יום שישי, 14 בדצמבר 2012

טעויות מתמטיות בהוראת מתמטיקה בבית ספר יסודי


מעת לעת אני מוצא תפיסות מתמטיות שגויות בקרב תלמידים. פעמים רבות מדובר באי הבנה של התלמידים אך לפעמים לא.   כשהמורה מבין את מקור התפיסה השגויה ומתקן אותה מהבסיס אז התלמיד מרוויח לא רק את ההבנה במקרה המיוחד הזה אלא גם כלי חשיבה. הנה כמה דוגמאות:


1. 
הטעות: התלמידים מקבלים הסבר שלדלתון יש זוג שוקיים "עליונות" ששוות זו לזו וזוג שוקיים "תחתונות" ששוות זו לזו.

דיון: כמובן שמדובר בהסבר לקוי. הרי הדלתון שומר על תכונותיו ועל הגדרתו גם כאשר הוא מוזז וכאשר הוא מסובב -- הגדרת הדלתון אינה תלויה במיקום הצלעות השוות שלו ביחס לצופה. הגדרה של דלתון יכולה להיות מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (כך שאין צלע ששייכת ליותר מזוג אחד). הגדרה אחרת (אופרטיבית, שכן היא גם מסבירה כיצד לייצר דלתון): שני משולשים שווי שוקיים שלהם בסיס משותף יוצרים דלתון. הגישה של המורה משקפת טעות חשיבה וכנראה גם בעיה -- התלמידים עלולים להבין שתכונות הדלתון תלויות באופן שבו מציירים את הצלעות שוות האורך ("עליונות" ו-"תחתונות").


אפשר לראות מתמונות הדלתונים לדוגמה שמובאים בערך דלתון בויקיפדיה שהצלעות העליונות כלל אינן שוות באורכן זו לזו ובאותו האופן גם התחתונות אינן. מדוע? כי זוג אחד של צלעות שוות אורך שורטט בדוגמאות הללו משמאל והאחר מימין. כמובן, שאפשר לסובב את הדלתון כרצוננו ואז גם לא תהיה משמעות לעליון, תחתון, ימני  או שמאלי...





2. 
הטעות: זווית חדה היא זוית שגודלה ממעלה אחת ועד 89 מעלות.
דיון: זאת חשיבה וגם בעייה: מורה שטוען כך טועה ומטעה -- לאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מאפס מעלות ושקטנות ממעלה אחת? ולאן נעלמו אינסוף הזוויות החדות שגדולות מ-89 מעלות ושקטנות מזווית ישרה?

הצעה להוראה מסודרת:
להבדיל, הנה קישורים לסדרת סיכומי שיעורים לתלמידים בבית ספר יסודי שאני מלמד בהתנדבות מידי יום שישי אחרי שעות הלימודים -- בסיכומים אני מתייחס להוראה יסודית וראוייה לזווית:

3. 
הטעות: בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות.
דיון: המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט:
(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%
אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל: 
(20+1)/(55+31) ~ 24.4%
התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות?
התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

הערה חשובה לגבי המשל והנמשל:
חישוב אחוז הקייטנים שאינם שוחים מתוך כלל הקייטנים נובע מגדרת השלם.  השלם הוא לפי הניסוח הקייטנים בשתי הקבוצות. חישוב 1/2 שקל + 1/2 דולר הוא בקטגוריה של המרה ויחידות מידה שוות. אפשר אומנם לומר שגם בדוגמת הכסף יש 2 שלמים שונים השקל ממנו נוטלים חצי והדולר ממנו נוטלים חצי.  אבל אלה 2 שלמים, לעומת דוגמת הקייטנים ששם התייחסתי לכל הקייטנים ב 2 הקבוצות כשלם אחד.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוקלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים.