יום שבת, 6 באפריל 2013

מתמטיקה וחינוך / רון אהרוני


מתמטיקה וחינוך

רון אהרוני

הקדמה


בדואליות בין חינוך והוראה יש מקצוע אחד שנמצא בבירור באורח מוחלט בצד השני: מתמטיקה. לא לחינם אומרים עליה שהיא "טהורה". אין לה שום קשר לחיים. ממשפט פיתגורס אי אפשר להסיק שום דבר מעניין על רגשות, ומפתרון משוואה ריבועית אי אפשר ללמוד שום דבר על תכלית החיים. כמובן, אלא אם כן אתה מתמטיקאי, שאז משפט פיתגורס הוא בשבילך תכלית החיים. וכמתמטיקאי, אני דווקא מסכים עם הדעה הזאת. אין דבר יפה וחשוב ממשפט מתמטי עמוק. 

יש הסבורים שלמתמטיקה יש השלכות פילוסופיות. אבל מי שחושב כך לא מבין מה זו מתמטיקה, וכנראה גם לא מהי הפילוסופיה (זאת כנראה אף אחד לא מבין). דיון בבעיה באלגברה אי אפשר לכוון כך שתיגע בשאלה מהו הצדק, ולימוד בעיה גיאומטרית לא יגיע לשאלה אם צריך להאמין בישות על טבעית או לא. מתמטיקה נועדה לתאר את המציאות הפיזיקלית, לא הנפשית. ובוודאי שאינה יכולה לתאר את המציאות הרוחנית, למי שמאמין שיש דבר כזה.

(אמנם קיימות בספרות "הוכחות" מתמטיות לקיום אלוהים, שהמפורסמת ביניהן היא זו של הלוגיקאי קורט גדל. אבל אין להתייחס אליהן יותר ברצינות מאשר ל"הוכחות" לא מתמטיות מסוג זה. גדל כתב את הוכחתו לעת זקנה וערעור נפשי, ולא לחינם דאג לכך שלא תתפרסם לפני מותו.) 

ובכל זאת - יש קשר. למתמטיקה יש השלכות על החיים. גם בה, כמו בתחומים אחרים, הקיטוב בין חינוך והוראה הוא מדומה. המתמטיקה משפיעה על חיי לומדיה לא רק בצד האינטלקטואלי הטהור, אלא גם נוגעת בעמקי נפשם. והיא עושה זאת בשתי דרכים שונות. הראשונה היא שהעיסוק במתמטיקה מלמד לחשוב בדרך מסוימת, ודרך החשיבה הזאת משפיעה על גישתו של העוסק בה לחיים כולם. השנייה היא הבנה שהושגה באמצעות המתמטיקה: תורות מתמטיות הן אלה שתרמו יתר מכל להבנה מהי החשיבה האנושית. על שתי ההשפעות האלה על הבנת החיים אני רוצה לכתוב במאמר הזה. 

דרכי חשיבה

מה זו "מתמטיקה"
לפני שאפנה להשיב על השאלה איך מתמטיקה מתחברת לחינוך, אנסה להסביר מהי המתמטיקה בכלל. שאלה לא פשוטה – רוב המתמטיקאים, אם תשאל אותם במה הם עוסקים יתקשו להשיב עליה. רובם גם יפטרו אותך בחיוך מנומס ויחזרו לעסוק בבעיה שהם חושבים עליה כרגע. 

אז בואו נשאל קודם כל – במה עוסק המדע? בעולם יש תבניות, והמדע מנסה לבנות במוחם של בני האדם תמונות מראה שלהן. מדע טוב מגלה תבניות סמויות ועמוקות. למשל, תבנית הברירה הטבעית קיימת בעולם החי, אבל אינה נראית לעין משום שהיא נוגעת לעבר, שאותו אין ביכולתנו לראות. עם זאת, היא משלימה את תמונת התצרף (פזל) של הביולוגיה בצורה מושלמת. הבנה של התהליך הזה פירושו יצירת מבנה מתאים במוח, שמחבר מושגים ביולוגיים רבים יחד. התבניות במוח מאפשרות לנו לנבא איך יתנהג העולם החיצוני, ולהתאים את התנהגותנו אליו. 

בחשיבתו של האדם המושגים לובשים צורה מילולית. אנחנו מתאימים מילים לתבניות, ומחברים את המילים בדרך שמתאימה לקשרים בין התבניות. אבל יש לזכור שהמילים אינן אלא קצף על פני המים, ביטויים חיצוניים למבני מוח עמוקים יותר. עובדה היא שאצל חיות הקישורים המוחיים נעשים ללא תיווכן של מילים. איך כל זה קורה באמת במוח – כיום עדיין איננו יודעים. אבל את אי הידיעה הזאת אפשר לסכם בכך שהמדע בונה במוח תבניות מושגיות שמתאימות לעולם. 

המתמטיקה מגיעה בשלב שני. בניגוד למדע, היא לא מסתכלת במציאות, אלא במושגים. היא מגלה את החוקיות במבנים שיצרנו במוחנו. למשל, לאחר שבנינו את מושג המספר, אין צורך עוד להסתכל במציאות כדי לחשב כמה הם 6:2. התוצאה תנבע מן הכללים שהמספרים מצייתים להם. מתמטיקאי מקבל מערכת של כללים, ולומד את המסקנות מהם. וראה זה פלא – החקירה הזאת מלמדת גם על המציאות. כי אותם קשרים יש גם במציאות. אפשר אז לחזור למציאות, ולבנות על פי הכללים האלה גשרים, חלליות ומחשבים.

מה מאפיין את החשיבה המתמטית

למתמטיקאים אין מונופול על חשיבה, גם לא על חשיבה מדעית. לא הם מגלים את התבניות בעולם. הם רק חוקרים מערכות של מושגים, לאחר שאלה נבנו. אבל לחשיבה המתמטית יש שתי תכונות ייחודיות: נדבכיות ודיוק. 

"נדבכיות" משמעה שהמתמטיקה, יותר מכל תחום חשיבה אחר – לאין שיעור יותר – בנויה קומה על גבי קומה. טיעון מתמטי הוא בדרך כלל ארוך מאוד, ומסתמך על הרבה מאוד שלבים שקדמו לו, ועל הרבה ידע קודם. אם נפרש את כל השלבים בהוכחה מתמטית מורכבת, היא תתפוס ספרים. גם בתחומים אחרים יש נדבכיות, אבל לא באותה מידה. המתמטיקה מורכבת הרבה יותר מאשר תחומים אחרים. 

איך אפשר להחזיק במוח מבנים כה מורכבים? הסוד הוא שרכיביו של המבנה מתחברים זה לזה בקשרים קשיחים. לו היה איש ספרות מנסה לבנות משהו כה מורכב הוא היה נכשל, משום שהמושגים אוחזים זה בזה בצורה רופפת, וכל המגדל היה מתמוטט במהרה. במתמטיקה החיבורים הם יציבים. זוהי דרך אחרת לומר שהמתמטיקה מחויבת לדיוק. אין דבר כזה, הוכחה "בערך". טיעונים היוריסטיים אינם זוכים להערכה רבה במתמטיקה. מה שלא הוכחת במדויק אינו קיים. 

משמעת וכבוד למציאות



המורכבות של המתמטיקה והדיוק שלה מתחברים בנקודה אחת: משמעת. כדי לעמוד בדרישות ששני אלה מציבים, נחוצה משמעת חשיבה חמורה. אינך רשאי לשגות בהזיות. כלומר, עליך לכבד את המציאות. לשים אותה לפני משאלותיך והרהורי ליבך. 

הדבר מזכיר לי משהו שאמר ידיד שלי שפרש מן המתמטיקה. הוא הסביר את פרישתו בכך שכשהוא חושב על בעיה מתמטית ברור לו שהבעיה חשובה הרבה יותר ממנו. הוא אינו יכול לשחק בה. היא שם, והוא המשרת שלה, במובן זה שהוא אינו יכול לשחק בינו לבין עצמו, להמציא ככל העולה על רוחו. 

בעיני רוב המתמטיקאים זוהי דווקא התכונה המושכת במתמטיקה: הכבוד לעולם. ההיווכחות בכך שיש משהו חשוב ממך ומרצונותיך. רבי שמחה בונים, ממנהיגי חסידות העיר הפולנית פשיסחא, אמר "לעולם יהיו לאדם שני כיסים. באחד מונח המאמר: 'אנוכי עפר', ובשני: 'בשבילי נברא העולם'. " המתמטיקה מלמדת, את מי שמוכן ללמוד זאת, את הראשון בין שני הלקחים האלה. והבנת מעמדו של האדם בעולם, האדם הפרטי והאדם בכלל, היא בעיני יסוד חינוכי חשוב. 

יש עוד דרישה שנובעת מן המורכבות של המתמטיקה: עבודה. כמו כל כישורים אחרים – מוזיקליים, למשל, אי אפשר לקנות את הבנת המתמטיקה ללא עמל ויגע. נחוץ פתרון בעיות טכניות, עוד ועוד. אבל נדמה שבמתמטיקה הדבר בולט יותר מאשר במקומות אחרים. וכמו במוזיקה, בולטת בה העובדה שעבודה נושאת פירות. כשאתה עובד אתה נמצא אחרי זמן לא רב במקום אחר לגמרי מזה שיצאת ממנו. 

ספקנות, ציניות והיעדר יראת כבוד בפני סמכות



יש אמרה מאירת עיניים על יתרונם של מדעי הטבע על פני מדעי הרוח, שהייתי שמח לדעת את מקורה (אם יש מישהו בין הקוראים שיודע – אנא כתבו לי): 

מה ההבדל בין מתמטיקה לפילוסופיה? שבמתמטיקה מישהו חשוב הוא מישהו שאמר משהו חשוב. בפילוסופיה משהו חשוב הוא משהו שאמר מישהו חשוב.

אין מה לעשות, במדעי הרוח יש הרבה סנוביות. כשאין קריטריונים ברורים לטוב ולרע, נתלים בסמכות. שוכחים שאדם הוא רק אדם, ושיהא שמו גדול ככל שיהא, החכמה שצבר בימי חייו היא בהכרח מוגבלת. נתלים במילים מתפתלות, במקום להסתכל במציאות. סיפור ידוע, שראוי שיספרוהו שוב על אף שכבר סופר פעמים רבות, הוא על המתיחה של סוקל. סוקל (Sokal) הוא פיזיקאי אמריקני, שכדי להראות את היומרנות שבשיח הפוסט מודרניסטי גיבב מילים מסובכות, ואסף אותן למאמר בשם "לחצות את הגבולות – לקראת הרמנויטיקה טרנספורמטיבית של כבידה קוואנטית", שאותו שלח לעיתון פילוסופי פוסט מודרניסטי נחשב בשם "Social Text ". העיתון פרסם את המאמר, יש לשער שבעיקר בגלל שמו של הכותב והעובדה שהעורכים לא הבינו מילה (כפי שבוודאי אינם מבינים מילה בחלק גדול מן המאמרים בעיתונם). סוקל כתב מאמר שני, שבו חשף את המתיחה. העיתון סירב לפרסם את המאמר החושף, בטענה ש"סוקל כתב את המאמר ברצינות, ורק אחר כך חזר בו". 

במתמטיקה יש קריטריונים, ברורים מאוד. כל מתמטיקאי יודע להבחין בין מתמטיקה טובה למתמטיקה פושרת. ברור אילו בעיות הן מעניינות ואילו לא, מתי רעיון הוא חדש, ומה מידת עומקו. 

היעדר יראת כבוד בפני סמכות היא תכונה חשובה מאוד. פירושה ספקנות. אולי אפילו ציניות, אבל במידה הנכונה. ולימוד מתמטיקה הוא דרך מעולה להגיע לכך. ספקנות פירושה התייחסות לחיים בהומור – לא כל מה שנחשב לחשוב הוא באמת חשוב. לא כל מה שמוכרים לך הוא אמיתי. והחשוב מכל - אדם צריך לבדוק את הדברים בעצמו. ציות מתוך אמונה עיוורת הוא דבר שמתמטיקאי יחטא בו פחות מאדם אחר. והתכונה הזאת היא משהו שהייתי שם גבוה בסדר העדיפויות של מה שאני רוצה להשיג בחינוכו של אדם צעיר. 

מתמטיקה ויופי



בעיני, אחד הדברים החשובים שחינוך צריך להקנות הוא אהבה ליופי. "מי שזכה להכיר יופי לא יהיה מוכן לשאת כבלים", אמר המשורר הפקיסטני מוחמד איקבל. למה יופי הוא כה חשוב? מאותה סיבה שחשוב שאדם יידע שיש חכמה בעולם – כי מי שמכיר יופי יודע שיש משהו מעבר לו. משהו חשוב ממנו עצמו. משהו שאפשר לשאוף אליו. 

