יום שישי, 17 במאי 2013

משמעויות היחס




משמעויות היחס

ישנן מספר משמעויות לפעולת החילוק במספרים טבעיים ואחת מהמשמעויות הללו היא יחס. את היחס אנחנו פוגשים למשל כשמשתמשים בביטוי פי כמה. היחס בעצמו מופיע בצורות שונות ובהקשרים שונים ולפעמים גם במשמעויות שונות.

ברשימה זו נלמד על משמעויות של היחס, נרחיב בנושא היחס ונעמיק בו.

האם היחס הוא תמיד פעולת חילוק? התשובה היא לא! כבר כשלמדנו על הביטוי "פי כמה" ראינו שהיחס יכול לבוא במשמעות של כפל או של חילוק, ולמדנו כיצד להכריע מתי כפל ומתי חילוק לפי הנתונים ולפי מה שנדרש להסיק.

נתבונן ביחס 2:3. אנחנו אומרים יחס של שתיים לשלוש. חשוב להבחין שבעוד שבעברית אנו כותבים מימין לשמאל, את החשבון אנחנו כותבים משמאל לימין. כיוון הכתיבה חשוב ואינו סימטרי.

ליחס הזה 4 משמעויות:

ב     א
3  :  2
  1. על כל שתי יחידות שיקבל א' יקבל ב' 3 יחידות
  2. מכל סכום שיחולק לפי היחס הזה יקבל א' 2/5 (שתי חמישיות) ו-ב' יקבל 3/5 (שלוש חמישיות)
  3. א' קטן מ-ב' ב-1/3 (שליש) של ב'
  4. ב' גדול מ-א' ב-1/2 של א'
הערות חשובות:
  • ידיעת היחס בין מספרים אינה מספקת מידע על גודלם של המספרים. הדוגמה שלנו של ייחס של 2:3 יכולה להתאים לארוחות מבצע במזללה שבה על כל קניית שתי ארוחות מוגדלות מקבלים שלוש ארוחות ילדים בחינם, אבל גם לסיפור שבו על כל 42 שחקני כדורסל בבית הספר יש 63 שחקני כדורגל.
  • היחס שבין שני מספרים הוא המנה של חילוקם זה בזה.
  • סדר הכתיבה בעברית מימין לשמאל ואילו סדר הכתיבה בחשבון משמאל לימין ולכן יש להקפיד ולא להתבלבל: הראשון שמספרים עליו ביחס יהיה גם הראשון משמאל שנכתוב ביחס.
  • הכמות הכוללת צריכה להתחלק שווה בשווה ללא שארית בסכום של המונה ושל המכנה בייצוג המצומצם. בדוגמה של 2:3 סך הכמות שמייצג 2 ושמייצג 3 צריך להתחלק שווה בשווה וללא שארית ב-5 (כדי לאפשר שעל כל שתי יחידות של א' יהיו בדיוק 3 יחידות של ב')

המשמעות הראשונה של היחס

ל-ב' יש שלושה כפתורים ול-א' יש שני כפתורים:

                                                    א'                                          ב'

אך באותו האופן ל-ב' יכולה להיות כל כפולה שלימה של 3, למשל 30 כפתורים ואז לפי היחס ל-א' צריכים להיות בהתאמה 20 כפתורים. וכך, לו ל-ב' יש 9 כפתורים אזי ל-א' יהיו 6 כפתורים.

במשמעות הזאת יש לנו שני שלמים ואנחנו משווים ביניהם לפי יחס: פי כמה שלם אחד גדול או קטן מהשלם השני
בעיה חשבונית:
גיל האח הבכור מתייחס לגיל האח הצעיר כמו 5:4. הם קיבלו סכום כסף שהיה עליהם לחלק אותו ביניהם לפי יחסי גיליהם. הבכור קיבל 50 ש"ח. כמה כסף קיבל הצעיר.

מורה: 5:4 הם כמו 50:40. מהו החוק שלפיו אנו פועלים כאן? היכן עוד פעלנו לפי אותה החוקיות?
תלמידים: פעולת הרחבה. הרחבנו שברים פשוטים, כשחיפשנו מכנה משותף. הרחבנו גם בחילוק מספרים עשרוניים, למשל בחילוק ארוך.
מורה: כדאי שנדע שכאשר אנו מציגים יחס, אנו מעדיפים יחס פשוט, כלומר, במספרים שלמים ומצומצם. יחס כמו 4.2:3.5 אינו מקובל. כדי להפוך אותו ליחס פשוט נחשב את המכנה המשותף, נבטל אותו ונצמצם את התשובה שקיבלנו:
4.2:3.5
42:35
6:5
מורה: בבעיית האחים כיוון הפעולה הפוך: במקום לצמצם, הרחבנו. ההצגה הבאה מועילה: ?/50=5/4


המשמעות השנייה של היחס


בעיה חשבונית:
עירייה סוללת כביש לפני בית דו-משפחתי. יושבי הבית חויבו להשתתף בהוצאות ולשלם 12,860 ש"ח. הדיירים חילקו ביניהם את התשלום לפי מספר החדרים שלהם. לאחד הדיירים יש בביתו 7 חדרים ולשני יש 5 חדרים בביתו. כמה ישלם כל דייר?

לדיירים יש בסך הכול 12 חדרים. משום שהחיוב לתשלום הוא לפי החדרים ללא תלות באופיים או בגודלם אז אפשר לחלק את התשלום ל-12 חלקים שווים. חלוקה זאת תתן לנו את התשלום בעבור חדר יחיד (חלק אחד מהסכום). מכאן, כל דייר יכול לכפול סכום זה במספר החדרים שברשותו ולקבל את הסכום לתשלום: שכן א' יכפול ב-7 ושכן ב' יכפול ב-5.

דוגמה נוספת:

ניקח חמש יחידות ונפצל אותן לפי היחס של 2:3 ונראה שיש לנו חמש יחידות שוות ושניתן לחלק כל סכום לחמישה חלקים שווים ואחר כך לכפול את ערכה של יחידה במספר היחידות הנדרש.

בתרגיל החשבוני שבו היחס 2:3 נחלק כל סכום ב-5 ונקבל ערכה של חמישית אחת ואחר כך נכפול ב-2 כדי למצוא כמה יקבל א' ונכפול ב-3 את ערכה של חמישית כדי למצוא כמה יקבל ב'. כלומר, הראשון יקבל 2/5 מהסכום והשני יקבל 3/5 ממנו.

אנחנו מוצאים את החלק מהשלם, בדיוק כפי שעשינו כשלמדנו על שברים. אנחנו מרחיבים את העיקרון המוכר הזה גם לפעולה שמבטאת יחס.

יש לפנינו יתרון נוסף של היחס: החילוק מוגבל לחלוקה לחלקים שווים בלבד. היחס בא לעזרתנו והוא יכול לשמש אותנו במקרים של חלוקה לחלקים שאינם שווים. אנו פורטים את החלקים שאינם שווים ליחידות משותפות שוות ערך שמאפשרות ביצוע של חילוק. לאחר שאנו יודעים מה ערכה של כל יחידה כזו נוכל לכפול במספר היחידות.

שימו לב: במשמעות הזאת של היחס נפגשנו בבעיה שאינה מוכרת לנו. השתמשנו בעקרונות שכבר ידועים לנו ויכולנו להתקדם. ניסינו לתרגם את הבעיה החדשה לבעיה מוכרת וידועה. מרגע שהצלחנו במשימתנו הבעיה פתורה מאליה. היתה לנו בעיה של חלוקה לחלקים שאינם שווים. מה עשינו? הפכנו את היחס לחלקים שווים. מכאן הבעיה כבר פתורה מאליה -- כי אנו יודעים להשתמש בשברים פשוטים (ומבינים את משמעות המונה והמכנה) ולא נותר לנו אלא לכפול במספר המתאים של החלקים.

המשמעות השלישית והרביעית של היחס
אלו שתי משמעויות קשות במיוחד והן כרוכות זו בזו. הקושי בהבנתן נובע מההכרח לערוך שינוי במערכות התייחסות. נבין אותן היטב אם נקשר אותן לאחוזים ולשברים.

