יום חמישי, 6 ביוני 2013

חידה ישנה מספר רוסי -- איך תפתרו?


הנה בעיה מילולית מספר רוסי ישן*:
חגיגות העומר ברמת יוחנן מתוך הארץ
על צוות קוצרים לקצור שני שדות, ששטחו של אחד מהם כפול משטחו של האחר. כלל העובדים בצוות עבדו במשך חצי יום בשדה הגדול, ואז התפצלו, כשחצי הצוות עובד בשדה הגדול, והחצי השני בשדה הקטן. בסוף היום הסתיימה העבודה בשדה הגדול, ואילו בשדה הקטן נשאר חלק שאותו קצר עובד אחד במשך יום עבודה מלא נוסף. כמה עובדים היו בצוות? [אני מוסיף שתנאי העבודה בכל שטחי שני השדות זהים בכך משך הזמן שעבדו הקוצרים וכן תפוקת העבודה של כל הקוצרים זהה]
כיצד תפתרו?

אני משער שהאמיצים שינסו לפתור יעשו זאת בשיטות אלגבריות. זה בסדר גמור. בתלות בסימון הנעלמים והתייחסות לנתונים ישנן מספר דרכים לפתרון.

אני מציע לכם לזנוח את האלגברה ולחשוב בשכל ישר בשיטה של "חשבון של בית ספר יסודי" -- לא המתכונים שהתרגלתם  לפתור לפיהם, אלא פשוט לחשוב.

מי מכם שמוכן להתאמץ ולחשוב, אנא, עשו לעצמכם טובה, עזבו את המחשב, קחו נייר ועפרון וחשבו, אחרי שתפתרו, חזרו להביט בתשובה.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

בשדה הגדול עבדה הקבוצה כולה במשך חצי יום ואת שארית השדה השלימה מחצית מהצוות בחצי יום. השטח שעבדו בו חצי מאנשי הצוות בחצי השני של היום קטן פי 2 מהשטח שעבדו בו כלל אנשי הצוות בחצי הראשון של היום (אותו הזמן, חצי מיכולת העבודה ולכן גם חצי משטח השדה שקצרו כשהיו פי 2 יותר אנשים). מכאן ש-⅔ משטח השדה נקצר בחצי הראשון של היום ו-⅓ משטח השדה בחצי השני של היום.

בזמן שחצי הצוות קצר ⅓ משטח השדה הגדול בחצי השני של היום הראשון נקצר במשך אותו הזמן על ידי אותו מספר קוצרים שטח זהה בשדה הקטן. משום ששטח השדה הקטן הוא מחצית משטח השדה הגדול ומשום שנקצר כבר ⅓ משטח השדה הגדול אז השארית בשדה הקטן היא  ⅙ =⅓-½.

אם כך השטח שעובד יחיד קוצר במשך יום שלם הוא ⅙ משטח השדה הגדול. אנחנו כבר יודעים ש-⅔ משטח השדה הגדול נקצר על ידי כל הקבוצה במשך חצי יום. ⅔ גדול פי 4 מ-⅙ אז אם קוצר יחיד משלים ⅙ משטח השדה הגדול ביום אחד אז 4 קוצרים ישלימו ⅔ משטח השדה הגדול ביום אחד. אבל אנחנו יודעים שהצוות כולו קצר ⅔ משטח השדה הגדול בחצי יום ולכן היו 8 קוצרים בקבוצה.

למי מכם שפתרו באופן אלגברי כנראה שהיתה עבודה קשה יותר, במיוחד אם לא בחרו בתור הנעלם  (או הנעלמים) את מה שיביא לכמה שפחות שלבים בפתרון.
יש עניין לראות גם פתרונות אלגבריים? רוצים לשלוח אליי ואצרף אותם (עם קרדיט)?


פתרונות הקוראים

הפתרון של אריאל שמואלי:


  • המשוואה שחיברתי:

    חצי יום כפול כל הפועלים ועוד חצי יום כפול חצי מהפועלים שווה לשתיים כפול (חצי מהפועלים כפול חצי יום ועוד פועל אחד כפול יופ עבודה שלם).
    בפתרון המשוואה יוצא שכמות הפועלים שווה לשמונה.


הפתרון של שוקי אברהם:


  •  לשדה הגדול דרוש שלוש רבעי יום עבודה של צוות שלם לכן לקטן שלוש שמיניות. רבע בוצע, נשאר שמינית. לכן בצוות יש 8 עובדים.

הפתרון של עזי גבאי:

7:10pm
X - גודל השדה הקטן
Y - מספר העובדים

2x - 1/2y - 1/4y = 0
x - 1/4y -1 =0

2x-3/4y = 0
x = 1+ 1/4y

0 = 2 + 1/2y - 3/4y

2 = 1/4y

y = 8



שלמה יונה

* מתוך:  A. Toom. Word Problems: Applications vs. Mental Manipulatives. For the Learning of Mathematics, v. 19(1), March 1999, pp. 36-38.