חינוך מתמטי

מתמטיקה - מי צריך את זה בכלל?

חני גביש

אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה בעודם צעירים לימים. שנים רבות הם נושאים תחושה של חרדה ומיאוס שנצרבו בתודעתם. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: "אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקה", "מי צריך את זה בכלל", "לא כולם נועדו להיות מתמטיקאים", "מתמטיקה זה לא בשבילי".

עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. הם הרי פוגשים את הצעירים, תוצרי מערכת החינוך שנעלה בפניהם שערים רבים מידי.

שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אלא שרשרת של שגיאות שהגיעה השעה לתקן אותן ולהותיר שערים פתוחים בפני כל תלמיד שיבחר לפסוע בהם.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. אנו, חברי "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", רואים שזה אפשרי. מזה שנים אנו מנחים מורים בשיטת "מתמטיקה יסודית" (על פי שיטת סינגפור) ופוגשים ילדים האוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אנו רואים ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות .

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש הפלא המשולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מ – 4 פעולות החשבון, מספרים שלמים ומעורבים, שברים פשוטים, חזקות, מספרים חיוביים ושליליים. מתמטיקה היא הרבה מעבר למשוואות ונעלמים, גרפים, גיאומטריה והנדסת המרחב ועוד. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים. הוראת מתמטיקה מחייבת את המורה לגישה טרנסצנדנטית שמהותה: חינוך מתמטי. ב "מתמטיקה יסודית" שזורות תורותיהם של פיאז'ה, ויגוצקי, פוירשטיין ואחרים והיא מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי במיטבו.

עקרונות החינוך במתמטיקה יסודית

סדר, ארגון והתמצאות במרחב

הוראה נכונה של מתמטיקה מבוססת על סדר ומחנכת לסדר. סדר מתייחס לא רק למיקום של מרכיב בודד אלא גם למערכת היחסים בינו לבין מרכיבים אחרים. כאשר נפקד מקומו של הסדר מתהליך ההוראה,החשיבה, הפתרון ורישום התשובה – יעילותו של הלומד נפגמת, שכן אי- סדר מעכב את הבנת הבעיה, ומספק קרקע פורייה לשגיאות וטעויות.

הסדר שבו מופיעות הספרות במספר קובע את משמעותן. האלגוריתם הנפוץ והיעיל של פעולות החשבון מתבצע בסדר מסוים וקבוע. למשל – הפעולה החשבונית בתרגילי חיבור, חיסור וכפל במאונך מתחילה מימין לשמאל. לעומת זאת, הפעולה החשבונית בתרגילי חילוק ארוך מתחילה משמאל לימין.

מתמטיקה דורשת סדר והתמצאות במרחב. המתאם בין קשיים בהתארגנות והתמצאות במרחב לבין כשלון במתמטיקה הוא גבוה ביותר. לפיכך, חינוך מתמטי נכון תורם לסדר, ארגון, מודעות למרחב והתמצאות בו, בלעדיהם חשיבה מתמטית תקינה אינה אפשרית. ילד שאינו מבחין בין ימינו לבין שמאלו אינו מסוגל לבצע פעולות חשבוניות על פי הכיוון הנדרש ואינו מסוגל להבחין במשמעויות השונות הנגזרות מן הסדר. התמצאות במרחב חיונית לא רק במתמטיקה אלא אף לתהליכי חשיבה שאינם מתמטיים, למשל: קריאת מפה, ניווט, גיאוגרפיה ותקשורת בכל תחומי החיים.

חוקים אוניברסליים ומשמעת עצמית

בניגוד לתחומים רבים, במתמטיקה יש גבולות ברורים. הילד לומד לפעול בגבולות מוגדרים ומוסכמים. החינוך המתמטי חושף בפני הילד את החוקים האוניברסליים שעל פיהם ובעזרתם נפתרים תרגילים ובעיות. למשל: הסימנים בהם אנחנו משתמשים לבטא מספרים הם אחידים ומחייבים, כתיבת הספרות נעשית תמיד משמאל לימין, פעולת כפל/חילוק תמיד קודמת לפעולת חיבור/חיסור, המספרים מאורגנים במבנה עשרוני ועוד ועוד.

החוקים המתמטיים מבוססים על היגיון, הכללים המתמטיים נקבעו בהסכמה.

חינוך מתמטי מתחיל בכללי סדר ומשמעת. המורה מקנה את החוקים והכללים, מבהיר את ההגיון שבבסיסם ומלמד להשתמש בהם. כאשר הסדר והכללים מופנמים נוצרת משמעת עצמית שמהותה שימוש ספונטני ורצוני בכללים ובחוקים שנלמדו. כאשר ילד חייב לקבל על עצמו חוקים אוניברסליים הוא מביע בכך את השתייכותו לתרבות שבה הוא חי.

אחריות לתוצאה וביקורת עצמית

הוראה נכונה של מתמטיקה מחנכת לאחריות אישית לתוצאה. האחריות באה לידי ביטוי בהכרה שיש תשובה נכונה ויש תשובה שגויה. אחריותו של הלומד היא ליצור את התשובה ולוודא את נכונותה בתהליך של ביקורת עצמית. ככל שהלומד מתפתח ומפנים את החוקים האוניברסליים, האחריות המוטלת עליו מתבטאת גם בבקרה עצמית.

חינוך מתמטי מבהיר שלא כל תשובה מתקבלת, לא כל דרך מותרת, לא הכל יעיל ומי ששגה נדרש לתקן. אחריות לתוצאה אומרת שהאדם נדרש להכיר בטעות, שעה שהיא מתרחשת. במתמטיקה, לעיתים יש יותר מדרך אחת להגיע לתוצאה נכונה. יש עדיפות ברורה לפתרון חסכוני או מבריק. יש לשקול את הדרכים ולדעת לבחור דרך נכונה שהיא גם יעילה.

פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה: מטה-קוגניציה

חינוך מתמטי אמור לטפח חשיבה ולעודד את הלומד להיות ער ומודע לתהליכי החשיבה שלו עצמו. מודעות זו מתפתחת כאשר מורה מבקש מן התלמיד להסביר מה היו השיקולים שהנחו אותו בדרך לפתרון. אט אט מופנמת הדרישה החיצונית והופכת להיות הליך ספונטני אותו מפעיל הלומד. המודעות לתהליכי החשיבה היא חלק מן הבקרה והאחריות המתפתחות בלומד. המודעות לתהליך החשיבה מתייחסת הן לתוצר (נכונות התשובה) והן לתהליך (הדרך).

ייצוג המשמעות הכמותית של המציאות

אנו שואפים שעולם המספרים יהיה חלק בלתי נפרד מתפיסת המציאות של הילדים. אנחנו רוצים להסב את תשומת ליבם שהעולם בו הם חיים מזמן מידי יום, מצבים שבהם נדרשת הבנה מתמטית. כדי שיוכלו לשלוט, להבין ולהסתדר בעולם, עליהם להכיר מה החוקיות של עולם המספרים. חינוך מתמטי חושף את החוקים ומעניק למספרים את משמעותם. בהיותם חלק מן המציאות מייצגים המספרים, בראש וראשונה, כמות. (למשל: 2 עפרונות, 3 ילדים, בית אחד, 50 שקלים, 10 דקות, 12 מטרים, 8.2 ליטר, 215 דונם ועוד ועוד). כמות זו באה לידי ביטוי בכל מערכות החיים שבהן נדרשת מדידה. המשמעות הכמותית היא סוג של ארגון המציאות וחינוך מתמטי הולם בונה את אחד הייצוגים החשובים של המציאות: הייצוג הכמותי.

טיבעם הממשי, והמוחשי של תהליכי החשיבה של ילדים אמור להכתיב את מסלול התקדמות הלימוד המתמטי - מן המוחשי אל המופשט. אחרי שנבנה הייצוג הכמותי של המציאות, ירחיב החינוך המתמטי את ייצוג המספרים למשמעויות מופשטות יותר ויותר, למשל נוסחאות.

יצירתיות וגיוון

חינוך מתמטי טוב צריך להיות מעוגן, כאמור, בתוך עולם המציאות. מחד, נדרש הלומד להפנים חוקים אוניברסליים, ליצור תשובה נכונה שיש לה משמעות ומאידך הוא מצופה למצוא דרכים שונות שבהן הוא יכול ליישם את החוקים כדי לתת מענה לבעיות חדשות. היצירתיות נדרשת שעה שבעיות חדשות, לא מוכרות, צצות ותובעות פתרון. כדי ליצור פתרונות יצירתיים יש לשלוט היטב ביסודות הקיימים. כל יצירתיות היא צירוף חדש של יסודות (חוקים, עקרונות, ידע) קיימים. בבחינת יצירת "יש" מ"יש" ולא "יש" מ"אין". מתמטיקאי מוכשר עשוי להגדיר ולנסח קשרים בין תופעות שאיש טרם זיהה לפניו על בסיס חוקיות שבה הוא שולט. מבחינה זאת, מתמטיקה פתוחה ליצירתיות וחדשנות ככל תחום אחר שעולה על דעתנו.