בעיה:
נתון היחס 5:3. באיזה חלק גדול הראשון מהשני? באיזה חלק גדול השני מהראשון?

הפתרון:
א' גדול מ-ב' ב-2/3 של ב'.
ב' קטן מ-א' ב-2/5 של א'.
איך עשינו? יחידה אחת של החלק השני היא שליש מערכו ומשום שחמש גדול משלוש בשתי יחידות אזי החלק החלק הראשון   גדול מהחלק השני בשני שלישים של החלק השני.
באופן דומה, יחידה בודדה אחת של החלק הראשון היא חמישית ממנו. שלוש קטן מחמש בשתי יחידות. לפיכך, החלק השני קטן מהחלק הראשון בשתי חמישיות (שתי פעמים חמישית == שתי יחידות) של החלק הראשון.

אחוזים מבטאים יחס. אפשר לומר שאחוז הוא היחס של 1:100 (אחוז הוא מאית). לכן, בעת טיפולנו ביחסים יש לשלב את האחוזים בתפיסת היחס.

לפנינו שתי בעיות שנראות שונות. הבחנה בשוני שביניהן עשויה לתרום רבות להבנה המתמטית בפרט ולהבחנה בין תופעות בכלל. לאחר הצגת הבעיות והדיון בפתרונן נחזור להסביר את המשמעויות השלישית והרביעית של היחס -- הבעיה השנייה דורשת הבנת המשמעויות השלישית והרביעית של היחס.

בעיה א':
אסתר ורחל הן שתי אחיות. אסתר קיבלה סכום כסף במתנה. הסכום שהיא קיבלה גדול ב-30 ש"ח מהסכום שרחל קיבלה במתנה. בכמה ש"ח קיבלה רחל פחות מאסתר?

התשובה: 30 ש"ח.

בעיה ב':
אסתר קיבלה סכום כסף שגדול ב-30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. בכמה אחוזים קיבלה רחל פחות מאסתר?

[דיון] -- תלמידים רבים עונים גם במקרה הזה 30, וטוענים שמדובר באותה הבעיה ובאותו הפתרון.

נבחן את התשובה ונצביע על מהות השגיאה:  אם אסתר מקבלת ב-30% יותר מרחל, מערכת ההתייחסות היא רחל. ברגע שנאמר 30% יותר מ... נקבעו שני דברים:
א. אסתר קיבלה ב-30% יותר
ב. שרחל קיבלה 100% כי היא הגודל היסודי שביחס אליו נעשה החישוב של האחוזים

אף שזה לא נאמר במפורש הרי 30% הם ביחס לשלם, במקרה שלנו ביחס לרחל. בבעיות כאלה השלם הוא בתפקיד הגודל היסודי כי הוא מהווה את המסגרת של מערכת ההתייחסות. הנתונים הם:
רחל
אסתר
100%
130%
את זה הסקנו מכך שנאמר שאסתר קיבלה 30% יותר מהסכום שקיבלה רחל. הסכום של רחל משמש כמערכת ההתייחסות.

אז איך פותרים? נמצא כמה הם 100% של רחל מתוך 130% של אסתר (מה היחס בין הסכום שקיבלה רחל לבין זה שקיבלה אסתר):
היחס בין היחלק של רחל לבין זה של אסתר הוא 100:130 ולכן, 100/130 מראה איזה חלק מהווה כספה של רחל מזה של אסתר, ואם נכפיל אותו ב-100 נקבל באחוזים שהם בערך 76.9%. אבל מה שנתבקשנו למצוא הוא בכמה אחוזים רחל קיבלה פחות מאסתר. אז הם היא קיבלה כ-77% מתוך ה-100% של אסתר הרי שהיא קיבלה כ-23% פחות מאשר קיבלה אסתר. וזאת התשובה.

