יום שבת, 26 בינואר 2013

סיכום מפגש שני במועדון המתמטיקה והמדע

סיכום מפגש שני במועדון המתמטיקה והמדע

בחלק הראשון של המפגש עסקנו במתמטיקה: אנחנו עדיין עוסקים בגיליון הראשון.
פתרנו את החידה של ההזמנה למסעדה של וינסנט הערפד. התשובות שנתנו התלמידים עמדו לביקורת, והוסברו שיטות הפתרון השונות. הסברתי לתלמידים שבמשך מאות שנים מנסים למצוא נוסחה לייצור מספרים ראשוניים אך ללא הצלחה.
דיברנו גם על מספר האפשרויות השונות לסדר בשורה מספר כלשהו של פריטים והגענו לפעולת העצרת.

אני מעודד את התלמידים ואת התלמידות להתקדם בגיליון ולהתמודד בעצמם עם הטקסט, עם החידות ועם פתרונן ולהביא עמם לשיעור שאלות.

בחלק השני של המפגש עסקנו במדע: גם כאן אנחנו עדיין עוסקים בגיליון הראשון.
דיברנו על פינגווינים, על מאפיינים ייחודיים שלהם ועל סביבות המגורים שלהם.
דיברנו על קו המשווה והזכרנו שמדובר בקו דמיוני.
הסברתי את כלל ברגמן והראינו כיצד מחשבים שטח פנים של קובייה ונפח קובייה והשתמשנו בחישובים אלה כדי להראות שהיחס שבין שטח הפנים של גוף לנפחות הולך וקטן ככל שנפח הגוף גדל. אמנם פינגווין אינו קובייה, וגם לא אף חיה, אבל אנחנו יודעים למדוד ולהבין משמעויות אלה על קובייה בקלות וזה מספיק לצרכינו כרגע כדי להבין את העיקרון.
היה מעניין כשאחד התלמידים שאל איך זה שבחלק של מדע אנחנו עוסקים במתמטיקה והתשובה היתה שמתמטיקה היא שפה שבאמצעותה אפשר לתאר תופעות מדעיות. כלל ברגמן נוסח על סמך צפייה בבעלי חיים אבל את ההסבר אנחנו מקבלים באמצעות טיעון מתמטי והוכחה מתמטית.

אני מעודד גם כאן את התלמידים ואת התלמידות להתקדם בקריאת הגיליון, להתמודד עם הטקסט, עם הניסויים ועם הפעילויות והשאלות. אם יש בעיות או שנתקעים, אפשר ורצוי להכין שאלות ולהביאן לכיתה.


הודעה חשובה:
ביום שישי הקרוב, יום התעודות, לא יתקיים מפגש המועדון. המפגש הבא במועדון יתקיים ביום שישי ה-8 בפברואר 2013.

המורה,


סיכום שיעור מספר 5 בסדנת המתמטיקה

סיכום שיעור מספר 5 בסדנת המתמטיקה


ראינו שבעוד שבבעיות של חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה נתון שלם בבעיה ואחד החלקים של השלם ויש למצוא את החלק הנותר, בחיסור של השוואה ישנם שני שלמים שאותם אנחנו משווים ולמעשה מבצעים התאמה חד-חד-ערכית: מתאימים לכל עצם בקבוצה אחת עצם אחד ויחיד בקבוצה השנייה: כשנשארים עצמים באחת הקבוצות ללא בן זוג בקבוצה האחרת אנו יכולים למנות אותם ולומר שיש את הכמות הזאת יותר בקבוצה מאשר בקבוצה האחרת (או שיש את הכמות הזאת פחות בקבוצה האחרת לעומת הקבוצה הזאת). בבעיות של השלמה לשלם יש לנו שוב שלם אחד ונתון חלק שלו ואנו מנסים להשלים את החלק לשלם מלא.

בהמשך בחרנו תרגיל, למשל 5=12-7, והמצאנו עבורו בעיות חשבוניות מכל 4 הסוגים:

גריעה:
במאפיה הכינו 12 כיכרות לחם ובמהלך הבוקר מכרו 7 כיכרות, כמה נותרו למכירה אחרי הבוקר?

הפרדה:
במאפיה הכינו 12 כיכרות לחם משני סוגים: 7 כיכרות לחם לבן והשאר כיכרות לחם מלא. כמה כיכרות לחם מלא אפו במאפייה?

השוואה:
במאפייה הכינו 12 כיכרות לחם שיפון ו-7 כיכרות לחם קל. כמה כיכרות לחם קל הכינו פחות מאשר כיכרות לחם שיפון?
(אפשר גם לשאול: כמה כיכרות לחם שיפון הכינו יותר מאשר כיכרות לחם קל?)

השלמה לשלם:
שרית מעוניינת לקנות לחם שיפון שמחירו 12 ש"ח אך בארנקה רק 7 ש"ח. כמה ש"ח נוספים על שרית להשיג כדי לשלם בעבור כיכר לחם שיפון?

ביקשתי מהילדים לבחור תרגיל חיסור ולהמציא לו בעיות חשבוניות מכל 4 הסוגים שלמדנו ולהגיש לי אותן בכתב. אני מקווה שהילדים אכן יבצעו את המטלה.

להורים המתעניינים, אני מציע לקרוא את מאמרה של תלמה גביש המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה.

הודעה חשובה:
בשבוע הבא, יום חלוקת התעודות, לא ניפגש לסדנה. המפגש הבא יתקיים ביום שישי בעוד שבועיים ב-8 בפברואר 2013.

המורה,


מהי משמעות הכפל כאשר הכופל הוא מספר טבעי?


משמעות הכפל כאשר הכופל הוא מספר טבעי

מה משמעות פעולת הכפל? ו-מה זה כפל?את זאת ננסה להבין במאמר הזה. נשתמש בהבנה הזאת וננסה להבחין בין שתי משמעויות שונות של פעולת החילוק. לחילוק יש מספר משמעויות שהאבחנה ביניהן היא מפתח להבנה ולשליטה בנושאים רבים נוספים כמו שברים, אחוזים, יחסים ולנושאים מתקדמים יותר במתמטיקה.

מורה: נזכר בפעולת החיבור. לפנינו בעיה חשבונית:
על השולחן יש 3 צלחות ובכל אחת מהן יש עגבניות. בצלחת אחת 4 עגבניות, בשנייה 2 עגבניות ובשלישית 6 עגבניות. כמה עגבניות יש בסך הכול על השולחן?
מורה: כיצד תפתרו?
תלמידים: נחבר 4 עגבניות ועוד 2 עגבניות ועוד 6 עגבניות ונקבל 12 עגבניות בסך הכול.
מורה: הנה איור שמדגים את הפעולה שנרצה לבצע
אנו רואים שיש לנו סכום, 12 עגבניות, ושלושה מחוברים: 4 עגבניות, 2 עגבניות ו-6 עגבניות. התרגיל המתאים הוא לפיכך
12 = 6 + 2 + 4
נעבור עכשיו לבעיה אחרת:
על השולחן יש 3 צלחות ובכל אחת מהן יש 4 עגבניות. כמה עגבניות יש בסך הכול על השולחן?
 תלמידים: [מתפרץ] 4 ועוד 4 ועוד 4, יוצא בסך הכול 12 [במקביל לו מתפרצת תלמידה אחרת] 3 פעמים 4 זה 12
מורה: [חוזר באופן מסודר על הדברים שנאמרו]. הבא נבין את הדומה ואת השונה בין שתי ההצעות שקיבלנו ונשאל את עצמנו האם מדובר בשני המקרים בדרכים נכונות וטובות? מדוע?
[דיון]

מורה: הגענו למסקנה שכאשר יש לנו קבוצות שוות גודל אנחנו יכולים לעבור מחיבור רגיל לחיבור חוזר ולספור כמה  פעמים יש לנו את הכמות שחוזרת על עצמה -- זאת בדיוק פעולת הכפל. יש לנו שלוש פעמים 4 עגבניות. 3 משמש כופל, מונה את מספר הפעמים שבהם נחזור על המחובר 4, הנכפל,  בפעולת החיבור -- כאמור, כפל הוא חיבור חוזר. לתוצאה של פעולת הכפל אנו קוראים מכפלה. בכפל אנו מקבלים את השלם על ידי חיבור חוזר של החלקים שחייבים להיות קבוצות שוות גודל.


