יום שבת, 9 בפברואר 2013

סיכום מפגש מספר 3 במועדון המתמטיקה והמדע


סיכום מפגש מספר 3 במועדון המתמטיקה והמדע

החידה שעדו הביא
בשיעור עסקנו בחידה שהביא עדו, שעוסקת בהסתברות. אחד הכלים שעוזרים לנו לפתור בעיות בהסתברות הוא תחום במתמטיקה שנקרא קומבינטוריקה (תורת הצירופים).

* הערה חשובה: העיסוק בחידה הסיט אותנו מהנושא. בשיעורים הבאים לא נעסוק בחידות שהתלמידים מביאים. את החידות שאתם מביאים אתם מוזמנים לתת לי ואני אשתף בהן את שאר הכיתה באמצעות הסיכום. מי שירצה יפתור. מי שירצה פתרון או שאבדוק את הפתרון שלו, מוזמן לכתוב לי (ביחד עם ההורים). אני בשמחה אבדוק את הפתרון ואעיר ולמי שרוצה אתן פתרון מלא ומוסבר.

העיקרון שבו השתמשנו הוא שאת ההסתברות שמאורע (מקרה) כלשהו יקרה אנו מקבלים מתוך המנה (תוצאה של תרגיל חילוק) של מספר האפשרויות שיתרחש המקרה לחלק ל-מספר האפשרויות של כל המקרים.

החידה של עדו היתה:
נתונים 5 קלפים שונים זה מזה ו-חמישה ילדים שונים. את הילדים מסדרים בשורה, זה לצד זה. את הקלפים ממספרים מ-1 ועד 5.
אם מחלקים קלף אחד בדיוק לכל ילד לפי סדר הילדים בשורה, מה ההסתברות (מה הסיכוי) שהילד הרביעי יקבל את קלף מספר 1?
אחרי דיון בכתה הגענו למסקנה שכדי שילד מספר 4 יקבל את קלף מספר 1 עלינו לדרוש ש:

  • גם הילד הראשון לא יקבל את קלף מספר אחד (לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • גם הילד השני לא יקבל את  קלף מספר אחד (גם במקרה הזה לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • גם הילד השלישי לא יקבל את  קלף מספר אחד (באותו האופן, כמו במקרים הקודמים, לא אכפת לנו איזה קלף יקבל, העיקר שלא את קלף מספר 1)
  • וגם הילד הרביעי יקבל את קלף מספר אחד.



הבחנו שלא משנה כלל מה קורה עם הילד החמישי.


  • הסיכוי שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 הוא 4 (כי ישנם 4 קלפים אפשריים שאינם 1 בקלפים הנתונים) מתוך 5 (כי יש 5 קלפים בסך הכל). מכאן שההסתברות שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 היא 4/5.
  • הסיכוי שהילד השני לא יקבל את קלף מספר 1 הוא הסיכוי שהילד הראשון לא יקבל את קלף מספר 1 וגם הילד השני לא יקבל את קלף מספר 1. אם הראשון לא קיבל את קלף מספר 1 (ההסתברות לכך היא 4/5, כמו שחישבנו) וגם השני לא יקבל את קלף מספר אחד (הסיכוי לכך הוא 3/4, כי מתוך 4 הקלפים שנותרו רק 3 אינם קלף מספר 1). ונרשום: 4/5x3/4. הכפל מבטא את ה-וגם.
  • הסיכוי שהילד השלישי לא יקבל את קלף מספר 1 הוא (באותו האופן): 4/5x3/4x2/3
  • ונשאר לנו לדאוג רק שהרביעי כן יקבל את קלף מספר 1 והסיכוי הוא 1 מתוך 2 הקלפים שנותרו וגם כל מה שדרשנו עד כה. ונקבל: 4/5x3/4x2/3x1/2. אחרי שמצמצמים נקבל 1/5. וזאת התשובה.
ההתעסקות בנושא והסברים על נושאים שלא היו מוכרים לכל התלמידים תפסו לנו את כל השיעור. הרגשתי שטעיתי כשהתעסקתי בחידה, שאת החומר שנדרש לדעת ולשלוט בו, כדי להתמודד איתה בהבנה ובהצלחה, רוב התלמידים בכתה אינם יודעים. אמנע מכך במפגשים הבאים. אשתדל להיצמד לנושאים שאנו עוסקים בהם בגליונות של מתמטיקה בהתכתבות ולהשלים ולהרחיב עליהם.

עבודה בגיליון "אל האינסוף ומעבר לו"

ביקשתי מהתלמידים לעבוד בגליון ולהגיע לפחות עד לנושא המלון של הילברט (אני ממליץ לקרוא את הכתבה המצויינת של גדי אלכסנדרוביץ' בנושא, שפורסמה ב-ynet וגם את הרשימה ביומן הרשת של גדי אלכסנדרוביץ באותו הנושא). הנה גם רשימה שלי בנושא, עם קישורים לסרטונים, למאמרים ולספרים. הנה עוד סרטון חביב בנושא (אפשר להעביר לכתוביות בעברית בנגן ה-youtube).


בנוגע למספרים הראשוניים


דיברנו במפגש הקודם על מספרים ראשוניים. לחלק לא מבוטל מהכיתה זה היה המפגש הראשון עם המושג ועם הרעיון. אני ממליץ לכל התלמידים לקרוא ביחד עם ההורים את הכתבה שפורסמה השבוע בנוגע למספר הראשוני הגדול ביותר שנמצא לאחרונה. רק שיהיה ברור, ישנם אינסוף מספרים ראשוניים. אפשר להוכיח זאת באמצעות הוכחה בדרך השלילה. אם יש עניין, אמרו לי ואני אכתוב לכם את פרטי ההוכחה באופן מסודר ושיטתי, ואחרי שכל התלמידים יקראו וינסו להבין, אסביר בהרחבה את ההוכחה ואת הרעיון בשיעור העוקב.

מעניין מאוד יהיה לכם לקרוא על הנפה של ארטוסתנס, שיטה שפיתח אדם בשם ארטוסתנס כדי למצוא מספרים ראשוניים ולסמנם. הבחור הזה היה פיקח ביותר. הוא גם מצא שיטה (כבר בשנת 250 לפני הספירה, לפני אלפי שנים) כיצד להעריך את גודלו של כדור הארץ, הוא גם המציא את המילה גיאוגרפיה!! [צפו בסרטון שבו מספרים את הסיפור, עם כתוביות בעברית. אפשר לבחור כתוביות בעברית מהתפריט של הסרטון בנגן של youtube]. את הסיפור הזה מספרים יפה בספר חביב בשם למדוד את העולם, שמסביר לא רע את הנושא הזה ונושאים אחרים בפרקים הראשונים, אבל ההסברים הולכים ומתערפלים ומסתבכים בפרקים הבאים].

טרום אלגברה

ישנה סדרה מונפשת חביבה ומשעשעת עם כתוביות בעברית שבה מסבירים יפה והיטב את התפתחות מושג המספר והרחבתו: החל במספרים הטבעיים ובמבנה המספר העשרוני ועד לייצוגים אחרים (ספרות רומיות, בסיסים שונים, שברים פשוטים, פעולות בשברים, שברים עשרוניים, פעולות בשברים עשרוניים, פעולות במספרים מכוונים ועוד).
הנה קישור לסדרה עם הכתוביות בעברית, כפי שתורגמו עד כה (הבאות בתור, ויש עוד 13 לפחות, תתוספנה לרשימה שבקישור בשבועות הקרובים): 
ברשימה שבקישור יש גם הפנייה לכל סרטון וגם הפנייה להסבר באתר מכון דוידסון.

הנה הפרקים שתורגמו עד כה וקישור, לכל פרק, להסבר מפורט באתר מכון דוידסון:

להסבר מלא: http://goo.gl/QkAAa
להסבר מלא: http://goo.gl/8dl38
להסבר מלא: http://goo.gl/x1nvn
להסבר מלא: http://goo.gl/D7slZ
להסבר מלא: http://goo.gl/zTT2W
להסבר מלא: http://goo.gl/e5sfZ
להסבר מלא: http://goo.gl/sSHAV
להסבר מלא: http://goo.gl/lkXv9
להסבר מלא: http://goo.gl/TqU4s
להסבר מלא: http://goo.gl/eqFgc
להסבר מלא: http://goo.gl/iSFeV
להסבר מלא: http://goo.gl/xhSBf
להסבר מלא: http://goo.gl/LVONA
להסבר מלא: http://goo.gl/B7DWP
להסבר מלא: http://goo.gl/EEOXi
להסבר מלא: http://goo.gl/2XvdA
להסבר מלא: http://goo.gl/oqGmO
להסבר מלא: http://goo.gl/0Xg2B
להסבר מלא: http://goo.gl/5y7Xg
להסבר מלא: http://goo.gl/IqDYS


חידה של תלמיד בכיתה 
אחד התלמידים בכתה השאיר על הלוח חידה נוספת בשבילנו. רובכם ככולכם שעטתם מהכיתה בגמר השיעור ולא הספקתם לקרוא אותה ולהעתיקה. אני מצרף לכם צילום שלה מהלוח:


למי שהסתבך עם חידת הגפרורים מהאתגר השבועי
הכנתי רשימה ובה עיצות לגישה לפתרון, רמזים ואפילו פתרון מלא (וגם חידת בונוס קלה יותר, כדי להשתעשע).

מדע "מסע לקוטב"
התלמידים לא התקדמו בגיליון בכלל. ביקשתי להתחיל ולעבוד בו.
בינתיים, אני מציע לכם כמה דברים קשורים לקריאה ולצפייה:


שיהיה שבוע טוב, קריאה וצפייה מהנים, ועבודה מעניינת ופורייה בגליונות. להתראות ביום שישי ב-12:45.


המורה,
שלמה יונה