יום שלישי, 11 ביוני 2013

מתמטיקה במעבר מבית הספר היסודי לחטיבת הביניים


מתמטיקה במעבר מבית הספר היסודי לחטיבת הביניים


רשימה לסיכום הרצאה להורים שמסרתי ביום שלישי, 11 ביוני, 2013 בכפר יונה.


בהרצאה חשוב לי להעביר את המסר שלא לחינם נושא השבר הפשוט קשה לילדים: משום מורכבותו ומשום הסתמכותו על מושגים ורעיונות מתמטיים קודמים שנדרשים לצורך הבנתו. נראה כמה נדרש כדי לקבל ייצוג פנימי נכון וגם מהו בכלל ייצוג פנימי. בהרצאה גם נראה כמה דוגמאות עד כמה השבר מרכזי ומהותי בכל תחום שנלמד במתמטיקה (ולמעשה גם בשימושים אחרים בחיים שאינם נתפסים בתודעתנו כמתמטיקה). בשלב הזה כבר צריך להיות ברור שמי שאינו מבין שברים, יתקשה להבין נושאים מתקדמים יותר ומי שרק יודע לבצע אבל אינו יודע מדוע ולמה הביצוע ימצא את עצמו לומד נושאים באופן אפיזודי ותחסר לו התובנה שהוא רואה מופעים שונים של אותם העקרונות ושל אותם הרעיונות המתמטיים. השבר משמש לנו כמשל וכדוגמה לנושאים נוספים אחרים במתמטיקה שעליה נאמר ובצדק שהשליטה בה נבנית נדבך על גבי נדבך.

אנחנו ההורים יכולים להיות מודעים לגורמים לקשיים וגם מודעים לאופני ההוראה שתוקפים את הקשיים הללו ולהפוך לצרכנים טובים יותר של חומרי ושל שירותי הוראה עבור ילדינו וגם אולי אפילו לנסות בעצמינו לעבור את התהליך המלא של ההבנה ולשלוח ידינו בניסיון לעזור לילדינו להבין.

מדוע מתמטיקה?

מעמדה המיוחד של המתמטיקה נובע ממאפייניה:
  1. הפועל במסגרתה חייב להפעיל מבני חשיבה קפדניים
  2. אנו נזקקים לה בגלל ערכה המעשי
  3. היא דורשת אחריות אישית על התוצאה
  4. היא שפה
  5. היא תרבות
החברה האנושית בת־ימינו לא היתה מצליחה לתפקד ללא מתמטיקה. למען האמת, כל אותם דברים שאנחנו מקבלים כמובנים מאליהם: מטלוויזיה ועד טלפון נייד, ממטוס נוסעים בעל מנוע סילון ועד מערכת ניווט לוויינית במכונית, מלוח זמנים של רכבות ועד סורק רפואי — כל אלה נסמכים על שיטות ורעיונות מתמטיים. בחלק מן המקרים המתמטיקה הנדרשת היא בת אלפי שנה, באחרים היא פרי תגלית של השבוע החולף. רובנו לא מודעים כלל לנוכחותה בעת שהיא פועלת מאחורי הקלעים להעצים את כל אותם פלאי הטכנולוגיה המודרנית. קצת חבל שכך הם פני הדברים: זה גורם לנו לחשוב שהטכנולוגיה פועלת כמו במטה קסם, וכתוצאה מכך אנחנו מצפים שניסים חדשים יקרו מדי יום. ועם זאת, זה גם טבעי לחלוטין: אנחנו רוצים להשתמש בדברים הנפלאים האלה בקלות רבה ככל האפשר ובלי להשקיע הרבה מחשבה. אין צורך להטריד את המשתמש במידע שאינו־חיוני לגבי התחכום שבזכותו קורים לנו הניסים האלה. אם כל נוסע במטוס סילון היה צריך לעבור מבחן בטריגונומטריה לפני עלותו למטוס, רק מעטים מאיתנו היו מצליחים להינתק מן הקרקע, ועולמנו היה נעשה צר־אופקים וקרתני ביותר.

בזכות המשמעות


הילדים מגיעים לבית הספר היסודי כשהם בדרך כלל סקרנים להבין רעיונות ועקרונות ובתוך זמן מה הם חשים שבמתמטיקה עוסקים בחישובים שאינם מבינים, אפילו שלפעמים מצליחים לבצע ושכל הסיפור משעמם ומנותק מהמציאות. אפילו הקלישאה שמי שיודע מתמטיקה יצליח בחיים ויסתדר בקניות אינה משכנעת כשהזמינות של מכשירי החישוב כה רבה וקלה.
"המתמטיקה שאתם לומדים בבית הספר היא לא כל המתמטיקה. יותר מזה: המתמטיקה שאינכם לומדים בבית הספר היא מתמטיקה מעניינת."
[פרופסור איאן סטיוארט
אז מה פיספסנו?

אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה: רבים מהם כבר מגיל בית הספר. ואת תחושת החרדה והמיאוס שנצרבו בתודעתם הם נושאים עמם במשך שנים רבות מאז. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקה, מי צריך את זה בכלל, לא כולם נועדו להיות מתמטיקאים, מתמטיקה זה לא בשבילי. עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אפשר למנוע ואפשר לתקן כך שיפתחו השערים בפני כל תלמיד שיבחר.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. הניסיון מראה שזה אפשרי ואני פוגש גם ילדים שאוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אני רואה ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות.

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש פלא משולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מסימנים מוזרים וטריקים לפתרון תרגילים. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים.

איך פתאום קשה במתמטיקה? מה קרה שפתאום מפסיקים להבין?

אחת הסיבות לכישלון של רבים מהתלמידים במתמטיקה נובע מחוסר הרצף ומהקיטוע שבהסברים על העקרונות שעומדים בבסיס החשיבה. תלמיד שמגיע לחטיבת הביניים מבית הספר היסודי נתקל, לא אחת, בסוג חשיבה שונה ממה שהורגל לו.

סיבה נוספת לכישלונות נובעת מהרצון העז של המורים, ההורים והתלמידים להגיע לתוצר הסופי במהירות, מבלי שניתנה תשומת לב מספקת לעצם התהליך של החשיבה.

מורה למתמטיקה שרוצה לתווך ולא רק למסור ידע, ישתדל לטפל במבנים הלוגיים של החומר, תוך חזרה הולכת ומתפתחת של שימוש בעקרונות הלוגיים בתחומים שונים בתוך המתמטיקה.

טוב יעשה מורה שימצא את הקשרים המבניים בין הנושאים השונים במתמטיקה ויבסס מבנה אחד על קודמו. 

מכירים את התופעה הנפוצה של תלמידים שהצליחו להגיע להישגים נאים במתמטיקה עד לשלב מסוים ובאורח בלתי מוסבר החלו להיכשל בשלב מתקדם? בדיקה מדוקדקת של הסיבות לכישלונם תוביל לרוב לבסיס הידע שלהם. הם למדו לפעול, אך לא למדו לחשוב בדרך שתשרת אותם במשימות חדשות. לעומתם, תלמיד שלמד לחשוב נכון, ייהנה מיכולתו זו דווקא כשייפגש בחומר חדש. בגלל זה לפעמים קשה להעריך את טיב ההוראה: תוצאות מידיות של מבחן אינן משקפות תמיד חשיבה נכונה. המבחן האמיתי יכול להיות רק לאחר שנים אחרות, כשהמורה בד"כ כבר אינו בקשר עם תלמידיו.

ולמה כל ההקדמה? כי נושא מהותי שמהווה מכשול לרבים כל כך הוא השבר הפשוט. ישנם כמה רעיונות ועקרונות ודרכי חשיבה בשבר הפשוט שללא הבחנה בהם וללא הבנתם מוצאים עצמם התלמידים פותרים ללא הבנה ובעתיד חוזרים ו-"לומדים" שוב ושוב את אותו הדבר מבלי להכיר ולהבין שאת הרעיונות ואת העקרונות פגשו כבר בנושא השבר.

מה שלא הבנו "לאט" בעבר, קשה מאוד להבין "מהר" אח"כ כשהנושאים קשים ומורכבים יותר ושישנם אילוצים של "להספיק את החומר לבחינה".

אז מה אנחנו יכולים לעשות כהורים? להבין בעצמנו, ולנסות לעזור לילדים.

מה אומר פרופסור למתמטיקה באוניברסיטה בארץ על תלמידיו ועל השבר מבית הספר היסודי?
"שברים הוא אחד הנושאים המורכבים והקשים ביותר שישנם במסגרת הקדם אקדמית – וכשמוסיפים לו את הרמה הבלתי נסבלת המערכת, מהסיבות שידועות לכולנו, מקבלים את התוצאה העגומה. המערכת האקדמית כולה חיה בשקר שלא יוכל להחזיק עוד זמן רב. לא הייתי רוצה לעלות על גשר שיתכננו רוב הסטודנטים שיוצאים תחת ידינו או להזדקק לאלגוריתם במכשיר מציל חיים שתוכנן על ידם. הם מסיימים תואר ללא כלים ויכולות בסיסיים ביותר, אבל עם ממוצע ציונים מצוין כי האוניברסיטאות הפכו ל"נותנות שירות" ומתרפסות אל מול כוחן של אגודות הסטודנטים. יחד עם זאת אני מזהה אצלם את התאווה לידע והסקרנות - אלא שברוב המקרים מאוחר מידי לתקן את אופן ויכולות החשיבה שלהם. אנחנו עוברים בדיוק את התהליך שעבר על יוון: תרבות מופלאה של פילוסופיה, תיאטרון, מתמטיקה, מוסיקה וארכיטקטורה השתעבדה לנהנתנות, חומרנות ואימפריאליזם וסופה ידוע: בינוניות וחדלות פירעון. אנחנו כמובן לא לבד, זו תופעה גלובלית, וקטונו מול כל אלה. אבל ביכולתנו לפחות לשמר את הידע והעקרונות הבסיסיים ביותר בחינוך מתמטי שפשוט נעלמים ונשכחים. לכן אני חושב שכל כך חשוב שנייצר מרכז ידע מסודר כדי שאם יום אחד למישהו ייפול האסימון (או האייפון) יהיה מאיפה להתחיל."

איך אנחנו ההורים יכולים לעזור?
  1. ראשית, נלמד בעצמינו ואז נלמד את ילדינו את התהליכים העקביים והשיטתיים שהופכים את המתמטיקה למובנת ולמשמעותית, במקום "טריקים" שמנותקים מהמבנה הכללי או הכנה למבדקים או למבחנים.
  2. ניצור זיקה נראית לעין בין המתמטיקה לבין החיים: נראה לילדים כיצד להשתמש בחיי יום יום כתשתית להגדרת בעיות מתמטיות. הפעילות בחשבון חייבת לצאת מעולם הילד. הקשר היומיומי הזה דרוש להפנמת החשבון. אין לנתק את החשבון ממכלול הפעילויות שמתרחשות בכיתה, בבית, בחוג וכו'.
  3. ישנם רעיונות ותהליכי חשיבה משמעותיים בנושאים במתמטיקה של בית הספר היסודי. עלינו להכירם ולהקנותם לילדינו. נבסס אותם על ייצוג פנימי נכון ותקין לילדינו.
  4. יש להסביר לעצמינו ואז לילדינו את האלגוריתמים שאנחנו משתמשים בהם (למשל, כפל במאונך וחילוק ארוך). הקניית האלגוריתמים האלה בשיטתיות, תוך הדגשת ההיגיון שבהן, מלווה בהסבר רָהוּט בונה גם את הרובד הלשוני וגם את החשיבה המתמטית.
  5. נדייק ונדרוש מילדינו דיוק בהבהרת מושגים מתמטיים, כמו: חילוק לחלקים, חילוק להכלה וחילוק כיחס, הבחנה בין הפרש לסכום וכו'. אין מילים שאינן ברורות, כל מושג מוגדר ומודגם וכל עיקרון מלווה בדוגמאות של מופעיו במתמטיקה בנושא הנלמד, בנושאים אחרים ובחיים בכלל.
  6. נימנע משיטה שמתבססת על תבניות חסרות משמעות.
מה זה ייצוג פנימי בתהליך הלמידה של מתמטיקה?

ייצוג פנימי הוא תהליך מנטלי שבו הגירויים של העולם מצויים במוחנו באמצעות  תחליף לדבר עצמו . לדוגמה, אנו יכולים לראות בעיני רוחנו עצם כלשהו, למרות היותו רחוק מאיתנו. הפעלת המנגנון הזה הוא שמאפשר לנו להגיע להסמלה ולהפשטה. כשנבנים אצלנו ייצוגים פנימיים של העולם, איננו כבולים להתנסות עם העצמים עצמם, כי אנו מסוגלים לדמיין התנסות כזאת. במקום לעשות דברים בפועל אנו פועלים ובוחנים את הדברים ואת תוצאותיהם במחשבה בלבד. היכולת לייצוג האובייקטים במוחנו היא המובילה להבנה של המושגים ושל הסמלים המייצגים אותם. אין חשיבה ללא ייצוגים פנימיים , ואלה נוצרים בראש ובראשונה באמצעות החושים, כלומר, באמצעות התפיסה. הייצוגים הפנימיים הם תנאי הכרחי לזיכרון והזיכרון, המורכב מייצוגים שונים : חזותיים, אקוסטיים וסמנטיים, הוא תנאי הכרחי לחשיבה. לפי זה, יצירת ייצוג פנימי נכון מותנית בתפיסה החושית.


לייצוג הפנימי הנכון תפקיד מכריע בהקניית מושגים בכלל ומושגים מתמטיים  בפרט. אנו מבחינים בין המושג, שהוא הדבר עצמו, לבין המונח, שמייצג אותו.

לכל מושג יש ייצוג פנימי משלו במוח. בעת הצורך אנו שולפים אותו ומשתמשים בו על כל היבטיו. באמצעות הייצוג הפנימי של המושג נוצר מעין דיאלוג בינינו לבין עצמנו. כדי שהדיאלוג הזה יהיה פורה אנו חייבים לדעת את כל המשמעויות של המושג. ההבנה שכל ישות מתמטית היא מרובת משמעויות מגבשת את התובנה המתמטית, ומאפשרת את הפעלתו של אותו דיאלוג פנימי.

לאור זאת, בנייה נכונה של עולם המושגים היא תנאי לחשיבה בהירה ולתקשורת  תקינה המושתתת על הלשון המדוברת, שהיא אמצעי התקשורת היומיומית שבאמצעותו נקלט ההסבר של משמעות המושג. המושגים מאפשרים קליטה נוחה למוח, כי מונח אחד בעל משמעות הופך ליחידת מידע מלוכדת שמאפשרת את פיתוח הרעיונות שבנויים עליו. קל למוחנו לקלוט יחידת מידע אחת שמאפשרת לצעוד אל שלב חשיבה גבוה יותר.

כיצד אנו רוכשים מושגים?

המציאות מיוצגת במוחנו באמצעות סמלים, מילים, ציורים, תמונות ושאר אופנויות (מודליות). מערך הייצוגים הפנימיים שלנו יקבע את תפקודינו הקוגניטיבי ולפעמים גם את תפקודינו הרגשי.

כיצד מקודד מוחנו את המציאות ומייצגה בתוכו? אין על כך מענה ברור. מה שברור היום הוא שללא ייצוג פנימי נכון לא תיבנה שפה.

המתמטיקה היא שפה לכל דבר: יש בה מונחים ששייכים לה שחייבים להבינם, כמו בכל שפה אחרת. יש לה מערכת סמלים, על כן העוסק בה זקוק ליכולת הסמלה תקינה. יש לה תחביר פנימי שלה שחייבים להכירו ולהשתלט עליו כדי להשתמש בו. צריך לדעת "לקרוא" את הנאמר כדי לבטא באמצעותו את החוקיות במתמטית או לצאת מהחוקיות הזאת ולהבין את משמעותה במציאות. המתמטיקה עוסקת בביטוי של מערכות יחסים, לכן חייבים להבין מה הוא יחס ומה היא מערכת התייחסות. השפה המתמטית קשה יותר מהטבעית כי בעוד השפה הטבעית מורכבת גם מיסודות מוחשיים, כמו: אבא, אמא, ו-ספר, שפת המתמטיקה בנוייה מראשיתה ממושגים מופשטים כמו: כמות, ועניינה הוא מערכות יחסים, כמו: יותר מ..., קטן ב.... כמו כל שפה אחרת, ללא ייצוגים פנימיים נכונים לא תוכל גם השפה המתמטית להיבנות. [וראו למשל על הוראת "בכמה יותר" ו-"בכמה פחות" וכן על הוראת "פי כמה יותר" ו-"פי כמה פחות"]

כאשר ילד לומד לומר שולחן, הוא אינו מבטא רק את המילה, אלא גם מייחס לה משמעות של שולחן. חשוב להבין שהמנגנון שנדרש ליצירת השפה מושתת על הייצוג הפנימי. השולחן מייצג במוח הילד עצם בעל תכונות שולחניות. הבחנה בין המושג לבין המונח תבהיר את נושא הייצוג הפנימי. המושג הוא הדבר עצמו, במקרה של הילד שאומר שולחן, העצם השולחני הוא המושג. המונח זו המילה שמייצגת את העצם, ובמקרה של הילד, זו המילה שולחן. חייב להיות קשר של משמעות בין המונח לבין המושג, שאלמלא כך לא תתבצע הבנת השפה.

כדי שהילד יקרא לשולחן כתיבה שולחן ולשולחן עבודה שולחן ויסב את המונח לשולחנות בעלי צורה, גודל ושאר אפיונים שונים הוא חייב להגיע להכללה של המושג. הכללה זו תתרחש רק לאחר מפגש עם שולחנות רבים שיאפשרו יציאת ייצוג פנימי נכון, שיסלול את הדרך לשימור החוקיות ההופכת עצם לשולחן.

קשה מאוד לבדוק מה הם הייצוגים הפנימיים של האדם, כי יש מצבים שבהם האדם יכול לתפקד נכון אף על פי שהייצוג הפנימי שלו מוטעה. לדוגמה, נניח מצב שילד אומר: שולחן, אבל למעשה הוא מתכוון לכיסא. זהו מצב שבו מיוצג במוחו כיסא והמינוח שהוצמד אליו אינו תקין. כאשר אימו מבקשת ממנו שישמור על ניקיון השולחן היא עלולה שלא לחוש בבעיה השפתית, כי מטבע העניינים כיסאות סמוכים לשולחנות ואם הילד שומר על הניקיון בסביבתם של השולחן והכיסא קשה להבחין בטעותו. מתי טעות זאת תיחשף? כאשר ההוראה תהיה: "הבא את השולחן הנה" והילד יביא כיסא.

הרבה יותר קשה לאבחן נתק בין מושג לבין מונח ששיך לו כשעוסקים בנושאים מופשטים. 

הנה דוגמה מחטיבת הביניים, כשתלמידים פתרו בכיתה את הבעיה הבאה:
בכיתה מסוימת מספר כלשהו של תלמידים. יום אחד לרגל מגיפת שפעת נעדרו 26 תלמידים ואז מספר הנוכחים לא עלה על שליש ממספר תלמידי הכיתה. 

א. מהו המספר המרבי של התלמידים שבכתה? (שים לב לתוכן הבעיה)

ב. הייתכן שמספר תלמידי הכתה 37? נמק!
התלמיד פתר בהצלחה את הבעיה, הציב נכון את מערכת היחסים וידע לפתור את אי השיוויון. נדמה היה שהכול בסדר. הנה פתרונו:
x - מספר התלמידים
x-26≤⅓x
⅔x≤26
2x≤26×3
x≤(26×3):2
x≤39
כאשר הגיע התלמיד לענות על שאלה ב' נחשף הקושי. תשובתו לשאלה היתה "לא". המורה ניסתה לגלות את מקור הבעיה. תוך כדי השיחה עלה חשד בליבה שהטעות נובעת מהמונח "מרבי".
המורה: מה פירוש המילה "מרבי"?התלמיד: הטוב ביותר.המורה: מדוע 39 הוא הטוב ביותר?התלמיד: כי אז הכיתה מלאה וזה טוב, כי אף אחד אינו חולה.
התלמיד הצמיד למונח "מרבי" מושג מוטעה, שהוביל אותו למסקנה שגויה.

מסקנות:
  1. השיבוש בייצוג הפנימי סמוי מהעין ואינו תמיד מתגלה מעצמו בשלב מוקדם של הלמידה
  2. השיבוש מביא את הלומד לחסימה בהבנה: לדרך ללא מוצא
  3. כדי לבחון את הייצוג הפנימי, יש לעקוב אחורנית אחרי החשיבה, להגיע אל הייצוג הפנימי, הנסתר, ולתקנו.
אם בעיה זו היתה ניתנת בבחינה התלמיד כנראה היה מקבל ציון טוב למדיי, כי עיקרו של הפתרון בוצע בהצלחה: הוא גילה הבנה ושגה "רק" בסעיף ב'. לא היה נוצר הצורך בתיקון. הילד היה נושא עמו את הייצוג הפנימי השגוי של המושג וזה היה מכשיל אותו במצבים אחרים.

המורה יכולה לתקן את השגיאה בדרכים שונות. היא יכולה היתה לומר: "זו שגיאה, מי יכול לתקנה?". משום שתתכנה רק שתי תשובות: או "כן" או "לא" היתה יכולה פשוט לציין שישנה שגיאה ולא לטפל בהנמקה.

המורה החליטה לתווך, היא עקבה אחורנית בחשיבה של התלמיד והגיעה אל הייצוג הפנימי. כדי שתוכל לעשות זאת, היא האטה את קצב השיעור ועזרה לתלמיד לחשוף את מקור הקושי. אחרי שהבינה את המקור לטעות היא הצביעה על החשיבות שבהבנת המשמעות של המושג. היא טיפלה בבעית הייצוג הפנימי של מושג שהוא תהליך ששיך לתחומים קוגניטיביים רבים שאינם בהכרח מתמטיים.

הבנת המשמעות של המספר תלויה בתקינותו של התהליך של יצירת ייצוג פנימי למספר, לכן חשוב להקנות את המשמעות הזו מתוך מודעות למנגנון הפסיכולוגי שמופעל בעת ההקניה.

איך עושים את זה?

במפגש הזה לא נוכל ללמוד את התורה כולה על רגל אחת. אשמח להפנות הורים מתעניינים לחומרי קריאה, הדרכה ולאופנים שונים שמאפשרים ייעוץ ומענה על שאלות, ללא תשלום ובהתנדבות מלאה. ישנן גם מסגרות בתשלום.

מה שכן נוכל לעשות במפגש הוא לנסות להבין מדוע לילדים פתאום קשה לקראת ובמהלך כיתה ד', ממה נובע הקושי וכיצד עקיפה של הקושי במקום תקיפתו פוערת פערים שהולכים וקשים יותר ויותר לגישור בהמשך. כדוגמה ניקח את אחד הנושאים שלהם תדמית מעוררת אימה: השבר הפשוט.

חלק גדול מן התלמידים שמגיעים לחטיבת הביניים באים עם חסרים ופערים בידיעותיהם. במיוחד בנושאים הבאים:
  • משמעות פעולות החשבון, כלומר אילו מצבים מן המציאות דורשים את ביצוע הפעולה המדוברת
  • שברים – אולי החסר הגדול ביותר. במיוחד, משמעות השבר.
חוסרים אלה הם מכשול בלתי עביר ללימוד האלגברה. תלמיד שאינו מבין מהן 3/5 לא יבין מהו (x/(x+2. תלמיד שאינו מבין את משמעות הכפל לא יבין למה הכוונה ב-2x ומדוע אפשר להשמיט בביטוי הזה את סימן הכפל (למוסכמה של השמטת הסימן יש סיבה שנעוצה במשמעות הכפל: כפל הוא בעצם מנייה).

בחטיבת הביניים או לקראת הלימודים בחטיבת הביניים המזור לכל אלה הוא חזרה של כמה חודשים בתחילת כתה ז', בעיקר על שני הנושאים האמורים. למעשה, אין מדובר בחזרה ממש. חזרה רגילה היא בעיני התלמידים בסך הכול הזדמנות לא להבין מהר את מה שלא הבינו קודם לאט. הכוונה לחזרה עם שינוי. לשינוי הזה שתי פנים. האחת - דגש על המשמעות, במקום על החישוב. השנייה – שילוב עם הצגה ראשונית של השימוש באותיות, כלומר של האלגברה.  וביסודי? ביסודי חשוב להבין שברים: לא לדלג ולא להסתפק רק בביצוע: ממש ממש להבין שברים!!

ננסה לראות בזמן שנותר כמה דוגמאות מהרצף שנדרש להבנת השבר ונבין כמה יש להבין ובכמה יש לשלוט -- בתקווה זה יעזור להבין מדוע כה רבים נכשלים ומתקשים כשמגיעים לעסוק בשברים: הפערים רבים ורק מתרחבים.

[*]
אפשרות אחת להמחיש: להציג במהירות כיצד מלמדים משמעות של שבר בכתה ב'. כבר מכאן יתקבל הרושם כמה דקויות יש להציג ולהסביר ולכמה תהליכי חשיבה עלינו להיות מודעים, להבינם, לשיימם (לתת להם שם) ולהבין מתי נכון וכדאי להשתמש בהם. ראו: איך מלמדים ילדים משמעויות של שבר בכתה ב'.

[*]
אפשרות אחרת, כמה שלבים בהבנה, רק כדי להבין כמה נדרש לדעת ולהבין וכמה הזדמנויות לפתיחת פערים בהבנה ולהיעדר ייצוג פנימי בכלל או ייצוג פנימי נכון. נתחיל בתפיסת המספר:

[הסעיפים הבאים מתוך הספר של תלמה גביש: ללמוד להבין להצליח]

תפיסת המספר
הבנת המשמעות של המספר הטבעי היא תנאי הכרחי להבנת חשבון. בטווח הרחוק התפיסה של המספר הטבעי תשמש בסיס להבנה של סוגים אחרים של מספרים כמו מספרים מכוונים (מספרים חיובייים ושליליים, כפי שנלמד בחטיבת הביניים), מספרים רציונליים (כפי שלומדים בנושא השבר הפשוט) ועוד. לכן, הקנייה נכונה של מובני המספר הטבעי מהווה נדבך חשוב ומכריע לגבי החשיבה המתמטית, בנוסף לערכו המעשי של המספר.

למספר שלוש משמעויות:
א. הכמות
ב. הסדר
ג. היחס

לתפוס את משמעות המספר פירושו להבין את המספר על שלושת משמעויותיו.

הכמות: המספר מייצג בראש ובראשונה כמות. שתי המשמעויות האחרות, משמעויות הסדר והיחס, נובעות מתוך משמעות הכמות.

הסדר: העובדה ש-7 בא אחרי 4 נובעת מהעובדה שהמנייה נעשית בתוך רצף של זמן וטבע הדברים הוא שכאשר אנו מונים עצמים כלשהם אנחנו מתקדמים לפי הסדר. למשל, במנייה של 7 פרחים אנחנו סופרים: אחד, שניים, שלושה, ארבעה, חמישה, שישה, שבעה. המספר 7 בא אחרי המספרים שקדמו לו כגון 4 או 5.

היחס: תכונת היחס של המספר אף היא פועל יוצא מאופיו הכמותי. אם אומרים שבחדר יש 5 כיסאות למעשה אומרים במובלע שבחדר יש 5 פעמים יחידה שנקראת כיסא. 5 מונה את הכינוי כיסא.

המבנה העשרוני

הבנתו של המבנה העשרוני מותנית בהפנמה של שתי העשרות הראשונות, כלומר, בשליטה מלאה של 4 פעולות החשבון בתחום העשרים, הן מבחינת ההבנה והן מבחינת האוטומטיזציה.

לפי אותם העקרונות שהותוו, התלמיד ישתלט קודם על פעולות חשבון בתחום העשרת הראשונה, מהבחינה הכמותית. הוא יבצע תרגילים של חיבור, חיסור, כפל וחילוק בתחום הזה. לאחר שההיבט הכמותי יובל, אפשר לשלב בו את ההיבט הסדרתי כמו: אדם טיפס על סולם. הוא הגיע לשלב השלישי, כמה שלבים עליו לטפס כדי להגיע לשלב השמיני?

המעבר לתחום של העשרת השנייה יתבצע על ידי חיבור אחדות לעשרת, כמו 3+10, 4+10. אפשר להיעזר בערוץ השמיעתי: ארבע ועוד עשר הם גם עשר ועוד ארבע, שהם ארבע עשרה. אנחנו מקבלים את אותה התוצאה (אם כי תהליך החשיבה אינו תמיד זהה בשני המקרים). ההנחיה להקשיב למבנה המילה ולצליל שלה כאחד האמצעים ללימוד ההרכב של המספר מקנה ללומד אסטרטגיה שאינה מוגבלת רק למתמטיקה. לדוגמה, הרבה יותר קל לקלוט שדגש חזק פירושו הכפלת אות, אם מתייחסים למילה חזק. כל הכללים שבנויים סביב הדגש החזק יובנו ביתר קלות לאור הידיעה הזאת. הוא הדין לגבי שמות של תקופות בהיסטוריה או של תופעות טבע ואחרות, ההתייחסות למשמעות המילולית של השם של המושג תורמת להפנמתו.

בשלב זה התלמידים יאגדו חבילות של זרעים, אבנים, חרוזים, תפוזים וכל עצם אחר אפשרי המצוי בסביבתם בקבוצות של עשרות.ראו לדוגמה המחשת המבנה העשרוני בכיתות א'-ב'. הם ילמדו שהעשרת מהווה שלמות בפני עצמה ושאפשר למנות אותה ממש כפי שמנינו קלמנטינות, כך אנחנו מונים את העשרות. לכן, 80 = 30 + 50 אינו אלא המשכו הישיר וההגיוני של 8 = 3 + 5. כמו ששלוש אחרות ועוד חמש אחדות נותנות לנו שמונה אחדות, כך שלוש עשרות ועוד חמש עשרות נותנות לנו שמונה עשרות. הפנמה של כל השלבים הללו פותחת את הדרך לשבירת העשרת ולהמרה.

בתרגיל 15-7 נציג לילדים שאלה "מה אתם חושבים כשאתם רוצים לפתור תרגיל שכזה?".
- נחסר קודם 5 כדי להגיע ל-10.
- כמה עלינו לחסר עוד?
- היה עלינו להחסיר 7 אבל החסרנו רק 5. עלינו להחסיר מהעשרת עוד 2.
- אולי יש לכם הצעה לדרך אחרת לפתרון?

ריבוי אמצעי המחשה בתחום ה-20 יסייע להפנמה של המשמעויות של המספר ושל פעולות החשבון. כאשר תלמיד מבין היטב את העקרונות בתחום הזה נשאף לנתקו מאמצעי ההמחשה, כי שליטה מוחלטת בפעולות החשבון בגבול ה-20 מובילה להקניית המבנה העשרוני בגבול המאה.

ניתן לילד להקיש על מספרים גדולים מהחוקיות שרכש לגבי שתי העשרות הראשונות. ההמחשה תשמש אותנו רק בשלב ההצגה של המבנה, או כשילד מתקשה במיוחד ומבקש סיוע. כל תלמיד שבשל לכך יתבקש לחשב בראש. כך אנחנו בונים מנגנון של הפנמה שיש לו חשיבות מרובה בכל התחומים.

הוראה נכונה של תכונות המספרים בגבול העשרים תוביל להשתחררות מוחלטת מהמחשה ובניית ייצוגים פנימיים בגבול ה-100. המורה ישאף לבנות את תהליכי החשבון בגבול ה-100 בהפשטה מלאה. אם התלמידים מתקשים להגיע להפשטה זו, על המורה לחזור ולבסס את תהליכי החשיבה בגבול ה-20. הוא יוכל לבדוק את עבודתו לפי מידת ההתקדמות של תלמידיו מעבר לגבולות המספרים שטופלו בכתה. אם המעבר הזה נעשה על ידי הילד בקלות ללא צורך באמצעי המחשה, חוץ מהשלב שבו מוצגת העשרת השלמה משמע שהקניית היסודות היתה תקינה. קושי כלשהו במעבר הזה מצביע על ליקוי בהקניית הבסיס ובבניית הייצוג הפנימי ויש לתקן זאת על ידי חזרה על החומר.

לאחר שה-100 הראשונה הובנה כיאות אין צורך בהמחשת המספרים הגדולים. ההמחשה היחידה שנזדקק לה תהיה בשלב ההצגה של האלף. התלמיד יאגוד יחד מאות שלמות שמורכבות מחבילות של עשרות וברגע שהוא יבין את המשמעות של האלף יש לנתקו מההמחשה.

הוראת המספרים הגדולים חיונית לביסוס ההפשטה וההפנמה. תרגילים כמו "מהו המספר שבא לפני מיליון?" מכריחים את הפותר להפעיל חוקיות ולהשליכה על מעבר לתחום שבו עסק קודם לכן.

משמעויות של חיסור

מתמטיקה היא שפה. כמו בשפה טבעית, העברית, למשל, יש גם במתמטיקה מקרים של ריבוי משמעויות. לדוגמה: הסימן '-' במתמטיקה הוא רב משמעי:
  • הסימן '-' (מינוס) יכול לשמש גם כסימן של פעולת החיסור, 2=5-3
  • אבל גם לציון מספרים שליליים,
  • וגם לציון הנגדי למספר, הנגדי של 3- הוא (3-)- שהוא 3
לפעולת החיסור עצמה ישנן שש משמעויות שונות. היו שנהגו להדגיש בהוראת החיסור את הגריעה, והיו שהעמידו במרכז את משמעות החיסור כהשוואה. בשתי הגישות האלה התעלמו במידה זו או אחרת מהמשמעויות האחרות. כאשר נתקלו הלומדים בבעיית חיסור בעלת משמעות שונה ממה שלמדו, הם התבלבלו: לא היו בידיהם הכלים לנתח את הבעיה ולהבין למה לפניהם בעיית חיסור למרות היותה שונה ממה שהכירו. הבהרת המשמעויות של החיסור ושיתוף הילד הלומד בהבדלה ביניהם ובבניית בעיות חיסור בעלות משמעויות שונות, מונעת את הקושי מראש.

חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה:



חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם



ולפירוט רב בהרבה ראו מאמרה של תלמה גביש: המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה.

הקשר הראשון שבין המספר השלם והשבר הפשוט

כבר בשלב ההקנייה של המשמעות של המספר הטבעי אנחנו בונים את תשתית החשיבה של השברים הפשוטים. נתבונן במספר 35. 3 מונה את העשרות, שהן הכינוי. 5 מונה את האחדות הבודדות, שהן הכינוי. בביטוי 35 תפוזים יש שני סוגי כינויים: האחד לכל ספרה יש כינוי שנקבע לפי מיקומה במספר, השני התפוזים שאותם אנו מונים. גם בשברים הפשוטים אנו חושבים באותו האופן.

2/9 הן שני חלקים ששמים 1/9, כלומר, 2 מונה את התשיעיות כמו ש-3 מונה את העשרות. בביטוי: 2/9 מתלמידי בית הספר, המספר 2/9 מונה את מספר החלקים של תלמידי בית הספר. כלומר, גם כאן יש לנו שני כינויים: המכנה ותלמידי בית הספר.

ההבדל שבין המבכה של הסבר השבר לזה של המספר הטבעי אינו מצד החשיבה של המונה והמכנה, אלא מהעובדה שבשברים הפשוטים בין המונה והמכנה ישנה מערכת יחסים נוספת: הם גם מחולק ומחלק, לכן למכנה בשברים הפשוטים קוראים מכנה ואילו לעשרות לאחדות ולתפוזים קוראים כינוי אף על פי שכולם כינויים. בנייה נכונה של החשיבה בעת הוראת המספר השלם מקנה לתלמיד כלים להבנת המשמעות של השבר הפשוט והעשרוני.

המספרים הטבעיים והשבורים מתבססים על אותם העקרונות, לכן גם פעולות החשבון שנעשה בהם יתבססו על אוה החוקיות.

המכנה המשותף

כתיבתו האנכית של התרגיל
324
     +
89
____

אינה אלא שימוש במכנה משותף. כי אנו מחברים עשרות עם עשרות ואחדות בודדות עם אחדות בודדות וכו'. זהו אותו התהליך של החשיבה שעליו מתבסס השבר הפשוט. אנו פועלים על פי הכלל שלצורך חיבור וחיסור עלינו ליצור מכנה משותף. בשלמים, המיקום במספר קובע את המכנה (הכינוי) המשותף, בשברים הפשוטים יש לעמול כדי למצוא את המכנה המשותף.

פעולת ההמרה אינה אלא הפיכת שבר מדומה למספר מעורב, מבחינת החשיבה. גם פעולות אחרות מבוססות על אותם העקרונות.

בתרגיל

324
      -
89
____

נוספה גם הפריטה שכמוה הפיכת מספר מעורב לשבר מדומה. בנייה נכונה של המספר העשרוני קובעת, אם כך, את טיב התשתית המחשבתית שעליה יתבסס על החומר שבא אחריו, לכן חשוב ביותר להקנות את העקרונות של החשיבה המתמטית כבר מכיתה א'.

הנה דוגמה למעין מערך שיעור להמחשת הקשר שבין השבר למספר העשרוני ולרעיון המכנה המשותף:

מורה: נתבונן בשבר 4/5. איך קוראים למספר שמעל לקו השבר?
תלמידים: מונה
מורה: מה פירוש מונה?
תלמידים: סופר, בעצם... מעיד על הכמות: כמה יש
מורה: את מה הוא מונה?
תלמידים: את החמישיות
מורה: כלומר, פירושו של 4/5 הוא ארבעה חלקים ששמם חמישית. האם נתקלנו בעבר כבר במונה ובמכנה? בוודאי שנפגשתם בחשיבה שכזאת, אמנם לא קראנו לזה מונה ומכנה.
[התלמידים מתקשים לענות]
המורה: תנו דוגמה למשהו שאתם מונים.
תלמידים: 3 ילדים
מורה: מה פה המונה ומה המכנה?
תלמידים: 3 זה המונה וילדים זה המכנה.
מורה: למה?
תלמידים: כי 3 מונה את הילדים, מעיד כמה ילדים יש.
מורה: יפה. תנו דוגמאות נוספות.
תלמידים: 3 ס"מ.
מורה: מה אנחנו למדים מהדוגמה האחרונה?
תלמידים: שהיחידות כולן הן למעשה מכנים.
מורה: תנו דוגמה נוספת ליחידות.
תלמידים: 3 גרם.
מורה נכון, מה צריכה להיות המסקנה שלנו?
תלמידים: אי אפשר לומר סתם 3. עלינו לדעת 3 מה. חייבים לומר את מה ה-3 מונה. מוכרחים לציין את המכנה, אחרת אין משמעות לתשובתינו.
מורה: עכשיו אתם מבינים מדוע אמרתי לכם שכאשר פותרים בעיה מוכרחים לציין את הכינויים? הבא נתבונן במספר 38735. מה ההבדל שבין ה-3 שמשמאל לזה שמימין?
תלמידים: זה שמשמאל מונה עשרות אלפים ואילו זה שמימין מונה עשרות.
מורה: מי יכול לומר את אותו הדבר אבל להשתמש במילים מונה ומכנה?
תלמידים: ה-3 השמאלי הוא המונה והמכנה שלו הוא רבבה. ה-3 שמימין מונה עשרות, כלומר, העשרות הם המכנה שלו.
מורה: מדוע במספר השלם לא השתמשנו במילים מונה ומכנה? מדוע בשבר הפשוט כן עשינו זאת?
תלמידים: במספר העשרוני המקום קובע את המכנה שהוא תמיד חזקה של עשר. בשבר הפשוט כל מספר יכול לשמש מכנה.
מורה: מה דעתכם על התשובה?
תלמידים: לא כל מספר. אם יהיה אפס במכנה לא תהיה משמעות לשבר (וראו דיון בנושא ב-מה הבעיה בחילוק באפס?). אבל מלבד האפס נוכל לכתוב כל מספר אחר.
מורה: אם כך מהם היתרונות של השבר הפשוט על פני המספר העשרוני?
תלמידים: אפשר להיות גמישים בבחירת המכנה.
מורה: אם נרצה לחבר ל-38735 את 2176 איך נכתוב זאת?
38735
          +
2176
________

מורה: מדוע כתבנו כך?
תלמידים: כתבנו את האחדות תחת האחדות, העשרות תחת העשרות וכו'.
מורה: למה?
תלמידים: אפשר לחבר רק דברים מאותו הסוג.
מורה: איך נחבר 4 ס"מ עם 5 מטר?
תלמידים: אי אפשר
מורה: למה?
תלמידים: הם לא מאותו הסוג.
מורה: אבל אני זקוק למוט שאורכו 5 מטרים ו-4 ס"מ. מה אעשה?
תלמידים: תשאיר את המידות כך.
מורה: ואם בכל זאת ארצה לחבר?
תלמידים: תהפוך את המטרים לס"מ. ואז יהיו לך 500 ס"מ ועוד 4 ס"מ וביחד 504 ס"מ.
מורה: מה למעשה עשינו? השתמשו במילה מכנה.
תלמידים: עשינו לשני המספרים את אותו המכנה.
מורה: לזה קוראים מכנה משותף. מי יכול עכשיו להסביר מה הפעולה שעשינו כשכתבנו אחדות תחת אחדות ועשרות תחת עשרות?
תלמידים: עשינו מכנה משותף, כי סידרנו את המספרים כך שנוכל לחבר את הספרות שיש להן אותו המכנה.
מורה: למה לדעתכם, קוראים למספר שמתחת לקו השבר מכנה ואילו לס"מ ולשאר הדברים שאנו מונים קראנו כינוי?
תלמידים: כי למכנה בשבר הפשוט יש עוד תפקידים, אבל מבחינת מתן השם הכינוי והמכנה הם אותו הדבר.
מורה: מי יכול לומר מה הבעיה בתרגיל הבא? =2/7+3/5
תלמידים: אי אפשר לחבר אותם.
מורה: מדוע?
תלמידים: אין להם מכנה משותף.
מורה: אז מה אתם מציעים לעשות?
תלמידים: נחפש ונמצא דרך לעשות להם מכנה משותף.
מורה: כדי לעשות זאת עלינו ללמוד שתי פעולות: הרחבה וצמצום.
[לאחר שפעולות אלה נלמדו ולאחר שקושרו להמרה: הפיכת 10 אחדות לעשרת שלמה אחת, ופריטה: הפיכת עשרת שלמה אחת לאחדות, אפשר לחזור ליתרונותיו של השבר הפשוט ולהגיע למסקנה שהוא מאפשר לנו גמישות בבחירת המכנה אך בשל כך עלינו גם לטרוח יותר.
המסקנה לגבי התנהגותינו היא שהחופש הוא דבר נהדר אבל אם רוצים להרוויח מיתרונותיו עלינו להשקיע בו מאמץ.

כפל

ראו על משמעות הכפל במספרים טבעיים.

משמעויות של חילוק

[לכתוב על הלוח 4 בעיות מילוליות לפי משמעויות שונות של חילוק: חלקים, הכלה, יחס, הקטנה ולמלא עם הקהל טבלת השוואה כדי להגיע למסקנה שמדובר במשמעויות שונות ושניתן להבדיל ביניהן לפי רמזי שפה ולפי הכינוי של התוצאה המבוקשת.]


  1. היו לי 12 עפרונות. חילקתי אותם שווה בשווה ל-3 ילדים. כמה עפרונות קיבל כל ילד?
  2. היו לי 12 עפרונות. נתתי אותם לתלמידיי. כל תלמיד קיבל 3 עפרונות. לכמה תלמידים נתתי את העפרונות?
  3. קיבלתי 12 עפרונות וחברי קיבל 3 עפרונות. מה היחס שבין כמות העפרונות שבידינו?
  4. קיבלתי 12 עפרונות וחברי קיבל פי 3 פחות עפרונות. כמה עפרונות קיבל הילד השני?

נמלא טבלת איסוף נתונים שבה נציג מאפיינים של כל 4 השאלות כולן כנגד כולן על פי תבחינים ואז נוכל לגזור מטבלה זו השוואה בין כל שתיים מהשאלות.

בפרט נתבונן בתבחין "הכינוי של הערך המבוקש" וכן "תהליך החשיבה שנדרש" וגם "התרגיל שיש לפתור" ואולי גם "הפעולה החשבונית שבה נשתמש" וכיוצא באלה.

לאחר מילוי הטבלה, מה המסקנות שלנו?
איזה עיקרון נוכל לנסח כתוצאה מכך?

ראו בפירוט רב, על אודות משמעויות של חילוק במספרים טבעיים.

משמעויות השבר הפשוט

השבר הפשוט האמיתי מכיל את משמעויות החילוק ובנוסף להן יש לו עוד משמעויות ועוד תכונות, שעושות אותו מצד אחד לקשה להבנה ומהצד השני למרכזי בתוך החשיבה המתמטית. המסקנה המתבקשת משתי העובדות הללו היא שללא הבנת החוקיות הכוללת של השבר הפשוט אי אפשר להמשיך ללמוד מתמטיקה באורח תקין. משמע, שעלינו להשקיע רבות בבחינת אופיו של השבר הפשוט האמיתי ובמבני החשיבה שנדרשים להבנתו.

  1. מונה ומכנה
  2. מנה = מחלק/מחולק (כל תכונות החילוק: חילוק לחלקים, חילוק להכלה, חילוק כיחס וחילוק להקטנה)
  3. יחס (גם ליחס מספר משמעויות והתייחסויות: ראו למשל על משמעויות היחס) או השבר כאופרטור
השבר כמנה

נתבונן בשבר 2/3 כדי לבחון כיצד המשמעויות של החילוק באות לידי ביטוי בשבר הפשוט:

חילוק לחלקים: היו לי שתי עוגות. חילקתי אותן שווה בשווה לשלושה ילדים. כל ילד קיבל 2/3 של עוגה. איך מחלקים שתי עוגות לשלושה ילדים? הבא נשקיע כמה שניות של מחשבה ונשמע הצעות...
החילוק לחלקים שווים מקבל כאן אופי חדש משום שמחלקים מספר קטן במספר גדול בשונה ממה שהורגלנו בחילוק עד כה. לא נקבל בתוצאה מספר שלם. נקבל שבר.

חילוק להכלה: קשה מאוד להסביר את השבר הפשוט מהיבט של הכלה. אמנם נכון לומר ש-2/3 פירושו גם כמה פעמים מוכל 3 ב-2. עם זת המונח פעמים מתייחס בלשון לפעמים שלמות. לכן, מוטב לעסוק בנושא זה כשעוסקים ביחס באופן מלא ושיטתי בהמשך.

חילוק כהקטנה: 2/3 פירושו גם מספר שקטן פי שלושה מ-2. כלומר, המשמעות של החילוק כהקטנה מצויה גם היא בשבר 2/3.

