחנו בעצם פותרים את הבעיה שכבר פתרנו כשחשבנו מה יקרה כשיש לנו רק 3 מטבעות.

עקרונות שימושיים לבעיות שקילה של עצמים זהים וחיפוש אחר אחד מזויף
  1. בחלוקה לשלוש קבוצות שוות אפשר לגלות מי הקבוצה הקלה יותר או הכבדה יותר (אם נתון מראש שהזיוף קל או כבד יותר) בשקילה יחידה
  2. אם לא נתון מראש שהזיוף קל או כבד יותר, נזדקק לשקילה נוספת כדי להבין זאת [כיצד?]
  3. כשנותרים עם מקרה פרטי: שלושה עצמים בלבד, אפשר למצוא בשקילה יחידה את הזיוף

דיון בגישה לפתרון בעיה [3]

כמובן, שאין לנו אפשרות להשתמש באמצעי מדידה זולת המכלים שקיבלנו. כנראה שאין מנוס מלשפוך את החומר ממיכל למיכל עד שנגיע לכמויות הנכונות.

איזה עיקרון שימושי יש לנו? היזכרו בעקרונות שניסחנו עם פתרון בעיה [1]. נסו קצת לדמיין מהלכים. חשבו.

אם שחקתם קצת בדמיון עם הדליים, כנראה שהבחנתם שבכל פעולה חייבים או לרוקן את אחד מהמכלים לתוך מיכל אחר, או למלא לחלוטין את אחד המכלים מתוך אחד המכלים האחרים. הרי רק ככה נוכל להיות בטוחים בכמות ששפכנו. לפעמים, נעשה את שני הדברים ביחד: נרוקן לחלוטין מיכל אחד ונמלא באמצעותו מיכל אחר עד הסוף. לא תהיה לנו מזיגה שבסופה אך מיכל לא יתרוקן לגמרי ואף מיכל לא יתמלא לגמרי. מה המסקנה? חייב להיות לפחות מיכל אחד ריק או לפחות מיכל אחד מלא. זהו עיקרון!! הבא ננסח אותו:

עקרונות שימושיים לבעיות ריקון ומילוי מכלים
  1. בכל תור חייב להיות לפחות מיכל אחד ריק או לפחות מיכל אחד מלא.
  2. עיקרון ההפרש שהזכרנו בדיון הראשון [אלא שכאן מרוקנים ממיכל למיכל ונותר ההפרש, במקום לאזן מאזניים]

אז איך העיקרון עוזר לנו לפתור? אנחנו יודעים שאחרי המהלך האחרון לא יהיה מיכל ריק: כי יש לנו רק 3 מכלים ונדרשנו לחלק את החומר שקיבלנו ל-פעמיים 2 ליטר ועוד פעם אחת ליטר. אם כך המזיגה האחרונה חייבת להיות מזיגה שבה אחד הדליים יתמלא עד הסוף. בנפחי המכלים שקיבלנו יכול רק אחד מהם להיות מלא עד הסוף. [מי?]

פתרון אפשרי אחד לבעיה [3]
  1. נמזוג ממיכל 7 הליטר למיכל 4 הליטר עד שיתמלא. [עכשיו יש לנו 3 ליטר במיכל בן 7 הליטר, 4 ליטר במיכל בן 4 הליטר והמיכל בן 3 הליטר ריק]
  2. נמזוג מהמיכל בן 4 הליטר למיכל בן 3 הליטר עד שיתמלא. [עכשיו יש לנו 3 ליטר במיכל בן 7 הליטר, 1 ליטר במיכל בן 4 הליטר ו-3 ליטר במיכל בן 3 הליטר].
  3. נרוקן את תכולת המיכל בן 3 הליטר לתוך המיכל בן 7 הליטר. [עכשיו יש 6 ליטר חומר במיכל בן 7 הליטר וליטר אחד במיכל בן 4 הליטר. המיכל בן 3 הליטר ריק]
  4. נרוקן את המיכל בן 4 הליטר שמכיל כרגע ליטר אחד לתוך המיכל הריק בן 3 הליטר. [עכשיו יש 6 ליטר חומר במיכל בן 7 הליטר, המיכל בן 4 הליטר ריק והמיכל בן 3 הליטר מכיל 1 ליטר]
  5. נשפוך מהמיכל בן 7 הליטר, שמכיל כרגע 6 ליטר לתוך המיכל בן 4 הליטר עד שיתמלא. [עכשיו יש 2 ליטר במיכל בן 7 הליטר, המיכל בן 4 הליטר מלא והמיכל בן 3 הליטר מכיל 1 ליטר]
  6. נשפוך מהמיכל המלא בן 4 הליטרים לתוך המיכל בן 3 הליטר שמכיל רק ליטר 1 עד שיתמלא. 
סיימנו:
במיכל בן 7 הליטר יש עתה 2 ליטר חומר.
במיכל בן 4 הליטר יש 2 ליטר חומר.
במיכל בן 3 הליטר יש 3 ליטר חומר.


פתרון אפשרי שני לבעיה [3]
  1. לשפוך 3 ליטר ממיכל 7 ליטר למיכל 3 ליטר
  2. לשפוך 3 ליטר ממיכל 3 ליטר למיכל 4 ליטר
  3. לשפוך 3 ליטר ממיכל 7 ליטר למיכל 3 ליטר
  4. לשפוך 1 ליטר ממיכל 3 ליטר למיכל 4 ליטר
  5. לשפוך 4 ליטר ממיכל 4 ליטר למיכל 7 ליטר
  6. לשפוך 2 ליטר ממיכל 3 ליטר למיכל 4 ליטר
  7. לשפוך 3 ליטר ממיכל 7 ליטר למיכל 3 ליטר
וסיימנו:
במיכל ה-7 ליטר יש 2 ליטר חומר.
במיכל ה-4 ליטר יש 2 ליטר חומר.
במיכל ה-3 ליטר יש 3 ליטר חומר.


איך מגיעים לפתרונות הללו ולא רק באמצעות ניסוי וטעיה?

האם ישנם פתרונות אפשריים נוספים לבעיה? איך נדע? כבר הסקנו קודם, אחרי שחשבנו, שבכל מהלך חייבים או לרוקן לחלוטין מיכל או למלא עד תום מיכל או גם וגם. אם כך, כמה אפשרויות שונות יש לנו לחלק את 7 הליטר בין 3 המכלים בנפחים שקיבלנו? אפשרויות אלה קובעות מועמדים למצבים אפשריים. מה שיהפוך מועמד למצב אפשרי למצב אפשרי הוא האם יש מהלך ממועמד אחד שמביא למועמד אחר? מועמד אחד בטוח תקין, זה המצב בהתחלה:
<7ל', 0ל', 0ל'>
מועמד אחר שהוא אפשרי וברור הוא המצב היחידי שאפשרי בסוף, לאור התובנות שלנו:
<2ל', 2ל', 3ל'>
אז מה שנותר לנו, זה מתוך כל המועמדים למצוא רצף של מועמדים אפשריים שמוביל מהמצב בהתחלה למצב בסוף. זכרו שלא כל כמות ניתנת למילוי בכל מיכל (יש קיבולת אפשרית לכל מיכל). מתוך המועמדים האפשריים כבר נוכל לבנות תכנית פעולה, או מהמצב הראשון והלאה או מהמצב האחרון לאחור. בכל אפשרות שנשקול נבדוק את הצעד הבא/הקודם עד שנייצר מסלול מלא מהמצב ההתחלתי ועד לסופי.


המורה,
שלמה יונה



קריאה נוספת

לקריאה נוספת, חידות דומות ופתרונות: