בעיה מילולית בשברים: מציאת חלק משלם והגישה התיווכית בחינוך מתמטילפנינו בעיה מילולית שלקוחה מתוך מכינה לתלמידים מצטיינים בוגרי כתה ו' לקראת השתתפות בכיתת מופ"ת בכתה ז', כשלמעשה רמת השאלה והפתרון מתאימים כבר לכיתה ד' או ה' לפי תוכנית הלימודים.
משקלה של צנצנת עם דבש הוא 2 ק"ג. משקל הצנצנת הוא 2/23 ממשקל הדבש. מה משקלה של הצנצנת?
איך לגשת לבעיה שכזאת? מה מהלך הפתרון?
הנה הצעה:
קודם כל קוראים בעיון, אוספים נתונים בצורה שיטתית ומוודאים שמבינים נכון על פי ההקשר כל מילה, כל מושג וכל משפט.
הנה הנתונים שאספנו וכמה מסקנות:
- בבעיה מוצג שלם, צנצנת עם דבש, וחלקיו, הצנצנת והדבש.
- הצנצנת עם הדבש שוקלת 2 ק"ג, ברוטו: זה השלם.
- הצנצנת לבדה היא הטרה.
- הדבש לבדו הוא הנטו.
- משקל הטרה (הצנצנת לבדה) נתון כחלק מתוך שלם אחר: מתוך משקל הנטו (הדבש לבדו). את זה הסקנו משום שהיחס שמתאר את החלק שמהווה משקל הצנצנת, נתון מתוך משקל הדבש לבדו, זאת אומרת שמערכת ההתייחסות שלנו היא משקל הדבש לבדו. מילית היחס מ- רומזת לנו שהביטוי שבא אחריה ("משקל הדבש") יהיה נקודת המוצא שממנה נחשב את החלק, 2/23.
- אם משקל הצנצנת הוא 2 יחידות משקל מתוך 23 יחידות משקל של הדבש, אזי משקל הדבש הוא 23 יחידות משקל. לפיכך, משקל הצנצנת והדבש ביחד הוא 25 יחידות משקל (2 יחידות משקל + 23 יחידות משקל).
- אם כך, 2 ק"ג מהוות 25 יחידות משקל.
- כדי למצוא מה המשקל בק"ג שמתאים ל-2 יחידות המשקל שמתארות את משקל הצנצנת לבדה נחלק את 2 הק"ג ב-25 כדי לקבל מה הערך ב-ק"ג של יחידת משקל אחת, ואת התוצאה נכפול ב-2 משום שהצנצנת שוקלת 2 יחידות משקל שכאלה.
- קיבלנו שמשקלה של הצנצנת לבדה, הטרה, שוקלת 4/25 (2 פעמים 2 ק"ג לחלק ל-25: 2x2/25=4/25)
אם כך, התשובה היא שמשקלה של הצנצנת הוא 4/25 ק"ג.
בתיאור שלעיל ישנם כמה מושגים מהותיים שראוי שניתן עליהם את הדעת, וביניהם:
- ייצוג פנימי
- נקודת מוצא
- מערכת התייחסות
- שלם וחלקים
- יחס (במובן קשר)
- יחס (יחס מתמטי -- במובן של קשר של כפל או של חילוק)
- יחידת מידה
שלם וחלקיו
אחת הבעיות הקשות ביותר להבנה היא מציאת השלם על פי חלקו. מספר יכול לשמש כחלק משלם או כשלם עצמו, תלוי בטיב הנתונים ובמערכות היחסים שביניהם: בבעיה שלנו משקל הדבש לבדו, הנטו, משמש כחלק משלם (הצנצנת עם הדבש, הברוטו) אבל גם כשלם עצמו, כשביחס אליו נתון המידע שקשור למשקל הצנצנת לבדה, הטרה. הפותר חייב לאתר באמצעות נתוני הבעיה את מערכת ההתייחסות המתאימה. לשם כך עליו להפעיל חשיבה ממיינת . לאחר הפעלת האופרציה המנטלית הזאת על הפותר לקבוע את תפקידו של המספר (בבעיה שלנו, השבר, 2/23) בתוך מערכת ההתייחסות.