ננסה לתאר בתרשים את הבעיה החשבונית
למכפלה ולנכפל יש את אותו הכינוי.
לכופל איננו מצמידים כינוי כי הוא מונה את מספר הקבוצות.

משימות:

  1. נסו להמציא בעיה חשבונית שבה הכופל הוא 9  והנכפל הוא 8  ופתרו אותה. זכרו לציין את הכינויים.
  2. המציאו בעיה חשבונית שבה הכופל הוא 8  והכפל הוא 9  ופתרו אותה. זכרו לציין את הכינויים.
דיון: נביט בשני התרגילים שמתאימים למשימות שקיבלתם
8 x 9 = 72
9 x 8 = 72

האם שמונה כפול תשע ותשע כפול שמונה זה אותו הדבר?
[דיון]
מורה: אם אני קונה 10 מכוניות צעצוע במחיר של 4 ש"ח לכל מכונית כמה שילמתי?
תלמידים: 40 ש"ח: 10 פעמים 4 ש"ח הם 10 כפול 4 ש"ח.
מורה: עכשיו אני קונה 4 מכוניות צעצוע במחיר של 10 ש"ח למכונית. כמה שילמתי?
תלמידים: 40 ש"ח: 4 פעמים 10 ש"ח הם 4 כפול 10 ש"ח.
מורה: מה מצבי בשתי הפעמים? מה? לא אותו הדבר? הרי שילמתי את אותו סכום כסף ובשני המקרים קניתי מכוניות צעצוע...
תלמידים: ברור שמצבך טוב יותר במקרה הראשון, כי קיבלת יותר מכוניות צעצוע בעבור אותו סכום כסף.
מורה: אתם עדיין חושבים שנכון לומר שבגלל חוק החילוף 10 כפול 4 ו-4 כפול 10 הם אותו הדבר? אולי אתם יכולים לתקן את הניסוח של הטענה?
תלמידים: [דיון] -- זה אותו הדבר בתוצאה ולא באמת אותו הדבר. המשמעות שונה כשמחליפים בין הכופל לבין הנכפל.
מורה: נכון. במקרה הראשון 10 הוא מספר טהור, ללא כינוי, והוא מונה את מספר הפעמים שאצטרך לשלם 4 ש"ח. נבחין כי 4 מקבל כינוי: הנכפל מקבל כינוי בפעולת הכפל וגם למכפלה, לתוצאת הכפל, יש כינוי והוא אותו הכינוי שיש לנכפל. במקרה השני המצב הפוך: ה-4 מספר טהור שמונה את מספר הפעמים שנשלם 10 ש"ח.



הנה סרטון שבו מוסברת משמעות הכפל, כפי שלמדנו: 

קריאה נוספת למתעניינים, להורים ולמורים:

המורה,
שלמה יונה


יום שני, 21 בינואר 2013

הורים במבוך


קראתי את ספרה של עדנה ענב, הורים במבוך. הספר הזכיר לי במידה רבה את איך תעזור לילדך להצליח בבית הספר מאת דיוויד לואיס ואולי אפשר לכנות אותו מעין שכתוב מודרני (על הטוב ועל הרע שבכך) ומותאם לישראל של הספר ההוא (שלדעתי הוא דיי בסדר!).
מהכריכה האחורית:
הספר עוזר להורים לזהות אפשרויות של מעורבות חיובית ומציע הצעות מעשיות לשיפור סיכויי ההצלחה של הילד בבית-הספר. סוגיות כמו: האם לעזור בשיעורי-בית, מה לשאול בימי הורים, איך להקל על הילד במעבר לבית-ספר חדש, איך מתכוננים למבחנים, חזרות על החומר, מה עדיף – קריאה עצמית או משותפת, איך לומדים חשבון ושפה בבית-הספר ומחוצה לו ועוד, עומדות במרכזו של הספר. הדיון בהן עשיר במידע מעשי חשוב ובמגוון רחב של כלים שימושיים, שמאפשרים להורים להבין טוב יותר את בית-הספר ולתמוך בילדיהם בפרק חיים זה.



אכן יש תשובות לשאלות רבות ורעיונות מה לשאול ביום ההורים ואיך להתמודד עם מצבים אבל היו לי לא מעט בעיות עם כמה מהדברים שקראתי.

בעייה אחת שיש לי זה עם השימוש במושג סגנונות למידה. המחברת כותבת על כך בהרחבה העמודים 28-46. כבר כתבתי על זה בהרחבה. בקיצור: פעמים רבות מה שמכנים סגנונות למידה זה לא בדיוק מה שהמדענים חוקרים ומתארים -- בחינוך כנראה עושים מזה סלט...

בעייה אחרת יש לי עם מה שהמחברת כותבת על מה שבוגר בית הספר היסודי אמור לדעת במתמטיקה. איכשהו נשמט מרשימתה המבנה העשרוני -- זהו לדעתי (אני לא לבד בקטע הזה, פה אני מכוון לדעת גדולים וראו למשל בספרה של מירה עופרן, שליש לחלק לרבע (אגב, אני חייב למצוא פנאי ולכתוב על הספר הזה בהרחבה!!), או בספרו של רון אהרוני, חשבון להורים (גם פה יש לי "חוב" שעליי לפרוע, ואני צריך לכתוב בהרחבה גם על הספר הזה), או בספרה של תלמה גביש, ללמוד להבין להצליח (ושוב... יש לי הצורך לכתוב בהרחבה רבה על הספר הזה גם כן!). כתבתי כמה מחשבות, טיוטא מהירה, לצאת ידיי חובה, מה לדעתי צריך בוגר בית הספר היסודי במערכת החינוך לדעת ולהבין במתמטיקה. הנה:

לדעתי, מה צריך לדעת ומה צריך להבין בוגר כתה ו' במתמטיקה:
במשפט אחד: הכרות, ידע והבנה מעמיקים במהות המספר וייצוגו בשיטה העשרונית ובארבע פעולות החשבון על משמעויותיהן השונות ועל הכללים שנגזרים ושנובעים מהמשמעויות הללו, לרבות שברים ואחוזים.

הנושאים המפורטים (אני מפרט נושאים ללא התייחסות לסדר או לאופן ההוראה והלמידה – ובכל זאת אני רוצה להדגיש שאני מניח שבכל הנושאים יש יישום בבעיות מעשיות ויש המצאה של התלמידים של בעיות מעשיות בכל נושא ונושא ובשילובים של הנושאים אלה באלה):
• השיטה העשרונית: ארגון וייצוג מספרים; המרה: קיבוץ ופריטה; ערך המקום
• ארבע פעולות החשבון במספרים שלמים חיוביים כלשהם (עד 10, עד 20, עד 100, עד 1000 ובמספרים גדולים שרירותיים) לרבות: משמעות, שיום ומושגים, חוקי שינוי; סוגריים ומשמעותם, חוקי כתיבה, סדר פעולות החשבון; חוקי החילוף, הפילוג, הקיבוץ ופתרון בדרכים שונות באמצעות השימוש בחוקים; שיטות לחישוב ארבע פעולות החשבון; קיבוץ ופריטה; חיבור, חיסור וכפל במאונך; לוח הכפל (גם בשינון); ושיטות שונות לייעול; חילוק ארוך; חישובים בע"פ; אומדן; מספרים פריקים ואי פריקים, כפולה משותפת, כפולה משותפת מינימלית, חזקות, סימני התחלקות
• שברים: משמעויות השבר; ייצוג; ארבע פעולות החשבון בשברים ומשמעויותיהן כולל התייחסות למקרים שבהם מעורבים רק שברים וכאשר מעורבים שברים ושלמים, שיטות לחישוב; שיום ומושגים; חוקי שינוי בשברים (הגדלה או הקטנה של מונה או של מכנה וההשפעה על ערך השבר); שבר עשרוני: ייצוג, משמעות, פעולות החשבון לרבות במספרים עשרוניים מעורבים, חזקות, מעבר משבר פשוט לעשרוני ומעשרוני לפשוט, שברים עשרוניים אינסופיים (מחזוריים ושאינם מחזוריים), חילוק ארוך בשברים עשרוניים;
• אחוזים: ייצוג, משמעות, ארבע פעולות החשבון, חישובים ומעברים בין ייצוגים (משבר לאחוז ומאחוז לשבר, משבר עשרוני לאחוז ומאחוז לשבר עשרוני)
• יחס ופרופורציה: ייצוג, משמעות, יחס ישר ויחס הפוך
• שעון וזמן: קריאת השעה בשעון מחוגים ובשעון ספרות, המרה משיטה לשיטה, אריתמטיקה של זמן ומעבר בין יחידות זמן (שניות, דקות, שעות, יממות, שבועות, חודשים, שנים, עשורים, ...), מדידת זמן, לוח השנה העברי והלועזי
• גיאומטריה: נקודה, ישר, קרן, צלע, קודקוד, זוית, מצולעים (משולש, מרובע, מחומש, ...), מצולעים משוכללים, מעגל, עיגול,
• מידות, יחידות, ומדידות של: אורך, שטח, משקל, נפח, זמן והיחסים ביניהם
באופן כללי העצות של המחברת בהקשר של מתמטיקה חביבות אך אינן מאורגנות ואינן מבוססות ולוקות בחסר. אני ממליץ מאוד לפנות לספרים שהזכרתי של עופרן, של אהרוני ושל גביש כדי להבין מה נדרש כדי לעזור לילדים עם מתמטיקה בבית הספר (מכולם, ספרו של רון אהרוני הוא הידידותי ביותר ולכן אולי כדאי להתחיל ממנו).

טענה מעניינת של המחברת שעליה היא שבה וחוזרת ומשננת ושוב ושוב חוזרת: מעורבות ותמיכת ההורים היא היא סגולה להצלחת הילד בבית הספר.

שתי דוגמאות לרעיונות שאהבתי שמעלה המחברת בספר:
  • לקחת את הילדים למוזאונים ולבלות עמם שם. אני אפילו מרחיב ומוסיף -- תווכו לילדים מה הם רואים, מה המשמעות, עודדו אותם לחשוב מדוע הדברים הם כאלה וכיוצא באלה. על כך כתב בהרחבה ראובן פויירשטיין בפרק ה' (וזה מתוך מאמר שהוא כתב עם עמיתים Feuerstein, R., Rand, Y., Hoffman, M., Miller, R. (1980), Instrumental Enrichment, Baltimore, MD: University Park Press.) בספרו מעורר ההשראה והעניין, האדם כיישות משתנה.
  • לחפש סיפורים וספרים מוקלטים ולהשמיע בעת נסיעה במכונית. באמת הזדמנות לחסוך לפעמים קרקס במכונית ושעמום של הילדים וגם לנצל את "רוחב הפס" לשמוע קצת תרבות...
  • בעמודים 91-92 יש תאור שממנו אני מבין שכאילו הקפדה על עיצוב האותיות (הכתב) ועל הכתיב של התלמידים גורע או בא במקום יצירתיות ופוריות הכתיבה. נדמה לי שההצגה הזאת, חרף הנסיון להסתמך על מחקרים (לא בהכרח בספר הזה, אבל כבר קראתי גם במקומות אחרים על כך ויש לי בעייה עם זה), חוטאת למציאות. דווקא תלמידים שכותבים היטב ונכון פנויים יותר בהמשך לתת דרור למחשבותיהם ומסוגלים להתבטא בקלות וברהיטות לעומת אלה שנאבקים עם כלי הכתיבה ועם יכולתם להעביר את רעיונותיהם באופן בהיר ונהיר לקורא. אין לי מחקרים להסמך עליהם -- אני אומר את אשר על ליבי מנסיוני ומהכרותי את אלה שלמדו איתי במהלך השנים (בבתי הספר, בלימודים האקדמאים השונים וגם בהקשרים שאינם בהכרח קשורים ללימודים).

לסיכום, הספר הוא רשימת מכולת ארוכה של נקודות רבות שקשורות לילדים בבית הספר -- אני חושב שאת רוב המידע רוב ההורים של רוב התלמידים אינם מכירים וזאת הזדמנות טובה. יש כמה רעיונות נהדרים וגם כמה המלצות לא מי יודע מה ממוקדות ולעניין (על מתמטיקה, אמרתי כבר... אבל המזל הוא שישנם ספרים מצויינים בדיוק לנושא הזה! הזכרתי אותם.). ספר לא רע -- צריך לקרוא אותו בביקורתיות (כרגיל). אני לא מסתדר עם ההשקפות שלה על הקפדה על כללים ועל גבולות עם ילדים (הזכרתי את זה בנושא הכתיבה) אבל... מי אמר שחייבים להסכים על כל דבר?

אני סבור שלהורה שמחפש כיוון "מהיכן להתחיל" עם נושא בית הספר -- זה ספר בהחלט מוצלח. משם... כל אחד יעמיק ויפליג לפי עניינו ולפי יכולתו.


המורה,



אוסף בעיות מילוליות לכתה ג'


כמה בעיות מילוליות לכתה ג'

