יום שבת, 17 בספטמבר 2016

משמעויות השבר -- הצעה לתכנון שיעור פתיחה בכתה ה

תכנון שיעור בנושא השבר ומשמעויותיו לכתה ה' בתחילת שנת לימודים כחזרה

האוכלוסייה: תלמידי כתה ה.
צופות בשיעור: מורות למתמטיקה שמלמדות כתות ה'.
מטרות השיעור: כוונתי היא שלאחר השיעור:
·         התלמידים יכירו את המושגים שברשימת המושגים, ידעו להדגים ולהסביר אותם.
·         התלמידים ידעו שלשבר מספר משמעויות
·         התלמידים יבינו את משמעויות השבר שהוצגו: התלמידים יוכלו להמציא סיפור חשבוני מתאים לכל אחת ממשמעויות השבר שהוצגה בכתה
·         המורות תצפינה בדוגמה להוראת הנושא ותקבלנה בסיס להמשיך בנושא השברים מנקודת מוצא מבוססת
תוצרים רצויים נוספים:
·         במחברות התלמידים יהיה כתוב נושא השיעור, המושגים והגדרתם, משמעויות השבר בשם ובדוגמה, סיכום כל חלק בשיעור וסיכום השיעור במלואו
·         המורות הצופות רשמו את המתרחש בשיעור תוך שימוש במכוון שנמסר להן
·         המורות תוכלנה לבנות את המשך החזרה על השברים בהסתמך על הנלמד בשיעור הזה
מושגים:
·         שלם
·         חלק
·         שבר
·         משמעות
·         ריבוי-משמעות
·         הקשר
·         משמעות בהקשר
·         מונה
·         מכנה
·         קו שבר
·         כפל
·         חילוק
·         חילוק לחלקים
·         חילוק להכלה
·         יחס
·         אופרטור
תזמון משוער של השיעור:
  • 08:55 – צלצול לתחילת השיעור
  • 08:55-09:00 – התארגנות, היכרות
  • 09:00-09:05 – כללי התנהגות, הגדרה ותרגולם
  • 09:05-09:15 – דיון במושגים שלם, חלק, שבר, הדגמתם, ניסוח תובנות.
  • 09:15-09:35 – משמעויות השבר – רשימה, לפחות דוגמה אחת ועד שלוש דוגמאות לכל אחת מהמשמעויות.
  • 09:35-09:40 -- סיכום
  • 09:40 – צלצול להפסקה


בתחילת השיעור כבר יהיה רשום על גבי הלוח:
·         נושא השיעור (לא ימחק)
·         שיעורי הבית (לא ימחק)
·         מקום מוגדר למושגים ולהגדרתם (נשמור מקום ונמחזר עד לסוף השיעור)
·         מקום מוגדר לתובנות (נשמור מקום ולא ימחק)
·         מקום מוגדר לדוגמאות ולשימוש זמין בלוח (נשמור מקום ונמחזר עד לסוף השיעור) כולל סיכומי ביניים וסיכום השיעור
שיעורי הבית:
כל תלמיד ימציא 3 סיפורים חשבוניים לכל אחת מהמשמעויות הנלמדות של השבר. כל סיפור יכתב במלואו, התרגיל המתאים ינוסח וייפתר עם דרך מלאה ותוצג בדיקה של התוצאה בדרך אחת לפחות.

למורה:
מומלץ לקרוא לפני השיעור את:
·         מומלצת מאד הקריאה בספר לחשוב, להבין להצליח של תלמה גביש בפרט, לעניינינו, עמודים 121-124
ההנחה היא שהתלמידים נחשפו לנושאים שמוסברים ב-
·         מתמטיקה יסודית, מדריך למורה כתה א, חלק רביעי, עמודים 18-22 תלמה גביש
·         מתמטיקה יסודית, מדריך למורה כתה ב, חלק רביעי, עמודים 6-31 תלמה גביש
·         מתמטיקה יסודית, מדריך למורה כתה ג, חלק רביעי, עמודים 55-107 תלמה גביש
·         מתמטיקה יסודית, מדריך למורה כתה ד, חלק ראשון, עמודים 106-195 תלמה גביש
·         ספר השברים החיצוני מאת רון אהרוני



רקע ובסיס לשיעור

מהות השלם היא אחד הנושאים החשובים ביותר בחשיבה מתמטית ועל כן ראוי להקדיש תשומת לב לפיתוח ההבנה בעניין זה. ילד שאינו מבין את מהות השלם יתקשה מאוד בכל פעולות החשבון ובכלל זה העיסוק בשברים. שבר הוא חלק משלם. לא תתכן הבנה של מהות השבר על כל משמעויותיו, ללא הבנה של מהות השלם. בתחילת כיתה א' בספרי מתמטיקה יסודית, מלמדים את הקשר בין השלם לבין חלקיו. הבנת מהות השלם היא תשתית קריטית שבלעדיה לא ניתן לבנות חשיבה מתמטית
.
כאשר הילד לומד החל מכיתה א' שלאותה תופעה או פעולה חשבונית יכולות להיות משמעויות שונות הוא מפתח גמישות מחשבתית ויכולת להבין מצבים מורכבים. היכולת להתמודד ולהכיל ריבוי משמעויות היא בעלת חשיבות רבה במתמטיקה ובכל תחומי החיים. לפיכך, בנייה שיטתית של המשמעויות השונות של החיסור והחילוק מקלה מאוד על הילדים בשעה שהם נדרשים ללמוד את המשמעויות השונות של השבר.

רבים רואים בשבר אופרטור ותו לא. חשוב להבין שמשמעות השבר כאופרטור היא רק אחת מתוך  משמעויות שונות ולמשמעות זאת אין בלעדיות. אופרטור – מפעיל הפעולה. אופרנד – מקבל הפעולה. בתרגיל כפל, הכופל הוא אופרטור והנכפל הוא אופרנד. כאשר אנחנו מחליפים את מקומם של הכופל (אופרטור) והנכפל (אופרנד) אין לכך כל השפעה על המכפלה (בהתאם לחוק החילוף). אולם כאשר אנחנו מנתחים את התהליך, השימוש בחוק החילוף יוצר שני תהליכים בעלי משמעויות שונות.

בכל מקרה, יש לעבוד בהרחבה לפי הצורך על כל אחד מהמשמעויות עם הכתה בשיעורים הבאים. בנושא היחס בכלל יש להקדיש שיעורים רבים שכן, גם ליחס משמעויות רבות ונדרשת תשומת לב מיוחדת לנושא זה. חשובה היכולת לנתח סיפורים חשבוניים ולמיינם לפי המשמעויות, חשובה היכולת להמציא סיפורים חשבוניים מתאימים לכל משמעות ולפי תרגיל מתאים. בהמשך נקשר משמעויות אלה גם למושגים: נקודת מוצא, מערכת התייחסות, אחוז, שבר עשרוני.

ארבע המשמעויות השונות של שבר אמיתי:
א.      מונה ומכנה
ב.      חלוקה של מספר קטן במספר גדול ממנו
ג.       יחס
ד.      השבר כאופרטור

 

דוגמאות למהלך משוער של השיעור

 

שלם

מורה: מה זה שלם?
<דיון בכתה>
מורה: הנה כמה דוגמאות, אמרו לי האם מדובר בשלם או במשהו אחר:
·         הביטו בתקרת הכתה, מה מאיר שם? (נורות). האם כל הנורות שבתקרה הן שלם?
·         האם כל המורות למתמטיקה שבכתה הן שלם?
·         הביטו על המילה שעליה אני מצביע על לוח הכתה. האם מילה זו היא שלם?
·         האם כלל תלמידי הכתה הם שלם?
·         מה בנוגע לתכולת הקלמר שעל השולחן של <תלמיד/ה כלשהו/י> שבכתה? האם תכולת הקלמר היא שלם?
·         קניתי במאפייה חצי עוגה שאותה הבאתי הביתה. האם עוגה זו שהבאתי לביתי היא שלם?
·         האם שטרות הכסף שבארנק שלי הן שלם? הכרטיסים שבארנק שלם? כלל תוכן הארנק שלם? אולי הארנק ותכולתו ביחד שלם?
·         ניקח את התלמידות ואת התלמידים שבשורה שקרובה ללוח בכתה. האם הם שלם?
מה הופך בכל אחד מהמקרים את מה שמדברים עליו לשלם?
<דיון בכתה>
לבחור אחת או יותר מהדוגמאות שלעיל, או אחרת ולבקש שלם קטן יותר וקטן יותר מהשלם הגדול ביותר ("מהי קבוצת התלמידים הכי גדולה שאנחנו יכולים לקבץ בתוך בית הספר ?"... ועד לתלמיד יחיד).

נוביל את הכתה לתובנות:
·         שלם הוא מה שקבענו שהוא השלם.
·         חלק משלם אחד יכול להיות גם שלם בפני עצמו.

 

שבר

מה זה שבר?
<דיון במושג>
נוביל את הכתה להגדרה ברוח:
·         שבר הוא חלק משלם; חתיכה; רסיס.
בהחלט אפשרי שתעלינה משמעויות נוספות של המילה וכדאי לדון בהן בקצרה, אך לא לאבד את הכתה ולא להסיט את הדיון מהעיקר.

ארבע המשמעויות השונות של שבר אמיתי

1.      מונה ומכנה
2.      חלוקה של מספר קטן במספר גדול ממנו
3.      יחס
4.      השבר כאופרטור

משמעות ראשונה של השבר: מונה ומכנה

השבר במשמעות זו נבנה בשלוש פעולות על פי הסדר הבא:
א.      חילוק: חלוקת שלם אחד לחלקים שווים. לדוגמה, יש לי זר פרחים ואני מחלק את הפרחים בין 5 אגרטלים שווה בשווה.

ב.      שיום: שיום כל חלק. לדוגמה: כל אחד מחמשת החלקים מכונה חמישית ונרשם כך: 1/5

השם הוא כינוי הקובע את המכנה.

ג.        כפל: קיבוץ מספר חלקים באמצעות פעולת כפל. לדוגמה: חלוקת השלם בשלב א' יצרה 5 חלקים שווים. השיום בשלב ב' הגדיר את מהותו של כל חלק. בתום שני השלבים הראשונים כבר אין יותר שלם אלא אוסף של חלקים זהים בערכם ומוגדרים באמצעות השם: חמישית. בשלב ג' אנחנו מקבצים, על-ידי פעולת כפל, מספר חלקים מתוך אוסף החלקים שברשותנו. בדוגמה שלפנינו,
נתתי ליעל שתי חמישיות (פעמיים חמישית ).




המשמעות הזאת של השבר היא הבסיס למציאת חלק מן השלם ומציאת השלם על
פי חלקו .

מורה: ספרו סיפורים חשבוניים שיש בהם חלוקה של שלם לחלקים שווים ומנייה של מספר חלקים.

דוגמאות:
·         חילקתי פיצה ל 8 – חלקים שווים. כל חלק הוא שמינית. אכלתי שני חלקים. בסך הכל אכלתי שתי שמיניות. (השלם כאן הוא גודל רציף, כלומר, שאינו בנוי מקבוצה של פריטים.)
·         בכיתה יש 27 תלמידים. חילקתי אותם ל 3 – קבוצות. כל קבוצה (חלק) היא שליש של תלמידי הכיתה. שלחתי שתי קבוצות לשיעור התעמלות. איזה חלק מן הכיתה שלחתי לשיעור התעמלות? שני שלישים. (השלם כאן הוא כמותי, כלומר, בנוי מקבוצה של פריטים.)





משמעות שנייה של השבר: חלוקת מספר שלם במספר גדול ממנו


לדוגמה: קנינו שתי פיצות וחילקנו אותן לחמישה אנשים. כל אחד מהם מקבל שתי
חמישיות של פיצה. אנחנו מחלקים מספר קטן (2) במספר גדול ממנו (5). כיצד נבצע את החלוקה?















משמעות שלישית של השבר: יחס בין שני מספרים

השבר מבטא יחס בין שני גדלים או יותר, למשל, 5. : 3.



נתבונן ב-2/5 כיחס של 2 ל-5, ז"א, 2:5. מה פירוש היחס?




משמעות רביעית של השבר: השבר כ-אופרטור




הכופל אינו שלם ולכן פעולת הכפל אינה במשמעות של פעמים אלא במשמעות שונה:
רבע של עשרים: השלם שלנו הוא 20 ונחפש מה ערכו של חלק אחד מתוך ארבעה חלקים שווים שחילקנו את השלם שלנו. לשם כך נחלק את 20 לארבעה חלקים שווים: 20:4 ונקבל 5. מכאן ש-רבע של עשרים הוא 5. בדיקה: 4 פעמים 5 (ישנם 4 רבעים בשלם. אם ערכו של רבע מהשלם הוא 5 אזי השלם יהיה ארבע פעמים חמש) הם 20.

הפעם הכופל שלם, משמעות הכפל היא פעמים ולכן התרגיל משמעותו: עשרים פעמים רבע (ממשהו). רבע, לפי משמעות ראשונה של השבר הוא חלק אחד מ-ארבעה חלקים שווים של שלם כלשהו. יש לנו עשרים פעמים חלק כזה – זאת אומרת שיש לנו עשרים רבעים. ולפיכך התשובה היא 20/4. קו שבר הוא גם סימן חילוק וקיבלנו 20:4 שהם 5. בדיקה: לפי חילוק להכלה 4 נכנס ב-20 5 פעמים.

סיכום

<נסיון לקבל מהכתה הצעות לסיכום השיעור: מה הנושא, מה התובנות>
סיכום המורה:
היום למדנו מה זה שבר.
שבר הוא חלק משלם.
השלם הוא כל דבר שנקבע שהוא שלם. כל שלם יכול להיות חלק משלם אחר.
לשבר יש ארבע משמעויות שונות:
1.      מונה ומכנה
2.      חלוקה של מספר קטן במספר גדול ממנו
3.      יחס
4.      השבר כאופרטור