יום ראשון, 30 בדצמבר 2012

כפל וחילוק בשיטת החקר


כפל וחילוק בשיטת החקר

שיטת החקר בהוראת המתמטיקה, שנפוצה מאוד בארה"ב, היא הגישה השולטת בהוראת המתמטיקה גם בבתי הספר היסודיים בארץ כבר שנים רבות.  ברעיונות הבסיסיים של השיטה היא שהתלמידים יגלו בעצמם חוקיות תחת שילמדו את הבסיס באופן מסודר. כפועל יוצא במקום ללמד באופן מסודר ולעומק אלגוריתמים יעילים לחישובי כפל (מה שאנו מכנים בארץ כפל במאונך) ולחישובי חילוק (מה שמכונה חילוק ארוך) משמיטים את ההוראה שלהם או מחליפים אותם באלגוריתמים אחרים שהם יעילים פחות או שאינם נכונים תמיד (לא תמיד עובדים).

בסרטון הבא אפשר לראות דוגמאות של האלגוריתמים היעילים של הכפל (כפל במאונך) ושל החילוק (חילוק ארוך) מול שיטות לפתרון או של אלגוריתמים שמופיעים בספרי לימוד בשיטת החקר.

אם אתם הורים שחושבים ששליטה במיומנויות חישוב של כפל ושל חילוק היא הכרח בחינוך המתמטי של ילדיכם כדאי לבדוק כיצד מלמדים בבית הספר היסודי שבו לומדים ילדכם מה מלמדים (ומה אין מלמדים) ומה הגישה השולטת ולהסיק מסקנות.




הנה הקישור לווידאו:


כמה הערות על מה שרואים.
אני מסכים שיש ערך רב להוראת אלגוריתמים יעילים שעובדים תמיד, לצד הבנה מדוע הם עובדים וכיצד הם עובדים. בשיטת "מתמטיקה יסודית", למשל, יש דגש רב לא רק בהוראת האלגוריתמים הללו, אלא גם בהבנה מעמיקה כיצד הם עובדים ומדוע הם יעילים.

אני חייב להודות, יחד עם ההזדהות הרבה שיש לי עם הטענות ועם המסקנות של הגברת שמציגה בסרטון, יש לה, למציגה בעצמה, לא מעט בעיות בדידקטיקה. הנה שלוש דוגמאות:

1. כתיבת הספרות אינה באופן שיש ללמד תלמידים לכתוב (ראיתם כיצד כותבת המציגה את הספרה שמונה, למשל?).
2. על הלוח יש באופן כמעט מתמיד משוואות מתמטיות שגויות. הן נובעות מפתרון מקומי של תרגיל כפל ואז חיבור של תוצאות קודמות לתרגילים פתורים -- מה שמקבלים זה לוח מבלבל ושגוי שמלא במשוואות שאינן מאוזנות.
3. בחלק מתרגילי הכפל והחילוק כתיבת התוצאות בתרגילי הביניים הייתה כך שספרת האחדות גלשה למקומה של ספרת העשרות. לפחות פעמיים המנחה בעצמה כמעט וטעתה בגלל זה בסכימה.

הבנה, ידע ושליטה במספר אסטרטגיות שונות לפתרון תרגילים זה דבר רצוי מאוד ומאפשר לתלמידים גמישות כאשר הם יכולים להפעיל שיקול דעת מהי האסטרטגיה המתאימה והיעילה לפי ההקשר. אין לבלבל את ריבוי הדרכים לפתרון והוראתן באופן שיטתי ומסודר עם הוראה מבולבלת ומסרים סותרים לתלמידים.

אז כדי להבין איך כן אפשר וכדאי ללמד נושאים שכאלה, אני ממליץ מאוד לקרוא בעיון את המאמרים הבאים שיסבירו היטב מדוע בכלל ללמוד וללמד חילוק ארוך וגם לא מעט תובנות על איך ללמד את זה:

מערכי שיעור מתוך ספר המורה של תלמה גביש בנושא החילוק הארוך:



המורה,

מבט-על על גישות שונות לחינוך מתמטי




בנייר העמדה מוצגות הגישות השונות להוראת מתמטיקה בעולם. 
עבור כל אחת מהגישות מוצגת הערכה שלה. בהמשך מוצגות בעיות ייחודיות לישראל.
לבסוף מוצגת הדרך שבה מציעה העמותה להתמודד עם הבעיות.


מבט-על על גישות שונות לחינוך מתמטי




כדי להבין את מצב החינוך המתמטי בישראל יש להבין את הגישות השונות לחינוך היסודי, כי הוא שקובע, בסופו של דבר, את רמת ההצלחה בהמשך הלמידה.

הגישה המזרח אירופית
ריבוי תרגילים מוביל לשליטה חישובית. ההבנה, אם תגיע, תנבע מכך.
הערכה:
גישה טכנית.
לפעמים תלמידים טובים מפיקים מהשליטה תועלת. רוב האוכלוסיות נכשלות.

גישת החקר
הנאה מהמקצוע תוביל לשליטה וליצירתיות. הלימוד הזדמנותי. השיטתיות אינה חשובה. חשוב ריבוי פתרונות.
הערכה:
ריבוי דרכי פתרון מבלבל את הילדים, מונע שליטה בחישובים, אינו מותיר זמן לעבודת עומק על תהליכי חשיבה.
נכשל בארה"ב ודרדר את הישגי המדינות שנהגו לפי שיטה זו . מרבית הלומדים אינם שולטים במיומנויות בסיס.

גישת הבדידים
מודלים לפתרונות במקום לימוד ישיר ופשוט.
הערכה:
לימוד טכני מנותק משמעות.
אפשר לזקוף את ההידרדרות ברמת המתמטיקה להפעלה הגורפת של הגישה הזאת על מרבית בתי הספר בישראל במשך שנים רבות. מרבית המורים למתמטיקה למדו בצעירותם לפיה.
[משמעות פירושה: הקשר למציאות.]

הגישה התיווכית
דגש על שיטתיות, התעמקות בתהליכי חשיבה, בניית מבני חשיבה ופיתוח הבחנות דקות, פיתוח שפה, עקביות, מודעות לתהליכים, גמישות לפי צרכי האוכלוסייה, השפעה על כל האישיות של הלומד.
[תיווך הוא תהליך אינטראקטיבי בין הלומד למלמד שמטרתו בניית מבני חשיבה, הרגלי למידה  ופיתוח היכולות הפוטנציאליות של הלומד. ]
הערכה:
מחנכים למחשבה ולמודעות לתהליכי החשיבה עם יכולת ליישמם בתחומים שונים, בנוסף למתמיטקה. ההשפעה החיובית היא הרבה מעבר למקצוע המסויים הנלמד.
בניית תהליך תיווכי מצריכה זמן של תיווך שעלול להיות על חשבון כמות החומר הנלמד. יותר עומק, פחות כמות חומר.
הכשרת מחנכים והפיכתם למתווכים ממושכת ומורכבת , בנוסף לידע המתמטי הנדרש.

מבט-על על גישות דידקטיות


עבודה פרטנית
לכל תלמיד יש תיק אישי, ההתקדמות אינדיבידואלית.
הערכה:
אי אפשר לקיים תהליך תיווכי ללא מארג תיווכי. לאינטראקציה בין הלומדים לבין עצמם יש משקל רב בעיצוב החשיבה, בנוסף לחינוך לפתיחות.  המחנך אינו יכול להגיע לכל ילד. ניתן להפעלה במקרים חריגים ועם הרבה תמיכה של המחנך.
[מארג תיווכי הוא תהליך של דיון של כלל התלמידים. המחנך והתלמידים מלמדים זה את זה ומגיבים זה לתשובות זה.]

עבודה בקבוצות
הכיתה מחולקת לקבוצות לכל אחת מהן יש משימה כלשהי . המורה עוברת מקבוצה לקבוצה, בודקת את התקדמותה ומעירה הערותיה.
הערכה:
לא יכול להתפתח דיון קבוצתי – תיווכי . המורה אינה מסוגלת להיכנס לתהליכי חשיבה של כל קבוצה. יש מקרים רבים שהיעדר יד מכוונת מאפשרת אינטראקציה שלילית בתוך הקבוצה , למשל, כשילד דומיננטי אחד משתלט עליה מבלי שהמורה חשה בכך.
שיטה זו נכשלה בבריטניה.  

עבודה במליאה
כל הכיתה לומדת בצוותא אותו נושא באותו עמוד בספר. התלמידים המתקדמים מסבירים את התהליכים ואילו המתקשים משתלבים בביצוע.
לדוגמא: מוצגת בעיה שמובילה לתרגיל כמו = 59 + 83
בידי הילדים פריטים המאוגדים בעשרות ובאחדות בודדות.
המתקשה מציג לפני חבריו את הפריטים ותולה אותם על הלוח. המתקדם מראה את תהליך ההמרה. המצטיין נרתם להסברת פתרון הבעיה.
הערכה:
דורש הכשרה מיוחדת ומעמיקה של המורים.
במקומות שבהם מורים הצליחו להשתלט על התהליך התיווכי, ההישגים היו מעל ומעבר לממוצע, גם בארץ וגם בעולם.
[כדי ללמוד כיצד לתווך מסתמכים על העשרה אינסטרומנטלית של פוירשטיין המתורגמת לעשרות שפות. בנוסף, יש ליישם את עקרונות התיווך בהוראת המתמטיקה.]

מסקנות:
המפתח לקידום החינוך המתמטי תלוי בטיבו של התיווך וזה תלוי בהכשרת המורים.

בעיות ייחודיות לישראל


דמוגרפיה
בישראל יש מפגש של תרבויות שונות. השונות הדמוגרפית כל כך רבה שהיא דורשת מערכת גמישה, הנוגדת את המבנה הצנטרליסטי של משרד החינוך.

פוליטיקה
אי היציבות של המערכת הפוליטית אינו מאפשר מהלך עקבי, ההוראות מתחלפות לפי הצוות החדש, תכניות הלימודים וההנחיות מתחלפות לעיתים מזומנות. פתרונות אדמיניסטרטיביים רק מעצימים את הבעיה. אוכלוסיות חזקות מחפשות פתרונות מחוץ למערכת והפער הסוציאלי-תרבותי גדל.
כך נסללת הדרך לאופנות ולכוחנות ואף להפעלה של תכניות של אינטרסנטים הקרובים לצלחת.

יחסי משרד החינוך והמערכת החינוכית
מערכת החינוך שאמורה להיות קשובה לצרכים ואף מנסה לפתור אותם באופן צנטרליסטי – מנותקת מהמציאות. לדוגמה: המיצ"ב שמטרתו היתה טובה הפך למטרה להכנה לקראתו ואף להונאות , כמו סילוק תלמידים חלשים מהמבדק.
שונות תרבותית וצנטרליזם הם שני תהליכים מנוגדים היוצרים נתק וחוסר אימון בין משרד לבין אנשי השטח , לדוגמה: החלת תכנית הלימודים לחטיבת הביניים על כל בתי הספר בישראל, למרות הביקורות הקשות.
דוגמה נוספת: יש מדריכים מחוזיים מטעם משרד החינוך שאינם מכירים את כל השיטות ויש להם אינטרס להנחות רק בשיטה היחידה שאותה הם מכירים.
אנשי משרד החינוך נכנסים בדרך הטבע למיגננה, שלא בטובתם ולא בטובת הציבור.

מבנה הוועדות למיניהן
יש וועדות מקצוע, וועדות לאישור ספרי לימוד , יש מפקחים, מדריכים איזוריים ורפרנטים, ועוד ועוד. המבנה כל כך מסורבל שהמגע עם משרד החינוך יוצר תסכול ואי אימון הדדי.
בוועדות יש רוב מוחלט לאנשי אקדמיה שבחלקם הגדול לא היו מעולם מורים בפועל.
אי שיתוף מורים בפועל בצורה משמעותית בוועדות מגביר את הנתק והניתוק.
לדוגמה: במשך עשרות שנים היו הוראות מפורשות לא ללמד כתיב נכון ולא לתקן שגיאות כתיב "כדי לא לפגוע באישיותו של התלמיד" התוצאה היתה פגיעה קשה בשפה. גם המתמטיקה נפגעה מכך, מי שאין לו שליטה בשפה אין לו גם כלים להבנת המתמטיקה, שגם היא שפה.

מעמד המורים
מעמד המורים נחות ולא רק בגלל משכורתם הנמוכה, אלא גם בגלל הפיכתם לשק החבטות של החברה בישראל. יש נשירה מתמדת של מורים טובים. בזמן האחרון חל שיפור מה בבעיות המשמעת הקשות, שחיבלו ביכולת ללמד. החלום של המורים הטובים ובעיקר במתמטיקה ומדעים הוא כיצד להימלט מהמערכת מהר ככל האפשר.
חלק מהמורים למתמטיקה הם יוצאי ברית המועצות לשעבר  שאינם שולטים בשפה העברית  וההוראה שלהם לקוייה מבחינה שפתית.
אנו חושבים שחיזוק מעמד המורה יכול להיות על ידי ייצוגם המשמעותי בוועדות המקצוע, כשתפקידם של אנשי האקדמיה, שאינם מורים בפועל, הוא רק הכוונה למתמטיקה נכונה.

המסגרות החינוכיות ותכניות הלימודים
המעברים גן – יסודי – חטיבת ביניים – חטיבה עליונה מחייבים הקפדה על רצף חינוכי, במיוחד במקצוע המתמטיקה. יש נתק בין הוועדות המטפלות בגן ובין אלה המטפלות ביסודי ובינם לבין אלה המטפלות בחטיבת הביניים ובעל-יסודי. הנתק הזה יוצר משברים אצל התלמידים וגורם לנשירה מהתוואי המתקדם של הוראת המתמטיקה. בתכניות הלימודים במסגרות האלה נוצרים "חורים" ענקיים. אי התיאום הזה גורם לכשלונות  ולנטישה של המגמות המדעיות למיניהן.
לדוגמה: בוגרי מערכת החינוך הישראלי לא יידעו כמעט בכלל דבר על תכונות המעגל ועל בניות באמצעות סרגל ומחוגה.
תלמיד שיידרש לפתור בעייה על בסיס יידע כזה – ייכשל. את הכשלונות שלנו לאחרונה באולימפיאדות המתמטיות אפשר בקלות לזקוף לחורים בידע הבסיסי, שהרי הניגשים לאולימפיאדות אלה הם טובי תלמידינו.

הקצאת תקציבים
תוצאות חינוך  ניכרות לאחר שנים רבות, עם זאת ניתן לבדוק גם תוצאות מיידיות.
בדרך הטבע, הוזרמו במשך השנים כספים רבים לצורכי החינוך המתמטי לגופים הגדולים, אך איש לא דרש מהם דין וחשבון על אחריותם לכשלונות או להצלחות. לדוגמא: לתכנית "מח"ר 98 " הוזרמו תקציבי עתק במונחים ישראליים והם העברו לידיהם של אותם אנשים שגרמו לכשלונות ובכך רק חיזקו את הכשלונות והעמיקו אותם.   

אז מה אנו מציעים?

במצב המורכב הזה אנחנו מציעים:
  • בניית רצף חינוכי החל בגן וכלה בסוף התיכון, על בסיס הגישה התיווכית.
  • מתן יד חופשית יותר לביצוע ובניית הרצף הזה.
  • דגש על הקניית השפה המתמטית המבוססת על השפה הדבורה.
  • התמקדות בהכשרת קבוצות גדולות של מחנכים בכל שכבות הגיל.
  • יצירת תכניות לימודים אלטרנטיביות שתהיינה בזיקה כלשהי לתכנית הממלכתית, אך לא בכפוף לה.
  • יד חופשית בבדיקת התוצאות המיידיות , אם אפשר בידי גופים אובייקטיביים שקרן כלשהי תממן. [בדיקת תוצאות ארוכות טווח תיעשה בנפרד וללא לחץ על המחנכים והלומדים.]
  • שימוש באמצעים של הוראה מקוונת להכשרת מורים לתיווך, להוראה שונה של מתימטיקה.
  • אנחנו רואים בהכשרה של המורים מפתח לשינוי בר – קיימא ואיתור מורים מובילים שימשיכו את התהליך.  
התרומה שלנו יכולה להיות בכך:
  • שיתאפשר לנו ליצור ספרי לימוד חדשים מקוונים על בסיס הגישה התיווכית  החל ביסודי [ אנחנו בתחילת דרכנו לפתיחת תהליך כזה בגנים. ]
  • ספרי הלימוד וההדרכה יהיו פתוחים לקהל הרחב בחינם, לכל נושא תלווה הנחייה, ולכל מספר עמודים יוצג סרטון קצר שילווה את התהליך.
  • אנחנו זקוקים למידה מסויימת של חופש תחת הגג של תכנית הלימודים, למשל, הכנסת מדידות של זווית, או וויתור על סימטרייה סיבובית בכתה ג'. 
  • במהדורה מקוונת ניתן יהיה להתייחס למצטיינים ולמתקשים. 
  • אנחנו מאמינים שקודם כל צריך להתמקד בהכשרת המחנכים, כולל הורים, מדריכים ואנשי חינוך שונים. 
  • צריך לבנות תשתית מעמיקה עם הרבה הדגמות כך שאפשר יהיה להוביל שינוי עומק תרבותי.

שלבים הכרחיים בפיתוח התפיסה המרחבית





שלבים הכרחיים בפיתוח התפיסה המרחבית


התמצאות במרחב דרושה לילדים בתחומים רבים. פגימה כלשהי בתפיסה המרחבית מונעת במישרין מהילדים את ההצלחה במתמטיקה ובתחומים אחרים. יש דוגמאות רבות להשפעתה המזיקה של פגיעה כזאת, הנה שתי דוגמאות:
  • כתיבת העברית מימין לשמאל לעומת כתיבה חשבונית משמאל לימין עלולה לעכב ילדים רבים מלהבין את השיטה העשרונית שבה הכתיבה היא בכיוון שהפוך לכיוון הכתיבה בעברית
  • הבנת הפעולות ההפוכות: החיסור והחילוק, מתונית בתפיסה מרחבית תקינה וביכולת "ללכת אחורה" בתהליך שכבר נרכש (חיבור, וכפל).

הכרת הצדדים האישיים בגופו של הילד

הילד יכיר את איברי גופו בדרך של משחק: יד ימין, יד שמאל, כתף ימין, כתף שמאל, אוזן ימין, אוזן שמאל, עין ימין, עין שמאל, לחי ימין, לחי שמאל, צד ימין, צד שמאל, רגל ימין, רגל שמאל.
לסדר המוצע יש משמעות. אנחנו יוצאים מהחוץ כלפי מרכז הגוף, וממרכז הגוף כלפי מטה. סדר זה מבטיח תחושת גוף תקינה לכל אורכו.
המשחקים יהיו מלווים בתנועות.
הוראות לילדים: הרימו את יד ימין, הרימו את יד שמאל, הצביעו על אוזן ימין, הצביעו על אוזן שמאל בעזרת יד ימין וכו'. יש לשמור על מקצב בעת התרגול ועל רוח המשחק. את הטעויות של הילדים מתקנים במגע עדין בצד המתאים. אפשר לסייע לילדים ברמזים: באיזו יד אתה מצייר (או כותב)? או: באיזו יד את מחזיקה את הכף בעת הארוחה?
יש להימנע משימוש באביזרים שאינם תמיד בנמצא, למשל: על איזו יד עונדים שעון? השעון אינו נמצא בדרך קבע (אם בכלל בימינו) על היד, וכשהוא איננו נעלם גם הרמז.
לאחר שהילדים קלטו את הצדדים בגוף, אפשר לשחק עמם במשחקי "מחבואים" או "סימני דרך", כמו: פנה ימינה, לכי קדימה וכו'. 
מרגע זה יש להימנע מכינויים רומזים כמו: "זה", "פה" ולעבור להנחיות בשפה מדויקת יותר כמו: "הדובי מימינך", "הצלחת מאחוריך" וכו'.

הצדדים של הזולת שעומד באותו הכיוון שבו עומד הילד

התמצאות במרחב
הילד לומד שהימין שלו, הפנים שלו, האחור שלו והשמאל שלו הם גם אותם הצדדים של מי שעומד לידו כשפניו מופנות לאותו הכיוון. הנחו את הילדים שעומדים בשורה באופן הבא: "הרימו את יד שמאל" הילדים יסתכלו על ידיהם של הילדים האחרים בשורה ויראו שלילדים האחרים אותו צד כמו להם.

כלל חשוב: הנייר מקבל את הצדדים ימין ושמאל של העומד או של היושב מולו. שמאל של הנייר זה השמאל של המחזיקים בו. זהו הסכם מקובל. אך יש להבין שצדדים יש לעצמים שהם אנושיים או שאנחנו מאנישים אותם, אין באמת לשולחן, לקיר או לפרח צד ימין וצד שמאל. אולם אם נצייר על השולחן, או על הקיר או על הפרח פנים או שנדמיין בעיני רוחנו פנים אזי קל יהיה לנו לחזור לתמונה של אדם ולשחזר את הצד המתאים.

הצדדים של הזולת שעומד כשפניו מול הילד

עומדים עם הפנים אל הילד, מושיטים ידיים ושואלים: "איפה יד ימין שלי?". אם הילד יודע את התשובה הנכונה, שאלו: "איך ידעת?" ולסייע לו לנסח את תשובתו: "קודם ידעתי איפה יד ימין שלי ואחר כך ידעתי שאצלך זה ההפך, כי אתה עומד מולי". אם הילד מתקשה במתן תשובה נכונה, נוטלים את יד ימינו בידינו השמאלית, שהילד הצביע עליה, מסתובבים לכיוון של הילד ומפנים את תשומת ליבו לכך שכאשר אנו באותו כיוון רואים מהי היד הנכונה.
חוזרים על פעילות זו גם עם יד שמאל, עד שילדים מפנימים את הרעיון.
לשלב זה השלכות רבות על החשיבה. יש להתמיד בו.

קבלת הוראות או מתן הוראות במרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

הילד "מסתובב" במחשבתו.
ההוראות לדוגמה:
"אם תסתובבו (אבל אינם מסתובבים ממש, אתם רק מדמיינים שאתם מסתובבים) והפנים שלכם יפנו אל החלון, מה יהיה מימינכם?"
"אם תסתובבו ומשמאלכם החלון, מה יהיה מאחוריכם?"
"אם תסתובבו ומאחוריכם הדלת, מה יהיה משמאלכם?" 
וכו'.

קבלת הוראות או מתן הוראות ל"טיול" אל מחוץ למרחב שבו נמצאים הילדים והמנחה

דוגמה: "לכו אל הדלת, צאו מהחדר, פנו ימינה, אחרי שלושה צעדים פנו שמאלה, שם מחכה לכם הפתעה."
או:
"שלחו אותי במילים לחדר המשחקים."
או:
"אני אומר לכם לאן ללכת, מההדרכה שלי עליכם לגלות לאן שלחתי אתכם."

הוראות כיצד לחזור מנקודה מרוחקת אל המרחב שבו נמצאים הילדים

לדוגמה: "אני ברחוב כשפניי לכיוון ____. הסבירו לי כיצד עליי לחזור הביתה."
"אני בחצר ופניי פונים אל הנדנדה. תנו לי הוראות כך שאדע מה עליי לעשות כדי לחזור אל החדר."

פעילויות נוספות

הוראות לילדים: "רשמו את שמכם על הדף משמאל למטה", או: "ציירו בפינה הימנית התחתונה של העמוד."
התרגול בהתמצאות במרחב חייב להמשך זמן רב ולהיות משולב בכל הפעילויות האחרות עם הילדים, רק לאחר שהילדים הפנימו את כל השלבים תורגש השפעתו כל תרגול זה לטווח ארוך.

המורה,
שלמה יונה


* הנוסח עובד מתוך המבוא לחוברות מתמטיקה יסודית לגיל הרך -- רוח הדברים והפעולות מבוססות על פעילויות בהעשרה אינסטרומנטלית בהתמצאות במרחב אשר למדתי מהמורה הוותיקה תלמה גביש ממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול ומלימודי העשרה אינסטרומנטלית שלי במכון פויירשטיין.

לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר ליצור קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן עמי ב-shlomo.yona@gmail.com


פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב


תיאור שיעור עם פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב

הרשימה הזאת מסכמת פעילות שהעברתי לילדי כתה ג' בהתמצאות במרחב. התמקדתי בצדדים: ימיןשמאלפניםאחור.

היום הזדמן לי להגיע לכתה ג בבית ספר יסודי כדי להעביר לילדים שיעור חווייתי. המחנכת מקפידה על קשר בין הורי התלמידים לתלמידי ומידי יום ו' מארחת את אחד ההורים שמפעיל את הילדים ומנסה להעביר מסר או רעיון שיהיה משהו משמעותי מעבר ל-רק כיף. אז היום הוזמנתי אני. רציתי להעביר לילדים שיעור על הזווית, כדי שיבינו באמת מה זאת זווית ומדוע מודדים אותה כפי שמודדים אותה, אבל  נודע לי שיש לי רק זמן קצר עם הילדים (כדי לעבוד באופן יסודי על הזווית כדאי סדר גודל של שעתיים ולא רק חצי שעה) אז חשבתי שמטרה מעשית היא לעבוד עם הילדים על הצדדים שלהם ושל הזולת.

ציפיתי שלחלק מהילדים יהיה בלבול או אי ידיעה של הימין ושל השמאל של עצמם, אבל שרוב הכתה תשלוט בכך. ציפיתי שלרוב התלמידים יהיה קושי להתייחס לצדדים בצורה נכונה כשהם מנקודת המבט של הזולת, זאת אומרת: מה הימין ומה השמאל של הזולת, ובפרט כאשר הזולת עומד כשפניו ממול.

את השיעור פתחתי בברכת שלום לילדים והצגתי את עצמי. הילדים ענו פה אחד: "בוקר טוב ומבורך". התפעלתי מקבלת הפנים היפה. אחת הילדות אמרה שהם הורגלו לענות באופן הזה ושמדובר בהרגל. אמרתי לילדים שזה הרגל מוצלח מאוד וסיפרתי להם שבדרכי מהבית לבית הספר לשיעור איתם התקרבתי לפועל ניקיון שהיה עסוק מאוד במטאטא ובפח ובשקיות ובאשפה על המדרכה שעליה צעדתי. הפועל היה נראה מכונס בעצמו ובעיסוקו. סיפרתי לילדים שהחלטתי לומר לו שלום כשהתקרבתי מאוד. שאלתי את הילדים מה לדעתם קרה. חלק חשבו שהוא יתעלם וחלק חשבו שיזעיף פנים. סיפרתי להם שהוא הרים ראשו ובפנים זורחות ומאירות בירך אותי בחזרה לשלום בחיוך רחב ובלבביות. זה היה נפלא.

בשלב הבא נשאתי עיניים לחלק העליון של הלוח שם היה רשום תאריך, אלא שהיה התאריך של אתמול רשום כך:
יום חמישי, טו' בכסלו התשע"ג, 29.11.2012
והנה שיחה עם הילדים:
מורה: "איזה יום היום?"
תלמידים: "היום יום שישי."
מורה: "ואיזה יום היה אתמול?" 
תלמידים: "יום חמישי."
מורה: "האם התאריך שכתוב על הלוח מתאים להיות התאריך של היום?"
תלמידים: "לא."
מורה: "נתקן ונעדכן את התאריך שעל הלוח להיות התאריך של היום." 
תלמידים: "נשנה את היום מיום חמישי ליום שישי"
מורה: "תודה. [מתקן] ואם אתמול היה ט"ו בכסלו אז מה יהיה התאריך העברי של היום?"
תלמידים: "היום זה ט"ז בכסלו"
מורה: "תודה. מדוע היום דוקא ט"ז?"
תלמידים: "כי ט"ז בא מייד אחרי ט"ו. ט"ז הוא העוקב של ט"ו, לפי הסדר הוא בא אחריו"
מורה: "תודה. [מתקן] ואם אתמול התאריך היה 29 בנובמבר, 2012, אז מה התאריך הלועזי היום?"
תלמידים: "היום יהיה ה-30. צריך לשנות את ה-29 ל-30."
מורה: "תודה. [מתקן]. -- עכשיו התאריך נכון. נסכם: את השינויים: החלפנו חמישי בשישי, ט"ו ב-ט"ז ו-29 ב-30, כי החלפנו כל מציין של יום (היום בשבוע, היום בחודש לפי התאריך העברי, והיום בחודש לפי התאריך הלועזי) במציין של היום שאחרי לפי העוקב המתאים."

בסופו של השיח ותהליך התיקון על הלוח היה כתוב התאריך באופן נכון שמתאים להיום:
יום שישי, ט"ז בכסלו התשע"ג, 30.11.2012
ואמרתי בקול: "יום שישי, ט"ז בכסלו, התשע"ג, 30 בנובמבר 2012" והכרזתי: "מצויין. עכשיו אפשר להתחיל!"

סיפרתי שבשיעור שלנו נעסוק בנושא שנדמה לנו שהוא קל מאוד אבל נגלה שהוא גם מבלבל אותנו מאוד ושתוך כדי הפעילות ננסה להבין מה קורה, להסביר באופן מדוייק ואפילו לנסח עיקרון. ישנן 4 מילים מרכזיות בשיעור שלנו:
ימין, שמאל, פנים, אחור
אלה הצדדים שלנו. שירטטתי על הלוח את השרטוט הבא וביקשתי מהילדים לנסות ולהסביר מה הם רואים ומה זה מזכיר להם:
בין התשובות היו:
  • חיצים
  • מזכיר תמרור
  • צומת
  • הצטלבות
לגבי התמרור הסברתי שתמרור לפעמים מורה לנו על הדרך האפשרית או על כיוון בעזרת חץ או חיצים, לפעמים מייצג הוראה. מכאן שהמילה תמרור מתאימה.

לגבי המילה צומת הסברתי שצומת היא מפגש בין שתי דרכים או יותר. הצטלבות היא מקרה פרטי של צומת כי בהצטלבות מדובר במפגש של שתי דרכים בצורת צלב. חשוב שהילדים ישיימו (יתנו שם): הצמדת השם קושרת למשמעות (וחשוב לעמוד על משמעויות המילים) ומסייעת באכסון בזכרון ובשליפה מהזכרון. מתן השמות גם מאפשר תקשורת ברורה בכתה ומבהיר על מה מדובר ובאיזו משמעות שלו מדובר.

רשמתי מתחת לחץ שמורה כלפי מטה "אחור" ופתחנו בדיון בכתה מה תהיינה מילים מתאימות לרשום בקצות שאר החיצים ומדוע. מהר מאוד התכנסנו לתמונה הבאה והסברנו שכך אנו מציגים את הצדדים שלנו ומנקודת מבטנו.

מאותו הרגע חילקתי את התלמידים בכיתה לפי מקומות הישיבה לשתי קבוצות. בחרתי שני רשמי נקודות שיגיעו ללוח ויבצעו את הרישום והגדרתי את החוקים:
  • אזמין מכל קבוצה נציגים (או תלמידה או תלמיד או יותר) שיצטרכו לבצע משימות שקשורות לצדדים
  • הקבוצה שאליה שייכים הנציגים מקבלת נקודות אם הביצוע מושלם. אחרת לא. אפשר לקבל בחזרה את הניקוד על ביצוע שאינו מושלם בתנאי שחברי הקבוצה מצליחים להצביע על השגיאה (או על השגיאות) ולהסביר אותה ולהסביר כיצד לתקן אותה. בונוס למי שמציע הצעה מדוע קרתה השגיאה.
  • בכל שלב דרגת הקושי עולה
המטלות בתחילה היו פשוטות: לגבי הצדדים של הנציגים והתייחסות לגוף שלהם (למשל: לגעת עם יד ימין בכתף ימין) ללא חציית קו האמצע, אח"כ עם חציית קו האמצע, אח"כ להצביע לפי הוראות על חלקים בגוף של נציג אחר, אח"כ אותו הדבר אבל מנקודת מבטו של הזולת שעומד מולם, אח"כ לתת הוראות לזולת מנקודת מבט עצמית, אח"כ לתת הוראות לזולת מנקודת מבט הזולת ולבסוף לתת הוראות (מותר רק: להסתובב לימין או לשמאל או לאחור ומותר לצעוד מספר צעדים נתון לכל אחד מהצדדים).

בפעילות עצמה יצא לתרגל את הצדדים שלנו ושל הזולת ונקודות מבט שונות וכן להתייחס לשמות של חלקים בגוף ולחשיבות של ניסוחים מפורשים ומדוייקים ושל הוראות ברורות.

תוך כדי הפעילויות ניסחנו כמה מסקנות, שחלקן מתייחסות לפעילות שלנו וחלקן מכלילות אף מעבר לכך:
  • הצדדים שלנו מסתובבים איתנו ותמיד ביחס אלינו
  • הצדדים של הזולת מסתובבים איתו ותמיד ביחס אליו
  • כשמורים לאחר הוראות תנועה יעיל יותר וטבעי יותר לתת אותן מנקודת מבטו של הזולת
  • כדי להיות מסוגלים להבין את הצדדים של הזולת וכיצד לכוון את הזולת מנקודת מבטו עלינו להעמיד עצמנו במקומו "בראש" (ז"א לדמיין את עצמינו במקומו)
  • מנקודת מבטו של הזולת רואים דברים אחרת
  • נקודות מבט שונות יכולות להביא להשקפה שונה
דיברנו על החשיבות של הכרת הצדדים ושל שימוש נכון שלהם בתנועה, בספורט בשפה ובחשבון ואפילו ציינו שבעוד שעברית כותבים מימין לשמאל את החשבון כותבים משמאל לימין (כיון הקריאה ככיוון הכתיבה).
אבל גם ציינו מקרים שבהם גם בחשבון אנחנו, מטעמי יעילות, פועלים דווקא מימין לשמאל, למשל בחיבור ובחיסור במאונך.

היה תענוג להיות בכיתה עם הילדים וניכר מהשתתפותם ומהתלהבותם שהם נהנים מהלמידה.

הזמן היה קצר ויש עוד רמות חשיבה ורמות תחכום וקושי נוספות שאפשר להגיע אליהן. [פרטים למטה למתעניינים בהעמקה]

תודה רבה למורה שנתנה לי את ההזדמנות לבצע את הפעילות עם הילדים ותודה לילדים החמודים והנפלאים ששיתפו פעולה  יפה כל כך.

שלמה יונה (אבא של סיון)


למתעניינים, קריאה נוספת, שבאמצעותה אפשר להבין יותר את המשמעות ואת המטרות של הפעילות:


הרישום לסדנת "מתמטיקה יסודית להורים" בעיצומו את הפרטים לגבי הסדנה אפשר למצוא באתר "מר חשבון". הסדנה עוסקת בנושאים שהורים מרגישים שקשה להם להסביר לילדים ועוסקת בעיקר ב-"מדוע ולמה" עושים דברים כפי שעושים בחשבון (מה זה כפל? מדוע חילוק ארוך עובד ועל מה מבוסס? מה המשמעות של שבר ואיך מתוך הבנה אפשר לפתור בקלות ובשיטתיות בעיות מילוליות, גם כאלה שמעולם לא למדנו לפתור) פחות נעסוק ב-איך (איך פותחים סוגריים, למשל). 
כיצד נרשמים לסדנה? בקלות! פשוט לוחצים על הקישור הזה וממלאים את טופס הרישום.

בניית כישורי התמצאות במרחב לילדים


בניית כישורי התמצאות במרחב לילדים

ברשימה מה בין ימין ושמאל ולימוד החשבון הזכרתי את נושא ההתמצאות במרחב והסברתי על חשיבותו ומשמעותו. ברשימה פעילות בכתה ג' בהתמצאות במרחב כתבתי על פעילות שמדגימה עבודה עם ילדים ביסודי שעוסקת בצדדים של הגוף. ברשימה השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית הסברתי כיצד נמחיש ונלמד את הילדים את הצדדים (ימין ושמאל) ואת השינויים וההבדלים בין ימין ושמאל שלי, לבין ימין ושמאל של הזולת, לבין ימין ושמאל של מי שעומד מולי כשפניו כלפי; וכן יישומים של היכולת להשתמש בימין ובשמאל בדמיון גם כשמסובבים בעיני רוחנו את עצמינו או את הזולת כדי לעמוד במקומו וכדי לתת הכוונה נכונה ומדויקת של הוראות הגעה למקום אחר.

ברשימה הזאת אשוב ואסביר את מהלך ההוראה של הצדדים ימין ושמאל אך ביתר פירוט. בניית כישורים של התמצאות במרחב היא תהליך הדרגתי שמחייב התנסות בשבעה שלבים (שאותם אפרט בסעיפים א'-ז'). התהליך המתואר מתפרש על פני כל שנת הלימודים.

א'.הכרת הצדדים האישיים של הגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו שנמצאים בצד ימין לעומת איברים בגופו שנמצאים בצד שמאל.

ההורה מפנה את פניו לאותו הכיוון שאליו מופנים פני הילדים, כלומר כשגבו לילדים.

הנחיות לתרגול: "הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל, קפלו ברך ימין, קפלו ברך שמאל, הרימו כתף ימין, הרימו כתף שמאל, געו באוזן ימין, געו באוזן שמאל, הצביעו על לחי ימין, הצביעו על לחי שמאל, הצביעו על עין ימין, הצביעו על עין שמאל, הצביעו על נחיר ימין, הצביעו על נחיר שמאל."

דגשים:
(!) ההורה אומר את ההוראה, ומבצע ביחד עם הילדים. אחרי שהעניין ברור, אין צורך לבצע עמם, אך עדיין להישאר עם הגב כלפיהם בעת מתן ההוראות.
(!) יש ילדים שאינם עדיין שולטים בשמות של איברי הגוף. זאת הזדמנות לדרג את הפעילות ולתווך לילדים את שמות ואת מיקום איברי הגוף. אחרי שיש שליטה בשמות ובמיקומם של איברי הגוף חוזרים לעיסוק בהתמצאות במרחב.
(!) מתי נוח ללמד את איברי הגוף לקטנטנים? בעת ההלבשה וההתפשטות, כשמסתבנים במקלחת ובעת משחקים שבהם ההורה אומר שם של איבר בגוף שעל הילד לגעת בו. הכל בדרך של משחק ושל הנאה.
(!) אין דחיפות ואין לאן למהר. על הדברים להיטמע ולהיקלט וללא לחץ.
(!) הילדים מתבקשים לבצע את ההנחיות בזו אחר זו.
(!) חשוב להסביר לילדים שהאימון בהכרת הצדדים האישיים של הגוף חיוני ללימוד החשבון.
(!) כאשר הילדים מבצעים את האימון ללא טעויות אפשר להגביר את הקצב ואפילו להקשות מעט. למשל, "הניחו יד ימין על רגל שמאל, הניחו יד שמאל על כתף ימין" וכו'. תרגול שכזה חשוב לחציית קו האמצע שמחבר בין שני חלקי המוח.

סימטריה

הכרת הצדדים האישיים של הגוף מבוססת על הבנת המושגים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". ההורה יכול וצריך להשתמש במילים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". אין לחשוש משימוש במושגים ומהדגמתם ומהגדרתם. ילדים אינם חוששים, בניגוד לדעה הרווחת, ממושגים ואינם מסתבכים עמם -- ההפך הוא הנכון -- ילדים זקוקים להגדרה ולהדגמה. כאשר לכל רעיון יש שם ולכל מושג כינוי וכך לכל פעולה ולכל עצם, בונים שפה ותקשורת וניתן לחשוב על הדברים, לפעול עליהם במוחנו ולתקשר אותם לזולתנו. בהיעדר שמות התקשורת קשה, מעורפלת ואינה יעילה. לכן, אל חשש -- השתמשו במושגים הנכונים לתיאור הנושא והפעולות.

הילדים מצביעים על הנחיריים. אצבע ימין על נחיר ימין, אצבע שמאל על נחיר שמאל. הילדים מקרבים את אצבעותיהם, מעלים אותם בעודן צמודות עד מצחם ומורידים אותן עד הרצפה. כך הם "משרטטים" בעזרת שתי אצבעותיהם קו דמיוני לאורך גופם, שהוא ציר הסימטריה של הגוף.

הורה: "ציר הסימטריה הוא קו ישר שמחלק צורה לשתי צורות שוות, כך שמול כל חלק בצד האחד מתאים חלק זהה לו בצד השני של הציר."

(!) הורים שנבהלים מהמילים הגבוהות יכולים להירגע. המילה ציר מפחידה? אז לפני שמגיעים לשלב הזה מקיימים בהזדמנות שיחה עם הילד ובה מעלים את המילה "ציר". שואלים למשמעויותיה השונות, מסבירים מדגימים וכו'. למשל: יש ציר של דלת  וציר בחלון וציר סיבוב של כדור או של מטרייה מסתובבת וציר בפרלמנט וכו'. זאת הזדמנות להעשיר את השפה ולהדגים שבשפה שלנו יש מילים רבות שלהן יותר ממשמעות אחת. המשמעות נקבעת לפי ההקשר. באופן דומה כך גם במתמטיקה (להורים אני מזכיר למשל את סימן המינוס "-" שיש לו כמה תפקידים, גם לציון מספרים שליליים כמו 3- גם לציון הנגדי למספר וגם לסימון פעולת החיסור... וגם בתור פעולת חיסור יש בהקשרים שונים משמעות שונה לחיסור).

הגוף שלנו סימטרי לגבי ציר הסימטריה האנכי. כל סימטריה (מהסוג הזה של סימטריית מראה) מתקיימת רק אם קיים ציר סימטריה שמאפשר את ההתאמה בין שני צדי הציר. הכוונה כאן בסימטריית "מראה", וההגדרה היא שלצורה יש סימטריה לאורך ציר אם החלקים שנמצאים משני צידי הציר הם בעלי אותה צורה, גודל ועמדה. עוד דרך להראות: צורה היא סימטרית אם לכל נקודה שעל הצורה יש נקודה מתאימה לה מצידו האחר של ציר הסימטרייה כך שמרחק הנקודה מציר הסימטרייה ומרחק הנקודה שמתאימה לה מצידו האחר של ציר הסימטרייה הוא שווה.

ציר הסימטריה בגופנו
(!) המילה אנכי נראית גבוהה מידי? ראשית, ההסבר מהמשפט הקודם מיועד להורים ולא לילדים. אך מי שמעוניין להסביר זאת לילדים יכול. לפני שמשתמשים במילה אנך במשפט, צריך להגדיר ולהסביר מהו אנך ומה זה אנכי. רעיון הדירוג עובר כחוט השני בגישתנו -- אין צורך מהתחמקות או מהסתבכות -- כשקשה, מפשטים, מדגימים ומגדירים ומביאים את השיח לרמה של הילד. ורק אחרי שהבסיס ברור, אחרי שהמושגים שבהם משתמשים ברורים, רק אז ממשיכים. אין להשאיר חורים בהבנה.
(!) כשיש חשש מעודף מידע בבת אחת, לזכור שאיננו בתחרות ואין לנו חומר להספיק. מטרתנו לחנך וללמד את הילדים ולא "לסיים את החומר". אם קשה או נראה שעמוס, אז לחלק, לפשט, להסביר ולהדגים. אין בעיה להתעכב בעניין מסוים עד שחשים עמו בנוחות. 
(!) חשוב להקפיד שלא לדלג על שלבים.
ציר הסימטריה בגופנו
(!) כשמתעכבים בשלב מסוים ומוצאים את עצמינו חוזרים ומסבירים, להקפיד לגוון בדוגמאות ולא להתקבע על אותה הדוגמה -- דווקא מועיל להראות כמה דוגמאות שונות שבהן אותו העיקרון פועל ובא לידי ביטוי -- זה ימנע מהילדים קיבעון ואת הרושם המוטעה שמה שנאמר נכון רק בהקשר מסוים ובתנאי מסוים. הכללות שברורות לנו כבוגרים אינן בהכרח (ולפעמים בהכרח אינן) ברורות לילדים.

לאחר שהילדים יודעים לצייר על גופם בדמיונם את ציר הסימטריה, הם לומדים להכיר את הצד הימני ואת הצד השמאלי של גופם, על ידי תנועת מישוש של צידי גופם לאורך כל הגוף, עד שמגיעים אל רגל ימין ואל רגל שמאל.

ציור שכזה יכול להיות תלוי במקום נוח כשעושים את הפעילות (אפשר להציע לילדים לנסות את כוחם בעצמם לצייר את זה או לצבוע את אשר אתם שרטטתם).

תרגול שמלווה בתנועתיות ובזיהוי תופעות בסביבתו הקרובה של הילד: מציאת גופים סימטריים בסביבה.

לדוגמה: הורה שירצה להעמיק עם ילדו את העיסוק בסימטריה יכול לשלב במשחקים פעילויות של מציאת ציר הסימטריה של חפצים שונים: שולחן, ארון, ספר, וכו'. פעילויות אלה אינן שייכות בבלבדיות למתמטיקה והן מהוות תשתית לתחומים רבים כגון קריאה, כתיבה, התמצאות יומיומית בסביבה ועוד. יש לשלבן בפעילות השגרתית בהתנהלות בבית ובמשפחה.

ב'. הכרת הצדדים מחוץ לגוף: מיקום מרחבי של עצמים ביחס לגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו. 

הנחיות לתרגול: "מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך". 

בתרגול עד לסוף שלב זה על ההורה לעמוד באותו הכיוון כמו הילד בעת מתן ההוראות (ולא לעמוד מול הילד בעת מתן ההוראות).

(!) תלמידים בכתה א' שמגיעים לשלב כתיבת ספרות עוד בטרם שולטים בשלב זה של הכרת הצדדים מחוץ לגוף, נתקלים בחלקם בקשיים ומתחילים בפתיחת פערים. לדוגמה, בעיות בכתיבת הספרות בכיוון הנכון ומאוחר יותר אפילו בלבול, למשל בין 23 לבין 32. -- אעסוק בהרחבה בכתיבה נכונה ברשימה אחרת.

