יום שבת, 9 בפברואר 2013

סוגים שונים של אינסוף, הבחנה בין גודל לבין כמות והתאמה חד-חד ערכית במתמטיקה ובמציאות



סוגים שונים של אינסוף, הבחנה בין גודל לבין כמות והתאמה חד-חד ערכית במתמטיקה ובמציאות

גדי אלכסנדרוביץ פרסם בוואינט מאמר יפה שמסביר בשפה קלה ובעזרת דוגמאות אינטואיטיביות על סוגים שונים של אינסוף.  הנה הקישור למאמר: אין סוף למוזרות: על המלון המטורף של הילברט

הדיון מעניין ומלמד.

לפנינו סרטונים שמסבירים את רעיון ההתאמה החד-חד ערכית (אפשר לבחור כתוביות בעברית) ושל הבחנה בין סוגים שונים של אינסוף:



הסרטון הזה עוסק במנייה של אינסוף והתאמה חד-חד ערכית:


והנה סרטון קצר שמציג את הרעיון במשל המלון של הילברט:




מעניינת ההדגשה של גדי אלכסנדרוביץ' שהדיון יעסוק באינסוף במובן של כמות. זאת הבחנה יפה ועדינה. כבר מגיל צעיר אפשר להבדיל בין ילדים שמלמדים אותם להבחין בדקויות שפה ומשמעות כמו ההבדלים שבין גודל וכמות... למי ששכח העוולות הגדולות שנגרמו כאשר התעקשו ללמד בארץ מתמטיקה בעזרת הבדידים היו: קבעון בדוגמאות, קשר שגוי בין כמות לבין גודל לבין צבע. במיוחד הבעיה היתה שהבדידים היו בשימוש (ולמרבה הצער עדיין בשימוש בחלק מגני הילדים) בתקופה שבה ההתפחות המוחית של הילדים אמורה לעבור משלב של התמקדות במאפיין אחד (למשל אורך) כאשר לעצם יש מספר מאפיינים (למשל, אורך, רוחב, שטח, נפח, צבע, משקל...) ליכולת להתמודד ולהעריך במקביל מספר מאפיינים של אותו העצם. השימוש בבדידים יצר קבעון שיש קשר הדוק בין גודל כמות וצבע. המציאות היא שאין בהכרח קשר בין התכונות הללו ושצבעו של עצם אינו מחייב גודל מסויים או כמות מסויימת  ובאותו אופן שגודל אינו קשור בהכרח בכמות ובצבע וכך הלאה. וראו הסבר מפורט ומעמיק על כך במאמרה של תלמה גביש אל תתנו להם בדידים.

כצפוי בנושא זה מוזכרים המתמטיקאים קנטור והילברט.

עיסוק באינסוף, בקבוצות אינסופיות ובפעולות על קבוצות שכאלה מתאפשר בעזרת כלי מתמטי שנקרא התאמה חד-חד ערכית.

התאמה חד חד ערכית אינה רק כלי תיאורטי מתמטי רב עוצמה אלא גם כלי שימושי וחזק במציאות היום יומית שלנו. למשל, כאשר אנחנו משווים בין איברי שתי קבוצות כיצד אנחנו יודעים לומר באיזו קבוצה הכמות גדולה יותר? אפשרות אחת היא למנות את מספר האיברים בכל קבוצה ולבדוק את היחס שבין התוצאות (שווה? גדול? קטן?). אבל אפשרות זאת, אף על פי שככל הנראה רוב הקוראים ישתמשו בה באופן אוטומטי, דווקא אפשרות היא פחות מוחשית ויותר מופשטת ועקיפה מהאמצעי הישיר. הנה אפשרות ישירה יותר באמצעות התאמה חד-חד ערכית: לכל איבר בקבוצה א' ננסה להתאים איבר בקבוצה ב' (את זה אפשר לעשות באמצעות חיבור בקו בין כל בני זוג, למשל, אבל אין חייבים לעשות זאת, אפשר גם לחבר אותם בקו באופן רעיוני). אם כשיאזלו לנו איברי קבוצה א' (זה יקרה רק אם בקבוצה א' מספר האיברים סופי) נגלה שבדיוק אזלו גם איברי קבוצה ב' נדע שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה (הכמות של האיברים בשתי הקבוצות זהה). אם נגלה כשאזלו לנו איברי קבוצה א' שנותרו עוד איברים מקבוצה ב' שטרם הותאמו אז נדע שבקבוצה ב' יש יותר איברים מאשר בקבוצה א'. המקרה האחרון הוא שעוד בטרם יאזלו איברי קבוצה א' כבר יאזלו איברי קבוצה ב' -- או אז נדע שבקבוצה ב' יש פחות איברים מאשר בקבוצה א'.

התאמה חד-חד ערכית היא ישירה וטבעית והדרכה של ילדים כבר מהגיל הרך להשתמש בה כאסטרטגיה לפתרון בעיות ולהשוואה מפתחת את החשיבה.

אפשר לקרוא עוד על התאמה חד-חד ערכית בחינוך לגיל הרך בחומרי הלימוד של "מתמטיקה יסודית" לגיל הרך והרבה הרבה יותר מזה בספרי המורה של "מתמטיקה יסודית" לכתות בית הספר היסודי. את הרעיון מדגימים ב-"חיסור של השוואה" (וראו חומר סיכום של שיעור שהעברתי בנושא בסדנת מתמטיקה שלימדתי בבית ספר עמל בכפר יונה) ומרחיבים אותו: הנה קישור ל-סרטון שבו אני מסביר לילדים על חיסור של השוואה.

כדוגמה, הנה קטע מדיאלוג בכתת יסוד במתמטיקה בעת עיסוק בנושא:


מורה: אני מבקש שתסבירו למתקשים באמצעות דוגמה. השתמשו במספרים קטנים, כדי שלכולנו יהיה קל יותר.
תלמיד: יש לי כאן קבוצה של  9 טבעות:

יש לי כאן קבוצה של 7 משולשים:

כמה טבעות יותר ממשולשים יש לי?
מורה: הדוגמה מצויינת. מי יכול להראות לנו איך עושים את ההשוואה?
תלמיד:
אני מותח קו
בין כל פריט
של קבוצת הטבעות
ושל קבוצת המשולשים.
הנה, כך אני עושה את זה:

אני רואה שנשארו שתי טבעות שאין להן משולש חבר. אין בסיפור הזה שלם, אין בסיפור הזה ספירה אחורה, אין בסיפור הזה נקודת מוצא. יש בו רק התאמות בין החברים של קבוצה אחת לחברים של הקבוצה השנייה, ורואים כמה פריטים נשארו ללא חבר.
מורה: יופי. אבל עכשיו כבר התקדמנו ואנחנו יכולים לדעת שלפריטים האלה קוראים: איברים. אנחנו עורכים התאמה בין איברי קבוצה אחת לאיברי הקבוצה השנייה ורואים כמה איברים נשארים ללא ההתאמה הזאת. את מספר האיברים ללא ההתאמה מוצאים על ידי חיסור. זהו חיסור של השוואה.

מורה: מדוע אני מכנה את הפריטים בכינוי איברים
תלמיד: אני יודע שלחלקים של הגוף שלי קוראים: איברים. זאת אותה מילה?
מורה: כן. האיברים של הגוף שלך הם החלקים שבונים את הגוף שלך. כך האיברים של קבוצה הם החלקים הבונים את הקבוצה.



הגדרת מושגים, הבחנה בדקויות, שפה מדויקת הם חשובים ושימושיים לא רק למתמטיקאים מקצועיים, אלא גם לתלמידים ילדים -- שימוש בהם כבר מגיל צעיר מפתח את החשיבה, והיכרות עמם תוך כדי עיסוק בעצמים מוחשיים, ובהמשך בציוריים (ורק בסוף במופשט) מאפשרים לבנות מודל מנטלי איתן שעליו אפשר להישען כאשר עוסקים בנושאים מופשטים.

כל הכבוד לגדי אלכסנדרוביץ על ההנגשה שלו של נושאים מתקדמים במתמטיקה לקהל הרחב. אני יכול להמליץ על ספר מצויין שכתוב באופן קולח ונגיש: "מתמטיקה שירה ויופי" של רון אהרוני שעוסק כפי ששם הספר מגלה במתמטיקה בשירה וביופי: המחבר מנסה להראות קווים משותפים בין המתמטיקה והשירה באמצעות נסיון להסביר מה נחשב יפה במתמטיקה ומה נחשב יפה בשירה. בין הדוגמאות הרבות שהוא מביא אפשר למצוא גם דיון מעניין ומלמד "בגובה העיניים" בנושא שבו עסק גדי אלכסנדרוביץ במאמרו זה שפורסם בוואינט. על הספר "מתמטיקה שירה ויופי" כתב יפה יוסי לוי מהבלוג נסיכת המדעים.

אני מקשר לעוד רשימה שאני ממליץ לקרוא למתעניינים: כתבתי אותו בעקבות הקריאה בספר משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון -- שם אני מרחיב יותר על ספרים שעוסקים בנושאים שמשיקים לנושא שדן בו גדי אלכסנדרוביץ במאמרו. לסיום, עוד רשימה של גדי אלכסנדרוביץ בנושא המלון של הילברט.


המורה,