יום שני, 17 בדצמבר 2012

הקניית מבני חשיבה בגיל הרך

הקניית מבני חשיבה בגיל הרך

מאת רון אהרוני, הפקולטה למתמטיקה, הטכניון
הד הגן, חוברת ג', תשס"ו
תיווך
ללמד בגן? יש הורים שמתחלחלים לשמע הרעיון. תנו לילדים לשחק! אבל העובדה היא שאנו מלמדים את הילדים בכל אינטראקציה איתם, בין אם נרצה ובין אם לא, ויש דרכים טובות יותר וטובות פחות לעשות זאת.  דרך העברת מסרים, שמעשירה את חשיבתו של הילד ומפנה את תשומת ליבו לדקויות, לכיוונים נוספים הקשורים לרעיון הנלמד, וכן לתהליך הלימוד – הילד מתעשר מעצם התחושה שלמבוגר שלידו יש עניין בהקניית מושגים. בהוראה מעשירה נעשה הלימוד במפורש, ולא במובלע, מה שמעביר לילד את המסר שללמוד מושגים הוא עניין חשוב.
הגן הוא המקום לישר קו ולמלא חסרים. במלים אחרות - הגן הוא צומת שבו אפשר לפעול לסגירת פערים חברתיים.
להוראה שמעבירה עקרונות כלליים קוראים "תיווך". בבית ובגן-הילדים (בניגוד לבית-הספר) התיווך נעשה בעיקר בסיטואציות יומיומיות, מתוך פעילות. הורה שיודע לגרות לחשיבה ינצל גם את המצבים הפשוטים ביותר לצורך תיווך של מושגים. דבר דומה נכון לגבי הגננת. היא המתווכת של מבני החשיבה הבסיסיים ביותר שהילד ילמד במשך כל חייו, ושעליהם יבנה את כל הידע שלו.
במאמר הזה נדון בכמה סוגים של מבני חשיבה המועברים על דרך התיווך. המטרה הסופית שלנו תהיה מבני חשיבה מתמטיים. אבל, כפי שנראה, מתמטיקה היא לא רק מספרים. למספרים קודמים מבני חשיבה בסיסיים הרבה יותר.
דוגמה - ההבדל בין כף ובין מזלג
הנה, למשל, דוגמה לדו-שיח בגן. המעניין בו הוא מה שעושה הגננת, כיצד היא מנצלת סיטואציה יומיומית כדי להקנות הרבה מאוד מבנים של חשיבה.
ילדי הגן, בני שלוש עד ארבע, יושבים לאכול. "במה אתה רוצה לאכול את הדייסה, בכף או במזלג?" שואלת הגננת את אחד הילדים. "בכף", הוא עונה. "למה?" היא שואלת. "כי עם מזלג אי אפשר לאכול דיסה". "למה?" היא שואלת. "כי הדיסה נוזלת".
אחר כך מגיע תורם של מלפפונים, חתוכים לחתיכות ארוכות. "במה לאכול את המלפפונים?" שואלת הגננת, "בכף או במזלג?" והילדים עונים – "במזלג!" למה? "המלפפון לא יעלה על הכף!" "מי מוכן לנסות לאכול את המלפפונים בכף?" שואלת הגננת. הילדים מתנדבים ומנסים. כמובן, בלי הצלחה, ובהנאה מרובה. "מי רוצה להראות לי איך הוא אוכל את המלפפונים במזלג?" היא שואלת. הילדים מתנדבים כולם, ואחד מהם מראה לה. "מה עשית?" "תקעתי את המזלג". "נכון" - אומרת הגננת. "קוראים לזה גם 'לנעוץ'. נעצת את המזלג".
"מי רוצה לומר לי מה עוד כדאי לאכול בכף?" שואלת הגננת. "מרק! פירה!" אומרים הילדים. "ובמזלג?" – "עגבניות, בשר עוף". "ומה עם אטריות?" שואלת הגננת. והילדים מסכימים – גם אטריות קשה לאכול בכף, ועדיף לאכול במזלג.
                                                            *
בשיחה הקצרה הזאת קרה הרבה מעבר למה שנשמע על פניו ונראה לעין. הילדים למדו הרבה יותר מאשר את ההבדל בין כף ובין מזלג, דבר שממילא ידעו קודם. הם למדו את עקרון הבחירה -  אפשר לבחור. חשוב מזה: לבחירה יש סיבות. לא סתם אוכלים בכף מאכלים מסוימים, ובמזלג מאכלים אחרים.
קשר סיבתי בין פעולה לבין תוצאה נקרא קשר של תכלית. הילדים למדו כאן שיש סיבות למעשיהם. זה מוביל למבנה חשיבה אחר – התבוננות עצמית, או רפלקסיה.  הילדים  גילו שאפשר לחשוב על מעשי היומיום בצורה מופשטת, ושאפשר להסתכל על הדברים מן הצד, בלי להיות שקוע בהם. עוד עיקרון שהגננת הצביעה עליו הוא ההכללה. "מה עוד, בנוסף למלפפונים, כדאי לאכול במזלג?", היא שאלה, ולימדה בכך את הילדים שממקרה פרטי אפשר לעבור למקרה כללי.
עוד מבנה חשיבה שנלמד כאן: השערת השערות ובדיקתן. הילדים שיערו – המלפפון יפול מן הכף. הגננת עודדה אותם: בידקו את ההשערה. האם באמת הוא יפול? הגננת גם הצביעה על כך שאפשר לבטא אותו רעיון במלים שונות, ושיש מלים שהן יותר מדויקות מאחרות: כשהילד אמר "לתקוע", היא אמרה – "כן, קוראים לכך גם 'לנעוץ'".
הגננת בדיאלוג הזה הייתה מתווכת טובה. היא ניסתה ללמד את הילדים עקרונות שיישארו איתם גם בעתיד, מעבר להווה הרגעי. היא עשתה זאת מתוך הכוונה עדינה לגילוי עצמי. היא לא אמרה את המלים "סיבה", "תכלית", "הכללה", אבל לימדה את כל אלה על-ידי דוגמאות.
בנוסף לכל העקרונות שנמנו, הילדים למדו דבר נוסף: על עצם קיומו של התיווך. ראובן פוירשטיין, מפתח תורת ה"תיווך", טען טענה ראויה והיא שקשר תיווכי מן הסוג שתיארנו מלמד אותך, בין השאר, על האפשרות של קשר תיווכי. ילד שחווה קשר כזה ונהנה ממנו ירצה לחזור על החוויה, ובתור מבוגר יתווך אחר כך עקרונות לילדיו.
מבני חשיבה
אילו עקרונות חשיבה כדאי להקנות לילד בגן?
לפני זמן לא רב יצא ספר מאת רוברט פולגהם בשם "כל מה שחשוב למדתי בגן-הילדים". המחבר התכוון בעיקר ליחסים שבין אדם לחברו: להחזיר כל דבר למקום, להיות הוגן, להתחלק בדברים שלך, להתחשב. אולי לא במפתיע, הדבר נכון לא רק לגבי יחסים עם הזולת. זה נכון גם לגבי מבני חשיבה. את מבני החשיבה הבסיסיים ביותר הילד רוכש כבר בגן.
הנה כמה מן הבסיסיים שבהם. הדגש הוא על מושגים שמובילים בסופו של דבר למושגים מתמטיים. לכן לא כללתי, למשל, מבני חשיבה על יחסים בין אישיים, ועל רגשות.
מיון. זהו סוג החשיבה הבסיסי ביותר – לקרוא לדברים בשמות. לזהות "פרה", או "שולחן". אחר כך מגיעה הבנה עמוקה יותר: שגם בין שולחנות יש סוגים שונים – יש שולחן גדול, ושולחן קטן, שולחן חום ושולחן לבן. פירושו הוא שאפשר למיין לפי יותר מקריטריון אחד. תחילה לפי הקריטריון של "להיות שולחן", ואחר כך לפי קריטריונים אחרים. למיון קודמים המושגים של "שווה-שונה" (בגן המושג הבסיסי יותר הוא "אותו דבר - לא אותו דבר"), ודומה-לא דומה.
יחסים. זהו סוג מושגים גבוה יותר – קשר בין חלקים בעולם. דומה-שונה, שווה-לא שווה, גדול-קטן, לפני-אחרי, ימין-שמאל. מושגים חשובים במיוחד הם היחסים הסיבתיים: למה הכוס נשברת? מדוע המים נשפכים? וכאמור, גם יחסים תכליתיים, כלומר מדוע עושים כך וכך – מדוע אין מרביצים? מדוע אוכלים במטבח ולא בסלון?
הסיבתיות קשורה למבנה מושגי בסיסי נוסף: התניה. כלומר "אם אעשה כך וכך יקרה כך וכך".
חוקי שימור. פירושם הוא שדבר יכול להישאר קבוע, גם כאשר משתנים הדברים הקשורים בו. למשל, שאם אזיז את הבובה מן השולחן לרצפה היא תשאר "בובה". אם אעביר שני עפרונות מצד אחד של השולחן לצד שני, הם יישארו עדיין שניים. אם עפרון אחד ארוך מחברו, אז גם לאחר שאזיז אחד מן העפרונות יישאר הראשון ארוך מן השני. אם אסובב את הריבוע, הוא עדיין יישאר ריבוע.
היפוך. יש שמות תואר שיש להם היפוך: יפה-מכוער, קצר-ארוך. יש גם פעולות שיש להן הפוך: להתלבש-להתפשט; להרים-להוריד. היפוכן של פעולות יהיה מרכזי בלימוד החשבון, ולכן לימוד עקרון ההיפוך הוא הכנה חשובה לחשבון.
לוגיקה. אילו ילדים באו היום עם חולצה קצרה ומכנסיים ארוכים? (הילד לומד את המושג "וְ"). אילו ילדים לובשים היום חולצה קצרה או מכנסיים ארוכים? האם כל הילדים נועלים היום סנדלים? האם יש ילד שנועל סנדלים? אם אין ילד שנועל נעליים, אז כל הילדים נועלים סנדלים.
התמצאות במרחב – ימין, שמאל, למעלה, למטה. לכך חשיבות רבה בכתיבה של מלים ושל מספרים, בתקשורת עם אחרים ביחס להתמצאות במרחב, ובהרגל לארגן את עולמך. 
הערה על לימודי החשבון בגן
מכיוון שמתמטיקה נחשבת לחשובה כל-כך, ומרכזית, ומכיוון שבטעות מקובל לזהות "מתמטיקה" עם "מספרים", נוטים ספרי לימוד, וכן גננות ומורות, להקדים את לימוד המספר להוראת מושגים אחרים. לאמיתו של דבר, רוב מבני החשיבה שנמנו לעיל קודמים למושג המספר. למושג המספר נחוצים עקרונות של מיון (משום שסופרים עצמים על פי סוגים: 4 תפוחים), קיבוץ לקבוצות, עקרונות של פעולות על עצמים, וכן הרגלי דיון והכרה בדקויות.
שלבים נכונים בהוראת מושג המספר הם: קיבוץ לקבוצות; קבוצות שוות גודל; השוואת קבוצות על-ידי התאמה ועל-ידי מנייה; קבוצות גדולות יותר וגדולות פחות; מספרים גדולים וקטנים.
בגן חובה יכול הילד ללמוד כבר את מושג הפעולה החשבונית. הוא לומד שאפשר לצרף עצמים, ואפשר לגרוע. הילד צריך גם להיעזר בדמיונו: הוא מחזיק עיפרון אחד.  אם אוסיף לך 2 עפרונות, כמה עפרונות יהיו לך? השלב הבא – לדמיין ביד אחת כמה עפרונות, ביד שנייה כמה עפרונות, ולשאול כמה יהיו לך – תהליך הנקרא  כבר  "סיפור חשבוני".
מבוא לשיטה העשרונית: מנייה אחרי 10, וקיבוץ של עשרת אחת (מונים מקלות ארטיק, כשמגיעים ל-10 מבקשים מאחד הילדים להחזיק את הקבוצה של ה-10, וממשיכים – "אחת-עשרה, שתים-עשרה..."
מושגים גיאומטריים ראשוניים: ההתחלה צריכה להיות כמובן בגופים, שהם מוחשיים יותר. אחר כך צורות דו-ממדיות. מיון של הגופים והצורות וקריאה בשמותיהם. יחסים בין צורות: בפנים ובחוץ, צורות שנפגשות ולא נפגשות.
דקויות
בין כל מבני החשיבה יש אחד שהוא סמוי יותר, אבל משמעותי לא פחות מן השאר: הבחנה בדקויות. ההבנה שבין דברים דומים יכולים להיות הבדלים דקים.
הכרת דקויות פירושה הוא דיוק בחשיבה. המילה "דיוק" מקורה ב"דק". למשל, מועיל להבחין בהבדל הדק שבין "להתעורר" ו"לקום" - "התעוררתי בשמונה בבוקר, אבל קמתי רק אחרי חצי שעה".
בחרתי לתת כאן דוגמה לא מן הגן, אלא משיחה עם בתי, כשהייתה בת תשע. כשהתחלתי, לפני כמה שנים, לעסוק בחינוך בגיל הרך ניבאה לי מורה – "אתה תראה שילדיך ירוויחו מכך הרבה". ואכן, את היכולת לערוך שיחה כזו אני חייב לעיסוקי בחינוך.
- מה ההבדל בין "טיפש" ו"מטומטם"?
- אםםם, אםםם, לא יודעת.
- מה את מעדיפה שיקראו לך?
 - "טיפשה".
- למה?
- כי "מטומטם" זו מילה פחות יפה.
- אני מסכים אתך, אבל למה את חושבת שזה פחות יפה?
- כי כשאומרים לי "מטומטמת" כועסים עלי.
- נכון. כשאומרים "מטומטם" זה מלווה בכעס. אבל למה מתכוונים?
- אני חושבת שמתכוונים לכך שמטומטם הוא מישהו שעשה משהו רע בטפשותו.
- נכון. אומרים על ליצן שהוא "טפשי", אבל לא שהוא "מטומטם". כשאומרים "מטומטם" חושבים שיש לו איזו כוונה טפשית.
- כן. מישהו טיפש הוא טיפש כל הזמן. כשאומרים מטומטם מתכוונים לדבר אחד שהוא עשה.
כמו בכל תיווך, נלמד כאן גם עיקרון: בצד התוכן הענייני של משפט יש גם תוכן רגשי (במקרה זה – כעס).
במיוחד חשובה ההבחנה בדקויות בלימוד החשבון. לפעולה חשבונית יכולות להיות משמעויות שונות. למשל, התרגיל 5-2 יכול להופיע בסיפור החשבוני "היו לי 5 ממתקים, ואכלתי 2, כמה נשארו לי?" ו"בחצר היו 5 ילדים, 3 מהן בנות, כמה מהילדים הם בנים?" בסיפור הראשון נעלם משהו – זהו "חיסור של גריעה". בסיפור השני לא נעלם משהו, אלא יש הפרדה לשני סוגים (בנים ובנות) – זהו חיסור של הפרדה. 
חמישה עקרונות של הקניית מבני חשיבה
לפני מספר שנים הוקמה על-ידי מורים, מתמטיקאים ואנשי הי-טק "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", ששמה לה למטרה להחזיר את עטרת החינוך המתמטי הישראלי ליושנה. כקו המנחה הציבה לה העמותה ארבעה עקרונות דידקטיים:
שיטתיות. מושגים מתמטיים, יותר מכל מושגים אחרים, בנויים קומה על גבי קומה. כאשר ילד אינו מבין דבר מה, זה כמעט תמיד (אולי תמיד) משום שחסר לו נדבך, ומשום שהקפיצה גדולה מדי.
דגש על חשיבותן של מלים, ושל ניסוחים מדויקים. בניגוד למקובל לחשוב, גם לילדים (אולי אפילו יותר מאשר למבוגרים) נחוץ ניסוח מדויק של העקרונות הנלמדים. חשוב עוד יותר שהילד יידע בעצמו להשתמש במונחים, ולדבר עליהם. למשל, כשלומדים חיסור של גריעה ושל הפרדה, הילדים לומדים את המונחים המפורשים.
הכלל הזה חל לא רק על עקרונות מסובכים, אלא גם על הפשוטים ביותר. בכיתות שבהן פועלת העמותה מושם דגש על דיון כיתתי.
רכישת המושגים מתוך התנסות קונקרטית. למשל, המספר נרכש דרך מנייה, השיטה העשרונית דרך קיבוץ עצמים לעשרות ולמאות. וגם כאן, חשובה התנסות גם בדברים הפשוטים ביותר.
הדברים צריכים לבוא מתוך הילד. תפקידו של המורה הוא להדריך את הילד להגיע אל העקרונות בעצמו.
לאלה מצטרף עיקרון חמישי, מיוחד להוראת החשבון: דגש על המשמעות של פעולות החשבון. פירוש הדבר הוא שלידיעה כמה הם 3+2 קודמת הידיעה לאיזה מצב במציאות מתאים התרגיל הזה. הילדים מספרים סיפורים חשבוניים כל העת: "היו לי 3 תפוחים, אמא נתנה לי עוד 2, כמה יש לי עכשיו?"

* * *
הורים שמעוניינים לקבל הכוונה והדרכה כיצד לפתח את האוריינות המתמטית של ילדיהם בגיל הגן יכולים להיוועץ עם אנשי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול ב-info@ifma.org.il
הורים יכולים להרשם לסדנה שבה לומדים כיצד לעשות זאת: סדנה להורים: פיתוח חשיבה מתמטית לילדים בגיל הגן. אפשר גם לקרוא ולקבל רעיונות וכלים מתוך המאמרים שבאתר מר-חשבון.