והמתמטיקה יפה. זוהי תכונתה העיקרית. אם תשאלו מתמטיקאי מה מניע אותו לחקור, בתשעה מתוך עשרה מקרים תקבלו את התשובה "יופי". מתמטיקאים מחפשים בעיקר יופי. יופי הוא הקריטריון העיקרי שלהם לנכונותה של תורה. אם משהו אינו יפה, הוא או לא נכון או לא חשוב. אין ספור מתמטיקאים ומשוררים ציינו את הדמיון בין המתמטיקה והשירה. "מתמטיקאי שאינו קצת משורר אינו מתמטיקאי מושלם", אמר ווירשטרס, המתמטיקאי הגרמני הגדול בן סוף המאה התשע עשרה. "רק אוקלידס לבדו ראה את היופי בעירומו", כתבה המשוררת האמריקנית עדנה וינסנט מיליי. 

מניין הדמיון הזה בין מתמטיקה ושירה? ומדוע שניהם יפים? בספר שכתבתי, "מתמטיקה שירה ויופי" ניסיתי להשיב על כך. תשובתי שם הייתה שמשהו הוא יפה אם יש בו תוכן עמוק, שאיננו יכולים לתפוס בצורה מודעת. בשירה התכנים מועברים אלינו בצורה סמויה ועקיפה – למשל בעזרת מטפורות. במתמטיקה האמירות אינן עקיפות, אבל יש סיבה אחרת לכך שאנחנו קולטים דברים בצורה לא מודעת, יודעים אותם בלי לדעת עד תומם. במתמטיקה מתגלה לנו סדר מופלא ועמוק, שהוא כל כך מורכב שאיננו יכולים לתפוס אותו במלואו. ממש כפי שלעולם לא נתפוס את מלוא הסדר שנמצא ביצירה של מוצרט, ומשום כך אנחנו יכולים לשמוע אותה שוב ושוב וליהנות ממנה בכל פעם מחדש. אנחנו יכולים רק לתפוס את גילוייו החיצוניים של הסדר, ולהתפעל מן העומק של המבנה שפיסה קטנה שלו נגלית לעינינו. גם כאן, המשמעות היא שאנחנו פוגשים משהו חשוב מאיתנו. משהו טרנסצנדנטלי, הייתי אומר לו הייתי מאמין בכך שקיים משהו מעבר לעולם הגשמי. משהו שמעבר להבנתנו, אני אומר כמי שאינו מאמין בכך. 

היופי הזה נמצא במתמטיקה בכל הרמות שלה. גם זו של בית הספר היסודי – ואולי שם יותר מכל. השאלה הגדולה היא אם אפשר להעביר את תחושת היופי הזאת לתלמידים. אני בטוח שכן. הנה סיפור קטן, שמוכיח זאת. בבית ספר נחשל למדי במגדל העמק לימדתי בכיתה ב', והראיתי להם מדוע 2 פעמים 5 הם 5 פעמים 2 (חוק החילוף של הכפל). הראיתי להם את האצבעות בשתי הידיים שלי, כשהן מרוחקות זו מזו: 2 פעמים 5. אחר כך הצמדתי את ידי זו לזו, ופרשתי את האצבעות, כך שהתחלקו ל-5 זוגות: 5 פעמים 2. ילד שישב בשורה הראשונה אמר לעצמו בשקט: "זה יפה". וזה באמת יפה. 

כדי להעביר את תחושת היופי כל שצריך הוא ללמד מתמטיקה בצורה נכונה. שפירושו: בצורה שבה מתמטיקאים חושבים. בסעיף הבא אנסה להסביר מה פירוש הדבר.

מן הפרטי לכללי



איך מתמטיקאים חושבים? –בצורה מופשטת, ישיבו רוב האנשים שיודעים בכלל במה מדובר. אבל בדיוק ההפך הוא הנכון. מתמטיקאים יודעים שהחשיבה נעשית דרך דוגמאות. היא הולכת מן הפרטי לכללי. מתמטיקאי חושב בדוגמאות, וההפשטות מגיעות אחר כך מעצמן. הכלל הוא: אין פשוט מדי. צריך להסתכל תחילה בדוגמאות הפשוטות ביותר. 

לו היו המורים למתמטיקה יודעים זאת, הייתה הוראת המתמטיקה נראית אחרת לגמרי. את 2+3 היו מלמדים דרך צירוף של קבוצה של 2 אבנים עם קבוצה של 3 אבנים. כשהיו מלמדים פתרון משוואות ריבועיות היו בודקים תחילה את המשוואה הריבועית הפשוטה ביותר – x2=0 , ועוברים למשוואה הבאה, x2=1. את הנוסחה לפתרון היו בודקים על שתי המשוואות האלה. אחר כך היו מבקשים מן התלמידים להמציא משוואה שפתרונותיה הם 1 ו-3: להמציא משוואה נותן תובנה על איך משוואה בנויה, הרבה יותר מפתירת משוואה שאין לך מושג למה דווקא היא נחתה עליך משמיים. 

כשילדי מספרים לי משהו במונחים כלליים, אני מבקש "תנו דוגמה". אני יודע שהצלחתי, כאשר כשאני מספר משהו הם אומרים לי "אבא, דוגמה!". 

יש עוד הרבה כללי חשיבה בסיסיים במתמטיקה, שהוראתם היא פתח להכרה ביופיה. למשל – בדקו תמיד מקרים קיצוניים. נסו למצוא את המשותף למקרים פרטיים. כל אלה, אם יילמדו, ייתנו ערך חינוכי ללימוד המתמטיקה. 

המתמטיקה ומעמדו של האדם ביקום

בחלקו הראשון של המאמר חזרתי יותר מפעם אחת אל ערך חינוכי אחד של לימוד המתמטיקה: הכרת מקומך בעולם. העובדה שאינך מרכז העולם. צניעות בפני מורכבותו של העולם. 

למתמטיקה היה תפקיד היסטורי חשוב בהבנה של אותו לקח על רמה כללית יותר. לא רק שאדם פרטי אינו מרכז העולם, אלא שגזע האדם אינו מרכז היקום. אחת התובנות החשובות שהובילו לתפיסה הזאת הגיעה מן המתמטיקה, ועל כך אני רוצה לספר בחלק זה של המאמר. 

להבנה שהאדם אינו כה חשוב כפי שנדמה לו קרא זיגמונד פרויד "מהפכה קופרניקאית", על שם המהפכה של קופרניקוס, שהבין שכדור הארץ אינו מרכז היקום. פרויד מנה עוד שתי מהפכות כאלה. אחת היא המהפכה הדרוויניסטית, שלימדה אותנו שאף אם האדם הוא החיה האינטליגנטית ביותר, בעיקרו של דבר הוא שייך לממלכת החי ואינו שונה עקרונית מחיות אחרות. את המהפכה השלישית ייחס פרויד, שלא סבל מצניעות יתרה, לעצמו. הוא הוריד את האדם ממעמד השליט הכל יכול בממלכה האחרונה (כמעט אחרונה, כפי שתיכף נראה) שנותרה לו: נפשו שלו עצמו. את הנפש שלך אינך מכיר היטב יותר מאשר את שאר העולם. מבחינות מסוימות, אתה מכיר אותה אפילו פחות, כך הראה פרויד. 

אבל בעוד פרויד כותב את המילים האלה (זה היה ב-1915, בהרצאות שנתן בווינה על תורתו) הייתה מהפכה קונטרה-אנתרופוצנטרית (כלומר שמסלקת את האדם ממרכז היקום) בעיצומה. והיא באמת הדיחה את האדם מכס המלכות האחרון שייחס לעצמו: החשיבה המופשטת. לכאורה, הדבר הייחודי ביותר לאדם. בין 1878 ו-1940 תרמו מתמטיקאים רבים להבנה שאין זה כך. גם מכונה מסוגלת לחשיבה מופשטת. 

ראשיתה של המהפכה היה בהגותו של פילוסוף-מתמטיקאי בשם גוטלוב פרגה, פרגה הבין דבר מהפכני לחלוטין: שהחשיבה האנושית ניתנת לתיאור מתמטי. פירוש הדבר הוא לפני הכול שהחשיבה היא עניין מכאני. היא יכולה להינתן בידי מכונה. שבעים שנים אחר כך תהפוך התובנה הזאת לכמעט מובנת מאליה, עם המצאת המחשב, אבל ב-1878, כשפרגה פרסם את ספרו, זו הייתה מהפכה עצומה. למעשה פרגה לא התייחס לחשיבה האנושית בכללה, אלא לחשיבה המתמטית, וליתר דיוק לצד אחד שלה, הלא הוא כתיבת הוכחות מתמטיות. אבל עם השנים - כאמור במיוחד לאחר המצאת המחשב - התפתחה התובנה הזאת וכללה את החשיבה האנושית כולה. 

