כיצד נסביר לילדים את מושגי היחס "בכמה יותר" ו-"בכמה פחות"?

בכמה יותר, בכמה פחות כתבה חני גביש כשאנחנו עושים השוואה בין שתי קבוצות של פריטים (איברים), אנחנו נוהגים לשאול: באיזו קבוצה יש יותר/פחות? בכמה יותר/פחות? מרבית הילדים יודעים להצביע על הקבוצה היותר גדולה/קטנה. הדרישה לחשב בכמה יותר/פחות היא דרישה קשה ומבלבלת עבור ילדים רבים. כדי שילדים יהיו מסוגלים להבין מושגים של בכמה יותר/פחות עליהם להבין שני מושגים בסיסיים יותר: שוויון אנחנו משווים, למשל, קבוצה בת 7 פריטים לעומת קבוצה בת 5 פריטים. בתוך השאלה בכמה 7 גדול מ – 5  מסתתר הרעיון ש עלינו ליצור שוויון בין  ה  - 7 לבין  ה – 5.  כדי ליצור את השוויון עלינו להרחיק/להפחית/להסיר... מ – 7 , 2 יחידות. השאלה בכמה 5 קטן מ – 7, היא בעצם השאלה הבאה: מה עלינו לעשות עם ה – 5 כדי ליצור שוויון בינו לבין ה – 7? כדי ליצור את השוויון עלינו להוסיף/לחבר/לתת… ל – 5 עוד 2 יחידות. מסקנה: הבסיס ליכולת להבין "בכמה פחות/יותר" הוא הבנת השוויון. ילד שאין לו מושג השוויון, לא יוכל להבין  מושגים של אי-שוויון (גדול מ…/קטן מ…). הפרק העוסק ב – "השוואת מספרים"  (מתמטיקה יסודית - כתה א')  מדבר למעשה על השוואת קבוצות. הכלי באמצעותו אנו יכולים להשוות בין קבוצות הוא התאמה: עבור כל איבר/פריט בקבוצה האחת אנחנו מחפשים "בן-זוג" תואם בקבוצה האחרת. פעולת ההתאמה (שבסופה נדע האם שתי קבוצות שוות או שונות) מאפשרת למצוא את התכונה המשותפת לשתי קבוצות שיש להן איברים שונים: הכמות. כשאנו משווים בין 8 פרפרים ל – 8 פרחים: הפריטים בשתי הקבוצות שונים באופיים ועדיין יש לשתי הקבוצות תכונה משותפת: כמות הפריטים היא 8. הפרש/פער אחד המובנים של חיסור (שכאילו מובן מאליו) הוא הפרש או פער. כשאנו שואלים על פער/הבדל/הפרש בין נתונים/כמויות/יחידות אנחנו לא מתעניינים רק בכמויות ההתחלתיות אלא בעיקר ביחסים ביניהן (מי גדול/קטן ממי). ההפרש עצמו מתייחס אל שיעור הפער (בין אם זה גדול מ… או קטן מ…) וכיון שכך לא משנה האם השאלה היא בכמה גדול או בכמה קטן, הפעולה החשבונית לחישוב ההפרש תהיה פעולת חיסור. הצעה לפעילות המורה מרימה שתי כפות ידיים. מ. יש לנו שתי ידיים: יד ימין ויד שמאל. אני רוצה לדעת האם מספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל. מי יכול להראות לי איך פותרים שאלה כזאת? הערה: אם הילדים ישיבו ש - "אפשר לספור", זה אומנם נכון אבל לא משרת ברגע זה את המטרה. במקרה שתשובה זו נאמרת בכיתה מומלץ שהמורה תאמר לילדים: "איך יפתור את השאלה הזאת מי שלא יודע לספור"? ת. אני מחזיק שתי כפות ידיים קרוב אחת לשניה. אני מצמיד אגודל לאגודל, אצבע לאצבע, אמה לאמה, קמיצה לקמיצה, זרת לזרת. לכל אצבע ביד ימין יש לי אצבע מתאימה ביד שמאל. לא נשארה לי שום אצבע שאין לה בת זוג. אז אני חושב שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל. מ. נכון מאוד. גיל אומר לנו שהוא עושה התאמה בין האצבעות של יד ימין לבין האצבעות של יד שמאל. אני מבקשת שכל הילדים יבדקו עכשיו בעצמם שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל. המורה עוברת בין הילדים ובודקת שלכל אצבע ביד אחת הם מצמידים אצבע מתאימה ביד האחרת. מ. אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, מה נוכל להגיד על שתי קבוצות האצבעות? ת. שהן שוות. מ. בואו ננסח משפט שלם. אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, יש אותו מספר של אצבעות בשתי כפות הידיים. מורים, שימו לב! בשלב זה אנחנו נמנעים ממנייה בכוונה תחילה. תהליך ההשוואה בין קבוצות  נעשה ע"י התאמה ומציאת בן זוג (בקבוצה א')  לכל פריט (בקבוצה ב') הוא שלב  ראשוני וטבעי לכל ילד. מ. המורה מזמינה לקדמת הכיתה ארבעה ילדים (בלי להכריז על כמות הילדים). בידה היא מחזיקה ארבעה פקקים. מ. טלי, אופיר, ניצן ותום בואו אלי. תראו, יש לי ביד פקקים. אני רוצה לדעת האם יש לי מספיק פקקים לכל הילדים שהזמנתי אלי? אני רוצה שתראו האם יש לי מספיק פקקים? ת. לכל  ילד תתני פקק ואז תדעי האם יש לך מספיק פקקים לכולם. המורה נותנת פקק לכל אחד מארבעת הילדים. מ. האם הפקקים שהיו לי הספיקו לכל הילדים? ת. כן. מ. הסבר ת. כל ילד קבל פקק. לא נשאר שום ילד בלי פקק. מ. נכון. לא נשאר שום ילד בלי פקק. האם נשאר איזה שהוא פקק בלי ילד? ת. לא מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הילדים ועל קבוצת הפקקים? ת. הן קבוצות שוות. מ. בקבוצה אחת יש ילדים ובקבוצה שניה יש פקקים אז, במה הן שוות? ת. שתי הקבוצות שוות במספר הפריטים: 4 ילדים, 4 פקקים. מ. מצוין. המורה מציירת על הלוח 5 בלונים (לצייר בתפזורת ולא בקו אופקי או אנכי) ובמרחק מה  5 חוטים. מ. אני רוצה שכל בלון יהיה קשור בחוט ואני לא יודעת האם יש לי מספיק חוטים לבל הבלונים. מי יוכל להראות לי האם יש מספיק חוטים? ת. אני מאריך כל חוט עד שהוא יגיע לבלון אחד. הנה, לכל הבלונים יש חוטים, אז יש לך מספיק. מ. האם יש חוט שנשאר בלי בלון? ת. לא מ. האם יש בלון שנשאר בלי חוט? ת. לא. מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הבלונים ועל קבוצת החוטים? ת. שתי הקבוצות שוות. מ. הסבר ת. לכל חוט מקבוצת החוטים יש בן זוג, בלון, מקבוצת הבלונים. אף אחד לא נשאר בלי בן-זוג. מ. ילדים, יש פה משהו מוזר. אני ציירתי קבוצה של בלונים וקבוצה של חוטים ואתם אומרים ששתי הקבוצות שוות. האם בלונים שווים לחוטים? ת. את ממש מצחיקה. בלונים לא שווים לחוטים. כמות הבלונים שווה לכמות החוטים. מ. נכון מאוד. בכל אחת מהקבוצות יש פריטים שונים. בקבוצה הזאת יש בלונים ובקבוצה הזאת יש חוטים. בכל זאת לשתי הקבוצות יש משהו  משותף. מה משותף? ת. הכמות. מ. נכון. אנחנו יכולים לומר ששתי הקבוצות שוות בכמות הפריטים שלהן או שאנחנו יכולים לומר שהכמות היא התכונה המשותפת לשתי הקבוצות האלה. במקרה של הבלונים והחוטים, הכמות המשותפת לשתי  הקבוצות היא 5. המורה מזמינה ילד ונותנת  לו 4  מקלות מבלי שהיא מונה אותם. מ. טלי בואי אלי. אני נותנת לך מקלות.  (המורה תסדר את המקלות בידה של טלי כך שכל הילדים יוכלו לראותם בברור). עכשיו, אני מבקשת ממך לקחת ביד שמאל קבוצה אחרת של מקלות כך שכמות המקלות בשתי הידיים תהיה שווה. טלי לוקחת את המקלות הנוספים בידה השמאלית. מ. האם קבוצת המקלות שיש לטלי ביד ימין שווה לקבוצת המקלות שיש לטלי ביד שמאל? ת. כן מ. כיצד תראו לי שהקבוצות שוות? ת. אנחנו נבקש מטלי להחזיק את הידיים קרוב, זו מול זו. בואו נראה האם לכל מקל ביד ימין יש  מקל בן זוג ביד שמאל? מ. נכון מאוד. איזו פעולה הציע לנו יובל? ת. לעשות התאמה בין שתי הקבוצות מ. נכון. ומה התוצאה של ההתאמה שלנו? ת. שתי קבוצות המקלות שוות כי לכל מקל ביד שמאל יש בן זוג מקל ביד ימין. מ. מהי התכונה המשותפת לשתי קבוצות המקלות? ת. הכמות שלהם. מ. נכון, בשתי הקבוצות אותה כמות של מקלות. מ. האם אנחנו יכולים לדעת מהי כמות המקלות? ת. כן מ. כיצד נוכל לדעת? ת. פשוט מאוד, נמנה את המקלות. יש בכל יד 4 מקלות. מ. אני מבקשת שכל ילד יניח על שולחנו ערמה קטנה של אביזרים.      אחרי שהנחתם את הערמה, מנו את הפריטים ורשמו את המספר על הלוחות. מ. נדב כמה פריטים יש בערמה שלך? תומר…, יעל…, מ. השאירו את הפריטים במקומם. ועכשיו, עליכם ליצור  עוד קבוצה. אני מבקשת ששתי הקבוצות תהיינה שוות. כיצד תוכלו להראות ששתי הקבוצות שוות? ת. אני בחרתי מקלות ואני מסדרת אותם בשורה. עכשיו אני שמה חרוז מול כל מקל. יש לי שורה של חרוזים ויש לי שורה של מקלות. לכל מקל התאמתי בן-זוג חרוז ועכשיו הקבוצות שלי שוות. מ. פעלת נכון. ת. יש עוד דרך לעשות את זה. מ. הסבר ת. את ביקשת שיהיו לנו שתי קבוצות שוות. הקבוצות צריכות להיות שוות בכמות. מ. אתה צודק. הסבר. ת. אני מבין שבכל קבוצה צריך להיות אותו מספר של פריטים. אני יכול למנות את ערמת הפסטה שלקחתי, אני סופר 9 פסטות. עכשיו אני צריך עוד קבוצה שיש בה 9 פריטים אחרים. נראה מה יש לי בסלסילה… אני לוקח 9 גפרורים. עכשיו יש לי שתי קבוצות שוות.   מ. מהן שתי הקבוצות של עומרי? ת. פסטות וגפרורים. מ. האם שתי הקבוצות של עומרי שוות? ת. כן מ. איך אנחנו יכולים להראות ששתי הקבוצות של עומרי שוות? ת. אני יכולה להתאים בין שתי הקבוצות. למצוא לכל פסטה גפרור בן זוג. אם לכולם יהיה בן זוג, סימן שהקבוצות שוות. מ. מי יכול להראות לנו בדרך אחרת? ת. אני יכול למנות. מ. הסבר. ת. אם אנחנו רוצים ששתי הקבוצות תהיינה שוות, צריך לחפש תכונה משותפת. מ. נכון. מהי התכונה המשותפת? ת. הכמות. צריך שבקבוצה של הפסטות יהיו 9 פריטים וגם בקבוצה של הגפרורים צריך 9 פריטים. מ. אור כמה אחים/אחיות יש לך? ת. שניים מ. כמה ילדים במשפחה שלך יחד איתך? ת. שלושה מ. אצל מי עוד יש במשפחה שלושה ילדים. ת. מרימים ידיים מ. גם אצל לירון, נופר, שירה, אלעד… יש שלושה ילדים במשפחה. מ. מה אנחנו יכולים להגיד על המשפחות של לירון, נופר, שירה, אלעד… ת. הן שוות מ. המשפחה של לירון היא אותה המשפחה של נופר? ת. זו לא אותה משפחה. לכל ילד יש המשפחה שלו, אבל יש תכונה משותפת למשפחות האלה? מ. זה נכון. מהי התכונה המשותפת? ת. מספר הילדים.  מ. בכל המשפחות האלה יש אותו מספר ילדים. הן שוות במספר הילדים. לכולן שלושה ילדים. המורה מציירת על הלוח 5 פרחים ומתחתם במרחק מה 3 עציצים. היא אינה מונה אותם. מ. השבוע הייתי בחנות פרחים. על אחד המדפים היו פרחים ועציצים. מה אתם אומרים, האם יש מספיק עציצים בשביל כל הפרחים? ת. לא מ. אני רוצה שתראי לי שאין מספיק עציצים.  חברי בקו כל פרח שיש לו עציץ. ת. את רואה, רק לשלושה פרחים יש עציצים. מ. האם קבוצת העציצים שווה לקבוצת הפרחים? ת. לא. מ. נכון הקבוצות לא שוות. הן שונות. מה שונה בהן? ת. כמות הפריטים. מ. נכון. באיזו קבוצה יש יותר פריטים? ת. קבוצת הפרחים יותר גדולה. מ. נכון. באיזו קבוצה יש פחות פריטים? ת. קבוצת העציצים. ש. אמרתם שקבוצת הפרחים יותר גדולה מקבוצת העציצים.  אני רוצה לדעת כמה פרחים יש יותר מעציצים?  