מיומנות ושליטה באמצעות תרגול

שליטה משמעה יכולת להפיק במהירות תשובה נכונה, שילוב של דיוק ומקצב. אין די בהבנת החומר הנלמד אלא יש צורך בשליטה בו. השליטה נרכשת באמצעות תרגול יומיומי הכולל פתרון תרגילים/בעיות בע"פ ובכתב. בתהליך רכישת השליטה מופנמות אסטרטגיות ותהליכי החשיבה מתייעלים. כתוצאה מכך, פוחתת כמות השגיאות ועולה רמת המיומנות. השליטה סוללת את הדרך, להתקדמות נוספת: היא מפנה משאבי קשב ועיבוד לתחומי לימוד מורכבים ומסובכים יותר. תלמיד שלא הגיע לשליטה בחומר לימוד נוכחי, מתקשה מאוד להתמודד עם חומר לימוד מורכב יותר כי הקשב שלו מופנה לחישובים ברמה הבסיסית. כל למידה מתבססת על ידע שנרכש וכשרוצים להתקדם לא ניתן לחזור שוב ושוב אל ההתחלה.

השגת שליטה באמצעות תרגול שיטתי נחוצה לכל התלמידים, מתקשים ושאינם מתקשים, בעלי תפיסה רגילה ומחוננים. צמצום תרגול פוגע גם בתלמידים מוכשרים ומחבל במימוש הפוטנציאל שלהם. השליטה מקנה בטחון. ילד שלא מגיע לשליטה פותר בעיה באיטיות רבה. איטיות רבה מבזבזת משאבים (זמן, קשב) ומעידה על העדר אסטרטגיה יעילה, נוסף על כך היא חושפת את הילד לטעויות רבות.

דיוק שפתי

שפה היא אמצעי לארגון העולם באמצעות סמלים המשמשים לייצוג עצמים, מצבים ותופעות. מתמטיקה היא שפה. חינוך מתמטי נכון מבוסס על מושגים מתמטיים אוניברסליים ודיוק שפתי (מחוברים וסכום, כופל, נכפל ומכפלה, מחולק, מחלק ומנה, אחדות, עשרות, מאות, אלפים…, חילוק לחלקים, חילוק להכלה, שבר פשוט, שבר מעורב ועוד ועוד). בכל תחום ידע, לימוד ומחקר אנחנו מוצאים קשר הדוק בין שפה לבין חשיבה. שפה מתמטית מדויקת ועשירה חיונית לפיתוח חשיבה מתמטית ברמה גבוהה, הבנה ותקשורת בהירה. העושר השפתי מספק כלים להבחין בתופעות ולהבחין בין תופעות, הוא סולל את הדרך לרמות גבוהות של הפשטה.

התמודדות עם אתגרים

חינוך מתמטי נכון, מציב בפני התלמידים אתגרים ואינו מוותר על משימות המעוררות קושי או מצריכות השקעת מאמץ בדרך להפנמתן. חינוך מתמטי מחפש דרכים חדשות ללמד תכנים שאינם מובנים כהלכה, פורם את הקשיים ואינו עוקף או נמלט מפניהם. בחינוך מתמטי נכון הקושי אינו אמור לעורר אמוציות שליליות כמו חרדה. באמצעות תיווך ניתן להפוך קושי לאתגר אינטלקטואלי שבו שותפים המורה והתלמיד, הקושי יוצר הזדמנות לגיוס משאבים כמו: ידע, ניסיון, יצירתיות ושיתוף פעולה המכוונים להשגת הבנה ושליטה ברמה גבוהה יותר. כל קושי שמצא את פתרונו בונה יכולת טובה יותר. חינוך להתמודדות עם אתגרים יוצר חווית מסוגלות וגישה אופטימית הנובעת מן ההתמודדות ותחושת השליטה. אורך רוח ונחישות הם מפתח להצלחה בכל תחום בחיים.

סיכום

עקרונות החינוך המתמטי שנמנו לעיל: סדר ארגון והתמצאות במרחב, חוקים אוניברסליים ומשמעת עצמית, אחריות לתוצאה וביקורת עצמית, פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה: מטה-קוגניציה, ייצוג המשמעות הכמותית של המציאות, יצירתיות וגיוון, מיומנות ושליטה באמצעות תרגול, דיוק שפתי והתמודדות עם אתגרים – תקפים בתחומים שונים בחיינו. החינוך המתמטי שבו מאמינים אנשי "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", משולב בשגרת החיים של כל אדם ומבוסס על עקרונות שיש בהם לטפח ולשפר את אורחות חייה של כל קהילה אנושית .