לצורך הבהרת המשמעות הלוגית והחשיבות של הבנת הנושא של מערכת ההתייחסות בתהליך הפתרון נשווה שתי בעיות דומות זו לזו , שעל ידי ההבחנה שֶמַּקְנֶה לנו שִיּוּכן למערכות התייחסות שונות, נוכל לפתרן. הנה דוגמה עם המספר 972:
בעיה א':
972 תרנגולות גדלו במושב. 2/9 מהן נמכרו. כמה תרנגולות נמכרו?
הפתרון:
בבעיה זאת השלם, שהוא הגודל היסודי, הוא 972. בתור השלם יש בו 9/9 , לכן חילוקו ב – 9 ייתן לנו את מספר התרנגולות שמכילה תשיעית אחת מכלל התרנגולות. כאשר יודעים כמה תרנגולות יש בתשיעית אחת, נכפול את כַּמּוּתן ב – 2 ונקבל כמה תרנגולות יש בשתי תשיעיות.
בעיה ב':
972 תרנגולות שגדלו במושב נמכרו. כמה תרנגולות גדלו במושב אם נמכרו 2/9 מכלל התרנגולות?
הפתרון:
המספר 972 אינו הגודל היסודי.
הגודל היסודי, שהוא מספרן של כלל התרנגולות שגדלו במושב, הוא גודל שלא נתון לנו ואף על פי כן הוא זה שיוצר את מערכת ההתייחסות שלנו – הוא השלם שאנו מטפלים בתשיעיות שלו – ביחס אליו. כאן טמון הקושי האמיתי בהבנת הסוג הזה של הבעיות.
972 מכיל בתוכו 2 תשיעיות מהגודל היסודי, לכן יש לחלק את 972 ב – 2 כדי למצוא ערכה של תשיעית אחת. ללומד קשה להבין למה מחלקים מספר ב – 2 כדי לקבל תשיעית ולא ב – 9. החילוק ב– 2 נובע מהעובדה שאנחנו מחפשים ערכה של תשיעית אחת מהגודל היסודי ולא מהחלק הנתון. החלק הנתון אינו מכיל 9 תשיעיות .
לאחר חילוק ב – 2 ומציאת ערכה של תשיעית אחת נוכל לכפול את ערך התשיעית ב – 9 כדי למצוא ערכן של 9 תשיעיות.
הנושא של מערכת התייחסות מלווה את הלומד גם בגיאומטריה וגם בענפים אחרים של המתמטיקה.
העוסק בהוכחה בגיאומטריה משייך אותה למערכת המתאימה, למשפט המתאים, וכך הלאה. למשל, הוכחה של חפיפת זוויות יכולה להיעשות במערכת ההתייחסות של חפיפת משולשים, והיה ולא הצליח הפותר לפתור את הבעיה במערכת הזאת הוא יכול לפנות לישרים מקבילים והיה ולא מצא שם את המשפטים שיסייעו בידו הוא יכול לפנות למערכת ההתייחסות שעניינה זוויות במעגל ומשם לפרופורציות ולדמיון. פתרון בעיות מתמטיות מצריך לעיתים חיפוש מערכת התייחסות חדשה המצויה בענף אחר של המתמטיקה, למשל הוכחה גיאומטרית במסגרת של גיאומטריה אנאליטית או טריגונומטריה.
מהו יחס?
יחס הוא קשר לוגי וענייני שניתן למצוא או ליצור בין עצמים, פעולות, מושגים, רעיונות, מצבים, אנשים, תורות למיניהן וכל נושא שיש לו זיקה לנושאים אחרים.
מושג היחס משתרע החל בנושאים מוחשיים, כמו מיקומו הפיזי של האדם ביחס לעצמים בחדר, וכלה בנושאים מופשטים, כמו היחסים בין מגמות פילוסופיות שונות.
