יום רביעי, 27 במרץ 2013

מה סוד קסם הריבוע הנעלם?

מה סוד קסם הריבוע הנעלם?

ברשת האינטרנט (ובפייסבוק כמובן) רץ שוב ושוב ושוב "פרדוקס" שטח שהוא למעשה אשליית ראיה.
From where comes the hole?
התמונה נוצרה על ידי Daniel Takacs.
מדובר בשעשוע מתמטי שהוא אשליית ראייה שמיוחסת לקורי (שעליו נכתב באריכות אצל מרטין גרדנר, ו-גם אצל פרדריקסון).

מה יש פה בכלל? מה הפרדוקס?
בתמונה רואים שתי צורות מורכבות: אחת מעל השנייה. שתי הצורות המורכבות בנויות מאותן 4 צורות: משולש ישר זוית כחול, משולש ישר זוית אדום, ושני משושים בצורת מדרגה: אחד צהוב ואחד ירוק. הבעיה היא שבעוד שאנו מצפים לשימור שטח, ז"א שהשטח הכולל של המצולעים שמרכיבים את הצורות המורכבות ישאר זהה ללא קשר לאופן שבו משלבים את הצורות הללו ביחד, מראים לנו שבסידור העליון מתקבלת יחידת שטח אחת יותר מאשר בסידור התחתון. אז הפרדוקס הוא של שימור שטח.

אז איך זה יכול להיות?
אז זהו, שזה לא באמת יכול להיות. אין פה פרדוקס. יש פה אשליית ראייה. שימו לב שבשני המקרים יש שני משולשים ישרי זוית: הכחול והאדום. הכחיל בעל ניצב שאורכו שתי יחידות אורך וניצב שאורכו 5 יחידות אורך. האדום בעל ניצב שאורכו 3 יחידות אורך וניצב אחר בעל 8 יחידות אורך. המסקנה היא שהזוית שבין היתר לבין הניצב האופקי בשני המשולשים אינה אותה הזוית (אם כי היא נראית אותה הזוית). השיפועים שונים: 2/5 במשולש הכחול ו-3/8 במשולש האדום. כמובן, השברים הללו אינם שווי ערך. מדוע זה חשוב? זה חשוב כי בעצם הצורה המורכבת שמופיעה בחלקו העליון של הציור אינה משולש ישר זוית אלא מרובע!! 
Missing square puzzle grotesque
התרשים מתוך הרשימה המצויינת של גדי אלכסנדרוביץ בנושא בבלוג שלו "לא מדויק"
האם יש דרך קלה לייצר עוד אשליות שכאלה?
כן! הגדלים היסודיים בבעיה שלפנינו הם: 2, 3, 5, 8, 13 ... אלה מספרים רצופים בסדרת פיבונאצ'י.

המורה,



תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטויארט

תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטויארט
תיבת האוצרות המתמטיים
הנה ספר שסיפק לי שעות רבות של הנאה, מחשבה, שעשוע ועורר את סקרנותי לחקור עוד. זהו אוסף של חידות, של בעיות ושל קטעים על אודות נושאים מתמטיים. הנושאים רבים ומגוונים, ההגשה קלילה ומשעשעת והתרגום מוצלח מאוד (עמנואל לוטם).
זה ספר על מתמטיקה שלא למדתם בבית הספר ושאין מלמדים בבית הספר. זה ספר שמראה יופי, תחכום, ועניין והרבה מאוד גיוון. היפה הוא שכדי להתמודד עם כל מה שבספר מספיקה ההשכלה הבסיסית שאמורים לקבל בלימודים בבית הספר. 

מצער מאוד שבבית הספר מצליחים בדרך כלל לשוות למתמטיקה חזות משעממת ומפחידה. הספר הזה שונה מאוד. הוא מתאים לסקרנים ולאוהבי החשיבה.

אפשר לקרוא בספר קטעים קצרים ונגישים על בעיות מתמטיות ידועות מהעבר ועל פתרונן, על מתמטיקאים ועל בעיות פתוחות שעדיין לא ידוע פתרון עבורן. אפשר למצוא חידות שונות ומשונות ויש גם פתרונות מנומקים לחידות.

הספר מהנה מאוד ומשעשע מאוד, ומי שקורא קריאה פעילה, עם נייר ועיפרון נגיש, ועוצר, וחושב, ומנסה להתמודד לבד ואפילו מחפש מידע נוסף באינטרנט אח"כ, ימצא עניין רב והנאה רבה.

בהחלט אני חש צער שהסתיימה הקריאה בספר. אין לי ספק שעוד אשוב ואעיין בו מעת לעת.

הכותב, איאן סטיוארט,  הוא אישיות ידועה ומפורסם מאוד בשל הספרים והמאמרים שלו שמאפשרים גישה נוחה וברורה (בד"כ) של המתמטיקה.

ספר מומלץ אחר שלו שתורגם לאחרונה לעברית, שנותן הצצה לתחומים שונים ומשונים במתמטיקה, מהבסיסיים והעתיקים ביותר ועד לנושאים מתקדמים וחדשים, הוא לאלף את האינסוף.

מהכריכה האחורית:

אתם יודעים למה סבלתם בשיעורי המתמטיקה בבית הספר? מפני שמה שלימדו אתכם היה משעמם! איאן סטיוארט, אחד המתמטיקאים המפורסמים בעולם כיום, היה בן ארבע־עשרה, הוא התחיל ללקט דברים מעניינים שמצא במתמטיקה ושלא נלמדו בבית הספר, כלומר כל מה שמשעשע ומסקרן בתחום. סטיוארט כינס את כל הפריטים הללו בפנקס.

עם הזמן תפח היומן המתמטי שלו לשישה פנקסים גדושים, ובסופו של דבר הפכו כולם לתיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט.

אתם מוזמנים להסיר את מכסה התיבה ולגלות שפע של חידות היגיון, סיפורים, בדיחות, תעלולים חשבוניים, משחקי מילים וקלפים, דברים שאפשר לבנות ודברים שאפשר לעשות.


בין השאר, תלמדו איך מרוויחים מיליון דולר מהוכחת הברור מאליו, מה הסיפור של המשפט האחרון של פרמה ולמה באמת אסור לחלק מספר באפס. תיבת האוצרות של פרופסור סטיוארט מיועד הן לחובבי מתמטיקה ותיקים והן לטירונים ההרפתקנים. הוא מגרה את הדמיון ומבטיח שעות של התעמלות לתאי המוח, הנאה והפתעות רבות.

פרופסור איאן סטיוארט נודע יותר מכול בזכות ספריו הפופולריים, הפותחים את שערי המתמטיקה בפני כל מי שמתעניין בה. הוא זכה בעיטור מייקל פרדיי מטעם החברה המלכותית הבריטית על קידום ההבנה של הציבור במדעים, ונעשה עמית בחברה זו ב־2001.

מבין ספריו הרבים תורגמו לעברית המספרים של הטבע וסימטריה נוראה (עם מרטין גולוביצקי) ולאלף את האינסוף (עליית הגג, 2012). סטיוארט הוא יועץ לעניינים מתמטיים לשבועון "ניו סאיינטיסט" ופרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ווריק באנגליה. הוא נשוי ואב לשני בנים.

תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט מאת איאן סטיוארט בהוצאת כנרת זמורה-ביתן, מאנגלית: עמנואל לוטם, ייעוץ מדעי לתרגום: אורה חפץ, 351 עמודים.

המורה,
שלמה יונה

יום רביעי, 13 במרץ 2013

אירוח "מר חשבון" ב-"עץ החשיבה": ימין ושמאל לומדים שעון



אירוח "מר חשבון" ב-"עץ החשיבה": ימין ושמאל לומדים שעון


ביום שלישי, 12 במרץ ב-21:00, התארחתי בתוכנית האינטרנט של שלומית לויט מ-"עץ החשיבה".
בתוכנית שוחחנו על התמצאות במרחב בנושא של הוראת "ימין ושמאל" לילדים וגם על איך מלמדים קריאת שעון מחוגים.

הרחבה מפורטת של הנושאים שעליהם דיבנו מופיעה ברשימות הבאות שבאתר מר חשבון:

לצפייה ולהאזנה בתוכנית האינטרנטית המוקלטת:

להורדת מצגת המפגש

תוכן נוסף אפשר למצוא בעמוד המפגש ב-"עץ החשיבה".

אתם מוזמנים לשלוח תגובותיכם לשיחה, באמצעות התגובות כאן באתר מר חשבון, או באתר של שלומית, עץ החשיבה, וכמובן באמצעי הקשר הנוספים שבהם משיגים אותי (בטלפון, בדוא"ל, בגוגל+ ובפייסבוק). נענה בשמחה על השאלות.


* תודה רבה לשלומית על האירוח הידידותי, הנעים והביתי ותודה רבה למאות הנרשמים ולכל הצופים והמאזינים, אלה שהשתתפו באירוח החי ולאלה שעוד יצפו בהקלטה ושיאזינו לתוכנה.

המורה,


יום שלישי, 12 במרץ 2013

נפתחה ההרשמה לתכנית הנשיא לגילוי וטיפוח מדעני וממציאי העתיד של ישראל - תשע"ד


מתוך אתר משרד החינוך:

נפתחה ההרשמה לתכנית הנשיא לגילוי וטיפוח מדעני וממציאי העתיד של ישראל - תשע"ד

שלום רב,
בחודש פברואר 2013 נפתחה ההרשמה לתוכנית הנשיא לגילוי וטיפוח מדעני וממציאי העתיד של ישראל תשע"ד, המיועדת לתלמידות ולתלמידים מצטיינים בוגרי כיתה ח' בעלי יכולת לימודית גבוהה במיוחד עם נטייה למדעים ומתמטיקה, חשיבה יצירתית ומוטיבציה לעבודה מחקרית, אשר מחפשים אתגר נוסף מעבר למסגרות הלימודים הקיימות.
התוכנית הינה ארבע שנתית והתלמידים ישתתפו בה במקביל ללימודיהם במסגרת החינוך הפורמאלית. במהלך החופשות יפעלו התלמידים במסגרת סדנאות ומחנות באקדמיה ובתעשייה.



יום שבת, 9 במרץ 2013

ניסיתם לעזור לילד שלכם בשיעורי הבית בחשבון ולא הצלחתם? אתם לא לבד



ניסיתם לעזור לילד שלכם בשיעורי הבית בחשבון ולא הצלחתם? אתם לא לבד. הורים רבים בישראל עומדים נבוכים אל מול ספרי המתמטיקה • ינון מילס ניסה לעמוד על הכשלים של תוכנית הלימודים ביסודי וחזר עם תשובות אפשריות לשאלה מה משניא את המקצוע על התלמידים • הכתבה המלאה במגזין עם אושרת קוטלר בנגל. כתבתו של ינון מילס במגזין של אושרת קוטלר בערוץ 10. שודר ב-דצמבר 2010. כל מה שנאמר לא פחות נכון היום משהיה לפני כשנתיים.




בכתבה רואים שלושה ממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכולתלמה גבישרון אהרוני ו-משה ריין.


בכפר יונה התקיימה בשנה שעברה סדנה שבה הורים למדו במשך 15 מפגשים איך ללמד את הילדים שלהם נושאים שונים במתמטיקה של בית ספר יסודי. סדנאות נוספות בסגנון מתקיימות בכיתת "מר חשבון":


הנה קישור לרשימה של פרופסור רון אהרוני: כמה עקרונות הוראה ומדוע הורים צריכים להיות מעורבים בחינוך.

בנוגע לחומרי הלימוד יש חלופה לספרי לימוד מתחכמים ולחומרי לימוד לא ברורים: "מתמטיקה יסודית".

מי שמתעניין מוזמן ליצור קשר עם העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול בכתובת info.ifmail@gmail.comמידע נוסף אפשר למצוא באתר העמותה ובאתר "מר חשבון".


המורה,
שלמה יונה


כמה עקרונות הוראה ומדוע הורים צריכים להיות מעורבים בחינוך


פרופסור רון אהרוני ביקר בכפר יונה ונשא דברים בפני הורים של תלמידי בית ספר עמל שבאו לשמוע על החזון למרכז לימודי בהתנדבות. המאמר מביא את עיקרי דבריו.

כמה עקרונות הוראה ומדוע הורים צריכים להיות מעורבים בחינוך
פרופסור רון אהרוני, הפקולטה למתמטיקה בטכניון


מזה כמאה וחמישים שנים עובר עולם החינוך תהפוכות, בזו אחר זו. הרוב המכריע של ההורים, גם המשכילים והאכפתניקים ביותר, אינם מודעים לתהפוכות האלה. הם סומכים על מומחי החינוך, ועושים לילדם "שגר ושכח". 

כפי שאנסה להסביר להלן, מעורבות של ההורים חשובה ביותר. לטובתם של ההורים, של הילדים, ושל הקשר ביניהם. הורה צריך להיות מעורב. את המודאגים ארגיע מיד – מעורבות אינה התערבות במה שנעשה בכיתה, או פגיעה בסמכותו של המורה. פירושו קודם כל לדעת, ולעזור. 

הנה כמה עקרונות הוראה בסיסיים שיעזרו לכם לעזור לילדיכם. מי שבא ללמד בבית ספר יסודי מניח שעצם העובדה שהוא עצמו עבר את בית הספר היסודי מכשירה אותו ללמד. ולא היא – נחוץ לדעת איך מוחו של הילד עובד, וצריך להבין שאת עקרונות החשיבה שמעוגנים במוח שלנו קנינו בעמל ויגע, והם עדיין לא קיימים אצל הילד. מסיבה זו צריך ללמוד עקרונות ההוראה. הם לא מובנים מאליהם. 

שיטתיות - דירוג ופירוק
עקרון ההוראה הראשון הוא לימוד מדורג. פירוש הדבר הוא פירוק של המושגים, והוראתם אחד אחד. "הפרד ומשול". אין מלמדים שני עקרונות בבת אחת, ואין מדלגים על שלבים. אין בונים קומה על גבי קומה חסרה. כדאי לזכור: אם התלמיד אינו מבין משהו, אולי חסר לו שלב קודם? 

מוחשיות
לילדים אין מסבירים. הם צריכים לחוש את הדברים דרך הידיים. את מושג המספר לומדים דרך מנייה של עצמים. את השיטה העשרונית, שפירושה קיבוץ עצמים לעשרות (ואחר כך עשרות למאות ומאות לאלפים) צריך ללמוד דרך איסוף של  גפרורים לחבילות של עשרות, ואז איסוף של עשר חבילות כאלה למאה אחת, ואיסוף של המאות לאלף. 


המחשת המבנה העשרוני באמצעות קיבוץ גפרורים לעשרות, עשרות למאות, מאות לאלפים וכך הלאה...

ללמוד אותו דבר מכיוונים שונים
שבר אינו רק חלק מפיצה – לא רק לפיצה יש 2 שלישים. גם לקבוצה של 12 פרחים יש 2 שלישים, שמתקבלים מחילוק 12 הפרחים ל-3 – מתקבלת קבוצה של 4 פרחים, ואז חזרה עליה 2 פעמים (2 שלישים מ-12 הם 2 פעמים 4). כשמקבצים לעשרות צריך לעשות זאת בצורות שונות – בחבילות של גפרורים, בהקפת עצמים בעיגול. כשלומדים 3 פעמים 4, לוקחים 3 קבוצות של 4 כפתורים ומאחדים אותן, וגם עושים זאת בציור. 

ניסוחים מדויקים
ילדים, לא פחות ממבוגרים, ואפילו יותר מהם, זקוקים לניסוחים מדויקים של עקרונות. להסביר בדיוק איך מוצאים 2 שלישים מקבוצה של פרחים; בתרגיל 4=7-3 לומר שה-7 הוא מחוסר, ה-3 הוא המחסר, וה-4 הוא ההפרש. המילים הן עוגן לחשיבה. 

יש עוד עקרונות, למתקדמים, אבל אלו הם העקרונות הבסיסיים. 

למרבה ההפתעה, המהפכות החינוכיות שסיפרתי לכם עליהן ויתרו, כל אחת בתורה, על העקרונות האלו. כל המהפכות האלה מגיעות מעבר לאוקיינוס – כולן מתחילות בארצות הברית. למשל, מהפכת ה"מילים השלמות", שראשיתה בארצות הברית ב-1920, ועשתה שם שמות בהוראת הקריאה, ויתרה על עקרון הפירוק. במקום לפרק את הוראת הקריאה המילים לעיצורים ותנועות למדו מילים שלמות (גלים מן המהפכה הזאת הגיעו גם לישראל, למזלנו לא לזמן רב). מהפכת החקר שהתחילה בשנות ה-80 בארצות הברית ויתרה על עקרון השיטתיות. מהפכת ה"מתמטיקה החדשה" של שנות ה-60 ויתרה על עקרון המוחשיות. המעבר ללימוד בקבוצות, שמשמעו ויתור על דיון כיתתי, עם כיתה מלאה, ויתר על עקרון הניסוחים המדויקים. 

תרומתם של ההורים

מדוע הורים צריכים לדעת עקרונות הוראה? מהרבה סיבות. ידע כללי, הבנה מתמטית שלהם עצמם, חיבור לילדים, הבנה מה קורה עם ילדיהם. אבל יש עוד סיבה: הם יכולים לעזור. 

אומר כאן דבר שיישמע כסותר את הדברים האלו. דבר שהוא בעיני חשוב מאין כמותו: שינוי אמיתי בחינוך יכול לבוא רק מתוך המערכת. תרומות מן הצד הן משניות. העבודה החינוכית האמיתית נעשית בכיתה. 

אבל ההורים יכולים לתרום לאווירה החינוכית, לכיוון הכללי. האכפתיות שלהם והידע שלהם, אם ינותבו בצורה חיובית, ישפיעו על המערכת כולה. כל הורה שמבין מה קורה עם ילדו בבית הספר משפיע על המערכת. 

הדגם המוצע כאן נראה לי כמתאים מאוד לצורך הזה. מדובר בשיעורים שבהם דנים בנושאים של בית הספר, בצורה שונה, מעמיקה יותר, ללא לחץ זמן, עם אפשרות לדון במושגים בצורה מוחשית ומדורגת. מכך יצאו הילדים נשכרים, ולא פחות מכך ההורים. בסופו של דבר, הדבר יחולל שינוי גם בהוראה בתוך בית הספר.


רון אהרוני הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון, מחבר הספר חשבון להורים וממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.


למתעניינים:






בני 10 שחזקים במתמטיקה ירוויחו משמעותית יותר בגיל 30


בני 10 שחזקים במתמטיקה ירוויחו משמעותית יותר בגיל 30


אני כבר רואה הורים שחושבים שהנה, הם יכולים כבר עכשיו, כשהילדים ביסודי, להשפיע על רמת ההכנסה של ילדיהם באופן משמעותי אם רק יקפידו יותר על כישורי השפה והמתמטיקה של ילדיהם. אם מישהו חיפש עוד חיזוק לצורך בדגש על לימודי ליבה (שפה ומתמטיקה), אז הנה עוד חיזוק:

מחקר בריטי [להורדה]  שפורסם לאחרונה קובע כי בני 10 בעלי יכולות מתמטיות משמעותיות ירוויחו כ-7% יותר מאחרים בגיל 30.

מכון המחקר הבריטי IFS פרסם לאחרונה מחקר ותוצאותיו שמבוססים על קבוצה גדולה של ילידי 1970. במחקר נבדקו קשרים שבין יכולות במתמטיקה ובקריאה בגיל 10 לבין רמת ההכנסה שלהם בגילאים 30, 34 ו-38.

המחקר מראה כי:

  • ילד שהשגיו ממקמים אותו ב-15% העליונים בכתתו במתמטיקה בגיל 10 עשוי להרוויח בממוצע כ-7.3% יותר בגיל 30 מאשר ילדים זהים אשר השיגו רק הישגים ממוצעים במתמטיקה. תוצאות אלה נשארו עקביות גם כאשר נלקחו בחשבון לימודים נוספים של אותם נבדקים בהמשך חייהם. הבדל הכנסה זה חושב כהבדל של כ-2100 פאונד בריטי (כ-12,000 ש"ח) לשנה: עוד כ-1,000 לחודש.
  • כישורי קריאה הם חשובים ביותר גם כן, אולם במחקר לא היה ניכר הבדל משמעותי כמו שניכר במתמטיקה: תלמיד שבגיל 10 ממוקם ב-15% העליונים בכתתו בקריאה ירוויח בממוצע כ-1.1% יותר מתלמיד זהה אחר שכישוריו ממוצעים בגיל 30. 
  • נצפה קשר הדוק בין כישורי קריאה וכישורים מתמטיים בגיל 10.
מעניין מאוד שהתוצאות הללו הן לאחר ביטול השפעות של לימודים מצטברים נוספים בהמשך ורמה סוציו אקונומית -- ללא ביטוח השפעות אלה, ההבדלים גדולים עוד יותר.




המורה,
שלמה יונה

מדע בעם -- ביום הפאי -- יום המדע בישראל

אני ממליץ מאוד להגיע ולהאזין להרצאות, בנושאים שמסקרנים אתכם. קהל היעד הוא אמנם מבוגרים, אך אני מכיר לא מעט ילדים ובני נוער שיש להם עניין בנושא ושהם יפיקו תועלת רבה מהחשיפה:

המורה,
שלמה יונה



לרגל יום המדע הלאומי: המדענים יוצאים מהקמפוס ופושטים על הרחובות!

יוזמה חדשה של משרד המדע והטכנולוגיה "מדע בעם" מביאה את המדע אליכם: 
הרצאות מדע פופולריות לקהל הרחב באווירה נינוחה - על כוס קפה או בירה, בין יצירות אומנות במוזיאון או במנוחה מהשופינג, באוויר הצח של הפארק או אפילו בבית של המרצה!  

כל ההרצאות יתקיימו ביום הלאומי למדע שנקבע על ידי הכנסת ב- 14 במרץ 2013 - יום הולדתו של אלברט איינשטיין.

לבחירתכם - 120 הרצאות במגוון נושאים מדעיים, מפי מיטב המדענים והמדעניות משש אוניברסיטאות ברחבי הארץ. ההרצאות יתפרסו על פני מקומות ציבוריים בערים: רעננה, תל אביב, ירושלים, באר שבע, רחובות, רמת גן, פתח תקווה, ראשון לציון, גבעת שמואל ועוד.


ההרצאות יתקיימו החל מהשעה 17:00 על פי הפירוט של כל אוניברסיטה. משך כל הרצאה כ 30 עד 60 דקות. כניסה ללא תשלום*.

 האוניברסיטאות המשתתפות:  

* בברים ובבתי קפה ההרצאות ללא תשלום, אך הזמנת המזון והשתייה בתשלום על פי מחירי המקום. רצוי להזמין מקומות מראש.

יום שישי, 8 במרץ 2013

סיכום מפגש מועדון המתמטיקה והמדע


מתמטיקה: כינויים של מספרים שהם חזקות של 10, ואיך מבינים אותם, ומהי בכלל חזקה?
מדע: מהו אוקיינוס? סידור מקווי מים על פי גודלם, ו-מיקומם ושמותיהם של האוקיינוסים שעל פני כדה"א


מתמטיקה:
דיברנו על המבנה העשרוני, תכונות של המספרים בשיטה העשרונית, מה קורה בכפל ב-10, והתעכבנו על הקשר שבין כמה פעמים כופלים 10 בעצמו לבין כמות האפסים שמתקבלת במכפלה. כשהמכפלות הציקו לנו, השתמשנו בחזקה, שהיא כפל חוזר של אותה הכמות (בדומה לכך שכפל הוא חיבור חוזר של אותה הכמות). אז בשיעור בעצם התרכזנו בחזקות של עשר: בפרט ב-חזקות שהבסיס הוא 10 ו-שהמעריך הוא מספר טבעי.

שמות מספרים שהם חזקות של עשר:
עשר (10)



101
1




מאה (100): 10x10


102
2


אלף (1,000): 10x10x10


103
3


רבבה (10,000): 10x10x10x10


104
4


מאה-אלף (100,000): 10x10x10x10x10


105
5


מיליון (1,000,000): 10x10x10x10x10x10


106
6


עשרה-מיליון (10,000,000): 10x10x10x10x10x10x10


107
7


מאה-מיליון (100,000,000): 10x10x10x10x10x10x10x10


108
8


ביליון (1,000,000,000): 10x10x10x10x10x10x10x10x10 
-- יש פה שני סימני כפל במכפלה של אלפים -- 1,000x1,000x1,000 --  בי במובן של 2 (לשתי פעולות הכפל)


109
9


טריליון (1,000,000,000,000): 
-- יש פה שלושה סימני כפל במכפלה של אלפים -- 1,000x1,000x1,000x1,000
 --  טרי במובן של 3 (לשלוש פעולות הכפל)


1012
12


וכך הלאה:
ב-קוודריליון יש כבר 4 סימני כפל במכפלה של אלפים


1015
15


ב-קווינטיליון יש כבר 5 סימני כפל במכפלה של אלפים


1018
18
ב-סקסטיליון יש כבר 6 סימני כפל במכפלה של אלפים

1021
10
21

ואפילו דיברנו על 1 שאחריו 100 אפסים, ז"א על גוגול
10100
השתעשענו במשחקים של חישובים מהירים של כתיבה מקוצרת של המספרים הללו ושל הכתיבה על פעולות חשבוניות של כפל וחילוק בעשר שלהן.
דיברנו גם על הכינוי של מעריך 2 בשם -"בריבוע" -- מהיכן הכינוי ומדוע זה הגיוני (מחישובי שטח של מלבן ומשם לריבוע ושם הבנו.


מדע:
בחלק של המדע דיברנו על מהו אוקיינוס. [אני ממליץ מאוד לתלמידים לקרוא ביחד עם ההורים את הערך "אוקיינוס" בויקיפדיה, ואפילו באנציקלופדיה נוספת, אם יש בבית -- ולדבר על מה שזכור מהשיעור ועל דברים אחרים שטרם דיברנו עליהם]. ראינו אותם על מפת העולם. הזכרתי שמפות עולם שאנו רגילים לראות הן בעצם ואפילו הזכרתי קצת שמפת העולם על גבי גלובוס כנראה יותר מתאימה למציאות מאשר מפה בהיטל גלילי (מרקטור) או פשרה (היטל רובינסון) והצעתי לתלמידים לנסות לעטוף כדור טניס באמצעות גליון נייר בצורת מלבן ולהיווכח בעצמם...
ישנן הטיות והטעיות רבות כשמטילים את מפת העולם שלא על כדור: קראו את הרשימה המרתקת שעוסקת בנושא.


למתעניינים: אתר כרטוגרפיה:
היטלים גליליים נוצרים על ידי כריכתו של משטח גדול (לדוגמא גיליון נייר גדול) סביב הגלובוס לכדי צורת גליל. הנקודות על הרשת העולמית מועברות לגליל אשר נפרש מחדש לאחר מכן למישור שטוח. מבט משווני הוא "המבט הנורמלי (כיוון ההסתכלות הרגיל)" בהיטלים אלו. השימוש האופייני במשפחת היטלים זו הוא לייצוג העולם כולו (מפות עולמיות). כאשר מוקרן (מקור האור נומוני) ממרכז כדור הארץ במבט רגיל, הרשת האופיינית להיטלים גליליים תופיע כקווי רוחב וקווי אורך ישרים וניצבים זה לזה. המרווחים משתנים בהתאם לסוג ההיטל הגלילי. היטלים גלילייםשומרי צורה (קונפורמיים) משמשים גם למיפוי טופוגרפי בקנה מידה גדול, מאחר שהם מאפשרים מדידת זוויות ומרחקים.