יום שלישי, 26 בפברואר 2013

תערוכה בנושאי מחשוב במוזיאון המדע בירושלים


במוזיאון המדע שבירושלים נפתחה תערוכה חדשה ומסקרנת:
אני ממליץ מאוד לתלמידים להגיע לתערוכה ולהתרשם. 
כרגיל, כמו בכל תהליך לימודי, ככל שתתכוננו לפני התערוכה, כך תפיקו ממנה יותר הנאה ותועלת.
אני מציע לכם לקרוא את המידע על אודות התערוכה: הנה המבוא, עם קישורים:


אשמח מאוד לקבל מכם שאלות באמצעות הדוא"ל ולענות לכם.

נושאי התערוכה

התערוכה מחולקת לאיזורים כאשר המוצגים והטקסטים בכל איזור מתמקדים בנושא מובחן:


המורה,

* למתעניינים בנושאים הללו, אני מציע חוג לנוער שעוסק בנושאים של מדעי המחשב ללא תלות בשפות תכנות או טכנולוגיה: אני מסביר את הנושאים ואת השימושים, ודנים ברעיונות ובעקרונות ומבינים את המתמטיקה ואת החכמה ש-"מאחורי הקלעים" וש-"מתחת למכסה המנוע".


יום שבת, 23 בפברואר 2013

סיכום מפגש מספר חמש במועדון המתמטיקה והמדע‎

שלום


דיברנו על התאמה חד חד ערכית ועל השימוש העיקרי שלה לצרכינו, כשאנחנו עוסקים בקבוצות שיש בהן אינסוף איברים: היא מאפשרת לנו לקבוע האם שתי קבוצות הן שוות גודל או האם אחת מהן גדולה (קטנה) מהאחרת מבלי שנצטרך למנות את כמות האיברים בכל אחת מהקבוצות. 
השתמשנו בהתאמה חד חד ערכית כדי להגיע להתאמה מהמספרים הטבעיים למספרים הטבעיים הזוגיים (אחרי שהגדרנו מהם מספרים טבעיים וכיצד משתמשים בהגדרה). אח"כ ראינו שכמות הנקודות (המתמטיות) על קטע נתון היא אותה כמות אינסופית של נקודות על קטע אחר. סיימנו בשאלה האם האינסוף של המספרים הטבעיים באותו העוצמה כמו האינסוף של הנקודות המתמטיות שעל קטע?

צפו בסרטון הבא: 
(תוכלו להפעיל כתוביות בעברית בנגן היו-טיוב).

גם הבטחתי לחלקכם חומר קריאה על פרדוקס הספר:  http://www.gadial.net/2010/11/20/russel_paradox_and_cantor_theorem/

קישורים במדע:

בהמשך לשבוע שעבר (השבוע לא עבדנו בנושאי מדע): 

חג פורים שמח ומבדח.
להתראות בשבוע הבא!!

המורה,

יום חמישי, 21 בפברואר 2013

סדנאות מתמטיקה להורים בבתי הספר

Numeracy Information Session
בארה״ב כבר הבינו מורים בכמה בתי ספר שראוי להשקיע בסדנאות להורים במתמטיקה של בי״ס יסודי.

אחרת ההורים מתקשים בעזרה לילדים.

ההורים חשים שאינם מכירים את הגישה שמלמדים את הילדים ושאינם תמיד מבינים אפילו את הבעיות שהילדים מקבלים להתמודד עמן וכן לפעמים אינם מצליחים להבין את הקשיים של הילדים ומתקשים מאוד לעזור להם.

אני מעביר סדנאות להורים שבהן אני נותן להורים כלים להבין עם מה הילדים מתמודדים, מדוע קשה להם וכיצד להסביר להם כך שיבינו וכיצד לייצר תקשורת כך שהילדים ירצו לקבל את העזרה מההורים. יש סדנה לגן, וסדנה ליסודי וסדנה לחט"ב:
הנה מדבריו של פרופסור רון אהרוני על אודות הסדנה במחזור שהיה בשנה שעברה:
מדוע הורים צריכים לדעת עקרונות הוראה? מהרבה סיבות. ידע כללי, הבנה מתמטית שלהם עצמם, חיבור לילדים, הבנה מה קורה עם ילדיהם. אבל יש עוד סיבה: הם יכולים לעזור
אומר כאן דבר שיישמע כסותר את הדברים האלו. דבר שהוא בעיני חשוב מאין כמותו: שינוי אמיתי בחינוך יכול לבוא רק מתוך המערכת. תרומות מן הצד הן משניות. העבודה החינוכית האמיתית נעשית בכיתה. 
אבל ההורים יכולים לתרום לאווירה החינוכית, לכיוון הכללי. האכפתיות שלהם והידע שלהם, אם ינותבו בצורה חיובית, ישפיעו על המערכת כולה. כל הורה שמבין מה קורה עם ילדו בבית הספר משפיע על המערכת. [...] מכך יצאו הילדים נשכרים, ולא פחות מכך ההורים. בסופו של דבר, הדבר יחולל שינוי גם בהוראה בתוך בית הספר.
בניגוד לדיעה  הרווחת, ילדים מסוגלים להתמודד עם הגדרות, ולמעשה משוועים להגדרות מדוייקות, והם מסוגלים לחשוב לעומק על רעיונות. כל עוד איננו ההורים מדגימים להם התמודדות עם הגדרות ועם עקרונות ורעיונות ואיננו מתרגלים אותם, אז לכשידרשו בבית הספר להתמודד, יהיו הילדים ברוב המקרים חסרי מוטיבציה ואובדי עיצות. לנו ההורים יש את האפשרות להשפיע ולפתח לילדינו את החשיבה ואת היכולת להתמודד עם בעיות חדשות.

המורה,


יום שבת, 16 בפברואר 2013

סיכום מפגש מספר 4 במועדון המתמטיקה והמדע

אני נהנה מאוד מהתלמידים שמגיעים למפגשי המועדון בעיניים נוצצות ושיושבים חדים ועירניים בשיעור. זה תענוג אדיר בשבילי וזכות גדולה ללמד תלמידים שכאלה.

בחלק המתמטיקה דיברנו על כמה מושגים ואישים חשובים מההסטוריה של המתמטיקה
  • אסטרטגיות לדעת לכמה אורחים שהגיעו יש לארוח את הכלים לשולחן שאליהם הם מסבים:
    • 1. למנות כמה אורחים הגיעו
    • 2 .למנות כמה מושבים פנויים יש ואת הכמות הזאת לחסר ממספר המקומות שבמסעדה
    • 3. לא לנסות בכלל לדעת, אלא לערוך את הכלים לכל אורח שמסב לשולחן עד אשר אין אורח שמסב לשולחן ואין לו כלים ערוכים לפניו
  • התאמה חד-חד ערכית (נקראת גם התאמה 1:1 או התאמה אחד לאחד) -- נתתי דוגמאות עם אצבעות, עם הכבשים... זכרו שהכח הגדול של כלי העבודה הזה הוא היכולת להראות כשמשווים בין שתי קבוצות, באיזו קבוצה יותר איברים (או האם מספר הפריטים שבקבוצה אחד שווה למספר הפריטים שבקבוצה השנייה) מבלי למנות את הפריטים באף אחת משתי הקבוצות. 
  • גוטלוב פרגה  (הרעיון להשתמש בהתאמה חד חד ערכית להגדרת מושגים במתמטיקה ואפילו את המספרים)
  • גיאורג קנטור (על הסוגים השונים של אינסוף והרעיון להשתמש בהתאמה חד חד ערכית כדי למיין לסוגים שונים של אינסוף ועל הסימון אלף-אפס)
  • ניסחנו כמה עקרונות חשובים בכתה -- משימה: כתבו לי בחזרה את העקרונות שרשמתם ולכל עקרון תנו דוגמה אחת ממתמטיקה ודוגמה אחת מהחיים (לא במתמטיקה).
אני חוזר ומבקש מכם לקרוא את הגליונות ולנסות בעצמכם להתמודד עם המטלות, הבעיות והתרגילים.

בחלק של המדע, דיברנו על ההבדל שבין חום לבין טמפרטורה. חזרו על החומרים בנושא ששלחתי בסיכום של השבוע שעבר.
אני מבקש שתתקדמו בגליון, תערכו את הניסויים. נעסוק בשני נושאים במפגש הבא:
1. האוקיינוסים שעל פני כדה"א. מהו אוקיינוס? מהם האוקיינוסים השונים שעל פני כדה"א? כיצד נמצא כל אחד מהאוקיינוסים?
2. נתחיל לדבר על תכונות מיוחדות של מים ועל תוצאות הניסויים עם הקרח, עם הקרח והשמן, עם הקרח והמלח, עם הקרח והסוכר.

אני מתלבט האם לקיים שיעור ביום שישי הקרוב, שהוא יום שבו יש חגיגות ותחפושות בבתי הספר. אשמח מאוד לקיים שיעור כרגיל (אלא שכולנו נהיה מחופשים להנאתנו) ואולי להפתיע עם שיעור בנושא תחפושות ופורים (הגרלות) במתמטיקה ובמדעים. אנא, שלחו אליי בחזרה האם אתם מתכוונים להגיע לשיעור אם יתקיים ביום שישי, 22 בפברואר. אודיע במהלך השבוע, לפי התגובות על ההחלטה. הנחת היסוד היא שהשיעור מתקיים כרגיל, אלא אם אודיע אחרת.

שבוע טוב.

המורה,
שלמה יונה

יום ראשון, 10 בפברואר 2013

חידת גפרורים מאולימפיאדה זוטא במתמטיקה



חידת גפרורים מאולימפיאדה זוטא במתמטיקה

הריבוע 4x4 שבציור מורכב מארבעים גפרורים. מהו המספר הקטן ביותר של גפרורים שיש להסיר כדי שבשרטוט לא ישאר אף ריבוע – כולל הריבועים הקטנים, הבינוניים והריבוע הגדול?
עיצה

קשה? מסובך? איך מתמודדים? פשוט קחו לכם קיסמים או גפרורים או דוקים, וכיוצא באלה, בנו לכם את הדגם והתחילו לנסות. אם יש לכם תובנות, רשמו לכם אותן כדי שתוכלו להיעזר בהן גם אם תחזרו לעסוק בבעיה אחרי הפסקה. הנייר "יזכור" אתם, אולי לא...

רמזים

  1. כמה ריבועים בכלל יש במבנה? איך יודעים? איך מונים אותם?
  2. מה נצטרך לעשות כדי לקלקל או "להרוס" ריבוע קטן?
  3. מה נצטרך לעשות כדי לקלקל או "להרוס" ריבוע גדול יותר?
  4. כמה גפרורים נצטרך להסיר כדי "להרוס" את כל הריבועים הקטנים?
  5. איזו תכונה קיימת במבנה שמאפשרת לנו "לחסוך" בגפרורים שנסיר?
  6. האם מה שעשינו עד כה מספיק גם כדי להרוס ריבועים גדולים יותר מאלה שבגודל 1x1? מה נדרש לעשות כדי לחסל את כל הריבועים ויחד עם זה לעמוד בדרישה למספר הקטן ביותר של גפרורים להסרה?

הפתרון

המספר הקטן ביותר של גפרורים שיש להסיר כדי שבשרטוט 4x4 גפרורים לא יישאר אף ריבוע הוא 9. מדוע?
ראשית, ננסה להבין מהם הריבועים שישנם וכיצד מונים כמה ריבועים יש בסך הכל:
בריבוע 4x4 גפרורים ישנם: 

  • 16 ריבועים קטנים בגודל 1x1
  • 9 ריבועים בגודל 2x2
  • 4 ריבועים בגודל 3x3
  • 1 ריבוע גדול בגודל 4x4
אפשרויות אחרות, כמו למשל, 1x2, אינן ריבועים (אלא מלבנים).


מספיק להסיר גפרור אחד מכל ריבוע קטן 1x1 כדי שיחדל להיות ריבוע. יש לנו 16 ריבועים קטנים, אז אם נסיר 16 גפרורים כנראה שנעשה את העבודה. אבל מספר זה אינו עונה על הדרישה למספר הקטן ביותר של הגפרורים שיש להסיר. לכן, ננסה להתבונן, ולחשוב על תכונות שנגלה שעשויות לעזור לנו: למשל, ב-16 הריבועים הקטנים ישנם גפרורים משותפים לכל שני ריבועים סמוכים. ולכן כדי "להרוס" את כולם נצטרך להסיר לפחות 8 גפרורים. אפשר להניח שהסרת 8 גפרורים "תהרוס"  בדרך גם את הריבועים הבינוניים בגודל 2x2ו-3x3. אבל לא את הריבוע הגדול 4x4. לכן נדרשת הסרת גפרור אחד נוסף מהיקפו של הריבוע 4x4. אם כך, המספר הקטן ביותר של גפרורים שנצטרך להסיר הוא 8+1=9.

אז איך יראה המבנה אחרי הסרת 9 גפרורים?

ישנו יותר מפתרון אחד. בתרשים מוצגות רק שלוש דוגמאות שונות.

כמובן, שאפשר לסובב את שלושת הדוגמאות או לעשות שיקוף שלהן (תמונת מראה).

ולסיום, חידה קלה יותר, עם עקרון דומה

חידה קלה לעין שיעור מזאת ששואלו באולימפיאדה זוטא מסתובבת ברשת האינטרנט, ובאופן מפתיע רבים מתקשים עמה: הבעיה פשוטה: כמה ריבועים יש בתרשים?

והתשובה:
ישנם בסך הכל 16+9+2+8+4+1=40 ריבועים בתרשים. מדוע?
  • 16 ריבועים של משבצת אחת
  • 9 ריבועים שבנויים מ-4 משבצות
  • 2 ריבועים שנמצאים במרכז
  • 8 ריבועים קטנים שבתוך שני הריבועים שבמרכז
  • 4 ריבועים בני 9 משבצות
  • 1 ריבוע בן 16 משבצות
בפתרון הזה אני כמובן מניח שמותר להתייחס לריבוע שמצוייר עליו משהו אחר, למשל, הריבועים שמצויירים במרכז פוגעים בצורת הריבוע של אלה שהם מצויירים עליהם -- אז התשובה תשתנה אם אין להתייחס לאלה כריבועים.


המורה,

יום שבת, 9 בפברואר 2013

סיכום מפגש מספר 3 במועדון המתמטיקה והמדע


סיכום מפגש מספר 3 במועדון המתמטיקה והמדע

החידה שעדו הביא
בשיעור עסקנו בחידה שהביא עדו, שעוסקת בהסתברות. אחד הכלים שעוזרים לנו לפתור בעיות בהסתברות הוא תחום במתמטיקה שנקרא קומבינטוריקה (תורת הצירופים).

* הערה חשובה: העיסוק בחידה הסיט אותנו מהנושא. בשיעורים הבאים לא נעסוק בחידות שהתלמידים מביאים. את החידות שאתם מביאים אתם מוזמנים לתת לי ואני אשתף בהן את שאר הכיתה באמצעות הסיכום. מי שירצה יפתור. מי שירצה פתרון או שאבדוק את הפתרון שלו, מוזמן לכתוב לי (ביחד עם ההורים). אני בשמחה אבדוק את הפתרון ואעיר ולמי שרוצה אתן פתרון מלא ומוסבר.

העיקרון שבו השתמשנו הוא שאת ההסתברות שמאורע (מקרה) כלשהו יקרה אנו מקבלים מתוך המנה (תוצאה של תרגיל חילוק) של מספר האפשרויות שיתרחש המקרה לחלק ל-מספר האפשרויות של כל המקרים.

החידה של עדו היתה:
נתונים 5 קלפים שונים זה מזה ו-חמישה ילדים שונים. את הילדים מסדרים בשורה, זה לצד זה. את הקלפים ממספרים מ-1 ועד 5.
אם מחלקים קלף אחד בדיוק לכל ילד לפי סדר הילדים בשורה, מה ההסתברות (מה הסיכוי) שהילד הרביעי יקבל את קלף מספר 1?
אחרי דיון בכתה הגענו למסקנה שכדי שילד מספר 4 יקבל את קלף מספר 1 עלינו לדרוש ש:

  • גם הילד הראשון לא יקבל את קלף מספר אחד (לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • גם הילד השני לא יקבל את  קלף מספר אחד (גם במקרה הזה לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • גם הילד השלישי לא יקבל את  קלף מספר אחד (באותו האופן, כמו במקרים הקודמים, לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • וגם הילד הרביעי יקבל את קלף מספר אחד.



הבחנו שלא משנה כלל מה קורה עם הילד החמישי.


  • הסיכוי שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 הוא 4 (כי ישנם 4 קלפים אפשריים שאינם 1 בקלפים הנתונים) מתוך 5 (כי יש 5 קלפים בסך הכל). מכאן שההסתברות שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 היא 4/5.
  • הסיכוי שהילד השני לא יקבל את קלף מספר 1 הוא הסיכוי שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 וגם הילד השני לא יקבל את קלף מספר 1. אם הראשון לא קיבל את קלף מספר 1 (ההסתברות לכך היא 4/5, כמו שחישבנו) וגם השני לא יקבל את קלף מספר אחד (הסיכוי לכך הוא 3/4, כי מתוך 4 הקלפים שנותרו רק 3 אינם קלף מספר 1). ונרשום: 4/5x3/4. הכפל מבטא את ה-וגם.
  • הסיכוי שהילד השלישי לא יקבל את קלף מספר 1 הוא (באותו האופן): 4/5x3/4x2/3
  • ונשאר לנו לדאוג רק שהרביעי כן יקבל את קלף מספר 1 והסיכוי הוא 1 מתוך 2 הקלפים שנותרו וגם כל מה שדרשנו עד כה. ונקבל: 4/5x3/4x2/3x1/2. אחרי שמצמצמים נקבל 1/5. וזאת התשובה.
ההתעסקות בנושא והסברים על נושאים שלא היו מוכרים לכל התלמידים תפסו לנו את כל השיעור. הרגשתי שטעיתי כשהתעסקתי בחידה, שאת החומר שנדרש לדעת ולשלוט בו, כדי להתמודד איתה בהבנה ובהצלחה, רוב התלמידים בכתה אינם יודעים. אמנע מכך במפגשים הבאים. אשתדל להיצמד לנושאים שאנו עוסקים בהם בגליונות של מתמטיקה בהתכתבות ולהשלים ולהרחיב עליהם.

עבודה בגיליון "אל האינסוף ומעבר לו"

ביקשתי מהתלמידים לעבוד בגליון ולהגיע לפחות עד לנושא המלון של הילברט (אני ממליץ לקרוא את הכתבה המצויינת של גדי אלכסנדרוביץ' בנושא, שפורסמה ב-ynet וגם את הרשימה ביומן הרשת של גדי אלכסנדרוביץ באותו הנושא). הנה גם רשימה שלי בנושא, עם קישורים לסרטונים, למאמרים ולספרים. הנה עוד סרטון חביב בנושא (אפשר להעביר לכתוביות בעברית בנגן ה-youtube).


בנוגע למספרים הראשוניים


דיברנו במפגש הקודם על מספרים ראשוניים. לחלק לא מבוטל מהכיתה זה היה המפגש הראשון עם המושג ועם הרעיון. אני ממליץ לכל התלמידים לקרוא ביחד עם ההורים את הכתבה שפורסמה השבוע בנוגע למספר הראשוני הגדול ביותר שנמצא לאחרונה. רק שיהיה ברור, ישנם אינסוף מספרים ראשוניים. אפשר להוכיח זאת באמצעות הוכחה בדרך השלילה. אם יש עניין, אמרו לי ואני אכתוב לכם את פרטי ההוכחה באופן מסודר ושיטתי, ואחרי שכל התלמידים יקראו וינסו להבין, אסביר בהרחבה את ההוכחה ואת הרעיון בשיעור העוקב.

מעניין מאוד יהיה לכם לקרוא על הנפה של ארטוסתנס, שיטה שפיתח אדם בשם ארטוסתנס כדי למצוא מספרים ראשוניים ולסמנם. הבחור הזה היה פיקח ביותר. הוא גם מצא שיטה (כבר בשנת 250 לפני הספירה, לפני אלפי שנים) כיצד להעריך את גודלו של כדור הארץ, הוא גם המציא את המילה גיאוגרפיה!! [צפו בסרטון שבו מספרים את הסיפור, עם כתוביות בעברית. אפשר לבחור כתוביות בעברית מהתפריט של הסרטון בנגן של youtube]. את הסיפור הזה מספרים יפה בספר חביב בשם למדוד את העולם, שמסביר לא רע את הנושא הזה ונושאים אחרים בפרקים הראשונים, אבל ההסברים הולכים ומתערפלים ומסתבכים בפרקים הבאים].

טרום אלגברה

ישנה סדרה מונפשת חביבה ומשעשעת עם כתוביות בעברית שבה מסבירים יפה והיטב את התפתחות מושג המספר והרחבתו: החל במספרים הטבעיים ובמבנה המספר העשרוני ועד לייצוגים אחרים (ספרות רומיות, בסיסים שונים, שברים פשוטים, פעולות בשברים, שברים עשרוניים, פעולות בשברים עשרוניים, פעולות במספרים מכוונים ועוד).
הנה קישור לסדרה עם הכתוביות בעברית, כפי שתורגמו עד כה (הבאות בתור, ויש עוד 13 לפחות, תתוספנה לרשימה שבקישור בשבועות הקרובים): 
ברשימה שבקישור יש גם הפנייה לכל סרטון וגם הפנייה להסבר באתר מכון דוידסון.

הנה הפרקים שתורגמו עד כה וקישור, לכל פרק, להסבר מפורט באתר מכון דוידסון:

להסבר מלא: http://goo.gl/QkAAa
להסבר מלא: http://goo.gl/8dl38
להסבר מלא: http://goo.gl/x1nvn
להסבר מלא: http://goo.gl/D7slZ
להסבר מלא: http://goo.gl/zTT2W
להסבר מלא: http://goo.gl/e5sfZ
להסבר מלא: http://goo.gl/sSHAV
להסבר מלא: http://goo.gl/lkXv9
להסבר מלא: http://goo.gl/TqU4s
להסבר מלא: http://goo.gl/eqFgc
להסבר מלא: http://goo.gl/iSFeV
להסבר מלא: http://goo.gl/xhSBf
להסבר מלא: http://goo.gl/LVONA
להסבר מלא: http://goo.gl/B7DWP
להסבר מלא: http://goo.gl/EEOXi
להסבר מלא: http://goo.gl/2XvdA
להסבר מלא: http://goo.gl/oqGmO
להסבר מלא: http://goo.gl/0Xg2B
להסבר מלא: http://goo.gl/5y7Xg
להסבר מלא: http://goo.gl/IqDYS


חידה של תלמיד בכיתה 
אחד התלמידים בכתה השאיר על הלוח חידה נוספת בשבילנו. רובכם ככולכם שעטתם מהכיתה בגמר השיעור ולא הספקתם לקרוא אותה ולהעתיקה. אני מצרף לכם צילום שלה מהלוח:


למי שהסתבך עם חידת הגפרורים מהאתגר השבועי
הכנתי רשימה ובה עיצות לגישה לפתרון, רמזים ואפילו פתרון מלא (וגם חידת בונוס קלה יותר, כדי להשתעשע).

מדע "מסע לקוטב"
התלמידים לא התקדמו בגיליון בכלל. ביקשתי להתחיל ולעבוד בו.
בינתיים, אני מציע לכם כמה דברים קשורים לקריאה ולצפייה:


שיהיה שבוע טוב, קריאה וצפייה מהנים, ועבודה מעניינת ופורייה בגליונות. להתראות ביום שישי ב-12:45.


המורה,
שלמה יונה


סוגים שונים של אינסוף, הבחנה בין גודל לבין כמות והתאמה חד-חד ערכית במתמטיקה ובמציאות



סוגים שונים של אינסוף, הבחנה בין גודל לבין כמות והתאמה חד-חד ערכית במתמטיקה ובמציאות

גדי אלכסנדרוביץ פרסם בוואינט מאמר יפה שמסביר בשפה קלה ובעזרת דוגמאות אינטואיטיביות על סוגים שונים של אינסוף.  הנה הקישור למאמר: אין סוף למוזרות: על המלון המטורף של הילברט

הדיון מעניין ומלמד.

לפנינו סרטונים שמסבירים את רעיון ההתאמה החד-חד ערכית (אפשר לבחור כתוביות בעברית) ושל הבחנה בין סוגים שונים של אינסוף:



הסרטון הזה עוסק במנייה של אינסוף והתאמה חד-חד ערכית:


והנה סרטון קצר שמציג את הרעיון במשל המלון של הילברט:




מעניינת ההדגשה של גדי אלכסנדרוביץ' שהדיון יעסוק באינסוף במובן של כמות. זאת הבחנה יפה ועדינה. כבר מגיל צעיר אפשר להבדיל בין ילדים שמלמדים אותם להבחין בדקויות שפה ומשמעות כמו ההבדלים שבין גודל וכמות... למי ששכח העוולות הגדולות שנגרמו כאשר התעקשו ללמד בארץ מתמטיקה בעזרת הבדידים היו: קבעון בדוגמאות, קשר שגוי בין כמות לבין גודל לבין צבע. במיוחד הבעיה היתה שהבדידים היו בשימוש (ולמרבה הצער עדיין בשימוש בחלק מגני הילדים) בתקופה שבה ההתפחות המוחית של הילדים אמורה לעבור משלב של התמקדות במאפיין אחד (למשל אורך) כאשר לעצם יש מספר מאפיינים (למשל, אורך, רוחב, שטח, נפח, צבע, משקל...) ליכולת להתמודד ולהעריך במקביל מספר מאפיינים של אותו העצם. השימוש בבדידים יצר קבעון שיש קשר הדוק בין גודל כמות וצבע. המציאות היא שאין בהכרח קשר בין התכונות הללו ושצבעו של עצם אינו מחייב גודל מסויים או כמות מסויימת  ובאותו אופן שגודל אינו קשור בהכרח בכמות ובצבע וכך הלאה. וראו הסבר מפורט ומעמיק על כך במאמרה של תלמה גביש אל תתנו להם בדידים.

כצפוי בנושא זה מוזכרים המתמטיקאים קנטור והילברט.

עיסוק באינסוף, בקבוצות אינסופיות ובפעולות על קבוצות שכאלה מתאפשר בעזרת כלי מתמטי שנקרא התאמה חד-חד ערכית.

התאמה חד חד ערכית אינה רק כלי תיאורטי מתמטי רב עוצמה אלא גם כלי שימושי וחזק במציאות היום יומית שלנו. למשל, כאשר אנחנו משווים בין איברי שתי קבוצות כיצד אנחנו יודעים לומר באיזו קבוצה הכמות גדולה יותר? אפשרות אחת היא למנות את מספר האיברים בכל קבוצה ולבדוק את היחס שבין התוצאות (שווה? גדול? קטן?). אבל אפשרות זאת, אף על פי שככל הנראה רוב הקוראים ישתמשו בה באופן אוטומטי, דווקא אפשרות היא פחות מוחשית ויותר מופשטת ועקיפה מהאמצעי הישיר. הנה אפשרות ישירה יותר באמצעות התאמה חד-חד ערכית: לכל איבר בקבוצה א' ננסה להתאים איבר בקבוצה ב' (את זה אפשר לעשות באמצעות חיבור בקו בין כל בני זוג, למשל, אבל אין חייבים לעשות זאת, אפשר גם לחבר אותם בקו באופן רעיוני). אם כשיאזלו לנו איברי קבוצה א' (זה יקרה רק אם בקבוצה א' מספר האיברים סופי) נגלה שבדיוק אזלו גם איברי קבוצה ב' נדע שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה (הכמות של האיברים בשתי הקבוצות זהה). אם נגלה כשאזלו לנו איברי קבוצה א' שנותרו עוד איברים מקבוצה ב' שטרם הותאמו אז נדע שבקבוצה ב' יש יותר איברים מאשר בקבוצה א'. המקרה האחרון הוא שעוד בטרם יאזלו איברי קבוצה א' כבר יאזלו איברי קבוצה ב' -- או אז נדע שבקבוצה ב' יש פחות איברים מאשר בקבוצה א'.

התאמה חד-חד ערכית היא ישירה וטבעית והדרכה של ילדים כבר מהגיל הרך להשתמש בה כאסטרטגיה לפתרון בעיות ולהשוואה מפתחת את החשיבה.

אפשר לקרוא עוד על התאמה חד-חד ערכית בחינוך לגיל הרך בחומרי הלימוד של "מתמטיקה יסודית" לגיל הרך והרבה הרבה יותר מזה בספרי המורה של "מתמטיקה יסודית" לכתות בית הספר היסודי. את הרעיון מדגימים ב-"חיסור של השוואה" (וראו חומר סיכום של שיעור שהעברתי בנושא בסדנת מתמטיקה שלימדתי בבית ספר עמל בכפר יונה) ומרחיבים אותו: הנה קישור ל-סרטון שבו אני מסביר לילדים על חיסור של השוואה.

כדוגמה, הנה קטע מדיאלוג בכתת יסוד במתמטיקה בעת עיסוק בנושא:


מורה: אני מבקש שתסבירו למתקשים באמצעות דוגמה. השתמשו במספרים קטנים, כדי שלכולנו יהיה קל יותר.
תלמיד: יש לי כאן קבוצה של  9 טבעות:

יש לי כאן קבוצה של 7 משולשים:

כמה טבעות יותר ממשולשים יש לי?
מורה: הדוגמה מצויינת. מי יכול להראות לנו איך עושים את ההשוואה?
תלמיד:
אני מותח קו
בין כל פריט
של קבוצת הטבעות
ושל קבוצת המשולשים.
הנה, כך אני עושה את זה:

אני רואה שנשארו שתי טבעות שאין להן משולש חבר. אין בסיפור הזה שלם, אין בסיפור הזה ספירה אחורה, אין בסיפור הזה נקודת מוצא. יש בו רק התאמות בין החברים של קבוצה אחת לחברים של הקבוצה השנייה, ורואים כמה פריטים נשארו ללא חבר.
מורה: יופי. אבל עכשיו כבר התקדמנו ואנחנו יכולים לדעת שלפריטים האלה קוראים: איברים. אנחנו עורכים התאמה בין איברי קבוצה אחת לאיברי הקבוצה השנייה ורואים כמה איברים נשארים ללא ההתאמה הזאת. את מספר האיברים ללא ההתאמה מוצאים על ידי חיסור. זהו חיסור של השוואה.

מורה: מדוע אני מכנה את הפריטים בכינוי איברים
תלמיד: אני יודע שלחלקים של הגוף שלי קוראים: איברים. זאת אותה מילה?
מורה: כן. האיברים של הגוף שלך הם החלקים שבונים את הגוף שלך. כך האיברים של קבוצה הם החלקים הבונים את הקבוצה.



הגדרת מושגים, הבחנה בדקויות, שפה מדויקת הם חשובים ושימושיים לא רק למתמטיקאים מקצועיים, אלא גם לתלמידים ילדים -- שימוש בהם כבר מגיל צעיר מפתח את החשיבה, והיכרות עמם תוך כדי עיסוק בעצמים מוחשיים, ובהמשך בציוריים (ורק בסוף במופשט) מאפשרים לבנות מודל מנטלי איתן שעליו אפשר להישען כאשר עוסקים בנושאים מופשטים.

כל הכבוד לגדי אלכסנדרוביץ על ההנגשה שלו של נושאים מתקדמים במתמטיקה לקהל הרחב. אני יכול להמליץ על ספר מצויין שכתוב באופן קולח ונגיש: "מתמטיקה שירה ויופי" של רון אהרוני שעוסק כפי ששם הספר מגלה במתמטיקה בשירה וביופי: המחבר מנסה להראות קווים משותפים בין המתמטיקה והשירה באמצעות נסיון להסביר מה נחשב יפה במתמטיקה ומה נחשב יפה בשירה. בין הדוגמאות הרבות שהוא מביא אפשר למצוא גם דיון מעניין ומלמד "בגובה העיניים" בנושא שבו עסק גדי אלכסנדרוביץ במאמרו זה שפורסם בוואינט. על הספר "מתמטיקה שירה ויופי" כתב יפה יוסי לוי מהבלוג נסיכת המדעים.

אני מקשר לעוד רשימה שאני ממליץ לקרוא למתעניינים: כתבתי אותו בעקבות הקריאה בספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון -- שם אני מרחיב יותר על ספרים שעוסקים בנושאים שמשיקים לנושא שדן בו גדי אלכסנדרוביץ במאמרו. לסיום, עוד רשימה של גדי אלכסנדרוביץ בנושא המלון של הילברט.


המורה,


הניצחון והטרגדיה של אבי פצצת האטום

הניצחון והטרגדיה של אבי פצצת האטום


ביקורת קריאה על הספר פרומתאוס אמריקאי מאת קאי בירד ומרטין ג'יי שרווין.

זוהי הביוגרפיה של רוברט אופנהיימר, שמכונה גם, אופי, וגם, אבי פצצת האטום.

הביוגרפיה ארוכה מאוד: משתרעת על פני יותר מ-600 עמודים. היא אינה עוסקת רק במדע ובהסטוריה של המדע וגם לא רק בענייני פרוייקט מנהטן, אלא עוסקת הרבה מאוד ביחסיו עם אנשים שונים שהיו עמו בקשר וכן בפוליטיקה ששררה, לרבות המצוד אחריו וההאשמות כנגדו בנוגע להשתייכותו למפלגה הקומוניסטית ולהיותו סיכון ביטחוני (כל זאת אחרי פועלו בפרוייקט מנהטן).

אופנהיימר היה מדען פורה בפיסיקה תיאורטית, ובעת שניהל את פיתוח פצצת האטום בלוס אלאמוס שינה הרבה בהתנהגותו, בהשקפתו ובאורחות חייו, שכן הפך למנהל גדול של פרוייקט תעשייתי (צבאי) מעשי בקנה מידה גדול מאוד.

הספר מזכיר מדענים ידועים רבים ואותי עניינו מאוד הקטעים שעסקו במדע, בהסטוריה של המדע ובאנשים שהיו קשורים בכך. באופן אישי, עניין אותי פחות העיסוק המדוקדק בנושאים של הפוליטיקה האמריקאית.

הספר מעניין, אם כי מייגע.

מומלץ לחובבי ההסטוריה של ארה"ב שמתעניינים גם בהסטוריה של המדע, אם כי, בספר יותר פרטים ועיסוק בפוליטיקה וביחסים הבין אישיים בהקשר זה מאשר במדעים.

מהכריכה האחורית:
פרומתאוס אמריקאי / קאי בירד ומרטין ג`יי שרווין
מי היה אבי פצצת האטום רוברט אופנהיימר? גיבור ומושיע, שהעם האמריקאי
העריץ והעלה על נס? או בוגד וסיכון בטחוני, שהעם האמריקאי שנא והעלה
על המוקד?

אופנהיימר היה מדען מבריק שהוביל את בניית הפצצה בהא הידיעה - זו
שהשמידה את הירושימה ואת נגסקי, וחוללה מהפכה ביחסי הכוח בעולם;
פרומתאוס של אמריקה, שעמד בראש המאמץ האנושי לחלץ מהטבע, למען
ארצו, את אש השמש הכבירה. אבל עם תום המלחמה, השמיע אופנהיימר
דברים נבונים על הסכנות הטמונות באש הזאת, ועל התועלת הפוטנציאלית,
כך קיווה, העשויה לצמוח ממנה. אחר–כך, כשהיה קרוב לייאוש, השמיע דברי
ביקורת על ההצעות ללוחמה גרעינית שאומצו על ידי הצבא. "מה אפשר
לחשוב על ציוויליזציה”, אמר, "שראתה תמיד במוסר חלק מהותי בחיי אדם,
]אבל[ על תחזית השמדה מוחלטת כמעט של בני אדם לא הייתה מסוגלת
לדבר אלא במונחים כלכליים ובמושגי תורת המשחקים?"

הביוגרפיה המאלפת של אופנהיימר, יצירת מופת בתחומה, פרי של 25 שנות
מחקר, מאות ראיונות, עיון באלפי עמודים של מסמכים, וכישרון כתיבה
ספרותי, היא סיפור של אדם מיוחד ויחיד בדורו – מדען שאפתן, פורץ דרך,
איש מעשה, וגם איש אשכולות, בעל חוש מוסר וביקורת, שאת צפונות לבו
ורגשותיו ביקשו המחברים לגלות. אבל כפי שכותבים המחברים, קיי בירד
וג'יי מרטין שרווין,
 זהו גם דיוקן מורכב של האומה האמריקאית ושל יחסיה עם
נשק ההשמדה ההמוני: "סיפורו של אופנהיימר מזכיר לנו כי זהותנו הלאומית
קשורה קשר אינטימי בתרבות הגרעין. 'הפצצה קיימת בתודעתנו מאז 1945 ',
ציין א. ל. דוקטורוב. 'תחילה היא הייתה הנשק שלנו, אחר–כך הדיפלומטיה
שלנו, ועכשיו הכלכלה שלנו. כיצד נוכל לצפות שמשהו בעל עוצמה מפלצתית
כזאת לא יהיה מרכיב עיקרי של זהותנו? הגולם הגדול שיצרנו נגד אויבינו הוא
תרבותנו - תרבות הפצצה - הוא הגיוננו, הוא אמונתנו, והוא חזוננו”.





המורה,
שלמה יונה


יום שישי, 8 בפברואר 2013

סיכום שיעור מספר 6 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג'


סיכום שיעור מספר 6 בסדנת המתמטיקה לכיתות ג' 
ילדים יצאו לטיול

הנה דוגמה לשיח בין המורה (מ) לבין התלמידים (ת):

מ: לפנינו בעיה: 
 בבית ספר לומדים 542 ילדים. יום אחד יצאו חלק מהילדים לטיול ובבית ספר נשארו 386 ילדים. כמה ילדים יצאו לטיול?
אני מבקש שתכתבו את התרגיל המתאים ושתפתרו אותו. 

ת: [יואב] 156 = 386 - 542 

מ: איך אפשר לכתוב את התרגיל בצורת משוואה? 

ת: [תמי] 386 = ______ - 542 

מ: הסבירו. 

ת: 542 פחות כמה נותן 386. 

מ: לא הבנתי. 

ת: בבית הספר היו 542 תלמידים. חלק מהם יצאו לטיול. אנחנו לא יודעים כמה. אנחנו יודעים שנשארו 386 ילדים. שואלים אותנו כמה יצאו לטיול כך שנשארו 386 ילדים. 

מ: ההסבר יפה, אבל אני מבקש הסבר ציורי, בעזרת סרטוט של תרשים. 

ת: למה צריך עוד הסבר? כבר פתרנו את התרגיל ואנחנו יודעים את התשובה? 

מ: מי יכול לענות על השאלה החשובה הזאת? 

ת: כאשר יש כמה דרכים להסביר בעיה, זה מפתח את החשיבה. 

מ: התשובה הזאת מעולה, אבל יש עוד סיבות שבגללן כדאי להכיר הרבה דרכי פתרון. 

ת: כאשר פותרים בעיה בדרך אחת ורוצים להיות בטוחים שלא נפלה טעות אפשר לבדוק את הפתרון על ידי פתרון הבעיה בדרך אחרת. 

מ: יפה. יותר קל לבדוק אם התשובה נכונה על ידי פתרון בדרך אחרת. אם לא נגיע לאותה תוצאה, נדע שיש טעות. יש עוד סיבה לריבוי דרכי פתרון? 

ת: כן. כל אחד מאיתנו חושב קצת אחרת. אחד אוהב לפתור ישר את התרגיל, אחר אוהב את ההסבר של המשוואות ויש כאלה שיאהבו את ההסבר בעזרת סרטוט. 

מ: מישהו מוכן להסביר את הבעיה בעזרת סרטוט? 

ת: אני מעדיף את ההסבר הציורי הזה. זה עוזר לי להבין בדיוק ובמהירות את הבעיה. 

מ: אם כך, תסביר לנו את הבעיה בעזרת סרטוט. 

ת: אני מצייר בערך. בבית הספר יש 542 תלמידים. נשארו 386. ברור שמספר הנשארים גדול ממספר היוצאים לטיול. אז החלק שמייצג את הנשארים יהיה גדול מהחלק שמייצג את המטיילים. 

מ: איך אתה יודע זאת? 

ת: בבית הספר יש בערך 540 תלמידים. נשארו בערך 400. אז ברור שנסעו לטיול פחות מ-400. 

מ: אני רואה שאתה מבין, אבל עדיין אינני מבין את ההסבר שלך. 

ת: [זיו] יש קו שמייצג את כל תלמידי בית הספר. יש חלק צבוע שמייצג את התלמידים שיצאו לטיול ויש חלק לבן שמייצג את התלמידים שנשארו. אני מדבר על הקשר בין מספר המטיילים למספר הנשארים. ברור שאם בבית ספר יש בערך 500 תלמידים ובערך 400 נשארו, אז יצאו בערך 100 תלמידים לטיול. בגלל זה החלק שמייצג את הנשארים יהיה גדול מהחלק שמייצג את המטיילים. הסרטוט ייראה כך: 

מ: עכשיו ההסבר מעולה. גם הציור ברור. רואים תיכף ש-542 מכיל את מספר הנשארים ומספר המטיילים. למה דומה יותר הסרטוט שלפנינו לדרך של יואב או לדרך של תמי? 

ת: לדרך של תמי. 

מ: למה? 

ת: רואים שזה כמו המשוואה. 542 שווה ל-386 ועוד כמה. ואנחנו מחפשים את הכמה

מ: הנה עוד סיבה למה כדאי ללמוד גם את הדרך הזאת: סרטוט כזה יכול לסייע לנו בפתרון משוואות. הוא יכול גם להסביר לנו איזה מספר מכיל את המספרים האחרים. 

סיכום באמצעות בעיות מאותו סוג 

ת: בכיתה יש 32 כסאות. לקחו מהם מספר כסאות לכיתה השנייה. בכיתה נשארו 21 כסאות. כמה כסאות לקחו לכיתה השנייה? 

פתרון על ידי תרגיל חיסור: 

11 כסאות = 21 - 32 

פתרון על ידי משוואה: 

21 = ______ - 32 

הצגה של הבעיה בדרך גרפית: [הצגה גרפית היא הצגה בעזרת ציור].
Inline image 1

בעיות לדוגמה מהסוג הזה

1) אדם הרוויח 3400 ש"ח. לאחר שרכש תנור חשמלי נשארו לו 1234 ש"ח. כמה עלה התנור?

2) בבית קולנוע יש 236 מקומות ישיבה. הגיעו לסרט 131 צופים. כמה מקומות נותרו ריקים?

3) בספר יש 452 עמודים. ירון קרא מספר עמודים. נשארו לו לסיום הספר עוד 370 עמודים. כמה עמודים קרא ירון?

4) בבית חרושת מייצרים כל יום 6734 פריטים. חלקם בבוקר וחלקם אחר הצהריים. כמה פריטים ייצרו בבוקר אם אחר הצהריים ייצרו 3682 פריטים?

סיכום העיקרון

מ: מה המשותף לכל הבעיות האלה? 
ת: נתון השלם וחלק אחד ממנו ואנחנו מתבקשים למצוא את החלק השני.

בעיות מילוליות נוספות 
מ: את הבעיות הללו ננסה לפתור בכתה. נפנה לעבודה עצמית, ואני אעבור ביניכם ואסייע למי שנדרשת עזרה. אני מעודד אתכם להמשיך ולפתור בבית במחברות באופן מסודר, עם דרך מלאה, תרשים מתאים ופתרון מלא במילים.


ניסוח עיקרון לסיום

מ: עכשיו אני מגלה לכם עוד סיבה שבגללה יש ריבוי של תרשימים ושל הסברים ושל ניסוחים. גיוון של ניסוחים, של סרטוטים, של הסברים ושל כתיבות שונות מאפשר לנו לפתור בעיות נוספות מסוגים חדשים. אם נכיר דרכים רבות ומגוונות, נוכל להסתייע בחלק מהן בזמן פתרון בעיות שלא נתקלנו בהן עד כה. 

ת: בגלל זה ביקשת שנכתוב את כל הדרכים של הפתרון ואת כל ההסברים? 

מ: נכון. צריך ללמוד הכל. כאשר יודעים הכל, אפשר לבחור מה שמתאים לבעיה או מה מתאים לנו. לכל אדם שפותר בעיה יש דרך משלו לגשת אליה. 

אחדות או יחידות
הילדים ואני דנו האם יש לומר "ספרת האחדות" או שיש לומר "ספרת היחידות". הנה קישור להסבר מדוע יש לומר "ספרת האחדות" ולא כפי שהתרגלו הילדים: אחדות או יחידות, מה ההבדל?

המורה,
שלמה יונה

בעיות מילוליות לתרגול משמעויות של חיסור לכתה ג'




בעיות מילוליות לתרגול משמעויות של חיסור



פִּתְרוּ אֶת הַבְּעָיוֹת הַבָּאוֹת, וּפָרְטוּ מַהִי הַפְּעֻלָּה שֶׁבִּצַּעְתֶּם לְפִי הַדֻּגְמָה הַבָּאָה:



לְעֵינַת הָיוּ 30 מַדְבֵּקוֹת יְרֻקּוֹת וּצְהֻבּוֹת. כַּמָּה מַדְבֵּקוֹת יְרֻקּוֹת הָיוּ לָהּ, אִם מִסְפַּר הַמַּדְבֵּקוֹת הַצְּהֻבּוֹת הָיָה 14?

פִּתְרוֹן:

הַתַּרְגִּיל: 30 - 14 = 16

תְּשׁוּבָה: הָיוּ לָהּ 16 מַדְבֵּקוֹת יְרֻקּוֹת.
הַפְּעֻלָּה: חִסּוּר שֶׁל הַפְרָדָה. 

הַהַפְרָדָה הִיא לְפִי הַצֶּבַע.



שִׂימוּ לֵב!
אַל תִּשְׁכְּחוּ לְצַיֵּן אֶת סוּג הַפְּעֻלָּה שֶׁבִּצַּעְתֶּם.
אִם הַחִסּוּר הוּא חִסּוּר שֶׁל הַפְרָדָה יֵשׁ לְצַיֵּן לְפִי מַה נֶּעֶשְׂתָה הַהַפְרָדָה.
כַּאֲשֶׁר יֵשׁ בְּעָיָה שֶׁפִּתְרוֹנָהּ מַצריך מִסְפַּר פְּעֻלּוֹת חֶשְׁבּוֹן, יֵשׁ לְצַיֵּן בְּכָל פְּעֻלָּה וּפְעֻלָּה אֶת סוּגָהּ.


  1. בְּאַרְגַּז יְרָקוֹת הָיוּ 42 עַגְבָנִיּוֹת. 21 עַגְבָנִיּוֹתנִ מְכְּרוּ, 7 עַגְבָנִיּוֹת נִרְקְבוּ. כַּמָּה עַגְבָנִיּוֹת נוֹתְרוּ?
  2. בַּאֲרוֹן הַסְּפָרִים שֶׁל שׁוּלִי יֵשׁ 176סְפָרִים. בָּאָרוֹן שֶׁל יָנִיב יֵשׁ 128 סְפָרִים. כַּמָּה סְפָרִים לְיָנִיב פָּחוֹת מֵאֲשֶׁר לְשׁוּלִי?
  3. גִּילִי, יָעֵל וְאֶתִי קָנוּ בָּלוֹנִים. יָעֵל קָנְתָה 7 בָּלוֹנִים יוֹתֵר מֵאֶתִי. אֶתִי קָנְתָה 2 בָּלוֹנִים פָּחוֹת מִגִּילִי. אֶתִי קָנְתָה 8 בָּלוֹנִים. כַּמָּה בָּלוֹנִים קָנוּ שְׁלָשְׁתָּן יַחַד?
  4. 124 בָּנִים ו-15 בָּנוֹת יָצְאוּ לַטִּיּוּל. כַּמָּה בָּנִים צְרִיכִים לְהִצְטָרֵף לַטִּיּוּל כְּדֵי שֶׁמִּסְפַּר הַבָּנִים יִהְיֶה שָׁוֶה לְמִסְפָּר הַבָּנוֹת?
  5. יוֹאָב קָנָה מָזוֹן ב-82 ש"ח. הָיוּ לוֹ 100 ש"ח. כַּמָּה עדֶף קִבֵּל?
  6. בַּחֲנוּת נַעֲלַיִם יֵשׁ 23 זוּגוֹת נַעֲלַיִם עַל מַדָּף אֶחָד ו-58 זוּגוֹת נַעֲלַיִם עַל הַמַּדָּף הַשֵּׁנִי. כַּמָּה זוּגוֹת נַעֲלַיִם בִּשְׁנֵי הַמַּדָּפִים?
  7. תָּמִיר הוּא בֵּן 12, אָבִיו מְבֻגָּר מִמֶּנּוּ ב-28 שָׁנִים. בֵּן כַּמָּה אָבִיו?
  8. רָחֵל הִיא בַּת 8. אָביה מְבֻגָּר מִמֶּנָּה ב-22 שָׁנִים. בְּכַמָּה שָׁנִים יִהְיֶה אָבִיה מְבֻגָּר מִמֶּנָּה בְּעוֹד 15 שָׁנִים?
  9. יעקב מרויח ב-389 ש"ח יותר מבנו דוד. יעקב מרויח 724 ש"ח. כמה מרויח דוד? כמה מרויחים שניהם ביחד?
  10. סֵפֶר עוֹלֶה 72 שֶׁקֶל. רָחֵל רָצְתָה לִרְכֹּשׁ אֶת הַסֵּפֶר, אֲבָל הָיוּ לָה רַק 59 שְׁקָלִים. כַּמָּה כֶּסֶף חָסֵר לָהּ?
  11. בְּיוֹם רִאשׁוֹן מָכְרוּ 562 עִתּוֹנִים. בְּיוֹם שֵׁנִי מָכְרוּ 109 עִתּוֹנִים פָּחוֹת מֵאֲשֶׁר בְּיוֹם רִאשׁוֹן. כַּמָּה עִתּוֹנִים מָכְרוּ בִּשְׁנֵי הַיָּמִים?
  12. בְּאַרְגָּז אֶחָד הָיו 68 בַּקְבּוּקֵי שְׁתִיָּה. בְּאַרְגָּז שֵׁנִי הָיוּ 12 בַּקְבּוּקִים פָּחוֹת מֵאֲשֶׁר בָּאַרְגָּז הָרִאשׁוֹן. כַּמָּה בַּקְבּוּקִים הָיוּ בִּשְׁנֵי הָאַרְגָּזִים?
  13. נעַם גָּר בְּקוֹמָה 12 בְּבַיִת רַב קוֹמוֹת. חֲבֵרוֹ, מַתָּן, גָּר בְּקוֹמָה 7 בְּאוֹתוֹ בִּנְיָן. כַּמָּה קוֹמוֹת צריך מַתָּן לַעֲלוֹת כְּדֵי להגיע מִדִּירָתוֹ לַדִּירָה שֶׁל נֹעַם?
  14. בְּמִסְעָדָה קָנוּ 69 אֲפַרְסְקִים ו-72 שְׁזִיפִים. כַּמָּה פֵּרוֹת קָנוּ?
  15. זִיו קָנָה מִשְׂחָק בְּ-72 שְׁקָלִים וּבֶגֶד בְּ-97 שְׁקָלִים. כַּמָּה כֶּסֶף הוֹצִיא זִיו?
  16. במתפרה תָּפְרוּ 678 חֻלְצוֹת. לְאַחַר שֶׁמָּכְרוּ חֵלֶק מֵהֶן נוֹתְרוּ בַּמִּתְפָּרָה 7 חֻלְצוֹת. כַּמָּה חֻלְצוֹת נִמְכְּרוּ?


המורה,


יום רביעי, 6 בפברואר 2013

מהן משמעויות פעולת החילוק במספרים טבעיים?





משמעויות החילוק



ברשימה זו נעסוק במשמעויות של פעולת החילוק. לחילוק של המספרים השלמים ארבע משמעויות:

  1. חילוק לחלקים שווים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כמבטא יחס
  4. חילוק כהקטנה

לפעולות החשבון יש פנים רבות ואנחנו מוצאים את עצמנו משתמשים באותה הפעולה בעקבות תהליכי מחשבה שונים. נראה כיצד תהליכי חשיבה שונים מובילים אותנו לאותה פעולת חילוק.

ראשית, ניזכר בפעולת הכפל:

פעולת כפל היא קיבוץ  של קבוצות שוות גודל  לשלם אחד


למכפלה ולנכפל אותו הכינוי
לכופל אין כינוי משום שהוא מונה את מספר הקבוצות

חילוק לחלקים שווים

בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

בכפל, השלם הוא מכפלה.
בחילוק, השלם הוא המחולק.
החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל, זהו הכופל; בחילוק לחלקים הוא המחלק.
בכפל, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא הנכפל. בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.


נתון שלם ומספר קבוצות שוות גודל של אותו השלם.בחילוק לחלקים אנו מחשבים את מספר הפריטים בכל קבוצה.
הבעיה החשבונית:
בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

התרגיל המתאים:
תשובה:
4 עגבניות בכל קערית.

חילוק לחלקים הוא זה שאנו מורגלים בו יותר בחיי היומיום. אנחנו רגילים לחלק עצמים שווה בשווה בין מספר ידוע מראש של אנשים: 6 ממתקים מחולקים שווה בשווה בין 2 אחים -- כמה ממתקים יקבל כל אחד משני האחים?
התרגיל, כמובן, 6:2. בחילוק לחלקים שבו אנו מבצעים 6:2 אנו מחלקים 6 עצמים ל-2 קבוצות שוות גודל, ושואלים כמה בכל קבוצה. התוצאה היא 3 ופירושה: שתי קבוצות שכל אחת מהן בעלת 3 עצמים וביחד יש 6 עצמים. כלומר, 2 פעמים 3 הם 6 (או בחיבור 6=3+3). 6 הוא המחולק (כי אותו מחלקים), 2 המחלק (כי הוא מחלק: קובע את מספר הקבוצות שוות הגודל) ו-3, המנה, קובע כמה איברים בכל קבוצה.

חילוק להכלה

הבעיה החשבונית:
בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בקעריות. בכל קערה הנחנו 4 עגבניות. בכמה קעריות השתמשנו?

התרגיל המתאים:

תשובה:
השתמשנו בשלוש קעריות.

בחילוק להכלה למחלק ולמחולק יש את אותו הכינוי,כי הקבוצות החלקיות מורכבות מאותם הפריטים שבונים את השלם. 
בחילוק להכלה אנחנו מחשבים כמה פעמים 12 מכיל את 4 (כמה פעמים 4 "נכנס" ב-12).

בסוג השני של החילוק מתהפכים התפקידים בין מספר הקבוצות לבין מספר האיברים בכל קבוצה. הפעם נתון מספר האיברים בכל קבוצה ומבוקש מספר הקבוצות. למשל, אמא חלקה 6 ממתקים בין ילדיה. כל אחד קיבל 2 ממתקים. כמה ילדים יש לה?
התרגיל הוא 3=6:2, אבל הפעם הוא עונה לשאלה אחרת. בחילוק לחלקים שאלנו: 6 עצמים חולקו ל-2 קבוצות, כמה עצמים יהיו בכל קבוצה? ואילו בחילוק להכלה השאלה היא: חילקנו 6 עצמים כך שבכל קבוצה יש 2, כמה קבוצות יש?
אפשר לבטא זאת כך: כמה פעמים נכנס 2 ב-6, או כמה פעמים מוכל 2 ב-6? מכאן שם הסוג הזה של החילוק, חילוק להכלה. התשובה 3 משמעותה ש-3 קבוצות בגודל 2 מכילות יחד 6. כלומר, 3 פעמים 2 הם 6 (בחיבור: 6=2+2+2).
נבחין שהבדל בין שתי המשמעויות הוא בהבדל בין 2 פעמים 3 לבין 3 פעמים 2.



משימה
המציאו לתרגיל =24:6 שתי בעיות: אחת של חילוק לחלקים ואחת של חילוק להכלה. רשמו בתרגילים את הכינויים הנדרשים ואת סוג החילוק שמתאים לכל בעיה.

הנה סרטון שמסביר משמעויות של חילוק כפי שלמדנו: חילוק לחלקים וחילוק להכלה: 
אז איך מחלקים בשבר? -- כאן סטיתי מהתוכנית המקורית שלי לשיעור בגלל העניין של התלמידים ובגלל שאלותיהן:

תלמידים מתלהבים מההבנת ההבדלים ויש מביניהם שגם שואלים על חילוק  בשבר. בעקבות דיון המסקנה היתה שלא ניתן להשתמש בחילוק לחלקים אבל כן אפשר להשתמש בחילוק להכלה.

12:1/3 -- כמה הם 12 לחלק ב-1/3? נשתמש בחילוק להכלה ונשאל כמה פעמים 1/3 נכנס ב-12?
שליש נכנס בשלם פעם אחת. 12 הן 12 פעמים אחד, השלם -- ולכן בסך הכול כדי לפתור את זה נחשב כמה הם 12 פעמים שלוש ונקבל 36.

מכאן הגיעה שאלה כמה זה שליש לחלק לתשיעית?
חילקנו שלם לתשעה חלקים שווים:
נתבונן בשליש ממנו ונספור כמה תשיעיות יש בתוך השליש -- כמה תשיעיות נכנסות בשליש:
וראינו שיש שלוש.

אנחנו נמנענו מטריקים ומטכניקה להגיע לתשובה ללא משמעות. בשיעור עבדנו על הבנה מה אנחנו מחפשים בתרגיל, מה המשמעות וכיצד נמצא את התשובה מתוך הבנת המשמעות.

ואז באה השאלה: כמה הם שליש לחלק לשמונה תשיעיות?
היו הצעות רבות בדיון -- זכתה בפשטותה ההצעה שאמרה -- אנחנו כבר יודעים לפתור שליש לחלק לתשיעית (יצא 3) ואנחנו רואים שהביטוי 1/3:8/9 קטן פי שמונה מהביטוי 1/3:1/9 כי מחלקים בשמונה תשיעיות לעומת חלוקה בתשיעית ולכן התשובה צריכה להיות קטנה פי שמונה מהתשובה לשאלה הקודמת וקיבלנו 3/8.

במשמעות השבר ובארבע פעולות החשבון בשבר נעסוק באחד מהשיעורים הבאים בהמשך, נבין מדוע אנו נדרשים לפעולות המורכבות בשברים, מה משמעויותיהן ומדוע הן עובדות -- כך גם נשתחרר מהצורך לזכור תהליכים מורכבים או כללים סתמיים ופשוט נבין ונדע לבד לבנות את הדרך לפתרון, דרך יעילה וקצרה לפתרון בעיות בשברים. אך כל זה בעוד מספר שיעורים.

חילוק כמבטא יחס

בעיה חשבונית:
יש לי 12 עגבניות. יש לי 3 קעריות. מה היחס בין כמות העגבניות לבין כמות הקעריות?
היחס הוא 12:3
איך הגענו לתשובה? ביצענו פעולת חילוק: 4=12:3.
התוצאה היא מספר חסר כינוי.
יצאנו מהנתונים המספריים והגענו ליחס.

לפנינו עובד אשר מרוויח 1000 ש"ח. מה נוכל לומר על מצבו?
לא נוכל לומר דבר בעל משמעות כי איננו יודעים ביחס למה להעריך את שכרו של העובד שמשתכר 1000 ש"ח. אם למשל היו בידינו נתונים על השכר הממוצע בעבור עבודה שמבצע עובד כזה אז יכולים היינו להעריך האם הוא משתכר פחות מידי, יותר מידי, או שכר הגון.

בעיה חשבונית:

בחוגי סיירות משתתפים 450 ילדים. בחוגי מחשבים משתתפים 90 ילדים. פי כמה  גדול מספר המשתתפים בחוגי הסיירות לעומת מספר המשתתפים בחוגי  המחשבים?


אפשר לנסח את השאלה גם פי כ מה קטן מספר המשתתפים בחוגי המחשב מזה  שבחוגי הסיירות. התרגיל ישאר אותו התרגיל.
למחלק ולמחולק יש מכנה משותף, אך המנה היא מספר טהור, חסר כינוי.

בבעיה הזאת מצאנו את היחס בהנתן שני גדלים כמותיים.

בעיה חשבונית:
בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 יותר ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?

אנו זוכרים שהמילה פי מבטאת יחס. זו בעיה שפתרונה דורש כפל (ולא חילוק) ה-280 ב-7.
התרגיל:
בעיה חשבונית אחרת:

בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 פחות ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?
פה נזדקק לחילוק כי יש כאן רמז לשון: "פי כמה פחות"


עכשיו נראה תרגיל שמופיע בו רמז לשון "פי 3 יותר" ונזדקק דווקא לחילוק. למרות המילה יותר הפעולה מחייבת הקטנת הגודל הכמותי על ידי חילוק:
לתמי יש בקופת החיסכון שלה 540 ש"ח. לתמי יש פי 3 יותר כסף בקופת החיסכון שלה מאשר ליותם. כמה כסף יש ליותם בקופת החיסכון שלו?
חשוב שנבין מהי נקודת המוצא לקביעת היחס ולפיה נדע מהי הפעולה החשבונית שיש לבצע.

המכנה המשותף בין הכמויות מאפשר את קביעת היחס -- ללא המידה המשותפת לא ניתן לקבוע יחס בין הכמויות. המכנים המשותפים בין המחלק לבין המחולק הם הבסיס להשוואה.

נתבונן בבעיה שבה נצטרך להביא את הכמויות למכנה משותף שבלעדיו לא נוכל לקבוע את היחס:
תייר הביא עמו 700 ש"ח וחברו הביא עמו 1400 דולר. מה היחס בין כמויות הכסף שבידיהם?

קביעת היחס תחייב המרת הערכים בין המטבעות ממטבע אחד לאחר או מכל מטבע למטבע שלישי, רק כך נוכל לקבוע את היחס שבין הכמויות.

ללא מידה משותפת לא ניתן לקבוע יחס
ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. נזכיר כעת גם משמעות נוספת של חילוק (שגם היא בעצם יחס)



חילוק כהקטנה

ילד קיבל 12 עגבניות ואילו חברו קיבל פי שלושה פחות מהראשון. כמה עגבניות קיבל החבר?
התשובה: 4 עגבניות לחבר. ביצענו פעולת חילוק 4=12:3
אנו יוצאים מהיחס ומגיעים למספר שנובע מהיחס.
יש קשר הפוך בין המשמעות השלישית לבין המשמעות הזאת, הרביעית: שתי המשמעויות הן פועל יוצא של אותה הפעולה -- החילוק.

היחס בין מספר התלמידים בין ישוב א' לבין ישוב ב'  הוא 1:8. בישוב ב' לומדים 560 תלמידים. כמה תלמידים לומדים בישוב א'?

הגודל הכמותי הנתון: 580 תלמידים. זהו שלם אחד.
היחס הוא 1:8.
הגודל הכמותי שנובע מהנתונים (חישוב ערכו של השלם השני).
כאמור, ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. גם במשמעות זו.

סיכום ההבדלים בין המשמעויות של החילוק: לחלקים להכלה ויחס
בחילוק אין מכנה משותף למחלק, למחולק ולמנה


למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך יחסית נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר יחסית בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נשמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

לסיכום: 
אי אפשר לחלק באפס כי אם המספר שאותו מחלקים איננו 0, אזי אין שום תשובה נכונה ולכן חלוקה באפס אינה מוגדרת.
אם המספר שאותו מחלקים הוא 0 אזי לכאורה כל תשובה נכונה וכל תשובה נכונה כזאת מביאה אותנו לסתירה עם כללי החשבון ולכן אנו קובעים ש- 0:0 אינו מוגדר. 

המורה, 


מקורות