חילוק כיחס: ראינו שהחילוק המתמטי כמו כל מושג היחס גם הוא רב פנים: יש יחסי הכלה, יש יחסי שיוויון ועוד. מושג היחס בשבר הפשוט האמיתי מקבל אופי ייחודי משלו בתוך החילוק כביטוי ליחס. אנו עוסקים פה ביחס שבין מספר קטן לגדול ממנו, לכן היחס קיבל מעמד של משמעות מיוחדת בפני עצמה, שחורגת מהמשמעות של השבר כתוצאה של חילוק.
(טיפול בפירוט אפשר למצוא ב- על משמעויות היחס).

השבר כמונה וכמכנה

בנוסף לכל המשמעויות של החילוק, שכלולות במושג השבר, יש לו גם תכונה ייחודית של היותו מונה ומכנה. 2/3 פירושם 2 חלקים ששמם שליש. אמנם ראינו שקו חשיבה שכזה טמון כבר במספר השלם, אבל בשבר הפשוט התכונה הזאת מקבלת משקל רב יותר, בגלל הגמישות בבחירת המכנה. אם במספר 675 ה-6 הוא המונה והמאה הוא הכינוי כלומר, המכנה, וכל המכנים של המספר העשרוני הם חזקות של עשר, הרי בשבר הפשוט המכנים יכולים להיות כל מספר שהוא, מלבד אפס.

שליש הוא חלק אחד מתוך שלושה חלקים שווים שחילקנו שלם. ז"א אם נחלק שלם כלשהו (שלם הוא כל דבר שנחליט שהוא שלם: למשל, כיכר לחם יכולה להיות שלם, וגם 21 פרפרים יכולים להיות שלם, אבל גם חצי ק"ג קמח יכול להיות שלם) לשלושה חלקים שווים, כל חלק כזה נקרא שליש. שני שלישים, אם כך, הם שתי פעמים חלק משלם שחילקנו לשלושה חלקים שווים.

השבר כאופרטור

במשמעות זאת השבר פועל על מספרים אחרים ואין לו קיום בפני עצמו לבדו. למשל, 2/3 של 30. כאן השבר 2/3 משמש במשמעות של פעולה חשבונית ולא של מספר. איך משתמשים? מחלקים את ה-30 לשלושה חלקים שווים ומחשבים כמה הם פעמיים של התוצאה. ז"א פעולה של 2/3 של משהו זה לחלק את המשהו לשלושה חלקים שווים ולכפול את ערך אחד החלקים הללו בשתיים.

דוגמה מפתרון בעיה מילולית בשברים ברמה של כתה ו'


נדגים את קשרי החשיבה שבין השבר הפשוט לבעיות הספק.

נתבונן בבעיה: פועל יכול לסיים בניית גדר ב-30 יום. חברו יכול לסיים את בניית אותה הגדר ב-20 יום. בכמה ימים תסתיים בניית הגדר, אם שני הפועלים יעבדו ביחד?

פתרון מוצע:
פועל א' מספיק ביום 1/30 מהגדר.
פועל ב' מספיק ביום 1/20 מהגדר.
פועל א' עבד בפועל x ימים ולכן הספיק לבנות x/30 מהגדר.
פועל ב' עבר בפועל x ימים ולכן הספיק לבנות x/20 מהגדר.
ביחד הם סיימו את בניית הגדר כולה ולכן:
x/30+x/20=1
פתרון המשוואה יהיה x=12.
כלומר, אם שני הפועלים עובדים ביחד הם יסיימו את בניית הגדר ב-12 יום. הוראה בגישה תיווכית תוביל את המחנך לאיתור תהליכי החשיבה שקדמו לחומר הנוכחי ושעליהם הוא מבוסס.

איתורם ינווט את ההוראה כך שהתלמיד ישתמש בעקרונות שכבר נרכשו על ידו, יבינם טוב יותר והם ישמשו לו בסיס לקליטת החדש. קישרו הבעיות האלה למשמעות השבר יהפוך אותן לקלות להבנה ויחזק את מבנה החשיבה שבבסיסן. תרומת הבעיות הללו להבנת השבר הפשוט תעזור לילד להבין גם את השבר וגם את בעיית ההספק.

העמקת המשמעות של השבר כמונה ומכנה

כפי שראינו 2/5 הם שני חלקים ששמם חמישית. 2 הוא המונה את החלקים. חמישית זה טיב החלקים שאותם אנו מונים. טיפול במשמעות זו של השבר יובילנו ישירות לבעיית ההספק הנדונה. נתבונן בסיפור הבא ונראה כיצד שבר במשמעות זו נבנה: אדם חילק כיכר לחם ל-5 חלקים שווים. כל חלק שמו חמישית. הוא אכל 2 חלקים. הוא אכל 2/5 מהכיכר.

משום שהכיכר היא גודל רציף מוטב יהיה שניתן גם דוגמה לגודל שאינו רציף: תלמידי בית ספר יצאו לטיול. הוזמנו 5 אוטובוסים. בכל אוטובוס נכנס מספר זהה של תלמידים, לכן לכל אוטובוס נכנסו 1/5 מכלל התלמידים. שני אוטובוסים יצאו לדרך. כלומר, 2/5 מכלל תלמידי בית הספר יצא לדרך.

בעיית הלחם, בעיית האוטובוסים ובעיית ההספק זהות מבחינת החשיבה, משמע, שבעיית ההספק אינה אלא חזרה על אותו המבנה. נתבונן במבנה:

בבעיות הספק השתמשנו במשמעות אחת של השבר, וטוב יעשה המורה שמלמד בגישה תיווכית אם ילמד בעיות אלה תוך קישורן למשמעות זו.

משהובן העיקרון הבסיסי ניתן לבנות עליו תרגילים רבים, למשל, כשאחד הפועלים יעבוד יותר ימים מחברו, או כאשר מספר הפועלים גדול משניים ועוד תוספות אפשריות אחרות. עלייה מדורגת במורכבות תאפשר שליטה בחומר כמו גם תרגול שייעשה תוך הבנת העקרונות, ושילוב עקרונות נוספים.

וראו גם למשל: חידה ישנה מספר רוסי, איך תפתרו? 

מרכזיותם של השברים הפשוטים

לשבר הפשוט קשרים מסועפים עם נושאים מתמטיים רבים נוספים ובלעדיו אי אפשר לפתור תרגילים ובעיות בתחומים הבאים:

  • באלגברה: שברים אלגבריים, בעיות הספק, בעיות אחוזים, בעיות תמיסה ותערובת, בעיות מספר, בעיות יחסים, בעיות שנתונים בהם שברים ובעיות שיש בהן חילוק
  • באנליזה: גרפים, שיפוע גרף של פונקציה, נגזרת וכל הנובע ממנה
  • בטריגונומטריה: הפונקציות הטריגונומטריות: הגדרתן, הקשרים ביניהן, זהויות טריגונומטריות, משוואות טריגונומטריות וכל מה שנובע מאלה
  • בגיאומטריה: כל הפרק שעוסק בפרופורציה אינו אלא הביטוי הגיאומטרי לשבר הפשוט 

אפשר לומר שהשבר הפשוט הוא הלב של כל המתמטיקה.

מתוך הקשרים המסועפים של השבר הפשוט נתייחס לקשר שבין השבר הפשוט לשבר האלגברי.
בעוד שהפעילות בשבר הפשוט מותנית  רק בידיעה  של פעולות החשבון במספרים השלמים, הרי כדי לדעת לפעול עם  השבר האלגברי חייב התלמיד לשלוט בנתח גדול של הטכניקה האלגברית: כינוס איברים, מספרים מכוונים, סדר פעולות החשבון, חזקות, כפל חד איבר בחד איבר, כפל חד איבר ברב איבר, כפל רב איבר ברב איבר, חילוק חד איבר בחד איבר, חילוק רב איבר בחד איבר, ולפעמים גם חילוק רב איבר ברב איבר, נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים.

רק לאחר שנרכש כל הידע הזה ניתן לגשת לשברים האלגבריים. כדי שהתלמיד יהיה מסוגל לשלוט בכל הפעולות הללו ובשברים האלגבריים, יש צורך ללמד את כל החומר הזה כמקשה אחת בפרק זמן רציף, כי ראיית השברים האלגבריים כיחידה אחת מוצקה שבה כל שלב נשען על קודמו וכל חוליה קשורה בשכנותיה ושליטה מלאה בכל החוליות הללו ובקשרים ביניהן הוא תנאי הכרחי להצלחה במתמטיקה.

הוראה מרוכזת של הנושא היא הרבה יותר יעילה וחסכונית מלימוד פרקים אלה במרווחי זמן ביניהם. הרציפות מבטיחה שכל שלב יתבסס על קודמו ויחזק את השלב שקדם לו. התלמיד רואה את סך כל הקשרים וכשהוא מגיע לשברים האלגבריים ואלה מתקשרים לשברים הפשוטים הוא מסוגל להבין את מלוא המשמעויות והחשיבות של ידיעת הכתיב המתמטי.

פיצול היחידות הללו ופיזורן על פני חודשים ואולי שנים של לימוד גורם לתפיסה אפיזודית של המתמטיקה ולקשיים בהבנה. תלמיד שלמד חזקות בכתה ז' והגיע לפירוק לגורמים רק בכתה ח' יתקשה לקשר בין הדברים. סביר להניח, שהחומר שלמד נשכח ממנו. זמן רב יתבזבז על חזרות מיותרות ומה שגרוע מכך: התסכולים של מרבית התלמידים שנובעים מכישלונם ומאי ראיית הקשרים שבין היחידות השונות, גורמים לנזקים רבים גם ללימודי המתמטיקה וגם לדימוי העצמי של חלק גדול מהתלמידים. אי השתלטות על הכתיב המתמטי חוסמת את דרכם של תלמידים רבים אל המתמטיקה.

הוראה בגישה תיווכית תאפשר לתלמיד ליישם את העקרונות שלמד ולזכור את כל המבנה של הטכניקה האלגברית. קל יותר לזכור מבנה מחשבתי שלם מאשר יחידות קטועות.

המחנך חייב להביא בחשבון את המטען שהתלמיד מביא עמו לחטיבת הביניים, ולהבטיח המשך ישיר של החשיבה.

תלמיד שמגיע לחטיבת הביניים ולומד את החומר שבחטיבה כהמשך של מה שלמד ביסודי, יזכה לחזרה ולהעמקה של החומר היסודי ולביסוס החומר החדש, שבנוי עליו. יש תלמידים שמחמת בשלותם המאוחרת או בגלל חוסר תיווך לא הבינו את העקרונות של השברים והאחוזים שנלמדו ביסודי. תלמידים אלה יזכו להזדמנות נוספת להבנת החומר ולקישורו לשלב הבא -- לאלגברה.

קצת על הטכניקה האלגברית

בחטיבת הביניים השבר חוזר ומופיע כחוט השני בכל נושאי הלימוד, כפי שציינו קודם, לרבות, כמובן, בטכניקה האלגברית.

טכניקה אלגברית חשובה מאוד כי היא מקנה את הכלים ההכרחיים לביצוע כל החישובים שאנו נזקקים להם בפתרון בעיות. הוראה נכונה של הטכניקה האלגברית עשויה לפתח חשיבה מתמטית בפרט וחשיבה בכלל. ללמד מתמטיקה ללא הקדשת זמן לטכניקה אלגברית זה כמו ללמד את הבנת הנקרא מבלי ללמד לפני כן את הקריאה. קשה מאוד להבין ולתמרן בטכניקה האלגברית ללא הבנה והפנמה של העקרונות ושל ההכללה שמתקבלת וללא יכולת להבין איך אותם כללים ורעיונות באו לידי ביטוי כמקרים פרטיים בנושאים שהכרנו מהיסודי. קל וחומר שהנושא קשה ומורכב למי שיש לו חוסרים ופערים בהבנת נושאים קודמים ביסודי, למשל בשבר.

קשיים נפוצים בחטיבת הביניים ובתיכון שקשורים בשברים
  • קו שבר: לתלמידים לא תמיד ברור שקו שבר הוא גם פעולת חילוק וגם סוגריים ואת המשמעות של זה
  • תלמידים אינם מבינים את משמעויות פעולות החשבון בשברים וגם אם יודעים לבצע את הפעולות, חוסר הבנת המשמעות מתבטא בביטויים אלגבריים מורכבים יותר, או אז נחשפים הליקויים בייצוג הפנימי ובהבנה.
  • טריקים וקסמים כמו "כפל בהופכי", "כפל באלכסון", "ערך משולש", "הוספת מכנה 1", "שיטת האוזן" ואחרים הם גילויי עניות לחוסר הבנה.
  • לתלמידים אין הבנה ואין הפנמה של הפיכות פעולות החשבון ואת הרחבת הרעיון גם בביטויים אלגבריים.
  • ההבדל שבין חיבור וחיסור שברים לבין פתרון משוואה -- מציג אי הבנה וחוסר יכולת לקשור לרעיון ההרחבה של שברים ושל המכנה המשותף.

איך אפשר לנסות וללמוד באופן עצמאי בבית עם הילדים את המשמעויות?

היעזרו בספר המורה וב-ספר התלמיד שזמינים בחינם באינטרנט באתר "לדעת חשבון". אמנם קהל היעד הוא תלמידי ה'-ו', אך גם תלמידים בחטיבת הביניים והתיכון ואפילו מבוגרים יפיקו תועלת רבה מאוד מעבודה רצינית בעמודים הללו. השליטה במיומנויות ובנושאים שמוזכרים שם היא הכרחית להבנה. עבודה שיטתית במשאב לימודי זה תחסוך המון כסף והרבה תסכול מהילדים ותחזק את יכולותיהם ואת ביטחונם. מומלץ גם ללמוד איך ללמד (ובכך גם ללמוד בעצם) פעולות החשבון בשברים מתוך סרטון הדרכה למורים שהעביר פרופסור רון אהרוני. כל הזקוק להדרכה ולסיוע בעבודה עם משאב זה מוזמן ליצור קשר עמי או עם המחברת, תלמה גביש, ולקבל עזרה בהתנדבות מלאה וללא תמורה.

לסיכום

דרך ההוראה הזאת, שמחפשת את מבני החשיבה שעליהם נבנית הפעילות שנסמכת על מבנים אלה ובאורח ספירלי משתמשת בהם חזור והשתמש -- כל פעם ברמה יותר גבוהה של מורכבות ושל הפשטה -- יוצרת תהליך תיווכי, כי המטרה אינה מצטמצמת בהקניית ידע, אלא מתמקדת בפיתוח כישורי חשיבה שיעמדו לרשות החניך כל אימת שיזדקק להם, ושיהיה מסוגל להפעילם באורח ספונטני ועצמאי.

כדי שהתהליך יתבצע, חייב המורה במיפוי מרכיבי החשיבה שנדרשים לביצוע פעילות מסויימת, במיפוי של אופרציות מנטליות שהתלמיד מפעיל לשם ביצוע תקין של המשימה ובידיעת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות, שעלולות לעכב את התלמיד.

שימוש בעיקרון משותף ויישומו לתכנים שונים מבסס את הידע ומגבש אותו סביב דרכי חשיבה שמלווים את המתמטיקה, אך לא רק אותה. בנייה שיטתית שכזאת של החשיבה עשויה להקרין את השפעתה על מגוון תכנים והתנהגויות.

אין זה מקרה שאומרים שהמתמטיקה נבנית "נדבך על נדבך" או "קומה על גבי קומה" ואם מדלגים על קומה, אזי יציבותו של המבנה מתערערת. הדגמנו כמה תהליכי חשיבה יש להכיר, להבין, לזהות ולהשתמש כשעוסקים בשבר וראינו גם כמה דוגמאות לשימושים בשבר בהמשך. פערים שנפערים בהבנה ובייצוג הפנימי הנכון של התלמידים קשה להשלים ובמקרים רבים לעולם אין משלימים. אם נהיה מודעים ולא נדלג ולא נוותר ונדע מה לדרוש ומה צריכים לקבל, אולי נוכל לעזור לילדים שלנו ולחסוך מהם חרדת מתמטיקה ותסכול.


מקורות