1) ילד קנה בשליש מכספו חוברת תשבצים. היו לו 21 ש"ח. מה מחיר החוברת?
2) בגן הציבורי שתלו 70 פרחים. 2/7 מהם היו פרחים כחולים והיתר פרחים לבנים.
כמה פרחים כחולים וכמה פרחים לבנים שתלו? חשבו את סכום מספר הפרחים הכחולים והלבנים. איזה מספר חייבים לקבל כדי לוודא שהתוצאה נכונה?
הערה חשובה להורים:אפשר לחשב 2/7 מכלל הפרחים ולחשב גם 5/7 מכלל הפרחים ולבדוק אם התשובה נכונה על ידי חיבור שני המספרים. אם סכומם הוא 70, הפתרון תקין. אפשר לחשב 2/7 מכלל הפרחים להחסיר אותם מ-70. ולבדוק את התשובה על ידי חישוב 5/7 מכלל הפרחים. כדאי להראות לתלמידים שכאשר פותרים בדרך אחת את הבעיה מומלץ לערוך בדיקה בדרך האחרת, כי אז הבדיקה יותר טובה.
3) אבא נתן לשלושת ילדיו דמי חנוכה. כל ילד קיבל אותו סכום. איזה חלק מדמי החנוכה שחילק האב קיבל כל ילד? אבא נתן בסך הכל 33 ש"ח דמי חנוכה. כמה ש"ח קיבל כל ילד?
4) 2/7 מכלל השולחנות במסעדה היו מעץ. היתר היו מפלסטיק. במסעדה היו בסך הכל 28 שולחנות. כמה שולחנות מעץ היו בה? איזה חלק מהשולחנות היו מפלסטיק? כמה שולחנות מפלסטיק היו במסעדה?
5) בחנות נעליים מכרו ביום אחד 36 זוגות נעליים. 4 תשיעיות מהם היו נעלי בית. כמה נעלי בית נמכרו באותו יום?
6) מכונית נסעה מחיפה לאילת ב-5 שעות. איזה חלק מהדרך עברה המכונית כעבור שעתיים? [מניחים שהמהירות הממוצעת של המכונית נשארת קבועה].
7) המרחק בין שני יישובים הוא 40 ק"מ. רוכב אפניים עבר ברכיבה 3/5 מהמרחק הזה. איזו דרך עבר הרוכב?
8) ביום הולדת פרסו את עוגת יום ההולדת ל-9 פרוסות. 5 פרוסות חולקו לאורחים. איזה חלק מהעוגה חילקו לאורחים?
9) באקווריום גידלו 28 דגים. 4/7 מהם דגי זהב. כמה דגי זהב באקווריום?
10) בגן חיות היו 56 בעלי חיים. 3 שמיניות מהם היו קופים. כמה קופים היו בגן?
11) לחייט היו 20 מטר בד. הוא השתמש ב- 3/5 ממנו לתפירת חליפות. מה אורך הבד שנותר לו?
12) לאפרת יש גינת ירק. שטח הגינה 72 מטר מרובע [מטר מרובע הוא ריבוע שאורכו ורוחבו הוא 1 מטר].
 ב-7/9 מן הגינה שתלה אפרת שתילי עגבניות. מה שטח הגינה המיועד לעגבניות? בשאר השטח שתלה מלפפונים. מה שטח הגינה המיועד למלפפונים?
13) בבקבוק מיץ יש 600 מיליליטר מיץ תפוחים. אופה השתמש ברבע מהמיץ לאפיית עוגיות. כמה מיליליטר מיץ נשארו בבקבוק?
14) נדב קנה 350 גרם בוטנים. 2/7 הוא אכל ואת השאר הוא נתן לאחיו. מה משקל הבוטנים שאכל נדב? איזה חלק מתוך הבוטנים נתן נדב לאחיו?
15) בחנות ספרים יש 630 ספרים בעברית: 3/7 מהם ספרים לפעוטות, והשאר ספרים למבוגרים. כמה ספרים לפעוטות יש בחנות? איזה חלק מן הספרים מיועדים למבוגרים?
16) המרחק בין שני ישובים הוא 60 ק"מ. שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה. הרוכב האחד עבר 2/3 מהדרך. כמה ק"מ עבר כל רוכב עד לפגישה?
17) יותם הכין שיעורי בית במשך שעתיים: 1/3 מן הזמן הקדיש למתמטיקה, 5/12 לתנ"ך והשאר לעברית. כמה זמן (בדקות) הקדיש יותם לכל מקצוע?
18) לדני היו 10 ש"ח ברבע מכספו קנה גולות. כמה עלו הגולות? כמה כסף נשאר לו?
19) אדם שילם 3,425 אגורות בעבור חוברת ועוד 1,450 אגורות בעבור עט. כמה שילם בסך הכל? רישמו את התשובה באגורות ובשקלים.
20) ילד קנה שוקולד ב-4.25 ש"ח ומסטיק ב-50 אגורות. כמה שילם? רשמו את התשובה בשקלים.
21) אדם קנה מספר מצרכים וקיבל את החשבון הבא:
3.75 ש"ח
4.79 ש"ח
5.28 ש"ח
0.95 ש"ח
----------
הנייר נקרע בקצהו התחתון וחישוב הסכום הכולל נתלש. אנא, עיזרו לאיש לחשב כמה עליו לשלם.
22) אמא הלכה לקניות ולקחה שטר של 50 ש"ח. היא קנתה עוגה ב-23.95 ש"ח ולחם ב-12.60 ש"ח. כמה כסף נשאר לה?
23) ילד התבקש לשלם בעבור 3 מחברות שכל אחת מהן עלתה 4.50 ש"ח. כמה שילם?
24)אדם שילם בעבור מצרך שעלה 120.85 ש"ח בשטר של 200 ש"ח. כמה עודף קיבל?
25) בארנק היו 3 מטבעות של 10 ש"ח, שטר אחד של 20 ש"ח ו-4 מטבעות של 10 אג'. כמה כסף היה בארנק?
26) ילדה קנתה ספר שעלה 45.60 ש"ח. נשאר לה סכום של 8.95 ש"ח. כמה כסף היה לה לפני הקנייה?
27) אדם קנה מכונית שמחירה 80,000 ש"ח. הוא שילם 20,000 ש"ח דמי קדימה. את יתר התשלום יהיה עליו לתת עם קבלת המכונית. כמה שילם כאשר קיבל את המכונית לידיו?
28) יואב קנה ספר שמחירו 98.90 ש"ח. הוא מסר למוכר שטר של 100 ש"ח. כמה עודף קיבל?
29) מדפסת עולה 2360.99 ש"ח. לאחר שרינה קנתה אותה, נשארו לה 3100.90 ש"ח. כמה כסף היה לרינה בהתחלה?
30) חולצה עלתה 54.50 ש"ח. מכנסיים עלו ב-56.90 ש"ח יותר מהחולצה. אדם קנה את החולצה והמכנסיים. כמה שילם?
31) ילד רצה לקנות משחק מחשב שמחירו 42.80 ש"ח. לילד יש 34.50 ש"ח. כמה כסף חסר לו?
32) שרית קנתה תמונה ב-45.67 ש"ח ומשחק ב-55.90 ש"ח. היא מסרה למוכר שטר של
200 ש"ח. כמה עודף קיבלה?
33) אמא נתנה דמי חנוכה לשני ילדיה. כל ילד קיבל 40.50 ש"ח. כמה דמי חנוכה נתנה אמא בסך הכל?
34) ספר החשבון זול מספר העברית ב-12.60 ש"ח. מחירו של ספר החשבון הוא 37.90 ש"ח. כמה עולים שני הספרים?
35) לקראת שנת הלימודים רכש כל ילד 3 חוברות עבודה. חוברת אחת עלתה 12.50 ש"ח. חוברת שנייה עלתה 18.90 ש"ח והחוברת השלישית עלתה 21.90 ש"ח. כמה שילם כל ילד בעבור החוברות?
36) בחנות מכרו כלי אוכל בהנחה של 25.00 ש"ח. כמה שילם אדם שקנה את כלי האוכל האלה, שמחירם לפני ההנחה היה 142.75 ש"ח?
37) מחיר של כיסא היה 69.90 ש"ח. הוא התייקר ב-8.50 ש"ח. מה היה מחירו לאחר ההתייקרות?
38) שולחן מרפסת עולה 120.00 ש"ח. כיסא מירפסת עולה 45.50 ש"ח. אדם קנה שולחן מרפסת ושני כסאות מרפסת. כמה שילם?
39) עוגה עלתה 32.70 ש"ח. מה היה מחירן של 3 עוגות כאלה?
40) קילו מלפפונים עלה 7 שקלים. קילו עגבניות היה יקר ב-4 שקלים מקילו מלפפונים. כמה ישלם אדם שקנה קילו אחד של מלפפונים ו-2 קילו עגבניות?
41) יואב קנה שעון ב-169.90 ש"ח. לאחר הקנייה הזאת נותר בידו סכום של 66.80 ש"ח. כמה כסף היה לו לפני הקנייה?
42) כיתבו באגורות:   3.40 ש"ח, 67.89 ש"ח, 23.90 ש"ח, 77.80 ש"ח, 4.10 ש"ח. 
43) כיתבו בשקלים: 65 אג', 156 אג', 450 אג', 785 אג', 900 אג', 5000 אג', 5319 אג'.


המורה,

מבדק בחשבון לתחילת כיתה ב'


מבדק לתחילת ב'

1.  
פיתרו:
א. 10 = _______ + 3
ב. 10 = _______ + 7
ג. 10 = _______ + 1
ד. 10 = 6 + ______
ה. 10 = 1 + ______
ו. 40 = 30 +  _____  
ז. 10 = 20 - ______  
ח. 10 = ______ - 30
ט. 50 = 80 - ______  
י. 90 = 40 + ______   

2.
פיתרו:
א. _________ = 56 + 20
ב. _________ = 40 + 29
ג. _________ = 7 + 80
ד. _________ = 15 + 30
ה. _________ = 34 + 82
ו. _________ = 27 + 3
ז. _________ = 6 – 28
ח. _________ = 40 – 52
ט. _________ = 7 – 67
י. _________ = 50 - 94

3.
פיתרו:
א. ________ = 47 – 50 
ב. ________ = 8  - 60 
ג. ________ = 5  – 58 
ד. ________ = 8  – 43 
ה. ________ = 52 – 96 
ו. ________ = 67 - 90 
ז. ________ = 76 – 90 
ח. ________ = 34 – 92 
ט. ________ = 60 – 87 
י. ________ = 64 – 89 

4.
פיתרו:
א. ________ = 54 – 73 
ב. ________ = 45 + 38 
ג. ________ = 43 + 60 
ד. ________ = 39 - 80 
ה. ________ = 70 - 86
ו. ________ = 28 - 78
ז. ________ = 49 + 37
ח. ________ = 46 – 83
ט. ________ = 54 + 17
י. ________ = 20 + 17

5.
יריב רצה לקנות ספר שמחירו 73 ₪. יש בידו שטר של 100 ₪. כמה עודף יישאר בידו?

6.
דליה ביקשה 39 ₪ מאביה, כדי לקנות משחק. התברר שמחירו של המשחק הוא  67 ₪. כמה כסף נוסף עליה לבקש מאביה כדי שתוכל לרכוש את המשחק?