מי יכול להראות לי כיצד למצוא את התשובה? ת. תעשי התאמה בין שתי הקבוצות. מ. הסבר. ת. אנחנו יודעים שיש יותר פרחים מעציצים. אם נתאים לכל פרח, בן זוג עציץ נוכל לראות כמה פרחים ישארו בלי עציצים? מ. נכון מאוד ניתאי. בוא הראה לנו על הלוח. ת. עד כאן זה שווה. שלושה עציצים ושלושה פרחים. אבל יש לנו עוד פרחים ואין לנו עוד עציצים. מ. נכון מאוד. אז, מה יש יותר? ת. פרחים. מ. כמה פרחים יותר מעציצים? ת. 2. מ. מצוין. מ. התבוננו שוב בציור. מה יש פחות? ת. עציצים. מ. כמה עציצים יש פחות מפרחים? ת. כמה עציצים פחות מפרחים זה כמו לשאול כמה עציצים חסרים לנו. מ. נכון. כמה עציצים חסרים? ת. 2. מ. אני מבקשת שכל ילד יניח  על שולחנו שתי קבוצות נפרדות של אביזרים בלי למנות אותם . עכשיו מנו את מספר האביזרים בכל קבוצה ורשמו על הלוח שלכם כמה פריטים מונה כל קבוצה. המורה עוברת בין הילדים ומוודאת שבצעו נכון את ההוראה. מ. יונתן כמה  חרוזים יש לך בכל קבוצה? ת. בקבוצה אחת יש לי 9 חרוזים ובקבוצה השניה יש לי 7 חרוזים. מ. האם שתי הקבוצות של יונתן שוות? האם בשתי הקבוצות יש אותה כמות של חרוזים? ת. לא. המורה מזמינה את אחד הילדים ללוח. מ. יניב, כיצד תוכל להראות לנו שבשתי הקבוצות אין אותו מספר של חרוזים? ת. לכל חרוז כחול אני אחפש בן-זוג צהוב ואז נראה. מ. איזו פעולה עושה יניב? ת. התאמה. מ. יניב, מה אתה יכול לומר על שתי קבוצות החרוזים? ת. שתי הקבוצות אינן שוות. יש יותר חרוזים צהובים מחרוזים כחולים. מ. כמה חרוזים צהובים יש יותר מחרוזים כחולים? ת. 2 . מ. הסבר. ת. יש 2 חרוזים צהובים שאין להם בן זוג כי אין מספיק חרוזים כחולים. מ. בואו נספור את החרוזים הצהובים. ת. מקהלה מדברת: 1, 2,… 9 מ. כמה חרוזים צהובים יש לנו? ת. תשעה. מ. בואו נספור את החרוזים הכחולים. ת. מקהלה מדברת: 1, 2,…7 מ. כמה חרוזים כחולים יש לנו? ת. שבעה. מ. איזו פעולה חשבונית נעשה כדי לדעת בכמה גדול מספר החרוזים הצהובים ממספר החרוזים הכחולים?   ת.                     2 = 7 - 9 שאלות לתרגול מ. מה רואים בציור? ת. חתולים וכדים. מ. כל חתול רוצה כד חלב. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק כדי חלב לכל החתולים? ת. נעשה התאמה. מ. הסבר ת. נחפש  לכל חתול בן-זוג, כד חלב. מ. כיצד נעשה את זה? ת. נמתח קו מכל חתול לכד חלב. מ. מה מצאנו? ת. לכל חתול יש כד חלב. מ. אם כך, האם הקבוצות שוות? ת. הקבוצות לא שוות. יש יותר כדי חלב מאשר חתולים. מ. נכון. מי יודע איזה תרגיל חשבוני אנחנו צריכים לעשות כדי לדעת כמה כדים יותר מחתולים? ת.                  3  =  5  - 8 מ. מצוין. יש לנו שלושה כדים יותר מחתולים. זה אומר שלשלושה כדים אין חתולים. מ. כמה קבוצות אנחנו רואים בציור? ת. שתיים מ. מהן הקבוצות? ת. עצים וציפורים. מ. כל ציפור רוצה לבנות קן על עץ נפרד. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק עצים לכל הציפורים? ת. נעשה התאמה. מ. הסבר ת. נחפש לכל ציפור, בן-זוג עץ ואז נוכל לדעת. מ. איך נחפש? ת. נמתח קו מציפור לעץ מ. מה אנחנו רואים? ת. לכל ציפור יש עץ. ת. גם לכל עץ יש ציפור מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על שתי הקבוצות? ת. הן שוות. מ. מהי התכונה המשותפת? ת. כמות הפריטים. בכל קבוצה יש 6: שישה עצים, שש ציפורים.

יחסים מסוכנים: על צרות בצרורות כשמנסים למצע יחסים

יחסים מסוכנים
ציירה: סיון יונה

יחסים מסוכנים

על צרות בצרורות כשמנסים למצע יחסים

שלמה יונה

רכזת השכבה בבית הספר אוספת נתונים ממחנכות הכיתות שבשכבה. מכל מורה היא מבקשת לדעת מה אחוז התלמידים מכתתה שנכשלו במבחן הארצי במתמטיקה. הנה הנתונים שמסרו המורות שבשכבה:

בכתה ראשונה: תלמיד אחד נכשל מתוך 40 תלמידים. בכתה השנייה: 2 תלמידים  נכשלו מתוך 32 תלמידים. בכתה השלישית: תלמיד אחד נכשל מתוך 39 תלמידים. בכתה הרביעית: 2 תלמידים נכשלו מתוך 33 תלמידים. בממוצע נראה שכ-6% מהתלמידים בשכבה נכשלו. הרכזת בדקה גם כמה תלמידים בסך הכל נכשלו (6 תלמידים) מתוך 136 התלמידים שבשכבה וקיבלה ש-בקירוב נכשלו 4 אחוזים מהתלמידים. אז איך זה יכול להיות שהתקבלה מסקנה שונה מהמסקנה שהתקבלה בחישוב הקודם? נשוב לבעיה הזאת מאוחר יותר.

ירחמיאל חש ברע ולכן ניגש לרופא, אשר רושם לו טיפול מקובל. ירחמיאל מקבל מרשם לקניית תרופה שאותה יש לצרוך כך וכך פעמים במשך כך וכך ימים. ירחמיאל צרכן נבון ולכן הוא שואל את הרופא על אחוזי ההצלחה של הטיפול המדובר. הרופא מפשפש ברשימותיו  ומספר שיש לטיפול הצלחה ב-40% מהמקרים לפי מחקרים מסוג אחד (ירחמיאל חקרן בלתי נלאה ולכן דרך להבין כמה מקרים טופלו כך וכמה מהם הסתיימו בהצלחה והרופא פירט: 4 הצלחות מתוך 10 ניסיונות)  ואילו מחקרים מהסוג האחר מראים על כ-70% הצלחה (63 הצלחות מתוך 90 ניסיונות). המחשבה על צריכת תרופה ואחוזי ההצלחה מביאים את ירחמיאל לחשוב על בדיקת פתרון חלופי. השכנה המליצה על מרפא-אלטרנטיבי-הוליסטי-נפלא. ירחמיאל קובע פגישה אצל המרפא המופלא שמציע שילוב של קינסיולוגיה והומיאופתיה. ירחמיאל מבקש גם כאן להבין את אחוזי ההצלחה. המופלא מספר שיש לטיפול בקינסיולוגיה 50% הצלחה (45 הצלחות מתוך 90 ניסיונות) ולהומיאופתיה 80% הצלחה (8 הצלחות מתוך 10 ניסיונות).

ירחמיאל סבור שהוא חזק בחשבון. הוא ממצע בראשו את אחוזי ההצלחה בכל סוג של טיפול: הוא מקבל שלפתרון של הרפואה המקובלת יש 55% הצלחה (מחבר 40 ועוד 70 ומחלק ב-2) ואילו לפתרון שמציעה הרפואה האלטרנטיבית יש 65% הצלחה (50 ועוד 80 לחלק ב-2). ירחמיאל בוחר בטיפול שלהבנתו יש לו יותר סיכויים להצליח ופונה לטיפול האלטרנטיבי.

נדמה שירחמיאל פעל ובחן את הנושא בשיטתיות והסיק מסקנה הגיונית שמתבקשת מהנתונים. אך זה רק נדמה ואין זה נכון. אם נשים בצד את העובדה שבדיקות מסודרות לפי עקרונות מדעיים מראות באופן עקבי שקינסיולוגיה והומיאופתיה לא מועילות יותר מאשר אינבו (פלאסבו) ואם נניח בצד את העובדה שאין בתיאוריה שמאחורי קינסיולוגיה והומיאופתיה שום צידוק פיסיקלי אמיתי (ההפך הוא הנכון, בדיקה מראה שהפעולות לא יכולות להיות אלא חסרות משמעות) -- אפילו אם רק נשתמש בנתונים נבין שירחמיאל מסיק מסקנות שגויות. ירחמיאל נפל קורבן לפרדוקס סימפסון.

כדי להבין מהם אחוזי ההצלחה של הטיפול הרפואי נסכום את ההצלחות משני המחקרים (67 הצלחות) ונסכום גם את סך הניסיונות (100 ניסיונות) ונקבל שהחלק היחסי של ההצלחות מהניסיונות הוא 67/100 שהם 67%. באותו אופן נקבל שהפתרון האלטרנטיבי נותן 53 הצלחות (45 ועוד 8) מתוך 100 ניסיונות (90+10) שהם 53%.

אבל רגע! הממוצע הראה שהטיפול הרפואי המקובל נותן רק 55% הצלחה לעומת 65% הצלחה בממוצע לטיפול האלטרנטיבי.

האם יש פה סתירה? ממש אין כאן סתירה. יחסים מסתירים מאיתנו את הכמויות האמיתיות שאנחנו עוסקים בהן. מלבד זאת, אין משמעות לחבר או למצע יחסים כי בעצם אנחנו איננו שומרים על חיבור של דברים בעלי אותו הכינוי (אותה המשמעות) -- בדומה לחיבור של תפוחים לתפוזים.

הבלבול נובע מההרגל לחפש מכנה משותף ולחבר. כך התרגלנו בשברים ואחוזים הם מאיות ואם הכול מבוטא במאיות אז גדול הפיתוי לחבר כי יש מכנה משותף. אבל מכנה משותף אינו הולם כאן. המשמעות של הביטוי, הצלחה, אינה מתאימה לחיבור היחסים. המשמעות של אחוז ההצלחה היא מנת סכום כלל מקרי ההצלחה בסכום כלל המקרים. ומשעה שחישבנו כך קיבלנו את המשמעות שאליה התכוונו. לעומת זאת, אין משמעות כזאת לחיבור או לממוצע של היחסים.

ישנם יחסים שמשמעותם נתונה לפי הגדרה שלנו. זה המקרה כאן אצל ירחמיאל: כשאנו מגדירים  מספר הניסויים שהסתיימו בהצלחה לחלק למספר הניסויים בסך הכול. עתה נתבונן בשני המקרים שבהם ביצעתי ניסויים וננסה מנסה לסכם את התוצאות. איננו יכולים לקחת את היחס שמתאר הצלחה במקרה הראשון ולחבר אליו את היחס שמתאר הצלחה במקרה השני. עלינו לסכם את ההצלחות בניסויים משני המקרים ולחלק את הסכום ב-סכום מספר הניסויים משני המקרים. רק כך  נוכל להסיק את ההצלחה משני המקרים ביחד. זאת דוגמה שמציגה שמכנה משותף, גם באחוזים, לא  מועיל לנו. כלל חשוב בחשבון, בסטטיסטיקה ובמתמטיקה (ואולי בחיים בכלל): לא להתעסק בחישובים אלא בחשיבה: יש להבין מה המשמעות ולפי המשמעות לבחור את הכלי המתאים לייצוג הבעייה (התרגיל בחשבון, או האופרטור המתמטי, במקרה שלנו היחס וכלל החיבור המיוחד).

ננסה לתאר בייצוג אלגברי:
היחס שמתאר הצלחה במקרה א': a/b, כאשר a מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך b ניסויים. באופן דומה, היחס שמתאר הצלחה במקרה ב': c/d, כאשר c מתאר את מספר הניסויים שהצליחו מתוך d ניסויים. אם נרצה להסיק מהו היחס שמסכם בעבורנו את ההצלחה משני המקרים גם יחד עלינו לחשב כך (a+c)/(b+d), ואיננו יכולים לקבל תשובה עם משמעות כאשר נחבר את השברים a/b ו-c/d כמקובל. כי זה ייתן תשובה שאינה מתארת את ההצלחה לפי ההגדרה שלנו.

הבא ונתבונן בדוגמה שונה ומתחום אחר לחלוטין שגם שם נדמה שיש סתירה ולמעשה אין. הדוגמה מבוססת על חידה שחד לי שלומי בושי:

אתר אינטרנט מצליח ניזון מפרסומות. כדי לפשט את ניהול המפרסמים אצלו בעל האתר מעסיק שלוש חברות פרסום שמספקות פרסומות לאתר שלו. הוא מודד את אחוזי ההצלחה של כל אחת משלוש החברות באמצעות מדד CTR. זה בעצם יחס שמראה כמה פעמים הקליקו על מודעה מתוך סך הפעמים שהמודעה הוצגה. בדוח היומי שלו גילה בעל האתר שבעוד שסוכנויות הפרסום א' ו-ב' שמרו על אחוז ההצלחה שלהן, סוכנות ג' שיפרה את אחוז ההצלחה שלה. מרוצה מהשיפור פנה בעל האתר לחשב את ההשפעה של השיפור על ה-CTR של הפרסומות באתר שלו. לתדהמתו, הוא גילה שה-CTR באתר ירד. האם זה ייתכן?

הנה המספרים:

ביום הראשון, סוכנות א' השיגה CTR של 3%=18/600, סוכנות ב' השיגה CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  CTR של 1% 4/400. אלה מספרים מרשימים מאוד בפרסום מקוון. 

ביום השני, סוכנות א' נשארה עם CTR של 3%=18/600, וסוכנות ב' נשארה עם CTR של 4% 64/1600 ואילו סוכנות ג' השיגה  שיפור ב-CTR והעלתה אותו ל 1.1% 110/10000. מרשים!

עתה נחשב את ה-CTR באתר, הרי זה מה שמעניין את בעל האתר:

סך כל הקליקים על מודעות ביום הראשון הוא 86 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 2600 ולכן ה-CTR ביום הראשון הוא כ-3.3%.

סך כל הקליקים על מודעות ביום השני הוא 192 קליקים וסך כל ההופעות של מודעות הוא 12200 ולכן ה-CTR ביום השני הוא כ-1.6%.

אוי ואבוי! ה-CTR באתר ירד ביום השני ביותר מ-50% מאשר ביום הראשון.

איך זה ייתכן? זה ייתכן כי אנו מחשבים יחס. ביחס אנחנו יכולים לשלוט על שני גדלים: על המונה ועל המכנה. אם משווים שני יחסים ונצמצם כל אחד מהם ככל האפשר אז נוכל לטעון את הדברים הבאים:

* היחסים שווים אם המונים של הצורה המצומצמת שלהם שווים וגם המכנים של הצורה המצומצמת שלהם שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המונה של הצורה המצומצמת של יחס א' גדול מהמונה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המכנים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

* יחס א' גדול מיחס ב' אם המכנה של הצורה המצומצמת של יחס א' קטן מהמכנה של הצורה המצומצמת של יחס ב' כאשר המונים של הצורה המצומצמת של שני היחסים שווים

משום שבשתי הדוגמאות שלנו (זאת של ירחמיאל וזאת של בעל אתר האינטרנט) הגידול בערך המכנה במקרה השני לעומת המקרה הראשון היה באופן ניכר רב יותר מאשר הגידול (הקטן יחסית) בערך המונה -- אזי ערך היחס קטן לעומת המקרה הראשון. 

מדוע לא חיברנו את היחסים? כי איזו משמעות יש לחיבור היחסים? יש משמעות ליחס עצמו: מעצם הגדרתו של היחס עלינו לבנות אותו שוב באותו האופן גם כאשר אנחנו מסכמים ואיננו יכולים לפנות לסכום רגיל.

נחזור למרכזת השכבה שמתחילת המאמר: מה הסיבה לפער? כדי לדעת מה אחוז הנכשלים בשכבה אין משמעות לחשב את הממוצע שכך הגדלים אינם מתוך אותו השלם. דווקא החישוב השני שלה (סכום הנכשלים לחלק לסך כלל התלמידים שבשכבה) נכון ומתאים ומתאר נאמנה את הבעיה. עדיין מבולבלים? הנה דוגמה נוספת.

בקייטנה א' יש 55 קייטנים. בקייטנה ב' יש 31 קייטנים. בקייטנה א', 20 מהקייטנים אינם יודעים לשחות. בקייטנה ב' יש קייטן אחד שאינו יודע לשחות. המסקנה היתה: כ-20% מהקייטנים בשתי הקייטנות אינם יודעים לשחות. המסקנה הזאת התקבלה מתוך חישוב ממוצע פשוט: 

(20/55+1/31)/2 ~ 19.8%

אבל, האמת היא שכל אחת מהקייטנות מהווה שלם בגודל אחר ואופן החישוב הנכון הוא לחשב כמה אינם יודעים לשחות בסך הכל בשתי הקייטנות ולחלק בסך כל הקייטנים ואז נקבל:

(20+1)/(55+31) ~ 24.4%

התשובה שונה: האם חמישית או רבע מהקייטנים אינם יודעים לשחות? התשובה הראשונה (הממוצע) שגויה. התשובה השנייה נכונה. למה הדבר דומה? הנה שאלה: כמה זה חצי שקל ועוד חצי שקל? התשובה: 1 שקל! זה קל. ועכשיו: כמה זה חצי שקל ועוד חצי דולר? אוי! זה כבר לא כ"כ קל. ברור לנו שמדובר בחיבור חצאים של שלמים שונים (במקרה הזה שונים בערכם). גם במקרה של ההקייטנים, בכל קייטנה יש כמות שונה של קייטנים.

אז אי אפשר להשתמש בממוצע?! אפשר להשתמש בממוצע משוכלל -- כזה שמביא בחשבון את התרומה היחסית של כל שלם שמשתתף בחישוב. אפשר. דוגמאות נוספות לכשל שכזה אפשר למצוא ברשימה של הסטטיסטיקאי יוסי לוי ב-נסיכת המדעים. יחסים הם מסוכנים ולרבים מאיתנו החישובים ביחסים מבלבלים ומטעים. אז מה עושים? עוצרים, חושבים, מבינים את המשמעות וכשברור לנו מה עלינו לעשות, רק אז מחשבים.

***

כדאי לקרוא עוד על פרדוקס סימפסון:

בויקיפדיה

בנסיכת המדעים

ב-lifesimulator

ב-ifeel (מתוך מגזין גלילאו)

מה סוד קסם הריבוע הנעלם?

מה סוד קסם הריבוע הנעלם?

ברשת האינטרנט (ובפייסבוק כמובן) רץ שוב ושוב ושוב "פרדוקס" שטח שהוא למעשה אשליית ראיה.

התמונה נוצרה על ידי Daniel Takacs.

מדובר בשעשוע מתמטי שהוא אשליית ראייה שמיוחסת לקורי (שעליו נכתב באריכות אצל מרטין גרדנר, ו-גם אצל פרדריקסון).

מה יש פה בכלל? מה הפרדוקס?

בתמונה רואים שתי צורות מורכבות: אחת מעל השנייה. שתי הצורות המורכבות בנויות מאותן 4 צורות: משולש ישר זוית כחול, משולש ישר זוית אדום, ושני משושים בצורת מדרגה: אחד צהוב ואחד ירוק. הבעיה היא שבעוד שאנו מצפים לשימור שטח, ז"א שהשטח הכולל של המצולעים שמרכיבים את הצורות המורכבות ישאר זהה ללא קשר לאופן שבו משלבים את הצורות הללו ביחד, מראים לנו שבסידור העליון מתקבלת יחידת שטח אחת יותר מאשר בסידור התחתון. אז הפרדוקס הוא של שימור שטח.

אז איך זה יכול להיות?

אז זהו, שזה לא באמת יכול להיות. אין פה פרדוקס. יש פה אשליית ראייה. שימו לב שבשני המקרים יש שני משולשים ישרי זוית: הכחול והאדום. הכחיל בעל ניצב שאורכו שתי יחידות אורך וניצב שאורכו 5 יחידות אורך. האדום בעל ניצב שאורכו 3 יחידות אורך וניצב אחר בעל 8 יחידות אורך. המסקנה היא שהזוית שבין היתר לבין הניצב האופקי בשני המשולשים אינה אותה הזוית (אם כי היא נראית אותה הזוית). השיפועים שונים: 2/5 במשולש הכחול ו-3/8 במשולש האדום. כמובן, השברים הללו אינם שווי ערך. מדוע זה חשוב? זה חשוב כי בעצם הצורה המורכבת שמופיעה בחלקו העליון של הציור אינה משולש ישר זוית אלא מרובע!! 

התרשים מתוך הרשימה המצויינת של גדי אלכסנדרוביץ בנושא בבלוג שלו "לא מדויק"

האם יש דרך קלה לייצר עוד אשליות שכאלה?

כן! הגדלים היסודיים בבעיה שלפנינו הם: 2, 3, 5, 8, 13 ... אלה מספרים רצופים בסדרת פיבונאצ'י.

המורה,

שלמה יונה