עקרונות מובילים בחינוך מתמטי לגיל הרך והדגמתם

כמה עקרונות מובילים

עקרונות מובילים בחינוך מתמטי של ילדים בגיל הגן

1. שיטתיות: בניית הדברים על פי הסדר הנכון
2. דגש על משמעות, כלומר, על הקשר למציאות, של המספר ושל פעולות החשבון
3. להתחיל מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף למופשט
4. בנייה מדורגת של ההפשטות
5. הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות
6. שימוש בשפה מדויקת ובניסוחים מפורשים
7. העקרונות באים מהילד, מתוך התנסות ומתוך דיון
8. למידה מתווכת: * העברה -- היכן העיקרון או הרעיון או השיטה מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה ובחיים. * כוונה והדדיות. * משמעות

שיטתיות -- נדבך על נדבך

להסביר ולהדגים שלב אחרי שלב. נבנה את היסודות ובהמשך קומה על קומה, אם נדלג על קומה, המגדל שלנו יקרוס. איך אנחנו עושים את זה?

• לקשר למה שהיה קודם: למשהו ידוע, למשהו שעסקנו בו קודם, למשהו שראינו קודם
• לקשר את הרעיון, את המושג, את העיקרון לנושאים אחרים: היכן מופיע במקומות אחרים?
• לא רק לתת טכניקה לפתרון של תרגיל או של משימה, אלא לתת גם להמציא תרגילים ולהמציא בעיות
• אין דבר אם העיסוק במספרים ובתרגילי חשבון יגיעו בגן רק לקראת הסוף, חשוב יותר לחזק את הבסיס (מושגים, יחסים, השוואה, מיון)
• לדרג -- אם קשה או מסובך או לא מובן: לשאול שאלה או להציג בעיה פשוטה יותר 
• להעלות את רמת המורכבות וההפשטה בהדרגתיות ובאטיות, לא לסבך בבת אחת יותר מדבר אחד
• כל הסבר צריך לעבור דרך כמה שלבים מהמוחשי דרך הציורי ורק אז למופשט, אחרי הרבה מאוד התנסות במוחשי ואחרי ביסוס של ייצוגים ציוריים. למשל: לא נתחיל מ-2 ועוד 3 שווה 5, זה מופשט מאוד. נתחיל בעצמים אמיתיים, למשל נחזיק ביד אחת 2 עפרונות וביד השנייה 3 עפרונות ונשאל כמה הם שני עפרונות ועוד 3 עפרונות, נחזור על זה עם עצמים נוספים שהילדים מחזיקים בידיהם, אצבעות, פירות, צעצועים, כריות, וכו'. השלב הבא הוא להמשיך ולתרגל חיבור עם כינויים של עצמים מוחשיים, אך לדבר עליהם כשרואים אותם אך אין אוחזים בהם. שלב הבא הוא כשמדברים על עצמים מוחשיים אך אין אוחזים בהם ואין רואים אותם. אפשר גם לחוש בהם אך לא לראות אותם, למשל למשש אותם בתוך שקית. השלב הציורי הוא שרואים ציור של העצמים שמחברים: ציור של 2 עפרונות ולידם 3 עפרונות, ציור של 2 כריות ולידן 3 כריות וכך הלאה, אחרי שמתרגלים עם ציורים של עצמים שונים, אפשר לעבור לדגם מצויר כללי יותר, עדיין לדון בחיבור של עצמים מוחשיים אך לצייר עיגולים או מלבנים או קווים, כסמל. רק בסוף להגיע לתובנה של 2 משהו ועוד 3 משהו הם 5 משהו ומכאן כבר מגיעים ל-2 ועוד 3 הם 5 ללא תלות בעצמים שמונים.

חשיבות מילים וניסוחים

נשתמש בשפה מדויקת ונבקש להשתמש בשפה מדויקת.

נערה אומרת לאביה: "אני יוצאת הערב ואחזור אחר כך" -- היא חזרה למחרת ולא הבינה מה הבעיה...

ההקפדה על השפה המדויקת מאפשרת תקשורת עם בסיס משותף שמובן לכול.