7.
פיתרו בשתי דרכים:
בכל כלוב בגן החיות הכניסו 3 נשרים . כמה נשרים היו בשני כלובים?

8. 
רן קנה 3 מחברות שמחירן שווה. הוא שילם בעבור כולן 21 שקלים. מה מחיר כל מחברת?

9.
בגן הציבורי שתלו  94 פרחים בשני צבעים: אדום וצהוב. מספר השתילים של הפרחים מהצבע הצהוב היה 68 . כמה שתילים של פרחים אדומים שתלו בגן?

10. 
מסעדן קנה שני סוגי לחמניות: מקמח לבן ומקמח מלא. הוא קנה 43 לחמניות מקמח לבן. מספר הלחמניות מקמח מלא עלה על מספר הלחמניות מקמח לבן ב – 27. כמה לחמניות בסך הכל הוא קנה?

11. 
מחיר מטר אחד של בד הוא 9 שקלים. מה מחירם של 3 מטרים כאלה?

12. 
רישמו את היחידות המתאימות:
אורכה של חוברת הוא  כ-15 _____.
אורך הכיתה הוא בערך 4 ________.
גובה החדר הוא בערך 3 _________.

13.
בגן חיות יש 2 כלובי קופים . בכל כלוב יש 3 קופים. בכל יום מחלקים לכל קוף 2 בננות. כמה בננות מחלקים לקופים בגן החיות?

14.
המורה חילקה 24 מחברות לחלק מילדי הכיתה. כל ילד קיבל 8 מחברות . לכמה ילדים חילקה המורה מחברות?

15. 
סידרו באולם 27 כסאות בשורות. בכל שורה סידרו 9 כסאות. בכמה שורות סידרו את הכסאות?

16.
לטיול יצאו 18 ילדים . הם התחלקו ל – 3 קבוצות שוות גודל. כמה ילדים היו בכל קבוצה?

17.
קבוצה של 30 מטיילים לנה באכסניה. בכל חדר ישנו 10 מטיילים. בכמה חדרים לנו האורחים?

18. 
פיתרו במהירות:
א.
__________ = 3x4
ב.
__________ = 3x5
ג.
__________ = 10x2
ד.
__________ = 2x3
ה.
__________ = 2x9
ו.
__________ = 3x8
ז.
__________ = 9x3
ח.
__________ = 3x10
ט.
__________ = 8x2
י.
__________ = 2x5

19.
השלימו את החסר:
א.
24 = ______ 3x
ב.
15 = x5 ______  
ג.
27 = ___ x ___
ד.
12 = ______ 4x
ה.
18 =  x6 _____
ו.
18 = ______ 2x
ז.
24 = x8 ______  
ח.
21 = ______ 3x
ט.
12 = ______ 6x
י.
30 = x3 ______

20.
יזהר חסך 324 שקלים. הוא קנה משחק שעלה לו 146 שקלים. כמה כסף נשאר לו ?





יום שבת, 19 בינואר 2013

מועדון המתמטיקה והמדע: שיעור מספר 1


סיכום מפגש מספר 1 של מועדון המתמטיקה והמדע

כבר מספר דקות לפני 12:45 התגודדות מחוץ לכיתת סדנת המתמטיקה הורים וילדים, שהמתינו למפגש הראשון של המועדון

ציון לוי, מהועדה להעשרה חינוכית בהנהגת ההורים של בית הספר עמל הסביר בקצרה על המהות ועל עניינים טכניים של רישום באתר המועדון (עוזר לנו מאוד שהילדים המשתתפים רשומים ושיש לנו אמצעי קשר כדי להעביר לכם ההורים הודעות וסיכומי מפגשים וכדי לתקשר עם הילדים עם חומר נוסף). הורים שמתעניינים בפרטים על אודות המועדון מוזמנים לקרוא את פרטי המידע בעמוד המועדון. עוד פרטים נמסרו על הקשר של המועדון לתוכניות של מכון דוידסון שב-מכון ויצמן ב-מתמטיקה בהתכתבות וב-מדע בהתכתבות. הדגשנו שבעוד שהמועדון מלווה את הילדים שבתוכניות בהתכתבות התשלום לרישום לתוכניות של מכון ויצמן הוא מול מכון ויצמן ואילו הפעילות של המועדון שלנו היא בהתנדבות מלאה של ההורים המארגנים ושל המורה.

סיגלית, המנהלת, גם אמרה כמה מילים להורים ולתלמידים, והדגישה שחומרי הלימוד במועדון אינם של תוכנית הלימודים ואינם קשורים לבית הספר ושמדובר בתוכנית העשרה. היא איחלה בהצלחה לכולנו.

עניתי על שאלות רבות ושונות בנוגע לאופן העבודה במועדון. בעיקרון, מידי יום ו' נקדיש 45 דקות לחלק שקשור למתמטיקה ו-45 הדקות הבאות לחלק שקשור במדע. לא מן הנמנע שיהיו מקרים שנקדיש מפגש מלא רק לנושא במתמטיקה או רק לנושא במדע. 

פתחנו בהצגת הבעיה של וינסנט הערפד מהגיליון הראשון של מתמטיקה בהתכתבות: וינסנט מזמין אורחים למסעדה שלו בבית שמש, אלא שהתאריך והשעה מוצפנים כחידה חשבונית (עם שילוב של מושגים מ-תורת המספרים). החידה נחתמת במשפט מסכם שהמסעדה תורחב תוך כדי המסיבה כדי להכיל את כל האורחים: המושג המתמטי שהשתמשו בו הוא \!\, \aleph_0, מושג מתורת הקבוצות שמשמעותו עוצמת הקבוצה. 

התעכבנו על מספר עניינים עוד טרם הנסיון לפתור את החידה (אף על פי שהיו מספר תלמידים שניגשו כבר בהתחלה לנסיונות פתרון):
  • זיהוי פרטי מידע חסרים ואסטרטגיות כיצד אפשר להסיק מה סביר לעשות בעזרת רמזים שבטקסט. למשל, האם החודש שעליו מדובר בחידה הוא חודש עברי או לועזי. האם השנה היא שנה לפי הלוח הגריגוריאני או לפי לוח השנה העברי.
  • כיצד התלמידים מגדירים מהו מספר ראשוני ומה התכונות של הגדרה מתמטית טובה וכיצד התלמידים מתקנים את ההגדרות שהציעו בהתאמה.
  • הדיון על מספרים ראשוניים העלה את הצורך להתייחס למספרים פריקים. אז דנו גם בהגדרה של מספרים פריקים.
  • תוך כדי הדיונים הגענו לקושי: האם חלוקה ב-0 מוגדרת, ומדוע. ואיך מסבירים את זה? הויכוח היה עירני ומרתק!! הילדים ממש שיחזרו בכיתה דיונים שפירנסו מומחים מתמטיים מההסטוריה של המדע.
סיפרתי לילדים שה-אפס הוא מושג שיצר ובמקרים מסויימים עדיין יוצר בעיות רבות וגדולות במתמטיקה ושההתקדמות של האנושות בהתייחסות לבעיות הללו ופתרונן קידם מאוד את המתמטיקה, את המדע וכתוצאה מכך את האנושות כולה. אני ממליץ להורים ולילדים לעיין ולקרוא את הספר אפס: ביוגרפיה של רעיון מסוכן.

כתבתי בפירוט רב מדוע חלוקה באפס אינה מוגדרת במתמטיקה. אני מבקש מהתלמידים לקרוא את ההסבר שבמאמר: מה הבעיה עם חלוקה באפס? בשיעור הבא אבקש מהתלמידים שקראו ושהבינו להסביר. אז אפילו כדאי לכם להדפיס לכם את התוכן ולהביאו עמכם לכיתה לצורך הדיון. ההסברים שבמאמר מניחים שהתלמידים יודעים מהן משמעויות שונות של חילוק. מתוך הבנה שאין זה חומר שמלמדים בדרך כלל בבתי הספר, אני מקשר לכם הסברים שלי על משמעויות של חילוק כולל סרטון קצר (בכיכובי) שבו אני מסביר שתי משמעויות של חילוק שכדאי להבין לצורך הדיון.

בנוגע למדע הדגשתי שאת הניסויים לא נערוך בכיתה (מסיבות טכניות של ציוד, אישורים, הוצאות וכו'), כדאי לכם מאוד לערוך את הניסויים שמציגים בפניכם בגליונות השונים של החוג במדע בהתכתבות. הסברתי שהגליון הראשון שנעסוק בו הוא "מסע אל הקוטב הדרומי", אלא שהגליון אינו עוסק במסעות ולא בקוטב אלא בתכונות מיוחדות של מים ובמושג הטמפרטורה ובעיקרון מביולוגיה בשם כלל ברגמן. כדי לגרות את הסקרנות טענתי, אך לא פירטתי יותר מידי (את זה נעשה במפגשים הבאים במועדון), שהמושגים של חום ושל טמפרטורה אינם ברורים לנו כמו שאנו חושבים.

נהניתי מאוד מהשתתפות התלמידים וגם מנוכחות ההורים שנשארו לשיעורים. היה מעניין ונעים.
להתראות במפגש הבא במועדון שיתקיים ביום שישי הקרוב, 25 בינואר 2013 בשעה 12:45.

המורה,



מה הבעיה עם חלוקה באפס?


למה אי אפשר לחלק ב-0?
התשובה הקצרה היא שחלוקה באפס אינה מוגדרת במתמטיקה כי היא חסרת משמעות. התשובה הארוכה יותר, לפניכם:

* ראשית, כדי להיזכר במשמעויות של החילוק אני מציע לקרוא את המאמר על משמעויות החילוק במספרים טבעיים.

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

הבעיה אינה בחוסר יכולתנו להגדיר חלוקה באפס. נוכל, למשל, להגדיר שכל מספר שאותו נחלק באפס יתן את התוצאה 42. לו היינו עושים דבר, לא היינו יכולים להבטיח שכל שאר החוקים והכללים בחשבון ימשיכו לפעול כהלכה. היינו למשל מקבלים ש-
1:0=42
ואז להשתמש בחוקי החשבון הרגילים שאנו מכירים ולקבל
1=42x0=0

חילוק הוא פעולה הפוכה לכפל (כמה זה 10 לחלק ב-2? זה המספר שאם נכפול אותו ב-2 נקבל 10). העסק הזה לא יהיה נכון יותר אם נקבל את ההגדרה המוזרה שלנו לחילוק באפס (או כל הגדרה אחרת). איך למשל, נוכל לקבל 6?
6:2=3; 6=2x3
ננסה: כמה זה 6 לחלק באפס? זה אמור להיות המספר שאם נכפול אותו באפס נקבל 6 אבל כל מספר שכופלים באפס יוצא אפס אז איך נקבל את 6? אז 6:0 לא בא בחשבון (הא!), ובאותו האופן גם לא בא בחשבון שום מספר אחר שמחולק באפס, מלבד, אולי, אפס בעצמו...

אז מה עם 0:0?

המנה של כל מספר שמחולק בעצמו (מלבד 0) היא 1. לו הגדרנו את 0:0 להיות גם כן 1 אז היינו מקבלים ש-
0x1=0
שזה אפילו עובד. אז מדוע המתמטיקאים מתעקשים שאין משמעות לביטוי 0:0? הסיבה היא שישנו כלל אחר שנפגע: אם נניח שאכן
0:0=1
אז היינו מקבלים:
2=2x1=2x(0:0)=(2x0):0=0:0=1
וכמובן, לקבל ש-2 שווה ל-1 זאת תוצאה שאינה רצויה.

לסיכום, משום שאיננו רוצים סתירות המתמטיקה, אזי מוותרים על החילוק באפס.



המורה,

משמעויות החילוק במספרים טבעיים



משמעויות של פעולת החילוק במספרים טבעיים

במתמטיקה, כמו בשפה טבעית, יש גם ריבוי משמעויות: כמו שבעברית אפשר לקרוא את המילה אחות שמשמעותה יכולה להיות אחות רפואית או אחות במשפחה או אחות נזירה וכך הלאה גם לסימנים במתמטיקה יש מספר משמעויות. איך יודעים מה המשמעות המתאימה? כמו בשפה, לפי ההקשר!

כמו שראינו בפעולות החשבון: חיבור, חיסור וכפל, עד כה יש פנים רבות ואנחנו מוצאים את עצמנו משתמשים באותה הפעולה בעקבות תהליכי מחשבה שונים -- כך גם בחילוק: תהליך החשיבה שונה מעיקרו אך לבסוף אנו מגיעים לאותה פעולת החילוק.

ניזכר בכפל

ראשית, ניזכר בפעולת הכפל: פעולת כפל היא קיבוץ של קבוצות שוות גודל לשלם אחד. את הקיבוץ מבצעים באמצעות פעולת חיבור. לכן פעולת הכפל היא פעולה שמשמעותה חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל.


את הכמות הכוללת של העגבניות אפשר למצוא בעזרת חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל:
או למצוא בקיצור באמצעות פעולת כפל:
הנה תרשים שמתאים לתיאור הפתרון שלנו:
ותרשים כללי יותר שמתאר את פעולת הכפל: 
למכפלה ולנכפל אותו הכינוי. לכופל אין כינוי משום שהוא מונה את מספר הקבוצות.

הערה חשובה להורים: למעשה: יש לכופל יחידות, במקרה שלנו, היחידות הן צלחות והיחידות של הנכפל הן צלחת/עגבניות (עגבניות בצלחת) ומתוך חשבון יחידות נקבל ש-3 צלחת כפול 4 צלחת/עגבניות הן 12 עגבניות (כפלנו 3 ב-4 וקיבלנו 12 ואת היחידה צלחת שבכופל צימצמנו עם היחידה צלחת שבנכפל. משום המורכבות, אנחנו איננו מתעסקים בזה כשלב הזה ושומרים את הדיון לשלב מתקדם יותר, למשל בעת העיסוק בבעיות הספק בכיתות ה'-ו'.
ועכשיו, החילוק

הנה בעיה חשבונית:
750 מתלמידי בית ספר יצאו לביקור בבית התפוצות. לצרכי הדרכה הם התפצלו לקבוצות של 25 תלמידים בכל קבוצה. לכמה קבוצות התפצלו?
הפעולה שתוביל לפיתרון היא פעולת החילוק.
750 הוא המחולק, כי הוא מקבל הפעולה: מחלקים אותו.
25 הוא ההמחלק, כי הוא מבצע הפעולה.
התוצאה הסופית היא המנה. מנה היא תוצאה של תרגיל חילוק.


המציאו בעייה שבה המחולק יהיה 96 והמחלק יהיה 8. מה תהיה המנה?
מדוע חשוב לְכַנוֹת בְּשֵם את המחלק, המחולק והמנה?

השיום (מתן השם) עוזר לנו בתיקשורת. אנחנו יכולים להבין טוב יותר אחד את השני, אפשר לדעת לְמה מתכוונים. זה גם עוזר לנו להבין, כי אנחנו יודעים להבחין טוב יותר בין מקבל את הפעולה – הסביל , לבין עושה הפעולה – הפעיל. כאשר יש שמות לדברים קל יותר לזכור אותם. זה יכול לעזור לנו בקריאת בעיות שבהן מופיעות המילים האלה.


לחילוק במספרים טבעיים יש שלוש משמעויות:

  1. חילוק לחלקים שווים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כמבטא יחס
 נדון עתה בשתיים מהן: חילוק לחלקים ו-חילוק להכלה 


הנה סרטון שמדגים הקניית הנושא:




חילוק לחלקים שווים

בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

בכפל, השלם הוא מכפלה.
בחילוק, השלם הוא המחולק.
החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל, זהו הכופל; בחילוק לחלקים הוא המחלק.
בכפל, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא הנכפל. בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.
נתון שלם ומספר קבוצות שוות גודל של אותו השלם.בחילוק לחלקים אנו מחשבים את מספר הפריטים בכל קבוצה.
הבעיה החשבונית:
בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

התרגיל המתאים:
תשובה:
4 עגבניות בכל קערית.

חילוק לחלקים הוא זה שאנו מורגלים בו יותר בחיי היומיום. אנחנו רגילים לחלק עצמים שווה בשווה בין מספר ידוע מראש של אנשים, למשל, 6 ממתקים מחולקים שווה בשווה בין 2 אחים, אז כמה ממתקים יקבל כל אחד משני האחים?
התרגיל, כמובן, 6:2. בחילוק לחלקים שבו אנו מבצעים 6:2 אנו מחלקים 6 עצמים ל-2 קבוצות שוות גודל, ושואלים כמה בכל קבוצה. התוצאה היא 3 ופירושה: שתי קבוצות שכל אחת מהן בעלת 3 עצמים וביחד יש 6 עצמים. כלומר, 2 פעמים 3 הם 6 (או בחיבור 6=3+3). 6 הוא המחולק (כי אותו מחלקים), 2 המחלק (כי הוא מחלק: קובע את מספר הקבוצות שוות הגודל) ו-3, המנה, קובע כמה איברים בכל קבוצה.

חילוק להכלה

הבעיה החשבונית:
בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בקעריות. בכל קערה הנחנו 4 עגבניות. בכמה קעריות השתמשנו?

התרגיל המתאים:

תשובה:
השתמשנו בשלוש קעריות.

בחילוק להכלה למחלק ולמחולק יש את אותו הכינוי,כי הקבוצות החלקיות מורכבות מאותם הפריטים שבונים את השלם. 
בחילוק להכלה אנחנו מחשבים כמה פעמים 12 מכיל את 4 (כמה פעמים 4 "נכנס" ב-12).

בסוג השני של החילוק מתהפכים התפקידים בין מספר הקבוצות לבין מספר האיברים בכל קבוצה. הפעם נתון מספר האיברים בכל קבוצה ומבוקש מספר הקבוצות. למשל, אמא חלקה 6 ממתקים בין ילדיה. כל אחד קיבל 2 ממתקים. כמה ילדים יש לה?
התרגיל הוא 3=6:2, אבל הפעם הוא עונה לשאלה אחרת. בחילוק לחלקים שאלנו: 6 עצמים חולקו ל-2 קבוצות, כמה עצמים יהיו בכל קבוצה? ואילו בחילוק להכלה השאלה היא: חילקנו 6 עצמים כך שבכל קבוצה יש 2, כמה קבוצות יש?
אפשר לבטא זאת כך: כמה פעמים נכנס 2 ב-6, או כמה פעמים מוכל 2 ב-6? מכאן שם הסוג הזה של החילוק, חילוק להכלה. התשובה 3 משמעותה ש-3 קבוצות בגודל 2 מכילות יחד 6. כלומר, 3 פעמים 2 הם 6 (בחיבור: 6=2+2+2).
נבחין שהבדל בין שתי המשמעויות הוא בהבדל בין 2 פעמים 3 לבין 3 פעמים 2.

דוגמה נוספת להקניית ההבדלים בין חילוק לחלקים לבין חילוק להכלה


הנה שתי בעיות, השוו ביניהן:

בעייה ראשונה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה ל- 6 חברים. כמה קיבל כל חבר?
בעייה שנייה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה בין כל חבריו. כל חבר קיבל 6 בולים. כמה חברים יש ליוסי?
ילדים: בשתיהן יש פעולת חילוק.
הורה: כבר ראינו שאפילו אם הפעולה החשבונית היא אותה פעולה, יכול להיות הבדל בתהליך שהוביל אותנו לפעולה הזאת. כדאי לבדוק את זה גם כאן.
ילדים: אמרת שבתהליך ההשוואה צריך להתייחס גם לשווה וגם לשונה. מצאתי את השווה: המספרים שווים, הפעולה היא חילוק והתוצאה המספרית שווה.
הורה: ומה שונה?
ילדים: בשאלה הראשונה מחלקים בולים לילדים. בשאלה השנייה מחלקים בולים לבולים.
הורה: אני מבין איך אפשר לחלק בולים לילדים. הנה אני אקח 10 בולים ואחלק אותם לחמשת הילדים היושבים כאן (מחלק). זוהי פעולת חילוק. כמובן שאני מחלק שווה בשווה. אין בפעולת חילוק אפשרות לחלק לחלקים לא שווים. (אוסף את הבולים) עכשיו אני רוצה לחלק לפי הבעיה השנייה. איך אחלק את הבולים שבידי לבולים? מה למעשה אני עושה?
ילדים: אתה מחפש כמה פעמים קבוצות של 6 בולים נכנסות לתוך הקבוצה הכוללת של 60 הבולים.
הורה: ננסח זאת קצת אחרת. אני רוצה לבחון כמה פעמים הקבוצה של 60 הבולים מכילה בתוכה את הקבוצות בנות 6 הבולים. מספר הפעמים שקבוצה הגדולה מכילה את הקבוצות הקטנות נותן את מספר החברים. עכשיו כבר נוכל לשיים את שתי הפעולות וגם להבין יותר טוב את שני הסוגים של תהליכי החשיבה. האם מישהו מכם מוכן לסכם את מה שלמדנו עד עכשיו?
[הילדים מסכמים]
הורה: ראינו שיש שני סוגים של חילוק. גם אם המספרים זהים, המחשבה שונה. בחילוק אחד אנחנו מחלקים ממש, בשני אנחנו מחפשים כמה פעמים הקבוצות שוות הגודל נכנסות לקבוצה הכוללת. 
הורה: לבעיה מהסוג הראשון קוראים: חילוק לחלקים, לבעיה מהסוג השני קוראים חילוק להכלה.
הורה: למה חשוב לשיים את הבעיות?
ילדים: יהיה לנו יותר קל לזכור את סוג הבעיה וגם נוכל למיין לאיזה סוג היא שייכת.
הורה: מה יתרום לנו המיון?
ילדים: כאשר אנחנו יודעים לאיזה סוג שייכת הבעיה זה מוביל אותנו לפתרון.
ילדים: זה יעזור לנו בתשובה הסופית, נדע מה הן היחידות. זה עוזר גם לביקורת.
ילדים: המיון עוזר לי להבין. השיום עוזר לי לזכור.
הורה: כל התהליכים האלה ביחד יש להם שם אחד: הפנמה. 
ילדים: אנחנו רואים שאפשר להגיע לפעולת החילוק על ידי תהליכי חשיבה שונים. למעשה החילוק הוא עוד פעולה מחשבתית – הוא מבטא יחס. את זה למדתם בכפל, למשל, פי כמה 15 גדול מ – 3 . איזו פעולה צריך לעשות כדי שנדע את היחס בין 15 ל – 3 ?
ילדים: חילוק.
הורה: נכון, חילוק מבטא גם יחס. מי עכשיו יכול לסכם את כל הידוע לנו על החילוק?
ילדים: החילוק בחשבון אפשרי רק כאשר מחלקים לחלקים שווים.
- לחילוק, כך גילינו עד עכשיו, יש כבר 3 משמעויות שונות: יש חילוק לחלקים, יש חילוק להכלה ויש חילוק שמבטא יחס.
הורה: במה אפשר להיעזר כדי לזהות את סוג הבעייה שלפנינו?
ילדים: בכינויים. אם למחולק ולמחלק אותו כינוי – זהו חילוק להכלה.
אם למחולק ולמחלק כינויים שונים – זהו חילוק לחלקים.
הורה: למה בחילוק להכלה חייב להיות אותו כינוי לאיברי הקבוצה הכוללת ולאיברי הקבוצות הכלולות?
ילדים: בהכלה אנחנו בודקים כמה פעמים נכנסות תת-הקבוצות לקבוצה הכוללת. תת-הקבוצות בנויות מאותם האיברים של הקבוצה הכוללת, לכן יש להן אותו כינוי.
הורה: מישהו יכול לתת לנו דוגמה?
ילדים: 
חילוק לחלקים:
היו לי 40 מחברות. חילקתי אותן שווה בשווה ל – 8 חברים. כמה קיבל כל חבר?
5 מחברות = 8 חברים : 40 מחברות
חילקנו מחברות לחברים – הכינויים שונים.

