יום ראשון, 10 בפברואר 2013

חידת גפרורים מאולימפיאדה זוטא במתמטיקה



חידת גפרורים מאולימפיאדה זוטא במתמטיקה

הריבוע 4x4 שבציור מורכב מארבעים גפרורים. מהו המספר הקטן ביותר של גפרורים שיש להסיר כדי שבשרטוט לא ישאר אף ריבוע – כולל הריבועים הקטנים, הבינוניים והריבוע הגדול?
עיצה

קשה? מסובך? איך מתמודדים? פשוט קחו לכם קיסמים או גפרורים או דוקים, וכיוצא באלה, בנו לכם את הדגם והתחילו לנסות. אם יש לכם תובנות, רשמו לכם אותן כדי שתוכלו להיעזר בהן גם אם תחזרו לעסוק בבעיה אחרי הפסקה. הנייר "יזכור" אתם, אולי לא...

רמזים

  1. כמה ריבועים בכלל יש במבנה? איך יודעים? איך מונים אותם?
  2. מה נצטרך לעשות כדי לקלקל או "להרוס" ריבוע קטן?
  3. מה נצטרך לעשות כדי לקלקל או "להרוס" ריבוע גדול יותר?
  4. כמה גפרורים נצטרך להסיר כדי "להרוס" את כל הריבועים הקטנים?
  5. איזו תכונה קיימת במבנה שמאפשרת לנו "לחסוך" בגפרורים שנסיר?
  6. האם מה שעשינו עד כה מספיק גם כדי להרוס ריבועים גדולים יותר מאלה שבגודל 1x1? מה נדרש לעשות כדי לחסל את כל הריבועים ויחד עם זה לעמוד בדרישה למספר הקטן ביותר של גפרורים להסרה?

הפתרון

המספר הקטן ביותר של גפרורים שיש להסיר כדי שבשרטוט 4x4 גפרורים לא יישאר אף ריבוע הוא 9. מדוע?
ראשית, ננסה להבין מהם הריבועים שישנם וכיצד מונים כמה ריבועים יש בסך הכל:
בריבוע 4x4 גפרורים ישנם: 

  • 16 ריבועים קטנים בגודל 1x1
  • 9 ריבועים בגודל 2x2
  • 4 ריבועים בגודל 3x3
  • 1 ריבוע גדול בגודל 4x4
אפשרויות אחרות, כמו למשל, 1x2, אינן ריבועים (אלא מלבנים).


מספיק להסיר גפרור אחד מכל ריבוע קטן 1x1 כדי שיחדל להיות ריבוע. יש לנו 16 ריבועים קטנים, אז אם נסיר 16 גפרורים כנראה שנעשה את העבודה. אבל מספר זה אינו עונה על הדרישה למספר הקטן ביותר של הגפרורים שיש להסיר. לכן, ננסה להתבונן, ולחשוב על תכונות שנגלה שעשויות לעזור לנו: למשל, ב-16 הריבועים הקטנים ישנם גפרורים משותפים לכל שני ריבועים סמוכים. ולכן כדי "להרוס" את כולם נצטרך להסיר לפחות 8 גפרורים. אפשר להניח שהסרת 8 גפרורים "תהרוס"  בדרך גם את הריבועים הבינוניים בגודל 2x2ו-3x3. אבל לא את הריבוע הגדול 4x4. לכן נדרשת הסרת גפרור אחד נוסף מהיקפו של הריבוע 4x4. אם כך, המספר הקטן ביותר של גפרורים שנצטרך להסיר הוא 8+1=9.

אז איך יראה המבנה אחרי הסרת 9 גפרורים?

ישנו יותר מפתרון אחד. בתרשים מוצגות רק שלוש דוגמאות שונות.

כמובן, שאפשר לסובב את שלושת הדוגמאות או לעשות שיקוף שלהן (תמונת מראה).

ולסיום, חידה קלה יותר, עם עקרון דומה

חידה קלה לעין שיעור מזאת ששואלו באולימפיאדה זוטא מסתובבת ברשת האינטרנט, ובאופן מפתיע רבים מתקשים עמה: הבעיה פשוטה: כמה ריבועים יש בתרשים?

והתשובה:
ישנם בסך הכל 16+9+2+8+4+1=40 ריבועים בתרשים. מדוע?
  • 16 ריבועים של משבצת אחת
  • 9 ריבועים שבנויים מ-4 משבצות
  • 2 ריבועים שנמצאים במרכז
  • 8 ריבועים קטנים שבתוך שני הריבועים שבמרכז
  • 4 ריבועים בני 9 משבצות
  • 1 ריבוע בן 16 משבצות
בפתרון הזה אני כמובן מניח שמותר להתייחס לריבוע שמצוייר עליו משהו אחר, למשל, הריבועים שמצויירים במרכז פוגעים בצורת הריבוע של אלה שהם מצויירים עליהם -- אז התשובה תשתנה אם אין להתייחס לאלה כריבועים.


המורה,