• חשיבות לשימוש בכינויים: 2 ילדים ועוד 3 ילדים הם 5 ילדים
• נרגיל את הילדים לחזור בקול על הוראה שקיבלו או על בעיה שקיבלו -- חזרה על השאלה מעלה את הריכוז
• דוגמא: עקרון המכנה המשותף: 2 כיסאות ועוד 3 שולחנות הם 5 רהיטים. כשאומרים לילדים שאי אפשר לחבר תפוחים ותפוזים או כיסאות עם שולחנות אז מעבירים להם מסר מתמטי שגוי. אפשר לחבר, אלא שיש למצוא קבוצה שמכילה כל אחת מהקבוצות החלקיות שהיא הדוקה מספיק כדי לתאר נאמנה ולא באופן כללי שמאבד מידע. [לקשר לרשימה מיוחדת שבה אני מרחיב ומסביר ומדגים על המכנה המשותף וכיצד הרעיון חוזר ומופיע במתמטיקה מהגן דרך היסודי והלאה]
• דוגמה: עקרון ההרחבה והצמצום: 2 ילדים ועוד 3 ילדים הם 5 ילדים; 2 עשרות ועוד 3 עשרות הם 5 עשרות; 2 מיליון ועוד 3 מיליון הם 5 מיליון. 
• להקפיד על השימוש בזכר ובנקבה

הבנת המושגים

• דוגמה: חיבור. מה זה לחבר? כמה מילים שמתארות חיבור אנחנו ההורים מכירים? ואילו מילים כאלה אנחנו יכולים להציע? והילדים? איך אנחנו משתמשים במילים האלה במשפט? באילו הקשרים מתאים שימוש במילה אחת ומתי באחרת?
• שאלה לילדי הגן: יש לנו קבוצה שבה 3 פילים וקבוצה שבה 3 נמרים. באיזו קבוצה יש יותר? הניסוח אינו מדויק. לא פירטנו מה יותר! הילדים עשויים להבין שיש אותו מספר של פריטים בשתי הקבוצות, אבל גם לבלבל גודל עם כמות ועם משקל: הפיל "כבד" יותר או "גבוה" יותר מהנמר ולכן ייתכן שיטענו שיש יותר מהפילים. אנחנו רוצים שהילדים יבחינו בדקויות ובהקשר המתאים לשימוש במילות תואר: גדול ו-קטן הם כלליים מאוד ומחביאים בתוכם יחסים רבים נוספים שאינם בהכרח חייבים לבוא בהתאמה (למשל, אבי בוגר בגילו ממני אך אני גבוה ממנו):
• גבוה--נמוך
• רחב--צר
• כבד--קל
• הרבה--מעט
• חזק--חלש
• בוגר--צעיר
• לדבר על מילים נרדפות ולהשתמש בהן. גם במתמטיקה יש ריבוי משמעות לסמלים ולפעולות מתמטיות. למשל (ופה ההסבר הוא להורים): הסימן '-' (מינוס) יכול לשמש גם כסימן של פעולת החיסור, 2=5-3, וגם לציון מספרים שליליים, וגם לציון הנגדי למספר, הנגדי של 3- הוא (3-)- שהוא 3. גם פעולת החיסור עצמה יש לה 6 משמעויות שונות (ראו את מאמרה של תלמה גביש, "המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה", וגם את הסרטונים שבהם אני מדגים כמה משמעויות של חיסור פה ו-פה)
• איך נוכיח ממה יש יותר (או פחות)? באמצעות התאמה חד-חד ערכית [לקשר לרשימה מיוחדת שאכתוב בנושא]: מצמידים לכל איבר מקבוצה אחת איבר מהקבוצה השנייה עד שבאחת הקבוצות אוזלים האיברים ואז הנותרים שייכים לקבוצה שבה יש יותר ומספרם מונה בכמה יותר עצמים בקבוצה הזאת מאשר בקבוצה האחרת. 
• מטבע של 1 ש"ח מול מטבע של 10 אגורות: מה שווה יותר? ילדים אומרים שדווקא 10 אגורות שווה יותר מהנימוקים הבאים וחשוב שנדון בהם ושנסביר את התכונות השונות ושאפשר להשוות בין עצמים לפי תכונות שנבחר ושערך (כמה שווה) הוא עוד תכונה. 
• 10 זה יותר מ-1
• מטבע 10 אגורות גדול יותר ממטבע של 1 ש"ח
• מטבע 10 אגורות מ"זהב" ואילו של 1 ש"ח מ"כסף"
• אין לסמוך על דברים שהם ברורים מאליהם לילדים או שבטוח שהילדים מבינים -- לבקש מהם להסביר ואם מתקשים או מסתבכים, שאנחנו נסביר. הסברים רצוי שיהיו פשוטים וקצרים, ושתהיינה דוגמאותמוחשיות רבות.
• לוודא שהילדים מבינים ושהם יודעים נכון ולא להניח את זה. איך יודעים? שואלים? שואלים שאלות ומעמידים מצבים שבהם הילדים צריכים להפעיל את ההבנה או להסביר. אם מקפידים לגוון ולא לקבע אפשר לגלות מה אכן הובן וכיצד ואז לחשוב איך בהזדמנויות אחרות להסביר להם ולהדגים להם טוב יותר.
• כשקוראים לילדים סיפור או כשנמצאים בנוכחותם וקורה דבר מה או שנאמר ביטוי מסוים או מילה מסוימת, לשאול להתעניין וכשניכר שאין הבנה אז להסביר, לפרש, לבאר, להדגים ולספר סיפור שממחיש.
• איך נדגים שימור של כמות? למשל נעביר נוזלים בין כלים בצורות ובגדלים שונים ובעלי קיבולת שונה: מה יקרה כשנעביר מכלי קטן לכלי גדול? מה יקרה כשנעביר נוזלים מכלי גדול לכלי קטן? להראות, להמחיש ולתת להתנסות. נדבר בשפה מדוייקת: הכלי צר יותר, או גבוה יותר או מכיל יותר ולא סתם בכלליות לומר גדול או קטן.
• מה זאת השוואה? כיצד משווים? לפי איזו תכונה או תכונות משווים?
• למיין. בכמה אופנים ניתן למיין? לפי איזו תכונה ממיינים? (השוואה היא תנאי הכרחי למיון -- ללא השוואה איך נמיין?)
• לדבר על יחסים (גדול מ-, רחוק מ-, מתחת ל-, נובע מ-, חוזר אל... וכך הלאה -- להסביר, להדגים בהקשר, להשתמש בעצמינו -- לתת דוגמה אישית)
• שימור של צורה: למשל זווית ישרה, פינה של דף, או משולש ישר זווית: האם הזווית נשארת ישרה גם כאשר נסובב אותה?
• לדבר על משמעויות של פעולות חשבון [אני עוד ארחיב ברשימה נפרדת בנושא -- כיצד לעשות זאת עם ילדים בגיל הגן]
• לוגיקה: גם / או / שלילה -- [גם כאן, אני צריך להרחיב בנושא ברשימה מיוחדת בנושא]
• מה זה אפס (אין)? לדוגמא: כמה פילים אמיתיים יש לנו בחדר? אין לנו אז נאמר שיש אפס פילים בחדר.
• התמצאות במרחב