ספרו של פרגה היה כה מהפכני, שלא זכה לשום תגובה. לעולם המתמטיקה, ולעולם בכלל, היה מזל גדול בכך שלברטראנד ראסל הייתה בילדותו אומנת גרמניה. ראסל ידע גרמנית, וקרא את עבודתו של פרגה. בזכותו הגיעה עבודתו של פרגה למרכז הבמה. ב-1910 הוציא ראסל ומורה שלו, וויטהד, ספר מפורסם, "פרינציפיה מתמטיקה", פרי מלאכה של שנים רבות. בספר הזה הם פיתחו ושכללו את תורתו של פרגה. ה"פרינציפיה" הוא ספר כבד מאוד, שנקרא על כל פרטיו רק בידי מעטים, ובכל זאת הייתה לו השפעה גדולה, והבעיות שעלו בו הביאו מתמטיקאי צעיר (מאוד) בשם גדל (שהוזכר בתחילת המאמר הזה) להבין דברים רבים. למשל, איך אפשר להגדיר בצורה מדויקת מהו "אלגוריתם", כלומר מתכון חשיבה לפתרון בעיה מסוימת. הגדרתו של גדל הייתה מופשטת למדי, אבל מתמטיקאי אנגלי (צעיר מאוד אף הוא), אלן טיורינג, נתן לה נוסח קונקרטי. הוא בנה מודל פשוט למדי למכונה שיודעת לחשוב, שכיום אנחנו קוראים לו "מכונת טיורינג". מכאן הייתה הדרך קצרה מאוד – שנים ספורות – להמצאת המחשב האלקטרוני. כמובן, חלק חשוב היה בכך להתפתחות האלקטרוניקה. 

האם כל זה רלבנטי לחינוך של אנשים צעירים? אני חושב שכן. זוהי תובנה משלימה לתובנה של דרווין. לא רק גופו של האדם הוא חלק מן העולם, אלא גם חשיבתו אינה משהו על טבעי. היא בסך הכול חלק מן העולם הגשמי. פירוש הדבר הוא דה-מיסטיפיקציה של קיומו של האדם ושל חשיבתו. מי שמבין שהוא, וחבריו בני האדם שסביבו, אינם יצורים כה מיוחדים, יחסוך מעצמו אמונות מיסטיות. בעיקר אמונות כאלה שאומרות שהוא מיוחד. למשל, האמונה שאלוהים בחר בעם אחד מסוים כדי למלא את רצונו על פני אדמות תלויה במעמד מיוחד שנותנים לרעיונות. היא מחייבת אמונה בכך שרעיונות – במקרה זה רעיונות המיוחסים לאלוהים - הם משהו טרנסצנדנטי, שמעבר לקיום הגשמי של האדם. והאמונה הזאת, כשהיא מוחזקת בידי שני עמים, שכל אחד מהם חש שהוא חייב להצדיק את הצד שלו, תביא בוודאות מלאה לאסונות נוראים. 

האם פירוש הדבר שצריך ללמד ילדים ונערים מהי "מכונת טיורינג"? האם צריך להורות בבית ספר שהחשיבה האנושית היא מכאנית, ושאפשר לתאר אותה בצורה מתמטית? לאו דווקא. אלה הם רעיונות מופשטים מדי. אבל חובה ללמד צניעות אל מול הטבע. לא צניעות מול ישות מופשטת כמו אלוהים, שבעזרתה אפשר להצדיק ולתרץ כל מעשה שהאדם למעשה בוחר בו למעשה ממניעים שלו, אלא מול העולם הגשמי. זוהי צניעות אמיתית יותר. כדי להבין את מעמדו של האדם בעולם חיוני, לפני הכול, ללמד את תורת הברירה הטבעית. כדי לדעת היכן בעולם הוא עומד, אדם חייב לדעת עד כמה הוא דומה לשאר החיות בגופו ובהתנהגותו. לאחר מכן חשוב ללמד גם שהחשיבה האנושית אינה דבר כה מיוחד. שרעיונות הם חלק מן העולם, ושהעובדה שהאדם יודע לחשוב אינה הופכת אותו לכל יכול. אדם צעיר צריך לדעת שאמונות מופשטות הן תוצאות של תהליכים גשמיים, ושאין לייחס להן משמעות על טבעית. אין להשתעבד להן, או לחשוב שהן יכולות להיות תירוץ למעשים נוראים. אדם שמבין זאת הוא אדם טוב יותר.

* רון אהרוני הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון, מחבר הספר חשבון להורים וממייסדי העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל.