יום שבת, 19 בינואר 2013

מה הבעיה עם חלוקה באפס?


למה אי אפשר לחלק ב-0?
התשובה הקצרה היא שחלוקה באפס אינה מוגדרת במתמטיקה כי היא חסרת משמעות. התשובה הארוכה יותר, לפניכם:

* ראשית, כדי להיזכר במשמעויות של החילוק אני מציע לקרוא את המאמר על משמעויות החילוק במספרים טבעיים.

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

הבעיה אינה בחוסר יכולתנו להגדיר חלוקה באפס. נוכל, למשל, להגדיר שכל מספר שאותו נחלק באפס יתן את התוצאה 42. לו היינו עושים דבר, לא היינו יכולים להבטיח שכל שאר החוקים והכללים בחשבון ימשיכו לפעול כהלכה. היינו למשל מקבלים ש-
1:0=42
ואז להשתמש בחוקי החשבון הרגילים שאנו מכירים ולקבל
1=42x0=0

חילוק הוא פעולה הפוכה לכפל (כמה זה 10 לחלק ב-2? זה המספר שאם נכפול אותו ב-2 נקבל 10). העסק הזה לא יהיה נכון יותר אם נקבל את ההגדרה המוזרה שלנו לחילוק באפס (או כל הגדרה אחרת). איך למשל, נוכל לקבל 6?
6:2=3; 6=2x3
ננסה: כמה זה 6 לחלק באפס? זה אמור להיות המספר שאם נכפול אותו באפס נקבל 6 אבל כל מספר שכופלים באפס יוצא אפס אז איך נקבל את 6? אז 6:0 לא בא בחשבון (הא!), ובאותו האופן גם לא בא בחשבון שום מספר אחר שמחולק באפס, מלבד, אולי, אפס בעצמו...

אז מה עם 0:0?

המנה של כל מספר שמחולק בעצמו (מלבד 0) היא 1. לו הגדרנו את 0:0 להיות גם כן 1 אז היינו מקבלים ש-
0x1=0
שזה אפילו עובד. אז מדוע המתמטיקאים מתעקשים שאין משמעות לביטוי 0:0? הסיבה היא שישנו כלל אחר שנפגע: אם נניח שאכן
0:0=1
אז היינו מקבלים:
2=2x1=2x(0:0)=(2x0):0=0:0=1
וכמובן, לקבל ש-2 שווה ל-1 זאת תוצאה שאינה רצויה.

לסיכום, משום שאיננו רוצים סתירות המתמטיקה, אזי מוותרים על החילוק באפס.



המורה,

11 תגובות:

  1. " משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת."

    לאיזה סתירה זה מביל?

    בנוסף אתה כותב : "משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה"
    הרשימה שלך עוסקת באופן הגדרת החילוק, אתה לא יכול לנמק את אופן ההגדרה ע"י ההגדרה, זה כמו להסביר מושג בעזרת אותו מושג.

    השבמחק
    תשובות
    1. לא ניתן לחלק בגלל המשוואה הבאה. ניקח למשל 12*0=13*0 אם ניתן לחלק באפס נצמצם אותו משני צידי המשוואה וכך נקבל 12=13

      מחק
  2. אנונימי צודק אתה יכול להגדיר חלוקה מודולו ואז כללי החילוק מאפשרים יותר מתוצאה אפשרית אחת ועדיין אין אפשרות לכפול את 0 במספר הקיים על ציר המספרים ולהגיע לתוצאה הרצויה

    באותה מידה אתה יכול להגדיר מספר וירטואלי שהכפלתו ב - 0 תגיע לכל המספרים על הציר והעניין של חלוקה ב - 0 הוא רק ענין של נוחות
    הערך של המספר הוירטואלי בילתי נתפס וכנראה לא יכול להתקיים אבל היו טעויות בעבר

    ארז

    השבמחק
  3. 0 זאת ספרה ולא מספר

    השבמחק
  4. יש את הספרה אפס, ויש את המספר אפועלים על הספרה, אלא על המספר.

    השבמחק
  5. איזו תשובה נהדרת! ברורה, תמציתית ופשוטה להבנה.
    אימצתי.

    השבמחק
  6. סוגיית לשון:
    חלוקה באפס או שמא חילוק באפס?
    תודה, רש"י

    השבמחק
  7. השאלה רחבה יותר והיא מדוע בכלל במתמטיקה יש הגבלה פונקציונאלית. מדוע למשל ישנם פונקציות הפועלות על מספרים שלמים בלבד? מדוע קיימים נקודות סינגולריות?
    עם כל הכבוד למדע המתמטיקה, אולי כל זה מרמז על מדע המבוסס על אקסיומות לא נכונות ולמעשה ניתן להתחיל הכל מחדש באופן כזה שלא יהיו תחומים לא מוגדרים אף על פי שההסבר מדוע לא ניתן למדוד "כמה פעמים יש אפש במספר 6" או (0)Ln לא מוגדר כי לא ניתן למצוא x שמקיים 0=e^x.

    השבמחק
  8. החלטות לא מעטות נקבעות שרירותית. החכמה היא לקבוע אותן כך שלא יביאו לסתירה במתמטיקה.
    בד"כ (כמעט תמיד) עושים עבודה טובה. איפה שיש בעיות, עם הזמן ועם הניסיון ועם הידע פותרים אותן.

    השבמחק
  9. אם חלוקה באפס הייתה מוגדרת, היינו מגיעים מהר מאוד להוכחה שבה 0=1. כלומר שדה בן איבר אחד.
    זה שדה אפשרי, מתמטית, אבל לא מעניין מכל בחינה פרקטית ולכן הוספה האקסיומה שאומרת שחלוקה באפס אינה מוגדרת.

    השבמחק
  10. לפעמים סיגר, הוא רק סיגר.....

    השבמחק