ללמד תוך כדי התנסות

• להמחיש, לנסות ולהתנסות
• לא תמיד אנחנו חייבים להיות המסבירים, אולי ילד אחד יסביר לילד אחר?
• (הדוגמאות השונות מכל המאמר כולן מציגות התנסויות שונות ומשונות -- ברשימות נוספות אדגים משחקים ופעילויות שאפשר לעשות עם הילדים ואנסה להדגיש את העקרונות שמשולבים בהם). הנה עוד כמה רעיונות:
• לקחת תמונה מעיתון ולספר עליה כמה שיותר סיפורים שמבחינים בין חלקים שונים, משווים ביניהם, מונים עצמים, מדברים על יחסים (מה מעל מה? מה נמצא מאחור? אילו צבעים בתמונה? מאיזה צבע יש יותר? ... וכו')
•  מה זאת השוואה? לפי מה משווים? ניקח חפצים אמיתיים שיש לנו בבית ונשווה ביניהם לפי אמות מידה שונות ולפי תכונות שונות
• כשעורכים את השולחן (לבקש מהילדים לעזור) אז לשאול: כמה צלחות? כמה מזלגות? כמה כוסות? אם יגיע עוד זוג אורחים (נאמר, למשל, סבא וסבתא) אז כמה כלים נצטרך להוסיף? אילו?
• מה משמעות הצבעים השונים ברמזור? איך יודעים איזה מהרמזורים בצומת מיועדים עבורינו ומה תפקידם של שאר הרמזורים? מה משמעות החיצים? מדוע החץ שמורה למעלה משמעותו ישר?
• תחושת זמן: מודדים 5 דקות במהלך טיול רגלי ואז בודקים כמה מכוניות ראינו וכמה עצים ומה ראינו יותר ולמה זה כך? מדגימים על שירים שהילדים שולטים בהם ומודדים כמה זמן אורכים ואז משתמשים בשירים בתור קנה מידה לילדים כדי לתת להם תחושה של מה זה "כמה דקות" או כמה זה "חצי שעה" וכו'. ננסה לבדוק אילו פעולות אנחנו יכולים להספיק ב-5 דקות.
• לזכור: מוחשי זה משהו שנתפס בחושים ומופשט הוא מה שנתפס בחשיבה. כדי שהחשיבה תתפוס, צריך לעבור דרך החושים, להבין, להתאמן לבנות דגם חשיבה ורק אז הילדים מוכנים למופשט.

כוונה והדדיות

אחד מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך תיווך (למידה משמעותית).

הכוונה, שהיא יוזמה של המבוגר או של הילד, מתייחסת לניסיונות שעושה אחד השותפים בתהליך של למידה-הוראה כדי למקד את תשומת לבו ואת הקשב של השותף האחר. ההדדיות, היא היענות ותגובה לאיתותיו של השותף לאינטראקציה. המבוגר מחויב להיענות ליוזמותיו של הילד, ולהמשיך את האינטראקציה בהתאם להתעניינותו ולרצונותיו של הילד. קיומן של אינטראקציה מתמשכת והנאה מהתנסות הלמידה מחייב את המתווך להסתייע במידע על התרבות שהילד משתייך אליה, על יכולתו והעדפותיו, על רמת ערנותו ועל מאפייני הטמפרמנט שלו.

עיקרון התיווך "כוונה והדדיות" כולל שלוש קטגוריות של התנהגות של המבוגר המתווך:

• מיקוד לא מילולי: הצבעה על חפץ, הסטת מבט, שינוי תנוחת גוף, התקרבות לגירוי
• מיקוד מילולי: פנייה בלשון בהירה: "הבט", "הסתכל" "הנה כאן", "הקשב", "בוא", "זה מעניין"
• מיקוד לא מילולי ומילולי: הצבעה על חפץ והמללה בהתאם: "הסתכל, הנה..." 

כוונתו של המתווך (ההורה או המורה) לתווך מנווטת את המהלך כולו. המתווך, המעונין שמקבל התיווך (הילד) יקלוט את מסריו, יארגן את הגירויים כך שיהיו קליטים על ידי החניך (הילד). הוא ידאג לעורר את תשומת ליבו של חניכו ויבטיח שהוא יתרכז ויעקוב אחר הגירוי שנבחר.

בהוראת החשבון, כמו גם בהוראת המקצועות האחרים, ההתכוונות וההדדיות יתרחשו כאשר תתרחש אינטראקציה ישירה בין תלמיד למורה. למשל, על ידי שאלות המופנות אישית לתלמיד מסוים. המורה יכול להתאים את טיב השאלה לאופיו של התלמיד. תלמיד מתקשה יקבל הנחייה אישית באמצעות שאלה שתופנה אליו ותאפשר לו להצטרף למעגל המבינים. לעומתו, אל תלמיד מצטיין תופנה שאלה ברמה שתעורר אותו להתמודדות. השאֵלה למתקשה יכולה להינתן מחומר שכבר נלמד ולמצטיין מחומר חדש באותו תחום.

