בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה?

שלמה יונה

במאמר זה נסביר את הצורך במספרים מרוכבים, נלמד על מקורו של התחום, נראה כיצד מייצגים מספרים מרוכבים ונפגוש תחומים שבהם מספרים מרוכבים ומתמטיקה שמבוססת על מספרים מרוכבים נחוצים והכרחיים ולמעשה הופכים את הנושא לחשוב ולחיוני.  ננסה לעמוד על טיבו של התחום ולנסות ולגבש דיעה האם אכן חיוני ללמוד את הנושא כבר בתיכון או שאולי זה בבחינת דחיסת חומר מיותרת ואולי מוטב היה להשקיע את הזמן ואת המאמץ בחיזוק היסודות של הנושאים האחרים שנלמדים לרבות גיאומטריה ו-גיאומטריה אנליטית.

כל מספר שאנחנו מכירים הוא גם מספר מרוכב. ככל שאנו מתקדמים בלימודים במתמטיקה אנו מגלים שישנן פעולות שהגדרנו שמביאות אותנו בפני בעיות. המתמטיקאים מצאו דרכים להרחיב את מושג המספר כדי ליישב בעיות אלה. הצורך במספרים מרוכבים נולד באותו האופן שנולד הצורך במערכות מספרים אחרות שעליהן אנו לומדים עם השנים: כבר מגיל צעיר אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים ואת האפס ומשמעויותיהם כשאנו לומדים למנות ולסדר. בבית הספר היסודי אנו מרחיבים את השימוש שלנו במספרים טבעיים כשאנו לומדים את מבנה המספר. בבית הספר היסודי אנו פוגשים בצורך לחלק מספר טבעי במספר טבעי שגדול ממנו ומגלים שיש לנו צורך בייצוג התוצאה וכך אנו לומדים להכיר את המספרים הרציונליים (למעשה, בבית הספר היסודי מכירים את המספרים הרציונליים האי-שליליים בלבד) כשאנו לומדים שברים. בחטיבת הביניים אנו פוגשים במספרים השליליים כשאנו פוגשים בצורך לחסר ממספר טבעי מספר טבעי שגדול ממנו. למשל, אנו צריכים לפתור את התרגיל ?=3-5 שמתאים למשל לבעיה החשבונית: יש לי שלושה ש"ח ואני צריך לתת 5 ש"ח, מה יהיה מצבי לאחר התשלום?  המפגש במספרים שליליים מרחיב את היכרותנו עם המספרים השלמים ועם המספרים הרציונליים. כשאנו לומדים בחטיבת הביניים להכיר פעולות מתמטיות שחורגות מארבע פעולות החשבון כמו הוצאת שורש ריבועי אנו מגלים את המספרים הממשיים. הדוגמה האהובה היא הוצאת שורש ריבועי ל-2, מה שגרם למבוכה רבה בקרב הפיתגוראים. המפגש הבא שלנו עם בעיה כזאת מתרחש בלימודי המתמטיקה ברמת 5 יחידות לימוד בעקבות הצורך להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי. איך אחרת נוכל למצוא פתרון למשוואה כמו x²+1=0? נדמה שנפרדנו מהמציאות כשהגענו לנושא המספרים המרוכבים אך למעשה כל שלב בהרחבה העמיד אותנו בפני בעיה, למשל, בעולם הממשי לא נמצא אף פעם מינוס שלמים, כך שנדמה שאי אפשר לייחס מספרים אלה לקבוצות של עצמים ממשיים כפי שניתן לעשות עם מספרים טבעיים.

יחסי ההכלה בין קבוצות המספרים

במאה השש עשרה ניסה המתמטיקאי ג'ירולמו קרדאנו לפתור בעיה שתיארה חסרת מובן לאלה שאינם מתמטיקאים. הבעיה היתה לפצל את המספר 10 לשני חלקים שמכפלתם תהיה 40. הפתרון שמצא היה שני המספרים: (15-)√+5- ו-(15-)√-5. אך מהו השורש הריבועי של מספר שלילי? לקרדאנו נשמע הרעיון צורם במקצת והוא יצר עבורם את המונח המספרים המדומים, שמשתמשים בו עד היום. 

המתמטיקאים סברו עד לתקופת הרנסנס שכל המספרים ביקום כבר ידועים להם. אפשר לסדר אותם לאורך קו מספרים (מה שמכנים בתוכנית הלימודים בישראל ציר המספרים ולפעמים מכנים אותו הישר הממשי) -- קו ישר אינסופי שבמרכזו מצוי האפס. רפאלו בומבלי, מתמטיקאי, נתקל בבעיה כשניסה למצוא שורש ריבועי ל-1. התשובה: 1, כי 1x1=1 וגם 1- כי מינוס 1 כפול עצמו זה 1. יוצא מכך שהשורש הריבועי של 1 זה גם 1 וגם 1-. בשלב הבא התעוררה הבעיה מהו השורש הריבועי של 1-. השלמות המתמטית נפגמה. נדמה שאין מספרים בנמצא שיכולים להוות פתרון לשאלה הזאת. בומבלי יצר מספר חדש i שכונה מספר מדומה ושימש הפתרון לשאלה מהו השורש הריבועי של 1-. משעה שקיים המספר הזה אז גם אין מניעה שיתקיימו כפולות שלו במספרים אחרים ושלא יהיה ניתן לחבר ולחסר אותו וכפולות שלו. כך מתקבל בעצם מספר מדומה במקביל לכל מספר ממשי. אבל אין מקום למספרים המדומים על הישר הממשי. הפתרון של המתמטיקאים היה לעבור מישר ממשי למישור מרוכב. יצרו קו ישר חדש שישמש לאכלוס המספרים המדומים. ישר זה יוצב בניצב לישר הממשי. כך מתקבלת מערכת צירים בעלת ציר ממשי וציר מדומה. את המספרים המרוכבים אפשר עתה לתאר כקורדינטות על המישור הזה.

השורש הריבועי של 1- מכונה מספר מדומה אך זה אינו מדומה יותר מכל מספר אחר ואינו מופשט יותר מכל מספר אחר. הקושי שלנו נובע מכך שקשה לחשוב על דוגמאות מוחשיות מהחיים שבהם יש צורך במספר שכזה. התרגלנו לחשוב על דוגמאות מהחיים למספרים טבעיים, לשברים, ולמספרים שליליים. מה עם המרוכבים?

הפיזיקאים גילו שמספרים מדומים מספקים את השפה הטובה ביותר לתיאור כמה מהתופעות בעולם הממשי. מספרים מדומים מתבררים כדרך האידאלית לניתוח תופעות תנודה של אובייקטים כמו למשל תנועת מטוטלת. למעשה, הצורך במספרים המרוכבים מגיע כשמנסים לתאר את פעולת המטוטלת ברמה הקוונטית: במתנד הרמוני קוונטי כאשר לתיאור המקובל (באמצעות פיזיקה ניוטונית) של מתנד הרמוני נדרשת הרחבה כדי להשאר נכונה ומדוייקת גם בגדלים קטנים מאוד. מהנדסי אלקטרוניקה משתמשים במספר i לניתוח תנודות זרמי חשמל ופיזיקאים תיאורטיים תיאורטיים מחשבים את השפעת התנודות של פונקציות גל קוונטיות על ידי סיכום חזקות של מספרים מדומים. מתמטיקאים שעוסקים במתמטיקה טהורה מנצלים גם הם את המספרים המדומים כדי למצוא תשובות לבעיות שהיו לפני כן בלתי חדירות.

נפרט כמה מהשימושים של מספרים מרוכבים: לשימושים הרבים של מספרים מרוכבים במתמטיקה (למשל, שימוש בפונקציית זטא לחקר מספרים ראשוניים, שימוש בהתמרות לפלס לטובת פתרון משוואות דיפרנציאליות ועוד.) יש גם ביטוי ותועלת בתחומי מחקר אחרים. קבוצת מנדלברוט, למשל, היא דוגמה לפרקטלים שמהווים כלי לתיאור תופעות טבע, כגון מבנהו של קו החוף,  מבנה של צמחים, המבנה של כלי הדם, התקבצות הגלקסיות, תנועה בראונית והמחירים בשוק ניירות הערך. מספרים מרוכבים משמשים לייצוג מצבם של מעגלים חשמליים ובמשוואות שרדינגר ולתוצאות המתקבלות יש ערך מעשי רב בתכנון רכיבי חשמל, אלקטרוניקה וננו-טכנולוגיה. עוד נראה שצומחת לנו תועלת נוספת מלימוד הנושא בבית הספר שכן רבים מאוד העקרונות והכלים שנלמד ושבהם נשתמש בלימוד המספרים המרוכבים שמשותפים גם לגאומטריה אנליטית ול-ווקטורים. אין זה מקרה שעקרונות ומושגים שימושיים גם בנושאים ובתחומים אחרים מעבר ללימוד הנושא בעצמו.

מהו מספר מרוכב?

מספר מרוכב הוא מספר שמורכב משני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק הממשי הוא מספר ממשי כלשהו. החלק המדומה  גם הוא  ממשי, אך הוא נכפל ביחידה מדומה. היחידה המדומה, שמסומנת ב-i, מוגדרת כך שריבועה הוא 1-.

כיצד מייצגים מספר מרוכב?

מספר מרוכב הוא מספר z מהצורה z=a+b⋅i כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים, ו-i הוא השורש הריבועי של מינוס אחת: i²=-1. ייצוג של מספר מרוכב באופן זה נקרא הצגה קרטזית על שמו של רנה דקארט. זהו הייצוג המקובל של נקודות במישור. המישור שעליו נמצאות הנקודות שמייצגות את המספרים המרוכבים מכוּנה המישור של גאוס או המישור המרוּכב. בהצגה זו המספרים המרוכבים מתוארים במערכת צירים , כאשר לכל מספר מרוכב z=a+b·i מותאמת נקודה יחידה (a,b) ולהפך, לכל נקודה יחידה (a,b) מתאים מספר מרוכב z=a+b·i. הציר האופקי מכוּנה הציר הממשי והציר האנכי מכוּנה הציר המדוּמה.

הצגת המספר 3+2i במישור המרוכב [מתוך הערך "המישור המרוכב", ויקיפדיה בעברית]

הצגה מקובלת נוספת של מספר מרוכב היא הצגה קוטבית (הצגה פולארית). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב z שמרחקו מראשית הצירים הוא r והזווית היא θ יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה (r,θ).

שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה x²=-1 שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר i מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו x⁶+x²+1=0 או אפילו x⁵+(2-i)⋅x+7⋅i=0. תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.

הבנייה הזאת נראית מוזרה ושרירותית? גדי אלכסנדרוביץ' כתב ביומן הרשת שלו, לא מדויק, רשימה מעניינת שבה הוא מראה כיצד הבנייה הזאת טבעית ושימושית. שווה לקרוא: ובתפקיד היפה והחנון – פולינומים ומרוכבים.

איך נוצר הצורך במספרים מרוכבים?

התשובה הקצרה: מתמטיקאים נתקלו בבעיה: "איך להוציא שורש ריבועי למספר שלילי ומהי המשמעות של הפעולה הזאת?".

התשובה הארוכה, ארוכה יותר: נוצר צורך טבעי בהתפתחות מושג המספר כפי שקרה כמה פעמים במתמטיקה וגם באופן שאנחנו פוגשים את המספרים: ההתחלה כנראה במקרים שבהם אפשר להסתפק במנייה של "אחת", "שתיים", "הרבה". משם ההתקדמות היא למנייה מ-"אחת" ועד "עשר". מנייה זו היא טבעית כי לאדם עשר אצבעות. בהמשך נוצר הצורך בתיאור יחסים כמו חצי, שלושה רבעים וכדומה. המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי, וגודל - אורך של קטע - שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי. ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל אורך קטע אפשר להכפיל במספר שלם כדי לקבל מספר שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי, שאותו למדנו לייצג כמספר מעורב או כשבר פשוט או כשבר מדומה. המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת שורש 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.

בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי. המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב-1591 סיכם פרנסואה ויאטה בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז). עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד. גם דקארט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח כמובן מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי. מעניין לקרוא את שכתב קרדאנו בספרו, האמנות הגדולה, שפורסם ב-1545: שכשניסה לפתור את המשוואה x³=15x+4, הגיע לביטוי שכלל את המספר (121-)√:

 ופרסם פתרון שכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".

החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים. אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל אבחנה. עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של ויאטה לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר,מספר מרוכב. רפאל בומבלי פרסם בשנת 1572 סדרת כללים לעבודה עם מספרים מרוכבים. בשנת 1637 קבע דקארט כי לכל פולינום ניתן "לדמיין", כלשונו, שורשים שמספרם כמעלת הפולינום, אך אינם מהווים גדלים כמותיים בעלי משמעות. אלברט ג'ירארד, בהסתמך על עבודות קודמיו, היה הראשון לנסח את עקרונות המשפט היסודי של האלגברה הקובע כי לכל פולינום נתון קיימים מספר שורשים כמעלתו. הוכחה מלאה ומפורטת של המשפט היסודי של האלגברה ניתנה לבסוף על ידי גאוס.

אבל מה עם דוגמה פשוטה מהחיים שתתן מוטיבציה ללמוד את זה?

אפשר לומר שבעיה די בסיסית באלגברה לינארית היא מציאת הערכים העצמיים למטריצה הריבועית

שהם השורשים של המשוואה λ²+1=0. אבל בהחלט ברור לי שזאת אינה ממש מוטיבציה לתלמידים בתיכון, שלא ראו מטריצה מימיהם ואינם יודעים למה מטריצות עשויות לשמש ושאת צעדיהם הראשונים באלגברה לינארית הם יעשו על ידי לימוד של ווקטורים ורובם אפילו לא יבינו שזה באותו תחום של אלגברה לינארית כאשר יגיעו ללימודי מתמטיקה באקדמיה... 

הבא נבחין בין שני דברים שונים כאשר אנו מנסים למצוא דוגמאות מהחיים לשימוש במספרים מרוכבים:

1. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי וברור יותר באמצעות מספרים מרוכבים לעומת תאורן באמצעות מספרים ממשיים

2. כמויות במציאות אשר מתוארות באופן טבעי באמצעות מספרים ממשיים ויחד עם זאת מובנים באופן מיטבי באמצעות מתמטיקה של מספרים מרוכבים

הבעיה היא שרוב התלמידים מחפשים דוגמאות מהסוג הראשון, אשר הן נדירות ביותר ולעומת זאת דוגמאות מהסוג השני ישנן למכביר.

הנה כמה דוגמאות מהסוג הראשון, כבוגר הפקולטה להנדסת חשמל בטכניון קל לי לחשוב על דוגמאות כאלה. אולי הן גם יהיו אינטואיטיביות יותר לתלמידי מגמות פיסיקה שלומדים חשמל ומגנטיות בתיכון:

מצבו של מעגל חשמלי מתואר באמצעות שני מספרים ממשיים, המתח החשמלי V והזרם החשמלי I. למעגל חשמלי גם יש קיבול C והשארות L אשר משמשים (אם נפשט את העניין) לתיאור נטייתו של המעגל להתנגד למתח ולזרם, בהתאמה. באמצעות מספרים מרוכבים נוכל לתאר כל צמד גדלים על ידי מספר מרוכב יחיד: Z=V+i⋅I לתיאור מצב המעגל ו- ω=C+i⋅L לתיאור העכבה של המעגל. כמובן שאת חוקי קירקהוף ואת משוואות מקסוול ושאר הפעולות המתמטיות שנרצה להפעיל, נוכל לבצע באמצעות האריתמטיקה של מספרים מרוכבים.

דוגמה נוספת באה מתחום האלקטרומגנטיות: נתאר שדה אלקטרומגנטי באמצעות מספר מרוכב אחד תחת תיאור באמצעות שתי כמויות ממשיות. הגודל שמתאר את עוצמת השדה החשמלי משמש כחלק הממשי של המספר המרוכב ואילו הגודל שמתאר את עוצמת השדה המגנטי משמש כחלק המדומה שלו.

הבעייתיות בשתי הדוגמאות שלי היא גם שלא הכול בקיאים בחשמל ובמגנטיות ואולי בעיקר משום שאין זה ברור מדוע אין זה טבעי יותר לתאר באופן דומה את הגדלים הללו בתור וקטורים דו ממדיים.

לכן, אולי חשוב יותר להתייחס לסוג השני של דוגמאות של יישומים של מספרים מרוכבים. ננסה לעשות זאת באמצעות אנלוגיה לייצוג יחסים (פרופורציות). נניח שאנו מודדים שתי אוכלוסיות: אוכלוסייה א' של 300 סטודנטים של מכללה שמתוכם 60 מתחת לגיל 18 ואוכלוסייה ב' של 1350 סטודנאים של אוניברסיטה שמתוכם 135 מתחת לגיל 18. נוכל לציין את החלק היחסי של התלמידים בני 18 ומטה באמצעות היחס 60/300 במכללה ו-135/1350 באוניברסיטה. יכולים היינו לתאר את הגדלים הללו גם על ידי 0.2 (20%) במכללה ו-0.1 (10%) באוניברסיטה. בכל אופן, ניכר שהאוכלוסייה במכללה "צעירה" יותר מזאת שבאוניברסיטה באופן יחסי. חשוב להבחין שייצגנו את המידע באמצעות מספרים שאינם שלמים אף על פי שלא ניתן למדוד אוכלוסיות באמצעות מספרים שאינם שלמים. המספרים הטבעיים הם בהחלט טבעיים למניית הפרטים באוכלוסייה. השברים (המספרים הרציונליים) שהשתמשנו בהם זרים ואינם טבעיים לבעיה באופן דומה לזרות לכאורה של מספרים מרוכבים לבעיות מהחיים. יחד עם זאת זה לא מנע בעדנו מלהרחיב את מושג המספר עוד בבית הספר היסודי כדי לנצל את התועלת שבשימוש במספרים אלה.

תלמידים שלומדים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א) יכולים בהחלט להשתתף בדיון שבו יש ניסיון לפתור משוואה מהסוג
a⋅y''+b⋅y'+c⋅y=0 עבור פונקציה לא ידועה y כלשהי. נוכל לספר להם שניתן למצוא את הפתרון אם נוכל לפתור את המשוואה הריבועית הבאה a⋅r²+b⋅r+c=0 עבור המשתנה r. צריך להודות שייתכן שלא יהיו לנו שורשים ממשיים, אך במספרים המרוכבים יש שורשים וניתן למצוא את כולם ולאחר שנמצא אותם נוכל לברור מתוכם את השורשים הממשיים שמתאימים לבעיה "מהחיים" שלנו. במקרה הזה השימוש הוא בהתמרת לפלס לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה.

מסקנות:
אפשר למצוא תירוצים כיצד מספרים מרוכבים עוזרים לנו לפתור בעיות ביום-יום באופן שיניח את דעתם של תלמידי מתמטיקה ב-5 יחידות לימוד. יחד עם זה הדוגמאות מאולצות ונדמה שהמוטיבציה העיקרית היא שהיישומים בנושאים מתקדמים, לרבות במתמטיקה מתקדמת יותר, דורשים את הידע הזה. באופן אישי, אינני בטוח שהחומר הזה הכרחי בתיכון.

מוטב היה אולי להשקיע יותר בלימודי גיאומטריה, טריגונומטריה, ווקטורים ובגיאומטריה אנליטית תוך ביסוס איתן על אינטואיציות שמתקשרות למציאות בשניים ובשלושה מימדים -- ואז להשאיר את הנושא של מספרים מרוכבים לקורסים באוניברסיטה שם ממילא חולפים על הנושא ביעף, ובצדק, שכן מי ששולט בפולינומים, בווקטורים ובגיאומטריה אנליטית, חזקה עליו שיראה מאופן הבנייה של המספרים המרוכבים את הדמיון ואת אותם העקרונות.

כדי להציג דעה שכנגד: הנושא מאפשר התעסקות בתחום חדש בעקרונות מוכרים ומשלב גם נושאים מטריגונומטריה (לטובת המרות בין הייצוגים פולארי וקרטזי). -- אכשהו, עדיין לא השתכנעתי שהנושא הכרחי. אני ממשיך לחפש אינטואיציה ומוטיבציה טובות יותר כדי להצדיק את הלימוד של מספרים ראשוניים בתוכנית הלימודים במתמטיקה בתיכון.


מקורות:

1. אלגברה בסיסית, ויקיפדיה בעברית
2. ג'ירולמו קרדאנו, ויקיפדיה בעברית
3. התפתחות מושג המספר, ויקיפדיה בעברית
4. המישור של גאוס, ויקיפדיה בעברית
5. מספר מרוכב, ויקיפדיה בעברית
6. מערכת צירים קרטזית, ויקיפדיה בעברית
7. שדה המספרים המרוכבים, ויקיפדיה בעברית
8. מלכת המדעים, שער למדע, כרך חמישי, עמודים 771-772, הוצאת מסדה, 1971
9. מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק ב': הרנסנס והזמן החדש, שבתאי אונגרו, אוניברסיטה משודרת, משרד הבטחון, 1989
10. המשפט האחרון של פרמה, סיימון סינג, ידיעות אחרונות, ספרי חמד, ספרי עליית הגג, 2003
11. Complex Numbers in Real Life