חילוק להכלה:
היו לי 30 ספרים. חילקתי אותם שווה בשווה בין חבריי, כל חבר קיבל 6 ספרים. לכמה חברים חילקתי את הספרים?
5 חברים = 6 ספרים : 30 ספרים
חילקנו ספרים לספרים – הכינויים שווים. זהו חילוק להכלה.
הורה: יפה. עכשיו עלינו לחזור למיגרש המישחקים. מה עלינו לבדוק?
ילדים: עלינו לבדוק אם חוקי החילוק במספרים הטבעיים אפשריים בכל מיגרש המישחקים.
מורה: איך נעשה זאת?
ילדים: ננסה לבדוק מספר תרגילים .
הורה: הציעו תרגילים.
[מציעים]
הורה: בכל התרגילים שהצעתם המחולק גדול מהמחלק. בואו נראה מה קורה אם המחולק קטן מהמחלק. מי יכול להמציא בעיה חשבונית שבה מחלקים מספר קטן במספר גדול ממנו?
ילדים: אי אפשר. תמיד מחלקים מספר גדול במיספר קטן ממנו.
הורה: אני אספר לכם סיפור חשבוני שבו נחלק מספר קטן לגדול ממנו.
קניתי 2 פיצות והיינו 3 אנשים. חילקנו בינינו את הפיצות שווה בשווה. כמה קיבל כל אחד מאיתנו?
ילדים: 2 לחלק ל-3.

הורה: הפעולה אמנם נכונה, אבל מה תהיה התשובה שלכם?
ילדים: אין תשובה אחרת.
הורה: יש תשובה, אבל היא לא במיגרש של המספרים הטבעיים. התשובה היא  ⅔  כלומר : שני שלישים, כי 2 לחלק ל-3 הוא 2:3 וזה בדיוק  ⅔ . הקו המפריד בין 2 לבין 3 מציין פעולת חילוק. הוא מזכיר לנו חיתוך, כמו החתך שמתקבל בעת שמחלקים עוגה. נכנסנו למיגרש של המספרים השבורים. עד עכשיו טיפלנו במספרים הטבעיים, שהם מספרים שלמים וחיוביים, עכשיו ראינו שיש מספרים נוספים והם: שברים פשוטים

למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

מה המשמעות של חלוקה במספר שאינו שלם?

* שימו לב שכאשר המחלק אינו מספר טבעי, אלא שבר פשוט או מספר מעורב, אנחנו מאבדים את האינטואיציה. מה זה, למשל, חמישית לחלק לשמינית? נרחיב ונעמיק בשיעור נפרד בנושא בהמשך הסדנה, כשנטפל בשברים. רמז: חשבו על החילוק להכלה...

משמעויות נוספות של החילוק



עסקנו ב-חילוק לחלקים וב-חילוק להכלה אולם ישנן משמעויות נוספות לחילוק. 





מתוך המאמר של תלמה גביש: "על החילוק של המספרים הטבעיים"



חילוק כמבטא יחס

בעיה חשבונית:
יש לי 12 עגבניות. יש לי 3 קעריות. מה היחס בין כמות העגבניות לבין כמות הקעריות?
היחס הוא 12:3
איך הגענו לתשובה? ביצענו פעולת חילוק: 4=12:3.
התוצאה היא מספר חסר כינוי.
יצאנו מהנתונים המספריים והגענו ליחס.

לפנינו עובד אשר מרוויח 1000 ש"ח. מה נוכל לומר על מצבו?
לא נוכל לומר דבר בעל משמעות כי איננו יודעים ביחס למה להעריך את שכרו של העובד שמשתכר 1000 ש"ח. אם למשל היו בידינו נתונים על השכר הממוצע בעבור עבודה שמבצע עובד כזה אז יכולים היינו להעריך האם הוא משתכר פחות מידי, יותר מידי, או שכר הגון.

בעיה חשבונית:

בחוגי סיירות משתתפים 450 ילדים. בחוגי מחשבים משתתפים 90 ילדים. פי כמה  גדול מספר המשתתפים בחוגי הסיירות לעומת מספר המשתתפים בחוגי  המחשבים?


אפשר לנסח את השאלה גם פי כמה קטן מספר המשתתפים בחוגי המחשב מזה  שבחוגי הסיירות. התרגיל ישאר אותו התרגיל.
למחלק ולמחולק יש מכנה משותף, אך המנה היא מספר טהור, חסר כינוי.

בבעיה הזאת מצאנו את היחס בהנתן שני גדלים כמותיים.

בעיה חשבונית:
בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 יותר ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?

אנו זוכרים שהמילה פי מבטאת יחס. זו בעיה שפתרונה דורש כפל (ולא חילוק) ה-280 ב-7.
התרגיל:
בעיה חשבונית אחרת:

בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 פחות ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?
פה נזדקק לחילוק כי יש כאן רמז לשון: "פי כמה פחות"


עכשיו נראה תרגיל שמופיע בו רמז לשון "פי 3 יותר" ונזדקק דווקא לחילוק. למרות המילה יותר הפעולה מחייבת הקטנת הגודל הכמותי על ידי חילוק:
לתמי יש בקופת החיסכון שלה 540 ש"ח. לתמי יש פי 3 יותר כסף בקופת החיסכון שלה מאשר ליותם. כמה כסף יש ליותם בקופת החיסכון שלו?
חשוב שנבין מהי נקודת המוצא לקביעת היחס ולפיה נדע מהי הפעולה החשבונית שיש לבצע.

המכנה המשותף בין הכמויות מאפשר את קביעת היחס -- ללא המידה המשותפת לא ניתן לקבוע יחס בין הכמויות. המכנים המשותפים בין המחלק לבין המחולק הם הבסיס להשוואה.

נתבונן בבעיה שבה נצטרך להביא את הכמויות למכנה משותף שבלעדיו לא נוכל לקבוע את היחס:
תייר הביא עמו 700 ש"ח וחברו הביא עמו 1400 דולר. מה היחס בין כמויות הכסף שבידיהם?

קביעת היחס תחייב המרת הערכים בין המטבעות ממטבע אחד לאחר או מכל מטבע למטבע שלישי, רק כך נוכל לקבוע את היחס שבין הכמויות.

ללא מידה משותפת לא ניתן לקבוע יחס
ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. נזכיר כעת גם משמעות נוספת של חילוק (שגם היא בעצם יחס)



חילוק כהקטנה

ילד קיבל 12 עגבניות ואילו חברו קיבל פי שלושה פחות מהראשון. כמה עגבניות קיבל החבר?
התשובה: 4 עגבניות לחבר. ביצענו פעולת חילוק 4=12:3
אנו יוצאים מהיחס ומגיעים למספר שנובע מהיחס.
יש קשר הפוך בין המשמעות השלישית לבין המשמעות הזאת, הרביעית: שתי המשמעויות הן פועל יוצא של אותה הפעולה -- החילוק.

היחס בין מספר התלמידים בין ישוב א' לבין ישוב ב'  הוא 1:8. בישוב ב' לומדים 560 תלמידים. כמה תלמידים לומדים בישוב א'?

הגודל הכמותי הנתון: 580 תלמידים. זהו שלם אחד.
היחס הוא 1:8.
הגודל הכמותי שנובע מהנתונים (חישוב ערכו של השלם השני).
כאמור, ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. גם במשמעות זו.

אני מקשר לסיכום שיעור בנושא משמעויות של יחס: סדנת מתמטיקה עמל בכפר יונה: שיעור מספר 12: היחס ומשמעויותיו. בנוסף, אני ממליץ מאוד לקרוא את מערך השיעור של תלמה גביש בנושא משמעויות היחס מתוך האתר שלה.

סיכום ההבדלים בין המשמעויות של החילוק: לחלקים להכלה ויחס
בחילוק אין מכנה משותף למחלק, למחולק ולמנה

כמה סוגים של חילוק אנחנו מכירים?
  1. חילוק לחלקים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כיחס
החילוק כיחס מתחלק ל:
     א. מציאת היחס על פי שני גדלים כמותיים
     ב. מציאת גודל כמותי על פי גודל כמותי נתון והיחס בין שני הגדלים הכמותיים


להרחבה בנושא החילוק
למי שמתעניין בחילוק ארוך, חשיבותו והוראתו
הורים ומורים מוזמנים לפנות כדי לקבל חומר נוסף על הוראת המשמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים לרבות מערכי שיעור וכן לשאול שאלות ולהתייעץ. אעזור כמיטב יכולתי. 

המורה,