הבנת מושג היחס הוא תנאי הכרחי להבנה של תהליכים לוגיים, חברתיים ואמוציונליים. בעיסוקינו כאן, בחשבון, הבנת המושג יחס היא הכרחית להבנת משמעויות השבר ולפתרון מתוך הבנה של בעיות עם שברים.
מהי מערכת התייחסות?
מערכת התייחסות היא המסגרת הלוגית והעניינית שבתוכה מקבלים המושגים ומערכות היחסים ביניהם את משמעותם. היא מחייבת את העוסק בה להתייחס לנתונים שבידו אך ורק על בסיס היחסים שהם מקיימים עם יתר הפרטים הכפופים לחוקיה.
בבעיה שלנו חשוב לנו להבין מי השלם ומי החלקים של השלם. חשוב לנו גם להבין שההתייחסות למשקל הצנצנת לבדה הוא במערכת ההתייחסות של משקל הדבש, ז"א במערכת שבה השלם הוא משקל הדבש לבדו ואילו משקלה של הצנצנת לבדה מתואר ביחס אליו.
דוגמאות למערכת התייחסות בחיים ובחשבון
"פעם, בימי נערותי, בעת טיול בצפת עליתי לאוטובוס. אחרַי עלו שתי נשים; אחת מהן הושיטה לנהג שטר כסף והורתה "פעמיים נס-קפה" "
התנהגותה של הנוסעת – תמוהה. הזמנת נס-קפה בעת העלייה לאוטובוס בוודאי שאינה במקומה. הזמנת פעמיים נס-קפה בתוך מסגרת התייחסות בלתי הולמת מעוררת גיחוך.
הכותב משייך את מעשיה של הנוסעת למערכת ההתייחסות המתאימה בהמשך דבריו. כך הוא מסביר את כוונותיה ואת התקשורת בינה לבין הנהג:
"למזלי נזכרתי כי בעיר ממוקם בית חרושת לנס-קפה, שאילולא כן הייתי חושב כי בעיר האמנים והמקובלים נוהגים בצורה לא מקובלת."
ההסבר מעתיק את מערכת ההתייחסות מבית-קפה לבית-חרושת ואמירתה של האישה מקבלת משמעות התואמת למצב. בתיאור המקרה הסתמך הכותב על ידע אישי שסייע בידו להבין את המתרחש. צבי צלמון מתאר מצב נוסף שבו נראו לו הדברים תמוהים ובלתי תואמים למציאות:
"לפני זמן מה, במונית שהסיעה אותי ברחובות ירושלים, נזכרתי בכך. ממכשיר הקשר בקעה השאלה: " איך אני מגיע לצפת? דרך באר שבע?" לפני שהספקתי לפרוץ בצחוק בקעה תשובה נחרצת מן המכשיר: " כן, מבאר-שבע אתה פונה למצפה-רמון ומשם שמאלה לצפת". לא, התאריך לא היה – חזרתי ובדקתי – היום שאחרי ה – 31 במרס. לא נותרה לי ברירה אלא להניח שבירושלים יש סמטאות הנושאות שמות מנוף המולדת."
בתיאור המקרה השני הגיע העורך מצרוף הפרטים והבנת היחסים ביניהם אל הבנת מערכת ההתייחסות של הנהגים ומכאן למשמעות השמות והיחסים ביניהם.
במערכת ההתייחסות הארצית פנייה שמאלה ממצפה רמון בוודאי שלא תוביל אותנו לצפת, והיא גם חסרת משמעות כי היא תלוייה במערכת שנוצרת בשעה שאדם נע בכיוון מסויים. במערכת ההתייחסות של הנהגים הירושלמיים לא זו בלבד שהשמות – האובייקטים - אינם שייכים ליישובים בארץ , גם מערכת היחסים ביניהם מוכתבת על ידי ייחוסם למערכת הירושלמית. משיחת הנהגים משתמע גם שהסמטאות הן חד סיטריות, לכן כיוון הנסיעה מובן מאליו במערכת הספציפית הזאת.
במתמטיקה למערכת ההתייחסות חשיבות ראשונה במעלה
לצורך הבנת ההשלכות על המתמטיקה נשווה שתי בעיות בתחום החיבור והחיסור ושתי בעיות בתחום היחסים בין השלם וחלקיו.
בעייה א':
יעל מרוויחה ב – 542 ש"ח יותר מענת. יעל מרוויחה 5621 ש"ח. כמה כסף מרוויחה ענת?
הפיתרון:
יעל היא נקודת המוצא היא מרוויחה 5621 ש"ח.
אם יעל מרוויחה יותר מענת , ענת מרוויחה פחות מיעל, כי משכורתה של יעל משמשת נקודת מוצא. החישוב נעשה ביחס ליעל. היא קובעת את טיב היחס ומכאן שהיא מערכת ההתייחסות.
התרגיל:
5079 = 542 - 5621
שינוי קל בנתוני הבעייה ישַנֶּה את מערכת ההתייחסות:
בעייה ב':
יעל מרוויחה ב – 542 ש"ח יותר מענת. ענת מרוויחה 5621 ש"ח. כמה כסף מרוויחה יעל?
הפיתרון:
בבעייה ב' מערכת ההתייחסות היא ענת, לכן התרגיל המוביל לפיתרון הוא:
6163 = 542 + 5621
בשתי הדוגמאות שלעיל נקודת המוצא הפכה להיות מערכת התייחסות.
יחידת מידה
יחידה היא כמות מאורגנת. יחידת מידה היא כמות מאורגנת שמשמשת אותנו למדידה.
סיכום
ראינו בעיה מילולית בשברים שעוסקת במציאת החלק מהשלם. ישנם מספר קשיים שמתעוררים בעת נסיון פתרון הבעיה והם קשורים בתהליכי חשיבה שקשורים למושגים חשובים ובסיסיים. הגישה התיווכית להוראת המתמטיקה בונה תהליכי חשיבה אלה אצל התלמידים ומביאה את התלמידים למודעות על אודות תהליכי החשיבה שלהם.
מסקנה
כאשר בשלב מוקדם של הלימוד הילדים רואים כיצד מצבים שונים מובילים לאותו הפתרון וכיצד אותו התרגיל מייצג בעיות שונות הם מסוגלים לגשת לפתרון בעיות מגוונות ביעילות, בביטחון ומתוך הבנה.
פתרון טכני של תרגילים אינו העיקר. זה אמנם חשוב ושימושי, אבל מחשבונים ומחשבים עושים זאת במהירות רבה יותר, ביעילות רבה יותר וללא טעויות. אין להזניח את המיומנות החשובה ביותר שהיא היכולת לקבל בעיה בשפה טבעית ולתרגם מעברית לחשבון מתוך הבנה של מהו מידע עודף ושאינו רלוונטי ומה המידע הנחוץ ואיזה מידע חסר ומשם להבין מהו התרגיל או מהי סדרת התרגילים שיש לנסח ולפתור כדי להגיע לפתרון (או לידיעה שיש יותר מפתרון אחד או שאין פתרון) . לעיתים יש יותר מדרך אחת לפתור ואז יש צורך להעריך מהי השיטה היעילה בהקשר שתביא לפתרון טוב ומוצלח. תלמידים צריכים ללמוד לחשוב. תלמידים צריכים להיות מסוגלים גם להמציא בעיות מתאימות ולפתור אותן.
הגישה שבאה לידי ביטוי ברשימה הזאת היא הגישה התיווכית להוראת המתמטיקה.
- סדנה להורים: ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי
- סדנה להורים: פיתוח חשיבה ואוריינות מתמטית לילדים בגיל הגן
- סדנה להורים: מתמטיקה של חטיבת הביניים
כדי ללמוד וכלי ללמוד איך ללמד שברים בגישה התיווכית באופן זה אני ממליץ מאוד להשתמש בחומרי הלימוד של תלמה גביש ובפרט, ב-ספר המורה וב-ספר התלמיד שזמינים באופן חופשי ובחינם באינטרנט.