דפי עבודה ותרגול, ככל שיהיו מדורגים וערוכים היטב, אינם יכולים להחליף את הסיטואציה התיווכית של דיאלוג מורה-תלמיד וגם של תלמיד- תלמיד. לפעמים הסבר של תלמיד-עמית יוצר תיווך שאינו נופל מתיווך מורה-תלמיד.

מאחר שהילדים יכולים לתווך זה לזה , חשוב ביותר הרב-שיח שמתרחש בבית או בגן. עד כה לא נמצאה גם תוכנת מחשב שתחליף בהצלחה את התהליך האינטראקטיבי שבין מתַוֵוך למתֻוָוך.

פרמטר ההדדיות וההתכוונות מתאים אך ורק לאינטראקציה בין בני אדם.

דוגמה לכוונה ליצור הדדיות אפשר להביא מתחילת ההוראה של העשרה אינסטרומנטלית. המתווך משתף את הילד בכוונותיו והוא מסביר לו כבר במפגש הראשון עם הנושא שמוחשי הוא מה שניתפס בחושים ומופשט הוא מה שניתפס בחשיבה. מקבל התיווך מודע לעובדה שהמתווך מעוניין ומתכוון ללמדו כיצד להגיע להפשטה. הוא גם לומד את היתרונות של ההפשטה וחש מתי הוא עובר מפעילות קוגניטיבית ברמת ההמחשה לפעילות ברמת ההמחשה.

משמעות

המרכיב השני מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך התיווך.

תיווך המשמעות נוטע בילד את המודעות לכך שלגירויים, לאירועים, לאנשים ולתחושות יש משמעות רגשית ומילולית. בדרך זו מועברים לילד ערכי התרבות של החברה. תיווך המשמעות מתחיל בראשית החיים. תחילה הוא מועבר באמצעים לא-מילוליים: חיוכים, צעקה והבעות פנים ואחר כך מיתוספת המשמעות המילולית שכוללת מתן שמות לחפצים, לפעולות, לרגשות, לתופעות טבע וכדומה. התיווך האנושי הוא הנותן לדברים משמעות. שימוש עקבי בעקרון תיווך המשמעות מעורר בילד את הצורך לחפש משמעות בכל מה שנקרה על דרכו.

עקרון העברת המשמעות כולל שלוש קטגוריות:

• שיום – קריאה בשמות של חפצים, של אנשים, של רגשות של אירועים
• רגש – ביטוי מודגש של התלהבות, התרגשות, או כעס, מילולית או במחוות גופניות
• הסבר קצר – תיאור קצרצר שמתאר את מהות הגירוי

אנחנו רוצים שהילדים יבינו את משמעות הדברים שאנחנו מסבירים להם: רעיונות, עקרונות כלים  וכדומה. הם צריכים להבין לשם מה אלה נדרשים ומה עושים בהם. מילה טובה להשתמש בה היא "כי". לדוגמא: אין לגעת בסיר כי הוא חם. נגיעה בסיר חם מסוכנת כי היא גורמת לפציעה. לא כדאי לנו אם כך לגעת בסיר חם כי הפציעה כואבת מאוד והכאב והסבל לא יעברו במהרה.

התיווך למשמעות עוסק באנרגיה שעל החניך (הילד) להשקיע בביצוע המשימות והרגשות המתלווים לעשייה הזאת. המתווך (ההורה או המורה) משתמש בכל האמצעים כולל הבעות פנים ותנועות גוף, כדי להביא את החניך לאינטראקציה הדדית. לעורר את הצורך בעשייה כלשהי פירושו להפעיל את המרכיב של המשמעות באינטראקציה התיווכית.

במתמטיקה התיווך למשמעות יתבטא בפתרון בעיות שמקבל-התיווך יכיר בחשיבותן ולכן יהיה מוכן להשקיע אנרגיה בפיתרונן.

דוגמה לכך בגיל הגן הוא נושא ההבחנה בין תכונות (ובאופן כללי הבחנה בדקויות): ההבחנה בתכונות ושיומן (לתת להן שם) מאפשרת לנו להשוות (הרי כשמשווים אנחנו משווים לפי תכונה מסוימת, לפי קריטריון מסוים). היכולת להשוות היא זאת שנותנת בידינו את הכוח להבין מה יותר, מה פחות וכו'. לכן הלומד חש צורך להבין את הנושא. אם הילדים אינם מודעים לחשיבות הנושא, טוב יעשה ההורה אם יעמיד בפניהם מצבים שבהן נדרשת ההשוואה או טוב מכך יעמיד את הילד במצבים שבהם הוא נאלץ להשוות  ובכך יעורר בילדו מוטיבציה להבין את הרעיון או את המושג ואת משמעויותיו או את אופן ביצועו.

העברה – אל מעבר לצורך מיידי

המרכיב השלישי מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך התיווך.

עקרון תיווך זה כולל תיאור מילולי שמסייע לילד להרחיב את מודעותו הקוגניטיבית לסביבה מעבר לנדרש לסיפוק צרכיו המידיים. למשל: בשעת האוכל הצורך המידי הוא האכילה, והשיחה על המזון – טבעו, צבעו, טעמו, שמו ותיאור הציפייה להופעתו היא תיווך מעבר לצורך מידי. המתווך משווה בין תופעות, מצביע על מאפיינים נוספים לאלה הנראים לעין, על קשרים בין העבר להווה או בעין ההווה לעתיד או על כלל כמו: "בבוקר אוכלים ארוחת בוקר".

באמצעות תיווך הרחבה - מעבר לצורך המידי, מתקדם הילד מחשיבה ברמה מוחשית ומהישענות על חושיו לחשיבה מופשטת ולשימוש בייצוגים.

פירטתי בדוגמאות בסעיפים הקודמים כמה רעיונות שהדגמתי אותם בכמה הקשרים שונים במתמטיקה ובחיים. והנה דוגמה נוספת, המכנה המשותף מופיע גם כאשר אנחנו מנסים לחבר שני בנים עם שלוש בנות ומקבלים חמישה ילדים; הוא מופיע עוד כאשר אנחנו רוצים לחבר או לחסר במאונך (זוכרים? אחדות מתחת לאחדות, עשרות מתחת לעשרות וכו'...); כמובן, בחיבור ובחיסור שברים אנחנו משתמשים במכנה משותף; אנשים זרים יוצרים קשר ושיתופי פעולה זה עם זה על בסיס של מכנה משותף (עניין משותף); וכך הלאה.

פניו של התיווך לעתיד – ההכנה לקראת…

המרכיב הזה של התיווך מתבטא בהעברת התרבות לפרט, בהקניית אסטרטגיות קוגניטיביות. באמצעות האסטרטגיות האלה יוכל מקבל-התיווך (הילד) להגיע לרמות חשיבה גבוהות יותר. הטרנסצנדנטיות מקנה לחניך (הילד) מרכיבים של זמן, מקום, סדר, רצף וחוקיות , שבאמצעותם יוכל החניך לתפקד ברמה גבוהה יותר.

המדד הזה של התיווך אינו כולל סוגים של אינטראקציות שמטרתן מיידית – כמו עצירת ילד שרץ אחר כדור לכביש.

המרכיב הטרנסצנדנטי במתימטיקה מתבטא בהקניית עקרונות חשיבה שיאפשרו למקבל-התיווך לפתור בעיות חדשות שייתקל בהם בעתיד.

לתיווך תהיה הצלחה מכסימלית כאשר יוכל החניך (הילד) לפתור ביעילות בעיות בתחומים מתמטיים ובעיקר חוץ-מתמטיים. היכולת של התלמיד ליישם כללים לוגיים שנרכשו במתמטיקה בתחומים אחרים מצביעה על עוצמתו של מרכיב הההעברה בחוויית התיווך.

לסיום

בטעות מזהים מתמטיקה בגיל הגן עם משהו שקשור למספרים ולפעולות חשבון. יש דברים רבים שחשוב לעשות עוד לפני המספרים ובוודאי שלפני שמדברים על סמלים ועל תחביר מתמטי.

המורה,

שלמה יונה