ג'. הכרת הצדדים של הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו של אדם אחר שעומד כשפניו אל מול פני הילד. אליו להבין שאיבריו שלו נמצאים בצד ימין שלו, לעומת אותם האיברים שנמצאים בצד שמאל של העומד מולו.

הילדים שמאומנים בזיהוי איברים שנמצאים משני צידי הגוף ובמיקום במרחב של עצמים מחוץ לגוף, בשלים לשלב ההיפוך של הצדדים, כשהזולת מולם. זוהי פריצת דרך מנטלית שמחייבת את ההבנה שצד ימין שלי, וצד שמאל שלי הפוכים מאלה של אדם אחר שעומד מולי.

(!) תלמידים בכתה א' שלא הגיעו לשלב זה ואינם שולטים עלולים להתקשות ולפתוח פערים כשתלמד פעולת החיסור שהפוכה לחיבור. בעוד שבחיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים ולקבל את אותה התוצאה בחיסור יש הבדל בתוצאה כאשר מחליפים בסדר שבין המחוסר לבין המחסר. ההכרה שהתוצאה שונה לא תספיק לחלק מהתלמידים הללו להבין, כי חסרה להם עדיין הבנה ושליטה בשלב בסיסי יותר של התמצאות במרחב.

הנחיות לתרגול: כאן כדאי לפעול עם מספר זוגי של ילדים. ההורה: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הטו ראש לימין, הטו ראש לשמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל... מה ראיתם?" כאן יבחינו הילדים שבעומדם זה מול זה, פנים מול פנים, חל היפוך: לכל אחד יש ימין ושמאל וכשאנו עומדים זה מול זה, הצדדים הפוכים.

"עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות לילד המתרגל: הצבע על יד ימין של העומד מולך, הצבע על יד שמאל שלו, הצבע על עינו הימנית, על עינו השמאלית, הצבע על ברכו הימנית, ברכו השמאלית, ..., הצבע על פניו, הצבע על גבו."

ילדים עומדים אלה מול אלה ומבינים שהצד של זולתם הפוך משלהם. כדי שיוכלו להבין את ההיפוך, הם לומדים שקודם עליהם לזהות את הצדדים האישיים שלהם ואחר כך להפוך צדדים אלה במחשבתם. יכולת היפוך זו חשובה, בין היתר, גם לקליטת הספירה העולה והיורדת.

ד'. הכרת הצדדים מחוץ לגופו של הזולת: מיקום מרחבי של אובייקטים ביחס לגוף הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו של הזולת.

הנחיות לתרגול: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות למתרגל: "מה/מי נמצא לפניו של העומד מולך, מה/מי נמצא מאחוריו, מה/מי נמצא מימינו של העומד מולך, מה/מי נמצא משמאלו."

אימונים נוספים: צורות, עצמים ומערכות יחסים
  • "ציירו פרח בצד ימין למטה של דף מנייר ובצד שמאל למעלה של הדף ציירו חיפושית." (אני מזכיר שיש הסכם שכשכותבים על נייר או כקוראים ממנו או כשמסתכלים עליו מוסכם שצד ימין של הדף הוא באותו צד ימין שלנו -- כל זאת אף על פי שאין לעצמים שאינם אנושיים או מואנשים צד)
  • לילדים שמכירים צורות: "ציירו משולש בצד ימין למעלה ועיגול בצד שמאל למטה." וכך הלאה
  • לילדים שמכירים ספרות: "רשמו את הספרה 1 על הדף מימין." "רשמו את הספרה 5 על הדף משמאל." "רשמו את הספרה 4 מימין למעלה." "רשמו את הספרה 6 על הדף משמאל למטה."
  • אם יש לוח בנמצא אז ההורה עומד  בסמוך ללוח ושואל את הילד "באיזה צד שלי נמצא הלוח?" ואפשר לנסות ולהעמיד בני משפחה אחרים ולשאול "באיזה צד של ____ נמצא הלוח? הלוח נמצא מימין ל_____ ומשמאל ל______." זהו בסיס להבנת היחס, כי הלוח נמצא משמאלי ביחס אליי, ומימינו של ____ ביחס אליו.
  • מאיזה צד של ______ נמצא החלון?
  • מי יושב מימינך?
  • איפה יד ימין של __________ שעומד ממולך?

ה'. תנועה במרחב: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה

בשעת תנועה משתנים היחסים במרחב בין האדם לבין הסביבה במהירות רבה.

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו, תוך כדי תנועה.

הנחיות לתרגול: "צעד שני צעדים קדימה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה לאחור: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך."

תרגול על ידי משחק: לאן הלך העכבר?

כל ילד מקבל דף משובץ שבו מצויר עכבר בנקודת המוצא (משבצות גדולות בגודל 8x8) וכן מספר מטרות: גבינה, לחם, חסה. המשחק מתבצע בזוגות. אחד מבני הזוג מצייר לעצמו מסלול (לפי בחירתו) על קווי המשבצות (מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות) ונותן לחברו (שבידו דף משובץ ללא המסלולים) הוראות מילוליות על מסלולו של העכבר מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות. 

למשל: מנקודת המוצא הלך העכבר שתי משבצות ימינה, אחר כל הלך קדימה שלוש משבצות וכו'.

החבר מצייר את המסלולים על הדף הריק שברשותו (כל מסלול בצבע שונה), לפי ההוראות שניתנות לו. כאשר מקבל ההוראות מגיע אל המטרה הוא מכריז למשל: "העכבר הגיע לגבינה." המסלולים נבדקים, הילדים מחליפים תפקידים.

ו. תנועה היפותטית: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה במחשבה בלבד

התרגילים בשלב הזה חשובים לפיתוח הדמיון ולהבנת מערכות יחסים מופשטות, כי הילד מבצע במחשבה בלבד את המעברים מהמצב שבו הוא מצוי במציאות המוחשית אל מצב שאינו נתפס בחושים, אלא רק במחשבה.

הנחיות לתרגול: "פנה בדמיונך ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. אם תפנה שמאלה אז מה/מי יהיה מאחוריך? אם הדלת תהיה לפניך אז מה/מי יהיה מימינך...?"

לאחר שהילד מסוגל לזהות את היחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית שלו עצמו, נבקש ממנו להתאמן בזיהוי יחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית של הזולת.

שאלות לתרגול:
  • אם ___ יסתובב כך שהדלת תהיה מאחוריו, מה יהיה משמאלו?
  • אם ___ תעמוד כשגבה אל החלון, מה יהיה לפניה? לימינה?
  • אם ___ יעמוד כשפניו אל ארון המטבח, מה יהיה מאחוריו? מימינו? משמאלו?
ז. תנועה לאורך מסלול: הוראות ליציאה מהמרחב שבו אנו נמצאים, וחזרה אליו


בשלב זה הילד מתקדם בהתאם להוראות המכוונות אותו לצאת מן המרחב שבו הוא נמצא ולשוב אליו בחזרה. אפשר לנהל את ההתנסות הזאת כמשחק "חפשו את המטמון." 

המטרה: התמצאות במרחב בעזרת הוראות.

הנחיות לתרגול: כדאי לבצע פעילות זאת עם יותר מילד אחד. אחד הילדים מתנדב להיות "מחפש מטמון" וממתין בנפרד, למשל מחוץ לחדר. בחדר מוטמן "אוצר" (פרי, מדבקה צבעונית וכו'). המחפש חוזר לחדר ומתחיל לנוע בהתאם להוראות מילוליות שהוא מקבל מאחד הילדים שהיו שותפים להטמנת האוצר.

למשל: פנה ימינה, לך חמישה צעדים, פנה שמאלה, לך שבעה צעדים, הגעת לשולחן המורה וכו'. ההוראות אמורות להוביל את המחפש למציאת האוצר.

ההתנסות במתן הוראות המיועדות להוביל אדם בחזרה אל המרחב שממנו יצא, עלולה להיות קשה ומבלבלת.

בשלב זה נדרש הילד לצייר בעיני רוחו מסלול, ובעזרת הוראות מילוליות להחזיר את הזולת לנקודת המוצא שלו.

המטרה: פיתוח חשיבה מופשטת בעזרת שימוש בייצוג פנימי מרחבי.

הנחיות לתרגול: "אתה נמצא במטבח בגן. הסבר לעדו כיצד יוכל להגיע מן המטבח אל ארגז החול שבחצר הגן." או "אורח שנמצא בחצר שבגן הסמוך מתכוון להתארח גם בחצר הגן שלנו. הסבר לו כיצד יוכל להגיע ממקומו אל חצר הגן שלנו." וכו'.

משחק:

שלב א': אנחנו רוצים להגיע לביתך, תאר לנו את הדרך מהגן ועד לבית
שלב ב': הגענו לביתך. עכשיו עליך "להוביל" אותנו, במילים בלבד, משם בחזרה אל הגן

למתקדמים: משחק צוללות ברמות שונות. (אפשר להכין עם נייר משובץ וכלי כתיבה -- אין הכרח לרכוש משחק מוכן)


לסיכום

התרגולים שתוארו עד עתה משרתים את תהליך הלמידה בתחומים רבים ומגוונים ואינם משפיעים רק על לימוד מתמטיקה. לכן חשוב לשלב אותם בפעילויות שגרתיות בהזדמנויות שונות.

שימוש במילים כמו "ימין", "שמאל", "קדימה", "אחורה", "לפני", "אחרי", "למעלה/מעל", "למטה/מתחת", יעשה באופן קבוע. הדיוק השפתי בהגדרת המיקום המרחבי חיוני לפיתוח ייצוג פנימי מרחבי, לתגובה יעילה, לתקשורת בין אישית ברורה ולהבנה החשבונית.

רצוי מאוד להימנע מכינויים רומזים כמו "זה", "פה", "שם". כינויים אלה יוצרים ערפול מחשבתי, אינם ממוקדים ומהווים מלל שאין בו מידע רלוונטי לפיתוח חשיבה ויש בשימוש בהם נזק ארוך טווח להפשטה.

משפט כמו "הספר נמצא על ____ מימינו של  ____", מבסס את הייצוג הפנימי המרחבי, מספר מידע ממוקד ויוצר תקשורת בהירה בין הילד לסביבתו.

המורה,

* הרשימה מבוססת על הדיון ועל ההנחיות של התמצאות במרחב מתוך המבוא לספר המורה של מתמטיקה יסודית לכתה א' שכתבה תלמה גביש


לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר  קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן אצלי ב-shlomo.yona@gmail.com




מה בין ימין ושמאל ללימוד החשבון?



מה  בין ימין ושמאל ללימוד החשבון?


הצלחת לימוד החשבון דורשת הכנה שכוללת תיווך למשמעות המספר ופיתוח כישורים של התמצאות במרחב.




תיווך למשמעות

החשבון שהילדים לומדים הוא חלק מעולם התוכן היומיומי של הילד.

אנו רוצים שהילדים יבינו לשם מה לומדים חשבון. על כן, עוד בטרם ילמדו חיבור וחיסור, כפל וחילוק עלינו לסייע להם לפתח את משמעות המספר ואת ההיבט הכמותי שלו. לשם כך, נבקש מהם, לספר על סביבתם, על אחיהם, על חבריהם, על החפצים שהביאו עמם, לתאר את החדר ועוד.

מטרת השיחה היא להראות לילדים שקיימת זיקה טבעית בין תוכן הסביבה (מה שרואים, מה ששומעים...) לבין כמות. למשל: "יש לי שולחן אחד ותיק אחד" או: "אני מכיר שני ילדים מהגן".

עבור הילדים שכבר יודעים למנות או לספור נציע להם למנות: כמה בתים יש ברחוב שבו אני גר? כמה שכנים יש לי? כמה שכנים גרים גרים בקומה שמעליי? כשנכנסים לרחוב שלי והולכים לביתי, כמה בתים אפשר לספור לפני הבית שלי? מה מספר הבית שלי? כמה חלונות יש בגן? מה מחירה של כיכר לחם? כמה עולה הגבינה למריחה? ועוד.

בדרך זאת לומדים הילדים לאסוף מידע, למיין אותו, לארגן ולהציג אותו במספרים. כך הם לומדים שהחשבון שזור בחייהם ובעולמם.

התמצאות במרחב

התמצאות במרחב
התמצאות במרחב היא היכולת לזהות צד וכיוון (ימין ושמאל, למעלה ולמטה, פנים ואחור, נקודת מוצא, כיוון הפעולה), לזהות מערכת יחסים בין עצמים בכיוונים שונים (למשל: יואב יושב לימיני ולשמאלו של עידן, תקרת החדר גבוהה מן הרצפה ונמוכה מתקרת האולם שבמבנה הסמוך, וכו'), ולמקם עצמים במרחב.



מה הקשר בין התמצאות במרחב במציאות לבין כישורים מתמטיים?

  • לכל ספרה יש מקום במספר ומקום זה מקנה לה את משמעותה (אחדות, עשרות, מאות, אלפים... ). היכולת להבחין במיקום השונה של הספרה 5 בשני המספרים הבאים: 65 ו-56 חיונית להבנת משמעותה (פעם אחת היא מייצגת אחדות ופעם אחרת היא מייצגת עשרות).
  • לכל מספר בפעולה חשבונית יש מקום, ומקום זה מקנה לו את משמעותו (מחובר -- סכום, כופל -- נכפל -- מכפלה, מחלק -- מחולק -- מנה): כאשר מחברים במאונך 5 ל-68, מחברים את האחדות עם האחדות, לכן ה-5 נכתב מתחת ל-8 ולא מתחת ל-6. תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב יתקשה גם בכתיבת תרגיל שכזה ובפתרונו.
  • התמצאות במרחב מאפשרת זיהוי של כיוונים הפוכים (אם יצאתי מביתי והלכתי 100 צעדים ימינה וברצוני לשוב הביתה באותה הדרך, עליי ללכת את אותם 100 צעדים שמאלה). היכולת להבין פעולות חשבוניות הפוכות (חיבור -- חיסור, כפל -- חילוק) מבוססת על התמצאות תקינה במרחב.
  • כיווניות הכתיבה של הספרות -- תלמיד שמתקשה בהתמצאות במרחב עלול לכתוב את 1 בכיוון הלא נכון (כתב מראה). כל הספרות עלולות להיכתב באותו האופן.

מה אפשר לעשות כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים?

כדי לשפר את ההתמצאות במרחב של הילדים חיוני לתרגל צדדים, כיוונים ומערכות יחסים בין עצמים במרחב. התרגול הכרחי למניעת בעיות אצל לקויי למידה שמתקשים בכתיבה.

ברשימה הבאה אפרט כיצד ללמד וכיצד לתרגל התמצאות במרחב לילדים. התרגול מדורג והאימון מתבצע בדרך של  משחק יומיומי מתוך מטרה להגיע עד לשלבים האחרונים של התרגול בתקופה של כ-3 חודשים. אחרי השלמת כל שלבי התרגול, ממשיכים בתרגול לאורך השנה כולה עד לשליטה מלאה בכל השלבים.

תרגול שכזה תורם לכל מקצועות הלימוד, ולא בהכרח לחשבון בלבד. 

לתרגול הזה תרומה חשובה להעלאת כושר הריכוז של הילדים. ככל שמתקדמים בשלבים וככל שהילדים שולטים בתרגילים, אפשר וצריך לבצעם במהירות רבה יותר.



לפרטים איך לעבוד עם הילדים על התמצאות במרחב



המורה,



לייעוץ (בהתנדבות וללא תמורה) אפשר  קשר עם המורה הוותיקה תלמה גביש בכתובת: thetalma@yahoo.com וכן אצלי ב-shlomo.yona@gmail.com