רמז השפה שלנו הוא מילית היחס מ-. מי או מה שלפניו באה המילית הזאת הוא מערכת ההתייחסות שלנו, וביחס אליו נחשב את האחוזים. המשפט הראשון בבעיה מערכת ההתייחסות שלנו היא רחל ("... יותר מהסכום שקיבלה רחל") ובמשפט השני מערכת ההתייחסות שלנו היא אסתר ("... פחות מאסתר"). אם כך, הצגת הנתונים באחוזים במשפט הראשון צריכה להיות כשה-100% הוא הסכום שבידי רחל, והצגת הפתרון לפי המשפט השני מתייחסת ל-130% של אסתר כאל שלם אחד שיש להשוות ביחס אליו שלם אחר (100%) ולהבין מה היחס ביניהם.

ביחס של 2:3 ניתן לנסח את המשמעות השלישית כך: א' קטן מ-ב' ב-1/3 ביחס ל-ב'. איך עשינו? 3 הוא מערכת ההתייחסות שלנו, הוא השלם, הוא ה-100% ומכאן ש-2 הוא 2/3 מ-3 ולכן 2 קטן מ-3 בשליש של 3. 1/3 מ-3 זה 1 ואכן 2 קטן מ-3 ב-1.

ביחס של 2:3 אפשר לנסח את המשמעות הרביעית כך: ב' גדול מ-א' ב-1/2 ביחס ל-א'.

בעיה:
נתון שהיחס בין שני מספרים הוא 4:7. בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון? בכמה אחוזים קטן המספר הראשון מהשני?
פתרון:
נענה בכמה אחוזים גדול המספר השני מהראשון. מילית היחס מ- קובעת שמערכת ההתייחסות שלנו היא המספר הראשון. יחידה אחת של המספר הראשון היא רבע מערכו. משום שההפרש ביחידות בין א' לבין ב' הוא 3 אזי המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-3/4 מערכו של המספר הראשון. כדי לקבל את התוצאה באחוזים נכפול את השבר ב-100 ונקבל 75%.
באופן דומה המספר הראשון קטן מהמספר השני ב-3/7 מערכו של המספר השני. כדי לקבל תוצאה באחוזים נכפול ב-100 ונקבל בערך 42.86%.
תשובה: המספר השני גדול מהמספר הראשון ב-75% ואילו המספר הראשון קטן מהמספר השני בכ-43%.
להורים ולמורים: המעתק הזה ממערכת התייחסות אחת לאחרת מצריך הבנה עמוקה של החומר ותורם להבנה של מושגי יחס גם בתחומים שאינם מתמטיים. אפשר לנסח את המשמעות השלישית של היחס בדרך שתקל על ההבנה. אך מוטב להשתמש בהסבר הזה רק לאחר התמודדות עם תפיסת היחס כפי שהוצג עד עתה.
ניסוח קל יותר להבנת המשמעויות השלישית והרביעית של היחס, כאשר לוקחים לדוגמה יחס של 2:3:א' מהווה 2/3 של ב'ב' מהווה 3/2 של א'זהו ניסוח מדויק שעשוי להניב הצלחה מהר יותר מאשר שימוש בהסבר שהוצג, אך דווקא בשל כך אין די שכר בצידו. להתמודדות עם הקושי שנובע מהמשתמע ממערכת התייחסות יש ערך כשלעצמה.
אפשר לקשר את המשמעויות השלישית והרביעית של היחס למשמעות של השבר כחילוק להכלה (ראו שיעור מספר 11), שם ראינו שקשה לומר על השבר 2/3 ש-2 מכיל 2/3 פעמים את 3, כי המילה פעמים בעלת משמעות במספרים שלמים. לאור ההבנה של היחס נוכל לומר ש-ב' מכיל פעם וחצי את א', ו-א' מהווה 2/3 של ב', כלומר, ניתן יהיה לומר ש-3 מוכל ב-2 2/3 פעמים, כי 2/3 שלו מוכל ב-2.
מטלה:
המציאו בעיות לכל אחת מהמשמעויות של היחס. פתרון. הקפידו להתייחס לקריטריון המשותף שנדרש לצורך קביעת היחס.


המורה, 



מקורות